Notação de funções

Prévia do material em texto

Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Notação de função ............................................................................................................... 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Um Pouco da História ....................................................................................................... 3 
1.3. Aplicação do Conceito ...................................................................................................... 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila da aula Definição de Função, vimos que uma função, pode ser 
definida como a relação entre os elementos de dois conjuntos (A e B), sendo que 
cada elemento do primeiro conjunto (A) é chamado de domínio e cada um deles 
possui apenas uma imagem, que são todos ou alguns elementos do outro conjunto 
(B) que é chamado de contradomínio. 
As funções estão presentes em nosso dia a dia, sendo um dos conceitos de 
maior importância na Matemática. 
Nesta apostila aprenderemos como representar estas funções, através do 
conceito de notação de função. Partiremos da ideia de que toda função é uma 
notação binária de A em B, portanto, toda função é um conjunto de pares 
ordenados. 
Objetivos 
• Compreender como expressar as funções em forma de notação. 
• Aplicar o conceito aprendido através de exemplos e exercícios. 
 
1. Notação de função 
1.1. Conceito 
O conceito de notação de função está ligado a forma como expressamos as 
funções. Partindo da ideia de que toda a função é uma relação binária de A em B, 
tem-se que toda função é um conjunto de pares ordenados. 
Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a 
qual, dado x ∈ A, determina-se y ∈ B tal que {x,y} ∈ f, então : 
f = {(x,y)}⎹ x ∈ A, y ∈ B e y ∈ f(x)}. 
Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de y = f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
DICA 
 
 
 
 
Em nosso dia a dia, a notação de função nos possibilita, por exemplo, calcular 
o valor do salário de um trabalhador em função do desconto do INSS, 
(f(x) = x – 0,11x) bem como o cálculo do tempo gasto por um automóvel para 
percorrer certa distância em uma determinada velocidade g(x) = 80x 
Nestes exemplos citados, temos f(x) = x - 0,11x para o salário a receber pelo 
funcionário, ou seja, x é o seu salário e 0,11x é o percentual de desconto em relação 
ao INSS. E para o tempo gasto pelo veículo para percorrer determinada distância, 
temos g(x) = 80x, o seja, o veículo percorre 80 quilômetros em uma hora e x será a 
quantidade de horas percorridas. 
1.2. Um Pouco da História 
A história das funções vem do tempo dos Gregos até a Idade Moderna, onde a 
teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o 
ponto, a reta e o plano. 
 A partir desta época, surge o Cálculo Infinitesimal começando assim a 
revelação no desenvolvimento da Matemática contemporânea, sendo que a noção 
de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. 
O surgimento da função como conceito individualizado e como objeto de 
estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII. 
Quem primeiro utilizou o termo função foi Leibniz (1646 - 1716) em 1673 no 
manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Em termos 
gerais, Leibniz usou o termo apenas para designar a dependência de uma curva de 
quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. 
Com o avanço do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se 
indispensável introduzir um termo no qual as quantidades dependentes de alguma 
variável por meio de uma expressão analítica, fossem representados e para isso, 
Para indicar uma função f, definida em A com 
imagem em B segundo a lei da correspondência y = f(x), 
pode-se usar as seguintes notações: 
f: A → B A → B 
ou 
 x → f(x) x → f(x) 
 
4 
 
surge a palavra "função", que foi adaptada na correspondência trocada nos anos de 
1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748). 
Até 1716, a "função" não aparecia no mundo matemático como termo 
utilizado. Porém, em 1718, Johann Bernoulli publicou um artigo que foi amplamente 
divulgado sobre a sua definição de função de uma certa variável como uma 
quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes. 
Já em 1748, Euler (1707-1783) dá o seu retoque na definição, substituindo o 
termo quantidade por expressão analítica e foi o próprio Euler quem introduziu a 
notação f(x). 
A expressão analítica vigorou até meados dos séculos XVIII e XIX, pois 
percebeu-se que conduzia a diversas incoerências e limitações, pois uma mesma 
função representa outras várias diversas expressões analíticas diferentes. 
Com esta noção, associaram-se a continuidade e o desenvolvimento em série, 
conhecendo assim ampliações que alteraram sua natureza e significado. 
A evolução no estudo de funções, leva a diversas aplicações da Matemática e 
outras ciências, pois os cientistas buscavam uma função para explicar os resultados 
por eles obtidos e a função era o modelo que explicava a relação entre as variáveis. 
 Nos dias atuais, a função pode parecer simples, mas ela é o resultado da 
evolução que nos levou à uma maior abstração, sendo muito importante no estudo 
de modelos dinâmicos, de probabilidade e de qualquer que seja sua natureza. 
1.3. Aplicação do Conceito 
No item 1.1 adquirimos o embasamento necessário para entender como 
podemos expressar as funções em forma de notação, deixando mais clara sua forma 
de utilização desde cálculos em sala de aula até sua aplicação em nosso dia a dia, 
ressaltando a importância deste conceito. Agora vamos aplicar, por meio de 
exemplos, o conteúdo aprendido. 
EXEMPLO 
 
 
 
f: A → B 
y → 2x 
É uma função que associa a cada x que pertence 
ao conjunto A um elemento y pertencente ao conjunto 
B, tal que y = 2x (uma função que associa a cada x de A 
um elemento y de B). 
 
