roteiro 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO - UFERSA 
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS – CMPF 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS - DECEN 
 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ONDAS E TERMODINÂMICA 
PROFESSORA: THATYARA FREIRE DE SOUZA 
 
 
ROTEIRO 03: MOVIMENTO PERIÓDICO – SISTEMA MASSA-MOLA 
 
 
Introdução: 
Investigar o movimento de uma massa presa a uma mola, medir a constante elástica de uma mola 
usando os métodos estático e dinâmico, e obter uma relação da constante de mola equivalente de n molas 
com distensões iguais em paralelo. Verificar que o comportamento estático de uma mola, para pequenas 
deformações, é corretamente descrito pela Lei de Hooke, e que o período de oscilação de um sistema 
massa-mola é independente da amplitude, para pequenas oscilações. 
Medir grandezas físicas diretas e, a partir de gráficos, determinar outras grandezas. Analisar o 
comportamento estático e dinâmico de um sistema massa-mola suspenso. 
Analisar a eficácia de simulação de um sistema massa-mola como uma ferramenta para o 
aprendizado dos conteúdos que envolvem a força elástica. 
 
Fundamentação Teórica: 
Seja um sistema em situação de equilíbrio estável. Quando esse sistema é levemente afastado dessa 
situação e liberado, passa a executar um movimento periódico ou oscilatório, em torno da posição de 
equilíbrio, chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS), se não existirem forças dissipativas. O 
oscilador massa-mola é constituído de um corpo de massa m ligado a uma mola (presa a uma superfície) de 
constante elástica k. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo passa a executar um 
movimento unidimensional de vai-e-vem, dirigido pela força restauradora exercida pela mola. 
Um dos comportamentos oscilatórios mais simples de se entender 
é o movimento harmônico simples. Muitos comportamentos oscilatórios 
surgem a partir da existência de forças restauradoras que tendem a trazer 
ou manter sistemas em certos estados ou posições, sendo essas forças 
restauradoras basicamente do tipo forças elásticas, que obedecem à lei de 
Hooke. Esta lei é uma relação linear como mostrado abaixo: 
𝐹𝑅 = −𝑘 ∙ 𝑥 
onde k é a constante elástica da mola e x é o deslocamento sofrido que é o mesmo valor da distensão que a 
mola sofre. A força restauradora da mola (força conservativa) é negativa, ou seja, a mola “puxa”(retorna) a 
massa para a posição de equilíbrio. Apesar de ser uma força negativa, ela não é uma força dissipativa. Ou 
seja, o sinal negativo indica que a força é sempre contrária à deformação, isto é: se x > 0 , então, F < 0; e se 
x < 0 , então, F > 0. Daí, portanto, o nome de força restauradora, aquela que age no sentido de restaurar o 
estado de equilíbrio estável original. A equação é válida apenas para pequenas deformações da mola (Lei de 
Hooke), pois as molas reais são não lineares, isto é, a expressão da força Fkn=knx
α contém termos de 
deslocamento com potencia diferente de um (α≠1), e somente nas situações de pequenos deslocamentos a 
lei de Hooke é válida. 
O sistema massa-mola consegue descrever, de forma simples, diversas 
situações de oscilações do nosso dia a dia. Neste sistema uma das 
extremidades da mola é fixa, e a outra é presa a uma massa como mostrado na 
figura. O caso mais simples de ser analisado é desconsiderar o atrito existente 
entre a massa e a superfície. 
A situação que será analisada nesta prática é uma massa m presa a 
uma mola presa na vertical. A força peso faz com que a mola aumente seu 
comprimento δ em relação ao seu tamanho original l0, como pode ser visto na 
figura. 
 
