Propriedades e condições de conjuntos

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Matemática 
 
 
 
 
PROPRIEDADES E CONDIÇÕES DE CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Propriedades e Condições dos Conjuntos ........................................................................... 2 
1.1. Propriedades dos Conjuntos ............................................................................................ 2 
1.2. Condições dos Conjuntos................................................................................................. 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Proposição e Conceitos de Conjuntos, vimos que a Proposição 
está dentro de um conceito de lógica e é definida como a classificação de uma 
sentença em verdadeira ou falsa, sendo que também aprendemos sobre suas 
características obrigatórias. 
Outro conteúdo estudado foi Conjunto, que é a reunião de elementos de 
acordo com uma definição primitiva que permite relacionar a outras situações. 
Na apostila de hoje vamos entender sobre as diversas propriedades e 
condições dos conjuntos. Iniciaremos conhecendo as propriedades que regem os 
conjuntos, sendo um total de 10 propriedades. Também conheceremos as condições 
dos conjuntos que estão relacionadas à forma de representação deles. 
Objetivos 
• Conhecer as propriedades dos conjuntos, bem como suas definições; 
• Compreender sobre as condições de conjuntos. 
 
1. Propriedades e Condições dos Conjuntos 
1.1. Propriedades dos Conjuntos 
As propriedades dos conjuntos são um total de dez, são elas: 
a) Fechamento: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B 
(A ⋃ B) e a interseção de A e B (A ⋂ B) ainda são conjuntos no universo. 
b) Reflexiva: qualquer quer seja o conjunto A, tem-se que: A ⋃ A = A e A 
⋂ A = A. 
c) Inclusão: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⊂ A 
⋃ B, B ⊂ A ⋃ B, A ⋂B⊂ A,A ⋂B⊂ B. 
d) Inclusão relacionada: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se 
que: A ⊂ B equivale a A ⋃ B = B / A ⊂ B equivale a A ⋂ B = A. 
e) Associativa: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A 
⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C / A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C. 
f) Comutativa: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: 
A⋃B = B⋃ A / A ⋂ B = B ⋂ A. 
g) Elemento neutro para a união: o conjunto vazio é o elemento neutro 
para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A ⋃ ⍉ = A. 
 
3 
 
h) Elemento nulo para a interseção: a interseção do conjunto vazio ⍉ 
com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio (A ⋂ ⍉ = ⍉). 
i) Elemento neutro para a interseção: o conjunto universo (U) é o 
elemento neutro para a interseção e conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A ⋂ U = A 
j) Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B)⋃ (A ⋂ C) / A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B)⋂ (A⋃ C) 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
 
 
John Venn, filósofo e matemático britânico, foi o criador do diagrama de 
Venn, sendo que as representações geométricas criadas anteriormente por Leibniz, 
George Boole e Augustus De Morgam, não eram muito simples e claras de modo que 
pudessem ser consideradas como padrão. 
Diante deste fato, Venn começa a analisar e corrigir os trabalhos desses 
matemáticos e cria seu próprio diagrama. 
Muitos especialistas em estatística, utilizam os digramas de Venn para auxiliar 
na determinação da probabilidade de determinado fato ocorrer, sendo que em 
diferentes conjuntos de informações podem ser comparados para encontrar 
semelhanças e distinções entre eles. Outros campos como lógica, a linguística, a 
educação, a gestão também utilizam diagramas de Venn para o desenvolvimento de 
suas atividades. 
Diagrama de Venn 
Este diagrama foi criado baseado em figuras no 
plano, somente com estudos relacionados à lógica. O 
método consiste basicamente em círculos que 
possuem propriedades de representar relações entre 
conjuntos numéricos. O objetivo da criação foi com o 
intuito de determinar uniões e intersecções facilitando 
a organização e interpretação dos dados pesquisados, 
em especial na Estatística. 
 
 
 
4 
 
 
Diagrama de Venn para Candidato Ideal 
EXEMPLO 
 
 
 
1.2. Condições dos Conjuntos 
As condições dos conjuntos regem a forma como os mesmos devem ser 
representados, para entender esta definição nada melhor e mais apropriado do que 
bons exemplos. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
A ⋃ (A ⋂ B) = A 
 A B ⋃ = união 
 ⋂ = interseção 
 A interseção de A em B e a união é 
 o próprio A. 
 
 
Condição 1: o conjunto dos números pares 
maiores que zero e menores que quinze. Representação 
através dos elementos: A = {2,4,6,8,10,12,14}. 
Representação pelas propriedades dos elementos: A= {x 
/ x é par e 0 ≺ x ≺ 15}, x tal que (/) x é par e x maior que 
zero e x menor que 15. 
 
 
5 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Outra forma de representar os conjuntos de elementos, respeitando as 
condições, é pela utilização de diagramas. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição 2: o conjunto dos números Naturais 
ímpares menores que vinte. Representação através dos 
elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}. 
Representação pelas propriedades dos elementos: A= {x 
∈ N / x é ímpar e x ≺ 20}, x pertence (∈) aos naturais, tal 
que x é ímpar menor que 20. 
 
