Lista_4

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Lista 4 - Probabilidade II
Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada
Conjunta e Marginal
Prof.: Marco Aure´lio
1. Suponha que 2 bolas sejam retiradas, sem reposic¸a˜o, de uma urna que conte´m inicialmente 2
bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 azuis. SejamX e Y varia´veis aleato´rias que representam
o nu´mero de bolas vermelhas e brancas retiradas, respectivamente.
(a) Encontre a Func¸a˜o de Probabilidade Conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ).
(b) Encontre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada Conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ).
(c) Encontre as Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o Acumulada Marginais das varia´veis X e Y .
2. Suponha que um vetor aleato´rio (Z,W ) tenha Func¸a˜o Distribuic¸a˜o Acumulada definida por:
FZ,W (z, w) =

0 , se z < 3 ou w < 0
1/10 , se 3 ≤ z < 4 e 0 ≤ w < 1
3/10 , se 4 ≤ z < 6 e 0 ≤ w < 1
4/10 , se z ≥ 6 e 0 ≤ w < 1
3/10 , se 3 ≤ z < 4 e w ≥ 1
6/10 , se 4 ≤ z < 6 e w ≥ 1
1 , se z ≥ 6 e w ≥ 1
(a) Quais os poss´ıveis valores que o vetor aleato´rio (Z,W ) pode assumir? Esse vetor e´
discreto ou cont´ınuo?
(b) Encontre a Func¸a˜o de Probabilidade Conjunta do vetor aleato´rio (Z,W ).
(c) Encontre as Func¸o˜es de Probabilidade Marginais das varia´veis aleato´rias Z e W .
(d) Encontre as Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o Marginais das varia´veis aleato´rias Z e W .
3. Suponha que um vetor aleato´rio (X,Y ) tenha Func¸a˜o Distribuic¸a˜o Acumulada definida por:
FX,Y (x, y) =
{
1− e−2y − e−x + e−(x+2y) , se x > 0 e y > 0
0 , caso contra´rio
(a) Verifique que limx→∞ e y→∞ FX,Y (x, y) = 1
(b) Verifique que limx→−∞ FX,Y (x, y) = 0 e limy→−∞ FX,Y (x, y) = 0
(c) Quais os poss´ıveis valores que o vetor aleato´rio (X,Y ) pode assumir? Esse vetor e´
discreto ou cont´ınuo?
(d) Encontre a Func¸a˜o de Densidade Conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ).
(e) Encontre as Func¸o˜es de Densidade Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
(f) Encontre as Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
4. Seja (X,Y ) um vetor aleato´rio continuo com Func¸a˜o Densidade Conjunta definida por:
fX,Y (x, y) =
{
1
2e
−x+2 , se x ≥ 2 e 1 ≤ y ≤ 3
0 , caso contra´rio.
(a) Encontre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ).
(b) Encontre as Func¸o˜es de Distribuic¸o˜es Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
(c) Encontre as Func¸o˜es de Densidade Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
5. Suponha um vetor aleato´rio (X,Y ) com Func¸a˜o Densidade Conjunta definida por:
fX,Y (x, y) =
{
2e−2(y−x) , se 0 < x < 1 e x < y <∞
0 , caso contra´rio
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Lista 4 Probabilidade II
(a) Encontre a imagem do vetor aleato´rio (X,Y ) e desenhe no plano a regia˜o que define
esse conjunto.
(b) Encontre as Func¸o˜es de Densidade Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
(c) Calcule P(X + Y > 1).
(d) Encontre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Acumulada Conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ).
(e) Encontre as Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o Marginais das varia´veis aleato´rias X e Y .
6. Considere um vetor aleato´rio X = (X1, X2, X3, X4) cuja densidade e´ dada por:
fX(x) =
{
k (x1 + x2 + x3 + x4) , se 0 < xi < 1 para i = 1, 2, 3, 4
0 , caso contra´rio.
(a) Encontre k.
(b) Encontre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Marginal da varia´vel X1,isto e´, FX1 .
(c) Encontre a Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o Marginal do vetor (X1, X2), isto e´, FX1,X2 .
Respostas:
1. (a)
(b) (c)
2. (a) {(3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1), (6, 0), (6, 1)}.
(b)
HHHHHW
Z
3 4 6
0 1/10 2/10 1/10
1 2/10 1/10 3/10
(c)
pZ(z) =
 3/10 , se z = 3 ou z = 44/10 , se z = 6
0 , caso contra´rio.
pW (w) =
 4/10 , se w = 06/10 , se w = 1
0 , caso contra´rio.
(d)
FZ(z) =

0 , se z < 3
3/10 , se 3 ≤ z < 4
6/10 , se 4 ≤ z < 6
1 , se z ≥ 6
FW (w) =
 0 , se w < 04/10 , se 0 ≤ w < 1
1 , se w ≥ 1
3. (c) (X,Y ) = {(x, y) ∈ (R)2 | x > 0 e y > 0}.
(d) fX,Y (x, y) =
{
2e−(x+2y) , se x > 0 e y > 0
0 , caso contra´rio.
(e) e (f) X ∼ exp(λ = 1) e Y ∼ exp(λ = 2)
4. (a)
FX,Y (x, y) =

0 , x < 2 ou
y < 1
(y−1)
2
(
1− e−x+2) , x ≥ 2 e
1 ≤ y < 3
1− e−x+2 , x ≥ 2 e
y ≥ 3
(b)
FX(x) =
{
0 , se x < 2
1− exp−x+2 , se x ≥ 2
FY (y) =

0 , se y < 1
y−1
2 , se 1 ≤ y ≤ 3
1 , se y ≥ 3
(c)
fX(x) =
{
e−x+2 , se x ≥ 2
0 , caso contra´rio.
fY (y) =
{
1
2 , se 1 ≤ y ≤ 3
0 , caso contra´rio.
5. (b) fX(x) =
{
1 , se 0 < x < 1
0 , caso contra´rio.
e
fY (y) =
 1− e
−2y , se 0 < y < 1
(e2 − 1)e−2y , se y > 1
0 , caso contra´rio.
(d) P(X + Y > 1) = 3−e
−2
4
6. (a) k = 1/2
(b) FX1(x1) =

0 , se x1 < 0
x21
4 + 3x1 , se 0 ≤ x1 < 1
1 , se x1 ≥ 1
(c)
2 de 3
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FX(x) =

0 , se x1 < 0
ou x2 < 0
x1x2
2
(
x1
2 +
x2
2 + 1
)
, se 0 ≤ x1 < 1
e 0 ≤ x2 < 1
x2
4 (x2 + 3) , se 0 ≤ x1 < 1
e x2 ≥ 1
x1
4 (x1 + 3) , se x1 ≥ 1
e 0 ≤ x2 < 1
1 , se x1 ≥ 1
e x2 ≥ 1
3 de 3