Conjuntos Numéricos

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CTPM-AM 
1 Semestre de 2021 
Professor: Ana Beatriz 
E-mail: ​prof.anabia.mat@gmail.com  
1º ANO 
MATEMÁTICA 
___ 
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Introdução: Matemática 1* ano {Módulo 1}.  
● Conjuntos: 
● https://youtu.be/0aUEDxYjZg8​ ( Ferretto Matemática) 
● https://youtu.be/ZZmPGJ6IRyU​ (Descomplica)  
● Noção de conjunto e conceitos fundamentais.  
○ https://youtu.be/fSJAzKaB8mc​ (Prof. Rafael Procopio) 
● Operações com conjuntos. 
○ https://youtu.be/nmfjES8HmC4​ (Prof. Rafael Procopio) 
● Conjuntos Numéricos. 
○ https://youtu.be/Y_mYgLkuEl4​ (Ferretto Matemática) 
○ Intervalos. 
1 
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https://youtu.be/ZZmPGJ6IRyU
https://youtu.be/fSJAzKaB8mc
https://youtu.be/nmfjES8HmC4
https://youtu.be/Y_mYgLkuEl4
 
○ https://youtu.be/OPACJhL_mLY​ (Ferretto Matemático) 
 
●Conjuntos 
● A compreensão de ​conjuntos é a principal base para o estudo da ​álgebra e de                             
conceitos de grande importância na Matemática, como ​funções e inequações. A                     
notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso                       
alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B). 
● Em se tratando da ​representação dos conjuntos, ​ela pode ser feita pelo                       
diagrama de Venn ​, pela simples descrição das características dos seus                   
elementos, pela enumeração dos ​elementos ou pela descrição das suas                   
propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem ​conjuntos, ​existem                 
situações que exigem a realização de ​operações entre os conjuntos​, sendo elas                       
a união, a intersecção e a diferença. 
○ Notação e representação de conjuntos 
Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma ​letra maiúscula do                     
alfabeto ​, e os elementos estão sempre entre ​chaves e são separados por vírgula. Para                           
representar o conjunto dos números pares maiores que 1 e menores que 20, por                           
exemplo, usamos a seguinte notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}. 
● Formas de representação dos conjuntos 
1. Representação por enumeração:​ podemos enumerar seus elementos, ou 
seja, fazer uma lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo: 
A = {1,5,9,12,14,20} 
2. Descrevendo as características: ​ podemos simplesmente descrever a 
característica do conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X 
= {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do 
ano. 
2 
https://youtu.be/OPACJhL_mLY
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
 
3. Diagrama de Venn:​ ​os conjuntos também podem ser representados na 
forma de um diagrama, conhecido como ​diagrama de Venn​, que é uma 
representação mais eficiente para a realização das operações. 
● Exemplo: 
● Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a                         
seguir: 
●  
 
● Elementos de um conjunto e relação de pertinência 
○ Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento ​pertence ao                     
conjunto ou ​não pertence ​a esse conjunto. Para representar essa relação                     
de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os símbolos ​ ​ (lê-se                     
pertence) e ∉ (lê-se não pertence). Por exemplo, seja P o conjunto dos                         
números pares ​, podemos dizer que o 7 ∉ P e que 12 P. 
● Igualdade de conjuntos 
○ É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos                   
afirmar que dois conjuntos são iguais ou não, verificando cada um                     
dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que                             
os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os                   
conjuntos A e B são iguais: A = B. 
● Relação de inclusão 
○ Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas                 
relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação,                       
precisamos conhecer alguns símbolos: 
○ ⊃ → ​contém ⊂ ​→​ está contido 
3 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
 