A = {x | 2 ≺ x ≤ 12} e B = {x | 4 ≺ x ≺ 8} 
 
 A B 
 
 3 4 5 6 7 8 5 
 6 
 9 10 11 12 7 
 
6 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os conjuntos servem de uma forma geral para representar qualquer situação 
envolvendo a matemática ou as demais situações diárias envolvendo ou não 
elementos. Como já vimos, podem representar os dias da semana ou nomes de 
planetas, meses do ano, números, entre outros. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Dados os conjuntos A={3,4,5,6}, B={6,7,9} e C={6,7,8,9}, faça 
(A ∩ B) U C. 
 
2. (Autor, 2019) Tendo os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, 
determinar (C ⋃ B) ⋂ A. 
 
3. (Autor, 2019) Observe o digrama e marque a alternativa correta. 
 
 
 
A ⋃ B, União do conjunto A = {x | 2 ≺ x ≤ 12} com 
o conjunto B = {x | 4 ≺ x ≺ 8} 
A U B 
 
 3 4 5 
 
 6 7 8 9 10 
 
 11 
 
 12 
 
7 
 
 
a) A U B = {0,1,2,3,4,5} 
b) A U C = {0,1,3,5,6,7} 
c) (A ⋂ B) ⋂ C = {2,3} 
d) (A U C) ⋂ B = {2,3,5} 
 
Gabarito 
1. Nesta questão temos A={3,4,5,6}, B={6,7,9} e C={6,7,8,9} e fazendo a 
interseção de A com B temos {6}e fazendo em seguida a união com C 
teremos {6,7,8,9} que neste caso é o próprio conjunto C. 
Resposta: (A ∩ B) U C = {6,7,8,9} 
 
2. Temos os dados dos conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4} e 
queremos determinar (C ⋃ B) ⋂ A. Fazendo C U B temos {1,2,3,4} e em 
seguida a interseção com A teremos {1,2,3}. 
Resposta: (C ⋃ B) ⋂ A = {1,2,3} 
 
3. Para melhor entendimento e observando cada conjunto temos: 
A={0,1,2,3,4}, B={2,3,5,6,7} e C={2,4,5,8,9}. Resolvendo cada resposta 
vamos obter: 
a) A U B = {0,1,2,34,5,6,7} portanto não é a resposta correta. 
b) A U C = {0,1,2,3,4,5,8,9} portanto não é a resposta correta. 
c) (A ⋂ B) ⋂ C = (A ⋂ B)={2,3} e fazendo interseção com C temos {2} 
portanto não é a resposta correta. 
d) (A U C) ⋂ B =(A U C)= {0,1,2,3,4,5,8,9} e fazendo interseção com B 
temos {2,3,5}, sendo assim é a resposta correta. 
B
●6
●7
A ●3
●1 ●2 ●5
●0
●4
●8
●9
C
 
8 
 
Resumo 
Na aula de hoje aprendemos conceitos preciosos relacionados as 
propriedades e condições de conjuntos. São dez propriedades que regem os 
conjuntos matemáticos. 
 
Propriedades O que diz 
Fechamento 
Sejam os conjuntos A e B, a união de A e B (A ⋃ B) e a interseção de A 
e B (A ⋂ B) ainda são conjuntos no universo 
Reflexiva Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A ⋃ A = A e A ⋂ A = A. 
Inclusão 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⊂ A ⋃ B, B ⊂ 
A ⋃ B, A ⋂B⊂ A,A ⋂B⊂ B 
Inclusão 
relacionada 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⊂ B equivale 
a A ⋃ B = B / A ⊂ B equivale a A ⋂ B = A. 
Associativa 
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A ⋃ (B ⋃ C) = 
(A ⋃ B) ⋃ C / A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C. 
Comutativa 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A ⋃B = B⋃ A / 
A ⋂ B = B ⋂ A. 
Elemento 
neutro para a 
união 
O conjunto vazio é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal 
que para todo conjunto A, se tem: A ⋃ ⍉ = A. 
Elemento nulo 
para 
interseção 
A interseção do conjunto vazio ⍉ com qualquer outro conjunto A, 
fornece o próprio conjunto vazio (A ⋂ ⍉ = ⍉). 
Elemento 
neutro para a 
interseção 
O conjunto universo (U) é o elemento neutro para a interseção e 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A ⋂ U = A 
Distributiva 
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A ⋂ (B ⋃ C) 
= (A ⋂ B)⋃ (A ⋂ C) / A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B)⋂ (A⋃ C) 
Autor, 2019 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único. 1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
Guia Estudo. Diagrama de Venn. Disponível em: www.guiaestudo.com.br/diagrama-de-venn. Acessado em 
06/08/2019 às 10h24 
MURAKAMI, G. Izzi Carlos. Fundamentos da matemática elementar. 3ª ed. Vol. 1. Atual. São Paulo-SP. 1985. 
PAIVA, M. Matemática: volume único. 1ª.ed.São Paulo, Moderna, 1999 
SILVA, M.N.P. Definição de Conjunto. Disponível em: www.brasilescola.uol.com.br/matematica/definicao-
conjunto.htm – Acessado em 02/08/2019 às 10h41.