4 - Sistemas Estruturais - Concreto - Projeto de Lajes de Concreto Armado (Parte 2)

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Sistemas Estruturais: Concreto
Aula 4 - Projeto de Lajes de Concreto Armado (Parte 2)
Prof. Maílson Scherer
Mestre em Engenharia Civil – PPGEC/UFRGS
E-mail – mailson.scherer@uniritter.edu.br
Centro Universitário Ritter dos Reis - UniRitter
Curso de Arquitetura e Urbanismo
Disciplina de Sistemas Estruturais: Concreto
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3.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
LONGITUDINAIS
▪ Conforme vimos, as lajes são solicitadas por momentos fletores quando
sobre elas atuam cargas perpendiculares ao seu plano;
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3.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
LONGITUDINAIS
▪ Conforme vimos, as lajes são solicitadas por momentos fletores quando
sobre elas atuam cargas perpendiculares ao seu plano;
▪ O equilíbrio interno da laje requer que existam tensões de tração e
compressão nas seções transversais;
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3.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
LONGITUDINAIS
▪ Conforme vimos, as lajes são solicitadas por momentos fletores quando
sobre elas atuam cargas perpendiculares ao seu plano;
▪ O equilíbrio interno da laje requer que existam tensões de tração e
compressão nas seções transversais;
▪ Como a resistência do concreto à tração é muito baixa, adicionamos
armaduras na região tracionada da peça!
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Imaginemos um pavimento constituído 
por 3 lajes de concreto armado...
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Imaginemos um pavimento constituído 
por 3 lajes de concreto armado...
Considerando que todas essas 
lajes sejam apoiadas em todos 
os bordos, os momentos fletores 
que as solicitam no meio dos vãos 
serão positivos!
Neste caso, a tração no concreto 
ocorre na face inferior da laje, 
requerendo armaduras nessa 
região.
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Imaginemos um pavimento constituído 
por 3 lajes de concreto armado...
Nos bordos comuns às lajes 
adjacentes, devido a 
continuidade do pavimento, 
surgem momentos fletores 
negativos que tracionam a face 
superior das lajes neste região.
Neste, a tração no concreto 
ocorre na face superior da laje.
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3.6.1 CÁLCULO DA ÁREA DE AÇO TRACIONADA
▪ Podemos entender o funcionamento de uma laje de concreto armado por 
intermédio da seguinte figura: 
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d é a altura útil da laje, dada pela distância do 
centro da armadura tracionada até o bordo 
mais comprimido da seção transversal
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▪ Podemos entender o funcionamento de uma laje de concreto armado por 
intermédio da seguinte figura: 
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x é a profundidade da linha neutra. Ou seja, a 
posição em que as tensões passam da 
compressão para a tração
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▪ Podemos entender o funcionamento de uma laje de concreto armado por 
intermédio da seguinte figura: 
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𝛔𝐜𝐝 é a tensão de compressão que 
atua no concreto
3.6.1 CÁLCULO DA ÁREA DE AÇO TRACIONADA
▪ Podemos entender o funcionamento de uma laje de concreto armado por 
intermédio da seguinte figura: 
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𝐑𝐬𝐝 é força de tração que atua na 
barra da armadura
3.6.1 CÁLCULO DA ÁREA DE AÇO TRACIONADA
▪ Podemos entender o funcionamento de uma laje de concreto armado por 
intermédio da seguinte figura: 
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Para determinar a quantidade de aço necessária a uma laje para equilibrar 
um dado momento fletor de projeto (Md), empregamos as seguintes 
equações:
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x =
d
0,8
1 − 1 − 2
Md
bd2σcd
As = 0,8 ∙ bx
σcd
fyd
σcd = 0,85 ∙ fcd
(cm²/m)
A profundidade da linha 
neutra ‘x’ determinar a 
parcela do concreto que 
estará comprimida..
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x =
d
0,8
1 − 1 − 2
Md
bd2σcd
As = 0,8 ∙ bx
σcd
fyd
σcd = 0,85 ∙ fcd
(cm²/m)
A área de aço As 
corresponde à quantidade 
de armadura tracionada 
necessária para garantir o 
equilíbrio da peça.
