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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
FACULDADES DE ENGENHARIA 
CIVIL, MECÂNICA, PETRÓLEO, PRODUÇÃO 
E QUÍMICA 
 
Este material foi desenvolvido pela equipe de professores de Física Geral e Experimental da 
Universidade Santa Cecília. 
 
Coordenador: Prof. MSc. Luis Fernando Ferrara 
 
Professores: Prof. Dr. Djalmir Correa Mendes 
 Profª Maria Valéria Barbosa 
 Prof Vanildo José Assis D’Antonio 
 Profª MSc. Walkiria Reche da Silva 
 Prof. MSc. Rafael Urbaneja Sanchez 
 Prof. Luis Fernando Nogueira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º SEMESTRE DE 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª PARTE 
 
 
EXERCÍCIOS DE TEORIA 
DE 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
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2ª PARTE 
 
 
LABORATÓRIO 
DE 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
 
 
2º SEMESTRE DE 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
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EXPERIÊNCIA 01 
 ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
OBJETIVO 
Determinar, no sistema MLT, as equações dimensionais de grandezas físicas e verificar a homogeneidade 
de equações. 
 
PROCEDIMENTO 
Utilizando os conceitos do sistema MLT, resolver os exercícios propostos. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Grandezas e sistemas unitários 
 
Podemos conceituar “grandeza física” como um elemento que, por convenção, tem por objetivo 
facilitar o estudo, a análise e a descrição de um fenômeno ou um grupo de fenômenos, sendo este suscetível 
de definição ou definições quantitativas. 
Esta definição permite de imediato se pensar em conceituar-se “medição de uma grandeza”. Isto é, 
medir-se uma grandeza é em síntese, compará-la com outra de mesma espécie que deverá ser tomada por 
“unidade”. Assim sendo, com esta comparação, podem-se verificar quantas vezes a unidade estará contida 
na grandeza que se quer medir. 
O valor de qualquer grandeza física é expressa como a combinação de dois fatores: a quantidade de 
unidades e o nome da unidade. Ou seja, podemos conceituar que uma grandeza física qualquer (G) é a 
combinação entre a medida de “G” e a “unidade de G”. 
Algumas grandezas podem ser consideradas fundamentais e outras derivadas. As grandezas 
fundamentais têm como exemplo a massa, o comprimento, o tempo. Por outro lado, as grandezas derivadas 
podem ser exemplificadas pela pressão, velocidade, aceleração, quantidade de movimento, trabalho, etc. 
A medição das grandezas fundamentais é dita como direta, quando as medidas são obtidas 
diretamente em termos das unidades de mesma espécie. Assim sendo, por estes critérios podem-se enquadrar 
as grandezas fundamentais como “diretas” ou ainda dizer quando duas grandezas de mesma espécie são 
iguais e quando uma é algumas vezes maior ou menor do que a outra. Enquanto que as medidas das 
grandezas derivadas são sempre realizadas pelo método das medidas “indiretas” 
Grandezas fundamentais variam de um sistema para outro. Geralmente, tempo e comprimento são 
tidos como fundamentais. O sistema de unidades necessita uma terceira grandeza fundamental, que pode ser 
massa ou força. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira grandeza fundamental são 
conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que têm a força como unidade fundamental 
são chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na engenharia que 
consideram comprimento, tempo, massa e força como grandezas fundamentais. 
 
Sistemas de Unidades Absolutos 
Consideraremos aqui três sistemas de unidades absolutas: o C.G.S. (CGS), o Sistema Internacional 
(MKS), e o inglês (FPS). De todos estes, as grandezas fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As 
diferentes unidades destes três sistemas são apresentadas na Tabela 1. 
 
Sistema de Unidade Absoluto 
Sistema CGS SI Inglês 
Grandeza CGS MKS FPS 
Comprimento (L) 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 pé (ft) 
Massa (M) 1grama (g) 1 quilograma (kg) 1 libra (lb) 
Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 
 
Tabela 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
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Algumas vezes a grandeza de uma determinada unidade é muito grande ou muito pequena para se 
indicar uma medida e assim o mais apropriado é utilizar os múltiplos e submúltiplos das unidades 
fundamentais. É aconselhável usar estes múltiplos e submúltiplos na potência de 103. A seguir (Tabela 2) está 
a lista dos múltiplos e submúltiplos mais freqüentemente utilizados, assim como seu respectivo nome e 
símbolo. 
Prefixo Fator de multiplicação Símbolo SI 
Hexa 1018 H 
Peta 1015 P 
Terá 1012 T 
Giga 109 G 
Mega 106 M 
Quilo 103 k 
Hecto 102 h 
Deca 101 da 
Deci 10-1 d 
Centi 10-2 c 
Mili 10-3 m 
Micro 10-6  
Nano 10-9  
Pico 10-12 p 
Femto 10-15 f 
Atto 10-18 a 
 
Tabela 2 
 
Quando as grandezas de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de temperatura. Para os 
sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus centígrados (oC), enquanto que para o 
sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit (oF). Unidades de calor são definidas independentemente do 
sistema de unidades. 
 