○ ⊅ → ​não contém ⊄ ​→​ não está contido 
○ Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará                 
virado para o conjunto maior. 
○ Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um                       
conjunto B, dizemos que A⊂ B ou que A está sível também contido em B.                               
Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É por fazer a representação pelo                       
diagrama de Venn ​,​ que ficaria assim: 
● A está contido em B: 
●  
○ A ⊂ B 
● Subconjuntos 
○ Quando acontece uma ​relação de inclusão​, ou seja, o conjunto A está                       
contido no conjunto B, podemos dizer que A é subconjunto de B. O                         
subconjunto continua sendo um conjunto, e um ​conjunto pode ter                   
vários subconjuntos​, construídos a partir dos elementos pertencentes a                 
ele. 
○ Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B:                   
{1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou                         
seja, A é subconjunto dele mesmo. 
● Conjunto unitário 
○ Como o nome já sugere, é aquele conjunto que ​possui somente um                       
elemento​, como o conjunto D: {1} mostrado anteriormente. Dado o                   
conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos                         
conjuntos unitários. 
○ ATENÇÃO ​: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele                       
possui um único elemento, o “0”, não se tratando de um conjunto vazio. 
● Conjunto vazio 
4 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
 
○ Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum                       
elemento e é subconjunto de qualquer conjunto. Para representar o                   
conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o                         
símbolo Ø. 
● Conjuntos das partes 
○ Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis                 
de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os                     
subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que                 
possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois,                     
três e quatro elementos, respectivamente. 
○ Conjunto vazio​: ​{ }; 
○ Conjuntos unitários ​: ​{1}; {2};{3}; {4}. 
○ Conjuntos com dois elementos ​: ​{1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}. 
○ Conjuntos com três elementos ​: ​{1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}. 
○ Conjunto com quatro elementos​:​ {1,2,3,4}. 
● Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma: 
○ P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4},{1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} } 
○ Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto,                         
usamos a fórmula: 
○ n[ P(A)] = 2​n 
○ O número de partes de A é calculado por uma ​potência de base 2 elevada a ​n​, em que ​n é a quantidade de                                               
elementos do conjunto. 
○ Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis desse conjunto é                                 
2 ​4​ =16. 
● Conjunto finito e infinito 
○ Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados                             
(infinitos). O conjunto dos ​números pares ou ímpares​, por exemplo, é infinito e, para representá-lo, descrevemos                               
alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os próximos elementos, e                                   
colocamos reticências no final. 
5 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-potenciacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-pares-impares.htm
 
○ I: {1,3,5,7,9,11...} 
○ P: {2,4,6,8,10, ...} 
○ Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final                                 
definidos ​. 
○ A: {1,2,3,4}. 
● Conjunto universo 
● O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos que                                 
devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo                             
conjunto está contido no conjunto universo. 
● Operações com conjuntos 
As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença. 
● Intersecção de conjuntos 
●  
○ Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais                       
conjuntos. Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto                         
A quanto ao conjunto B. 
6 
 
○ Exemplo: 
○ Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A                             
quanto ao conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte                               
forma: 
●  
● Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, são conhecidos como ​conjuntos                         
disjuntos. 
●  
○ Representação de conjuntos disjuntos 
○ A∩B = Ø 
● Diferença entre conjuntos 
●  
7 
 
○ Calcular a ​diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos que pertencem a somente um                             
dos dois conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um conjunto composto por elementos                               
que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
● Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que: 
○ a) A – B = { 1,3,5 } 
○ b) B – A = { 7,8 } 
● União 
○ A união de dois ou mais conjuntos é a ​junção dos seus termos ​. Caso haja elementos que se                                   
repitam nos dois conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e                           
B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B). 
● A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14} 
● Leis de Morgan 
● Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo, existem duas propriedades que são dadas pelas                                     
Leis de Morgan, sendo elas: 
● (A U B) ​c ​= A ​c ​∩ B ​c 
● (A ∩ B) ​c ​= A​c ​U B ​c 
Exemplo: 
Dados os conjuntos: 
● U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} 
● A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} 
● B: {5,10,15,20} 
● Vamos verificar que (A U B) ​c ​= A ​c ​∩ B ​c​ . Assim, temos que: 
○ A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20} 
■ Logo, (A U B) ​c​={1,3,7,9,11,13,17,19} 
8 
 
■ Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar a operação​ A ​c ​∩ B ​c​: 
■ A ​c​:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} 
■ B ​c​:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19} 
■ Então, ​A ​c ​∩ B ​c​ ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}. 
■ (A U B)​c ​= A ​c ​∩ B ​c 
● Intervalo 
● Em matemática, podemos representar ​conjuntos​, subconjuntos e soluções de equações pela notação de ​intervalo​.                           
Intervalo significa que o conjunto possui cada número real entre dois extremos indicados, seja numericamente ou                               
geometricamente. Não é possível representar subconjuntos ou conjuntos que não sejam ​reais (ou contidos nos                             
reais) pela notação de intervalo. 
● Vamos, por exemplo, dizer que o conjunto A é um subconjunto dos ​números naturais​ e que será representado por: 
○ A={x∈N:1<x<2} 
● Note que qualquer elemento de A pertence ao conjunto dos naturais, porém é um absurdo dizer que nos naturais                                     
existem números entre 1 e 2, ou seja, em ℕ não existe o número ​1,5 , por exemplo. Então, neste caso, dizemos que o                                               
conjunto A é vazio. E será representado por: 
○ A=∅ 
● Logo, não é correto dizer que A = ]1,2[. A não é um subconjunto dos números reais, então nem todos os números                                           
possíveis estão no intervalo quaisquer números naturais, ou ​inteiros​ ou ​racionais​. 
● Mas, se A fosse um subconjunto dos reais, poderíamos dizer que: 
○ A={x∈R:1<x<2}=]1,2[ 
● O que geometricamente representamos: 
●  
9 
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
 
●
Notações 
● 1. Dizemos que um intervalo é ​aberto​ ​quando seus extremos não estão incluídos. Exemplo: 
○ ]a,b[={x∈R:a<x<b} 
● Geometricamente representamos por uma bolinha branca indicando o elemento não incluído: 
● 
● O intervalo também é aberto quando indicamos apenas um dos extremos e o outro pode ser uma infinidade de                                     
elementos à direita (+∞) ou à esquerda (−∞). Ou seja: 
○ ]a,+∞[={x∈R:x>a} 
● 
○ ]−∞,a[={x∈R:x<a} 
● 
● Toda ocasião em que um extremo for uma infinidade de elementos, este sempre será um extremo aberto. 
● 2. Um intervalo ​fechado​ ​é aquele em que seus extremos são incluídos: 
○ [a,b]={x∈R:a≤x≤b} 
● Na reta, o elemento incluído será uma bolinha preta: 
● 
● ​3. Dizemos que um intervalo é ​semiaberto​ ​ou ​semifechado​ ​quando um de seus extremos são incluídos, ou seja: 
○ [a,b[={x∈R:a≤x<b} 
● 
○ ]a,b]={x∈R:a<x≤b} 
● 
● E também com extremos ao infinito: 
○ [a,+∞[={x∈R:x≥a} 
10 
 
● 
○ ]−∞,a]={x∈R:x≤a} 
● 
● Podemos também assumir que, se um intervalo é um subconjunto dos números reais, é possível realizar algumas                                 
operações entre intervalos, tais como união e interseção de intervalos. Supondo que tenhamos dois intervalos: [a, b]                                 
e [c, d] e que ​d > c > b > a​. 
● A união dos intervalos será dada por: 
○ [a,b]∪[c,d]={x∈R:a≤x≤b​ ou ​c≤x≤d} 
● E geometricamente representamos: 
● 
● E a sua interseção é vazia, pois não existem elementos comuns em ambos os intervalos: 
○ [a,b]∩[c,d]=∅ 
● Vamos tomar um exemplo com valores. Supondo os intervalos [1,5] e [2,7]. A sua união será: 
○ [1,5]∪[2,7]=[1,7]={x∈R:1≤x≤7} 
● Se representarmos na reta, vemos que seus elementos estão ligados linearmente: 
●  
● Então a sua união será a “soma” de todos os elementos de seus intervalos, resultando em um intervalo único de 1 a                                           
7. Porém, a sua interseção será dada por: 
○ [1,5]∩[2,7]=[2,5]={x∈R:2≤x≤5} 
● Geometricamente vemos que existe um intervalo entre eles que é composto peloselementos que são                             
comuns em ambos, no caso, o intervalo [2,5], veja: 
●  
● Concluindo: ​Intervalos serão sempre subconjuntos dos números reais, o que nos garante a validade de                             
todas as propriedades e operações da ​teoria dos conjuntos​. A representação geométrica de um intervalo é                               
11 
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/
 
muito importante pois podemos observar o comportamento dos intervalos, facilitando a sua classificação e                           
as suas possíveis operações. 
 
 
 
 
 
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