 Na situação estática, ou seja, a massa estiver parada, a força resultante será nula, e neste caso a força 
da mola é igual ao peso do corpo. Assim, 𝑘 ∙ 𝛿 = 𝑚 ∙ 𝑔, onde δ é a elongação (ou ∆x), m é a massa e g é a 
aceleração da gravidade. Através da se obtém a constante da mola conhecendo: a sua elongação 
(distensão), a massa que provocou a distensão e a aceleração da gravidade no local. 
 
Na situação dinâmica de um sistema massa-mola na horizontal, usando a lei de Newton a força 
resultante (produto da massa e aceleração) é igual à força restauradora da mola, como mostrado abaixo: 
−𝑘 ∙ 𝑥 = 𝑚 ∙ �̈�  𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = 0 𝑜𝑢 �̈� = −
𝑘
𝑚
𝑥 cuja solução é 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑚cos (𝑤𝑡 + ∅) 
onde x(t) é a posição de m em função do tempo, Am é a amplitude máxima, ω é a frequência angular e t é o 
tempo. A equação diferencial do segundo grau deste sistema é a equação do movimento. A função horária 
da posição, a expressão x(t), necessita de duas condições iniciais, por exemplo, x(t1) e x(t2), v(t1) e v(t2), 
x(t0) e v(t0), para determinar as duas incógnitas Am e φ. As condições iniciais usadas na grande maioria 
dos problemas são x(t0) e v(t0). 
É desta análise que surgem algumas equações: 
EQUAÇÕES IMPORTANTES 
Frequência angular 
(𝜔) 
Período (𝑇) Energia cinética 
(𝐾) 
Energia potencial 
(𝑈) 
Energia mecânica (𝐸) 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
𝑇 =
1
𝑓
=
2𝜋
𝜔
= 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 𝐸 =
1
2
𝑘𝐴𝑚
2 
 
Algumas observações importantes em relação ao sistema massa-mola. 
 O sistema oscila em torno da posição de equilíbrio (x=0) no qual a massa oscila entre - Amax e Amax. 
 A unidade da frequência angular ω é rad/s. A frequência f é Hz. 
 A unidade na função cosseno é rad. Se a frequência angular estiver em rad/s, o tempo tem que 
está em s. 
 Período é o tempo realizado para completar um ciclo, geralmente em s. Por exemplo, iniciando a 
marcação do tempo em Amax, a massa passa em x=0, x=- Amax, novamente em x=0 e voltando a 
Amax. 
 A energia mecânica, a soma da energia cinética e potencial, se conserva. 
 Nas extremidades (-Am e Am) a energia potencial elástica é máxima e energia cinética é nula (v=0) 
 Na posição de equilíbrio (x=0) o módulo da velocidade é máximo, ou seja, a energia cinética é 
máxima, e a energia potencial elástica é nula (distensão da mola é zero). 
 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
MATERIAL UTILIZADO 
 3 discos de massa m = 50 g; 
 Régua; 
 Gancho para prender discos; 
 Cronômetro; 
 3 Molas helicoidais; 
 Tripé para sustentação. 
 
 
Medindo a constante da mola pelo método estático 
- Suspenda a mola no suporte e marque seu comprimento inicial. 
- Prenda à extremidade livre da mola o suporte de massas. 
- No equilíbrio meça o novo comprimento da mola e anote sua deformação. 
- Sobre o suporte de massas coloque as massas indicadas e meça as correspondentes deformações da mola, 
anotando-as até completar essa Tabela. 
 
Coloque o gancho na(s) mola(s) e meça o ponto de relaxação da mola x0. Adicione um disco de cada 
vez no gancho, medindo a variação do deslocamento sofrido pela mola em relação ao ponto de relaxação 
x0. Preencha a Tabela para uma, duas e três molas. Sabendo que, δ é variação de posição em relação à x0, 
m é a massa acoplada na mola, a constante elástica da mola k é a razão entre o peso dos discos e a variação 
de posição, ou seja, k = mg/δ com unidade N/m (Newton por metro). Cuidado com as unidades quando 
fizer as anotações na tabela!!! 
Tabela 3.1 
# 1 mola 2 molas 3 molas 
𝑥0(𝑚) = 
𝑃(𝑁) 
Δ𝑥(𝑚) 
𝑘(𝑁/𝑚) 
�̅�(𝑁/𝑚) 
 