Equação dimensional 
Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de L, M e T, 
obtendo-se, assim, a equação dimensional da grandeza G. 
 Desse modo, a equação dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por 
    TMLG .. 
Os expoentes ,  e  são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas 
fundamentais L, M e T. Sendo assim, podemos escrever todas as grandezas da mecânica em função de L, M e 
T variando os valores de ,  e . 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
1. Velocidade: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 [v] = 
 [a] = 
 
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 3. Força: 
 
 
 
 
 
 
 
 4. Trabalho de uma Força: 
 
 
 
 
 
 
 
 5. Energia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Potência: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 A força de atração gravitacional é dada por Determine a dimensão da constante G. 
 
Resolução 
 
21
2
2
21
.
...
mm
dF
G
d
mmG
F  
 
 
MM
LTLM
G
.
... 2211 
 Resposta: 
 
 
 
 
Homogeneidade Dimensional 
 
 Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea. 
 
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às 
dimensões do outro membro. Portanto a expressão: 
 
 80 quilogramas = 30 metros + x metros 
 
seria completamente errada. 
 
Exercício resolvido 
Uma força que age numa partícula é dada em função do tempo de acordo com a expressão: 
 
 [F] = 
[Ρ] = 
 [G]=[L]-1.[M]3.[T]-2 
 F = A + B.t 
[E] = 
 [P] = 
 
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 Quais as dimensões de A e B para que a relação seja dimensionalmente homogênea? 
 
Resolução 
 
 
 
[B.t] = [F] [B] · [t] = [F] 
[B] [t] = MLT–2Sabemos que toda equação física deve ser dimensionalmente homogênea para ser verdadeira 
quando relacionam igualdades entre grandezas de mesma espécie. Este aspecto é conhecido como 
homogeneidade de equações. Isto é, se ambos os membros de uma equação física tiverem as mesmas 
dimensões em relação às mesmas grandezas, esta equação física é “dimensionalmente homogênea”. Como 
conseqüência, pode-se enunciar que toda equação física verdadeira deverá ser também dimensionalmente 
homogênea. 
Notamos ainda que a homogeneidade dimensional em uma equação é uma condição necessária, mas 
não suficiente para a legitimidade física. Uma equação física pode ser dimensionalmente homogênea, mas não 
ser verdadeira sob outros aspectos. 
 
Vejamos um exemplo 
 Vamos verificar se a equação que define a força centrípeta de um móvel em trajetória circular é 
homogênea: 
    
        2.
1
:,
.
21221
22
2
2











TMLLTLMR
t
s
m
R
vm
TLMamF
éisto
R
vm
F
CP
CP
 
Comparando (1) e (2), verificamos que as duas equações dimensionais são iguais, portanto a equação 
considerada é homogênea. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 [A]=[F]=[L]1.[M]1.[T]-
2 
 [B]=[L]1.[M]1.[T]-3 
 
