Tipos de função

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Matemática 
 
 
 
 
TIPOS DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Tipos de funções ................................................................................................................... 2 
1.1. Função Composta ............................................................................................................ 2 
1.2. Função Inversa.................................................................................................................. 3 
1.3. Função Afim ...................................................................................................................... 4 
1.4. Função Quadrática ........................................................................................................... 5 
1.5. Função Logarítmica .......................................................................................................... 5 
1.6. Função Exponencial ......................................................................................................... 7 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 8 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila da aula Funções Iguais, aprendemos a identificar quando duas 
funções são consideradas iguais, entendemos que existem condições para que 
possamos realizar esta classificação: elas apresentam peculiaridades que as diferem 
das demais funções, como domínio, contradomínio e regra de correspondência 
iguais. 
Nesta apostila iremos conhecer os principais tipos de funções existentes, a 
definição e aplicação de cada função, sendo que serão abordadas seis principais 
funções: a composta, inversa, afim, quadrática, logarítmica e exponencial. 
Objetivos 
• Identificar os principais tipos de funções existentes (composta, inversa, afim, 
quadrática, logarítmica e exponencial). 
• Compreender as diferenças e peculiaridades entre as funções apresentadas. 
 
1. Tipos de funções 
1.1. Função Composta 
Seja f uma função de um conjunto A em B e seja g uma função de B em um 
conjuntos C, chama-se função composta de g e f a função h de A em C, definida por: 
h(x) = g(f(x)), para todo x em A. 
Com a definição acima podemos perceber que esta função tem como 
característica a combinação de duas ou mais variáveis, relacionando o conceito de 
proporcionalidade entre duas grandezas por meio de uma única função. 
Assim, a função h, denomina-se função composta de g com f, e pode ser 
indicada por g o f. 
Vejamos um exemplo, onde dados f: A → B definida por f(x) = x +1 e g: B → C 
definida por g(y) = y2 , determine f(f(x). 
 
(g o f) (x) = g(f(x)) = g(x +1) = (x + 1)2 + 2x + 1 
 
Para que possamos ter uma visualização mais clara, vamos a uma 
representação: 
 
 
3 
 
EXEMPLO 
 
 
 
1.2. Função Inversa 
Para que possamos entender mais claramente a função inversa, vamos 
relacionar o lado de um quadrado e o seu perímetro, pensando em duas funções 
bijetivas: l 
• cada valor da medida do lado associa o perímetro (P = 4l); 
• cada valor do perímetro associa a medida do lado l = 
𝑃 
4 
 . l l 
 l 
 
Representação da função inversa 
 
f : A → B g : B → A 
f(x) = 4x g(x) = 
𝑥 
4 
 
D(f) = {1,2,3,4} D(g) = {4,8,12,16} 
Im(f) = {4,8,12,16} Im(g) = {1,2,3,4} 
 
Assim podemos dizer que D(f)=Im(g), D(g) = Im(f) e f e g são bijetivas. 
Portanto, a função g é a inversa da função f e indicamos a função g inversa da 
função f por f-1. 
f g
1. .4 4. .1
2. .8 8. .2 
3. .12 12. .3 
4. .16 16. .4 
A B B A
f o g (x) = f(g(x)) A B C 
g o f (x) = g(f(x)) 
 
 
f o g ≠ g o f 
x f(x) g(f(x)) 
 
4 
 
f : A → B f-1 : B → A 
f(x) = 4x f-1(x) = 
𝑥 
4 
 
1.3. Função Afim 
A função afim nada mais é do que uma função de 1º grau, definida por uma 
função f: R → R, onde f(x)= ax+b, sendo a e b números reais e a ≠ 0. 
Outro fato, é que toda função do 1º grau y = ax + b em que b = 0, recebe o 
nome particular de função linear e como exemplo temos: y = 2x ; y = x/5 ; y = x, etc. 
Em relação ao gráfico de uma função afim, sempre será uma reta. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Podemos construir o gráfico da função afim y = 3x -6, e como já sabemos é 
uma reta, e então precisamos de dois pontos distintos para determiná-la. Neste 
caso vamos atribuir dois valores reais a x e calcular a imagem y de cada um deles: 
 
 
y
x
0 (0,-6) é um ponto da reta
1 (1,-3) é um ponto da reta
3x - 6
3.0 - 6 = -6
3.1 -6 = -3
a) y = 3x+2 onde: a = 3 e b = 2 
b) y = -8x+3 onde: a = -8 e b = 3 
c) y = 10x+5 onde: a = 10 e b = 5 
Podemos perceber que para b = 0 a função afim y = ax+b 
se transforma em uma função linear, y=ax, logo a 
função linear é uma particular função afim. 
 