 
- As molas possuem aproximadamente o mesmo valor de k. A partir dos resultados de �̅� da tabela, 
encontre uma relação matemática para “n” molas. 
R. ___________________________________________________________________________________ 
Usando uma massa de 100 g e uma mola, distenda-a 1,0 cm e relação a x0 e libere o sistema. O que 
se observa em relação à amplitude Am à medida que o tempo passa? Cite causasque possam ter 
contribuído para isto. 
R. __________________________________________________________________________________ 
Medindo a constante da mola pelo método dinâmico 
- Para realizar as medidas indicadas, comece prendendo à mola o suporte de massas acrescido de uma 
massa de 50 g. Puxe levemente o suporte de massas para baixo da posição de equilíbrio do sistema massa-
mola (algo em torno de 1,0 cm) e solte-o, no mesmo instante em que ativa o cronômetro. Aguarde o 
sistema executar 5 (cinco) (e depois repita para 10 (dez)) oscilações completas e, então, trave o 
cronômetro. Anote o tempo decorrido. 
- Sobre o suporte de massas coloque as massas indicadas e meça os tempos correspondentes para 5 
(cinco) (e depois repita para 10 (dez)) oscilações completas, conforme explicado, anotando-os na tabela. 
Repita este procedimento 6 (seis) vezes e preencha tabela. 
Ou seja, para medir a constante da mola no processo dinâmico devemos considerar somente os 
primeiros momentos da oscilação. Repita o procedimento para uma massa de 100 g, quando os efeitos de 
amortecimento não são ainda tão acentuados e ainda que, o sistema tenha pequenas amplitudes de 
oscilação. Inicialmente, distenda a mola de 1,0 cm além de x0 e libere o sistema. Com um cronômetro meça 
o tempo total, ttotal, que a massa leva para percorrer 5 (cinco) (e depois repita para 10 (dez)) vezes o 
percurso total, ou seja, o período será ttotal/5 (e ttotal/10). Repita este procedimento 6 (seis) vezes e 
preencha. Preencha a Tabela 3.2. 
Tabela 
 Massa 50g Massa 100g 
# ttotal(s) 𝑇 (𝑠) ttotal(s) 𝑇 (𝑠) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
T(s) 
 
Através do período médio calculado na Tabela e usando as equações que você já conhece, calcule a 
frequência angular para esta oscilação e a constante elástica desta mola. Compare os valores das 
constantes elásticas nos dois processos e responda qual é o melhor método para o cálculo destes valores? 
𝜔𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑜 = ______________ 𝑘𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑜 =_____________ 
R. __________________________________________________________________________________ 
 
Quantas voltas completas o corpo de 100 g daria em 7,0 s? Use o resultado obtido no subitem 
R. ___________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
QUESTÕES E PROBLEMAS 
1 Com uma massa m = 50 g usada na prática, determine a velocidade máxima e a elongação máxima, 
sabendo que a energia cinética máxima é 12,5 J. OBS.: utilize o valor da constante encontrada pelo método 
estático. 
R. ___________________________________________________________________________________ 
 
2 Se uma massa de 200 g é presa a uma mola de constante elástica k=10,0 N/m oscila entre os valores 6 e 
10 cm. Qual: (a) a amplitude de oscilação? (b) a frequência angular? (c) a energia mecânica do sistema? (d) 
a energia potencial elástica máxima e as posições que ocorre? 
R. __________________________________________________________________________________ 
 
3 No problema 2, qual o valor da velocidade máxima atingida pela massa e em qual(ais) posição(ões) isto 
ocorre? 
R. ___________________________________________________________________________________ 
 
4 No problema 2, esboce as curvas das energias cinética, potencial e mecânica em função da posição. 
R. ___________________________________________________________________________________ 
 
5 Se alternarmos a amplitude de oscilação de um sistema massa-mola quais grandezas são mantidas 
invariáveis? 
R. __________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
# Simulações 
 
Verificar a eficácia de simulação de um sistema massa-mola como uma ferramenta para o 
aprendizado dos conteúdos que envolvem a força elástica. 
 