5 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Formalizando o conceito de função, onde dois conjuntos A e B não são vazios, 
chamaremos de produto cartesiano de A por B, indicando por A X B, ao conjunto em 
que os elementos são pares ordenados (x,y), sendo que x є A e y є B. 
Com esta lei, podemos usar versão gráfica para representar uma função. 
Vamos traçar a função f(x) no gráfico e encontrar f (4). 
 
Gráfico que representa função de primeiro grau 
f: IR → IR 
y → x2 
É umafunção que leva a cada x que pertence ao 
conjunto dos números reais (IR) um elemento y 
pertencente ao conjunto dos números reais (IR), tal que 
y = x2. 
 
f: IR → IR 
y → √𝑥 
É uma função que faz corresponder a cada x que 
pertence ao conjunto A um elemento y pertencente ao 
conjunto B, tal que y = √𝑥. 
 
 
6 
 
No gráfico representado pela figura acima, temos x = y, ou seja, f(x) = x. 
Queremos encontrar f(4) = 4, ou seja, queremos o valor em x, quando y equivale a 
quatro, então traçamos o ponto partindo de x e chegando em y. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Dada uma função f, definida por f(x) = 3x – 2. Calcule: 
a) f(2) 
b) f(-1) 
c) f(1/2) 
d) f(0) 
e) f(3/2) 
 
2. (Autor, 2019) Tendo uma função f de IR em IR na qual definimos por f(x) = 
2𝑥−3
5
. Encontre o domínio, cuja imagem é -3/4. 
 
3. (Autor, 2019) É muito comum, atualmente, enviar encomendas para as 
diversas partes do Brasil e do mundo. Sendo assim, uma transportadora, 
trabalha enviando encomendas e possui sua tabela de preços baseada na 
distância percorrida por seus veículos, cobrando R$20,00 por cada 
quilômetro rodado. De acordo com as distâncias da tabela abaixo, defina 
f(x) e calcule o valor a ser pago para cada situação. 
 
Cidade A até Cidade B 
Cidade B até Cidade C 
Cidade C até Cidade D 
400 km 
500 km 
450 km 
 
Gabarito 
1. Temos a seguinte f(x) = 3x – 2, então vamos calcular: 
 
a) f(2) = 3.2 -2 
f(2) = 6 -2 
f(2) = 4 
 
b) f(-1) = 3.(-1) – 2 
f(-1) = -3 -2 
 
7 
 
f(-1) = -5 
 
c) f(1/2) = 3.(1/2) – 2 
f(1/2) = 3/2 – 2 
f(1/2) = -0,5 
 
d) f(0) = 3.(0) -2 
f(0) = -2 
 
e) f(3/2) = 3. (3/2) -2 
f(3/2) = 4,5 -2 
f(3/2) = 2,5 
 
2. Seja a função f em IR em IR definida por f(x) = 
2𝑥−3
5
. Qual é o elemento do 
domínio que tem -3/4 como imagem? Como queremos determinar o valor 
de x tal que f(x) = 
2𝑥−3
5
, basta resolver a equação 
2𝑥−3
5
 = -
3
4
. 
Temos: 
2𝑥−3
5
 = -
3
4
 
 
4.(2x – 3) = -3 . 5 
8x – 12 = -15 
x = -3/8 
O elemento é x = -3/8. 
 
3. Neste exercício temos o valor do frete em função da quilometragem 
rodada. Assim podemos definir a função como f(x) = 20x, ou seja, x será a 
quantidade de quilômetros percorridos e assim encontraremos o valor do 
frete. 
 
Cidade A até Cidade B 
Cidade B até Cidade C 
Cidade C até Cidade D 
400 km 
500 km 
450 km 
 
f(400) = 20.400 f(500) = 20.500 f(450) = 20.450 
f(400) = R$8.000,00 f(500) = R$10.000,00 f(450) = R$9.000,00 
 
 
8 
 
Resumo 
Nesta apostila aprendemos como representar as funções, através do conceito 
de notação. Aprendemos que toda função é uma notação binária de A em B, 
portanto toda função é um conjunto de pares ordenados. De uma forma geral, existe 
uma sentença aberta y = f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x ∈ A, 
determina-se y ∈ B tal que {x,y} ∈ f, então f = {(x,y)}⎹ x ∈ A, y ∈ B e y ∈ f(x)}.Isto 
significa que, dados os conjunto A e B, a função f tem a lei de y = f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed. São Paulo, Ática, 2005. 
 
MURAKAMI, G. Izzi Carlos. Fundamentos da matemática elementar. 3ª ed. Vol. 1. Atual. São Paulo-SP. 1985. 
 
PAIVA, M. Matemática: volume único.1. ed. São Paulo, Moderna, 1999. 
 
Universidade de Lisboa. Funções: Um pouco de história. Disponível em : 
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm. Acessado em 06/08/2019 às 08h09