 
5 
 
 
Gráfico da função afim y = 3x -6 
1.4. Função Quadrática 
Diferentemente da função afim, a função quadrática é uma função de 2º grau, 
do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c} C R e a ≠ 0. Pela definição temos que uma 
aplicação f de R em R recebe o nome de função quadrática ou de segundo grau, 
quando associa a cada x pertencente aos Reais, o elemento ax2 + bx + c є R sendo 
a≠0. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
1.5. Função Logarítmica 
A função logarítmica pode ser definida pela lei de formação f(x) = loga x, com a 
≠ 1 e a > 0, tendo como base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo 
conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos 
reais. 
De um modo geral, as funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja 
base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de 
base 2 (logaritmos binários) e as de base e (logaritmos naturais). 
 
a) f(x) = x2-3x+2 onde a = 1, b = -3, c = 2 
b) f(x) = 5x2-3x+5 onde a= 5, b = -3, c = 5 
c) f(x) = x2-3x onde a = 1, b = -3, c = 0 
d) f(x) = 125x2 onde a = 125, b = 0, c = 0 
e) f(x) = 28x2-9x+2 onde a = 28, b = -9, c = 2 
f) f(x) = 51x2+2x+2 onde a = 51, b = 2, c = 2 
 
 
6 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Vamos representar o gráfico de uma função logarítmica, tomando como 
exemplo a letra a, onde f(x) = log2x. 
f(x) = log2x 
x y = f(x) 
¼ -2 
½ -1 
1 0 
2 1 
4 2 
 
 
 
Gráfico da função logarítmica f(x)=log2 x 
a) f(x) = log2x , onde base = 2 
b) f(x) = log58x , onde base = 58 
c) f(x) = log28x , onde base = 28 
d) f(x) = log1/2x , onde base = ½ 
e) f(x) = log8/2x , onde base =8/2 
f) f(x) = log87x , onde base = 87 
 
 
 
 
 
7 
 
1.6. Função Exponencial 
Esta função é definida como aquela em que a variável, está no expoente e 
cuja base sempre é maior que zero e diferente de um. Estas restrições existem, pois 
um número elevado a zero sempre irá resultar em um, então isso levaria a uma 
função constante. 
Outro detalhe, é que a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para 
alguns expoentes a função não estaria definida. 
Se tivesse uma função exponencial com base igual a -10 e o expoente igual a 
½, como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número 
negativo, não existiria imagem da função para esse valor. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
No gráfico abaixo de uma função exponencial, temos os pontos (0,1), pois 
como já falamos todo número elevado a zero é igual a 1 e a curva exponencial não 
toca o eixo das abscissas (eixo x). 
 
Gráfico da função exponencial 
a) f(x) = (4)x 
b) f(x) = (8,5)x 
c) f(x) = (4,2)x 
d) f(x) = (5)x 
Nestes exemplos acima 4; 8,5; 4,2 e 5 são as 
bases, enquanto x é o expoente. 
 
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Exercícios 
1. (Autor, 2019) Para que possamos reforçar nosso aprendizado, escreva a 
representação de cada tipo de função estudada. 
 
2. (Dante, 2005) Sejam f(x) = x2 - 1 e g(x) = x +2. Determine a função (f o g)(x) e 
(g o f)(x). 
 
3. (Autor, 2019) Dada a função quadrática f(x) = mx2 + (2m -1)x + (m-2), 
determine o valor de m para que a função quadrática tenha dois zeros 
reais e distintos. 
Gabarito 
1. Função composta: h(x) = g(f(x)) 
Função afim: f(x) = ax+b 
Função quadrática: f(x) = ax2+bx+c 
Função logarítmica: f(x) = logax 
Função inversa: f(x) = f(x)-1 
Função exponencial: f(x) = 2x 
 
2. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x +2) = (x +2)2 -1 = x2 + 4x + 4 -1 = x2 + 4x + 3 
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x2 – 1) = (x2 – 1) + 2 = x2 – 1 + 2 = x2 +1 
 
Na função f(x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2), temos que: 
a =m 
b = 2m -1 
c = m-2 
∆ = 4m +1 
 
 
3. Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos, 
podemos afirmar que: 
 
9 
 
a = m ≠ 0 e ∆ = 4m +1 ≻ 0 
ou seja, 
m ≠ 0 e m≻ - ¼ 
Resumo 
Aprendemos que as funções são divididas em vários tipos, porém abordamos 
os principais tipos de funções existentes e como são representadas. 
A função composta tem como característica a combinação de duas ou mais 
variáveis, relaciona o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas por meio 
de uma única função e é definida por: h(x) = g(f(x)). 
A função inversa é indicada pelo símbolo f-1 e pode ser definida como o 
objetivo de criar funções a partir de outras. Uma função inversa precisa ser bijetora 
(relaciona elementos de duas funções, os elementos de uma função A possuem 
correspondentes na função B). 
A função afim nada mais é do que uma função de 1º grau, é uma função, 
definida como f(x)= ax+b, sendo a e b números reais. 
A função quadrática nada mais é do que a nossa função de 2º grau, a 
definição diz que uma aplicação f de R em R recebe o nome de função quadrática ou 
de segundo grau quando associa a cada x є R o elemento (ax2+bx+c) є R, onde a≠0. 
Já a função logarítmica pode ser definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 
e a >0, tendo como base a. Ela é definida como aquela em que a variável está no 
expoente e cuja base sempre é maior que zero e diferente de um, pois um número 
elevado a zero sempre será igual a um, então isso levaria a uma função constante, e 
a base não pode ser negativa pois para alguns expoentes a função não estaria 
definida. 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005 
 
MURAKAMI, G. Izzi Carlos. Fundamentos da matemática elementar . 3ª ed. Vol. 1. Atual. São Paulo-SP. 1985. 
 
PAIVA, M. Matemática: volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999