 
Introdução: 
 
O PhET é um programa da Universidade do Colorado (EUA), que pesquisa e desenvolve 
simulações na área de ensino de ciências e as disponibiliza em seu portal, para serem usadas on-line ou 
serem baixadas gratuitamente pelos usuários, os quais podem ser alunos, professores ou mesmo curiosos. 
Nas simulações, esse grupo procura conectar fenômenos diários com a ciência que está por trás deles, 
oferecendo aos alunos, modelos fisicamente corretos de maneira acessível. Dessa forma, será que a 
simulação computacional Massa-Mola do PhET, pode desempenhar um papel importante e motivador no 
auxílio e desenvolvimento de uma aprendizagem significativa do conteúdo Força Elástica? 
A simulação Massa-Mola do PhET é voltada para o estudo da Lei de Hooke, que está relacionada à 
elasticidade de corpos e consiste em uma relação de proporcionalidade entre a força aplicada em um 
material elástico e a deformação sofrida por este, ou seja, a constante elástica desse material é igual a 
razão entre a força aplicada e a deformação sofrida pelo material (k = Fel / x). A Força Elástica é uma 
força restauradora, ou seja, sempre contrária a uma outra força que esteja atuando no material (mola ou 
qualquer corpo elástico). 
Estando uma mola, ou outro material elástico em seu estado relaxado, e sendo uma das 
extremidades mantida fixa, aplicando-se uma força (F) à sua extremidade livre, poderemos observar uma 
certa deformação na mola. O físico Robert Hooke (1635-1703, Inglaterra) estabeleceu uma Lei, a qual 
relaciona a Força Elástica (Fel), reação causada pela força aplicada, e a deformação da mola (x). 
 
O gráfico abaixo mostra a relação de proporcionalidade entre a força elástica (Fel) e a deformação (x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para acessar, visite o site: 
 https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/work-energy-and-power 
 
 
Responda: 
 
1. Exemplifique, com situações cotidianas, casos onde estejam presentes a força elástica. 
2. Porque a força elástica é considerada uma força restauradora? 
3. O que você entende por energia potencial elástica? 
4. Através da simulação, de que forma é possível descobrir a constante elástica da mola? 
5. Realize o procedimento para obter a constante da mola, através do método descrito na questão 
anterior. 
6. Sabendo o valor da constante da mola, realize experimentos para prever o valor da deformação 
para um dos pesos. 
7. Sabendo o valor da constante da mola e também o valor da deformação da mesma, determine o 
valor da massa de alguns dos blocos. 
8. Escolha uma configuração para a simulação e construa o gráfico da força elástica em função da 
deformação da mola. Através desse gráfico é possível estimar o valor da energia potencial elástica? 
De que forma? Faça uma estimativa da energia potencial elástica para a sua configuração. 
9. Quais os pontos positivos e negativos dessa simulação? 
 
 
Questões Extras 
1) Um carro parte do repouso em uma trajetória retilínea sofrendo ação de uma forca que, em função 
dodeslocamento, tem o seguinte comportamento: Com base nesses dados, determine o trabalho 
realizado pela forca F no deslocamento de 0 a 300 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um bloco esta preso a uma mola de constante elástica K = 200 N/m. Seu comprimento quando na 
posição de equilíbrio é de 0,20 m (posição O). A mola é alongada até que seu comprimento passe a 
0,40 m (posição A). Qual é o trabalho da força elástica no deslocamento de A até O?