Para determinar a quantidade de aço necessária a uma laje para equilibrar 
um dado momento fletor de projeto (Md), empregamos as seguintes 
equações:
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Iniciamos o 
dimensionamento pela 
direção de maior momento 
fletor, sendo a altura útil 
dada por:
d1 = h − c −
∅1
2
h - altura da laje
c - cobrimento da armadura 
∅1- diâmetro da barra da primeira camada
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Posteriormente, 
dimensionamos a 
armadura da direção de 
menor momento fletor, 
sendo a altura útil:
d2 = h − c − ∅1 −
∅2
2
h - altura da laje
c - cobrimento da armadura 
∅1- diâmetro da barra da primeira camada
∅2- diâmetro da barra da segunda camada
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Posteriormente, 
dimensionamos a 
armadura da direção de 
menor momento fletor, 
sendo a altura útil:
d2 = h − c − ∅1 −
∅2
2
h - altura da laje
c - cobrimento da armadura 
∅1- diâmetro da barra da primeira camada
∅2- diâmetro da barra da segunda camada
OBSERVAÇÕES:
✓ Como não conhecemos inicialmente o diâmetro 
das barras, podemos atribuir que este será de 
5mm (valores usuais em lajes);
✓ Nas lajes, sempre dimensionamos a armadura 
considerando uma largura b = 100cm. Desta 
forma, a área de aço será expressa em cm²/m.
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3.6.2 ÁREA DE AÇO MÍNIMA
▪ Independente da área de aço determinada no dimensionamento,deve ser 
respeitada uma taxa mínima de armadura nas lajes;
▪ A taxa mínima de armadura
longitudinal é dada em função
do fck do concreto e do fyk do
aço.
As
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As,min = ρminbh (cm²/m)
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3.6.3 ESPECIFICAÇÃO DA ARMADURA
▪ Uma vez determinada a área de aço (respeitando a taxa de armadura
mínima), deve ser escolhido um arranjo de armaduras (diâmetro da barra e
espaçamento) que atenda o dimensionamento;
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Existem tabelas que 
fornecem a área de aço em 
função dos diâmetros e 
espaçamentos usuais
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Áreas de aço, em cm²/m, em função da do diâmetro da barra (mm) e do 
espaçamento s
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3.6.4 LIMITES DE ESPAÇAMENTOS E DIÂMETROS
▪ O arranjo escolhido para a armadura deve respeitar ainda critérios de 
espaçamentos e diâmetros máximos e mínimos.
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3.6.4 LIMITES DE ESPAÇAMENTOS E DIÂMETROS
▪ O arranjo escolhido para a armadura deve respeitar ainda critérios de 
espaçamentos e diâmetros máximos e mínimos.
Espaçamento: 
O espaçamento s deverá atender: smax smin = 8cm.
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3.6.4 LIMITES DE ESPAÇAMENTOS E DIÂMETROS
▪ O arranjo escolhido para a armadura deve respeitar ainda critérios de 
espaçamentos e diâmetros máximos e mínimos.
Espaçamento: 
O espaçamento s deverá atender: smax smin = 8cm.
Diâmetro: 
Para armaduras positivas, recomenda-se um diâmetro mínimo de 5mm. Para 
as armaduras negativas, recomenda-se, no mínimo, 6.3mm. 
O diâmetro máximo é h/8, sendo h a altura da laje.
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3.6.5 ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
▪ Para lajes armadas em uma direção, o dimensionamento é feito para a
direção do menor vão. Na outra direção, é empregada uma armadura
secundária denominada armadura de distribuição;
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3.6.5 ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
▪ Para lajes armadas em uma direção, o dimensionamento é feito para a
direção do menor vão. Na outra direção, é empregada uma armadura
secundária denominada armadura de distribuição;
▪ Esta armadura não é dimensionada, mas deve atender o seguintes critérios:
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3.6.5 ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
▪ Para lajes armadas em uma direção, o dimensionamento é feito para a
direção do menor vão. Na outra direção, é empregada uma armadura
secundária denominada armadura de distribuição;
▪ Esta armadura não é dimensionada, mas deve atender o seguintes critérios:
Área de aço: A área de aço deverá ser o maior valor dentre os seguintes:
As,dist ≥ (0,20As; As,min; 0,90cm²/m), onde As corresponde a área de aço 
dimensionada para o vão crítico (armadura principal).
Espaçamento: O espaçamento da armadura de distrib. deve ser sdist ≤ 33cm. 
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EXERCÍCIO 4.1
Dimensionar a armaduras longitudinais da laje do exercício 3.1. 
Utilizar um concreto fck = 25MPa e um aço com fyk = 50kN/cm². Considerar 
uma Classe de Agressividade Ambiental II.
OBS: Laje armada em uma direção (armadura da direção principal e armadura 
de distribuição).
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EXERCÍCIO 4.2
Dimensionar a armaduras longitudinais da laje do exercício 3.3. 
Utilizar um concreto fck = 30MPa e um aço com fyk = 50kN/cm². Considerar 
uma Classe de Agressividade Ambiental II.
OBS: Laje armada em uma duas (calculam-se as armaduras para as duas 
direções, X e Y).