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COMPLEMENTO 
 1. Sistema Internacional ( S.I.) 
 Na 11ª Conferência Geral de Pesos e medidas, em 1960, o Brasil ratificou como legal o “S.I.” . Para o 
quadro apresentado abaixo, ainda que de forma simplificada, algumas constantes devem ser conhecidas: 
 “c” ( velocidade da luz no vácuo ) = 3.108 m/s 
 “0” ( constante de permissividade no vácuo ) = 8,85. 10-12 F/m 
 “0” ( constante de permeabilidade no vácuo ) = 4.  .10-7 H/m 
 Algumas das grandezas do S.I. e suas respectivas unidades são representadas abaixo: 
Comprimento  metro (m). Obs: Å = Ângstron = 10-10m 
Ângulo plano  radiano (rad) 
Área  metro quadrado (m2) 
Volume  metro cúbico (m3) 
Número de ondas  um por metro (m-1) 
Massa  quilograma (kg) 
Massa específica  quilograma por metro cúbico (Kg/m3) 
Densidade linear de massa  quilograma por metro (kg/m) 
Densidade superficial de massa  quilograma por metro quadrado (kg/m2) 
Tempo  segundo (s) 
Freqüência  Hertz (Hz) 
Velocidade  metro por segundo (m/s) 
Velocidade ou freqüência angular  radiano por segundo (rad/s) 
Aceleração  metro por segundo ao quadrado ( m/s2) 
Aceleração angular  radiano por segundo ao quadrado (rad/s2) 
Vazão  metro cúbico por segundo (m3/s ) 
Momento de inércia  quilograma vezes metro quadrado (kg . m2 ) 
Força  newton (N) 
Momento de força  metro vezes newton (m . N) 
Impulso  newton vezes segundo (N . s) 
Pressão  newton por metro quadrado (N/m2) 
Energia  joule (J) 
Potência  watt (W) 
Densidade de fluxo de energia  watt por metro quadrado (W/m2) 
 
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Nível de potência  bel (B) 
Intensidade de corrente  ampère (A) 
Quantidade de carga elétrica  coulomb (C) 
Tensão elétrica  volt (V) 
Intensidade de campo elétrico  volt por metro (V/m) 
Capacitância  farad (F) 
Indutância  henry (H) 
Resistência elétrica  ohm () 
Resistividade elétrica  ohm vezes metro ( . m) 
Condutância elétrica  siemens (S) 
Condutividade elétrica  siemens por metro ( S/m) 
Indução magnética  tesla (T) 
Fluxo magnético  weber (Wb) 
Intensidade de campo magnético  ampère por metro (A/m) 
Relutância  ampère por weber (A/ Wb) 
Temperatura dinâmica  Kelvin (K) 
Entropia  joule por Kelvin (J/K) 
Condutividade térmica  watt por metro vezes Kelvin ( W/m.K) 
Intensidade luminosa  candela (cd) 
Fluxo luminoso  lúmem (lm) 
Iluminamento  lux (lx) 
Luminância  candela por metro quadrado (cd/m2) 
Quantidade de luz  lúmem vezes segundo (lm.s) 
Emitância luminosa  lúmen por metro quadrado (lm/m2) 
Convergência  dioptria (di) 
Intensidade energética  watt por esferorradiano (w/sr) 
Atividade  um por segundo (s-1) 
Exposição  coulomb por quilograma (C/kg) 
Dose absorvida  joule por quilograma (J/kg) 
Ângulo plano  grau, minuto, segundo ( º , ’ ,” ) 
Freqüência angular  rotação por minuto (r.p.m.) 
Energia em eletron-volt  eletron-volt (ev = 1,6.10-19 J) 
Potência em cavalo-vapor  cavalo-vapor (cv) 
Nível de audibilidade  fon (fon = freq de 1 kHz de 1 dB) 
Audibilidade  sone (sone = som de 40 fons) 
Atividade radioativa  curie (Ci) 
Exposição à radiação eletromagnética  roengten (R) 
 
Para o estudo da eletricidade adota-se como grandezas fundamentais, além de LMT, a corrente 
elétrica I com fundamental. Assim, podemos dar alguns exemplos de grandezas da termologia e da 
eletricidade: 
temperatura – [t] = M0L0T0 1 
coeficiente de dilatação – [ ] =M0L0T0 –1 
quantidade de calor – [Q] = M1L2T–2 = [ ] 
calor específico – [c] = M0L2T–2 –1 
capacidade térmica – [C] = M1L2T–2 –1 
calor latente – [L] = M0L2T–2 0 
carga elétrica – [q] = M0L0T1I1 
ddp – [U] = M1L2T–3I–1 
campo elétrico – [E] = M1L1T–3I–1 
resistência elétrica – [R] = M1L2T–3I–2 
capacidade eletrostática – [C] = M–1L–2T4I2 
fluxo magnético – [ ] = ML2T–2I–1 
 
 
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 Conversão de unidades: 
 A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas 
como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento, tempo e temperatura. A conversão de 
fatores é usada para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um certo 
sistema contido em uma unidade de grandeza correspondente em outro sistema. 
Para melhor compreender-se o que significa símbolo dimensional, deve-se primeiro rever os conceitos 
entre as relações de grandezas medidas e unidades. 
 Consideremos uma grandeza G medida por duas unidades distintas U1 (G) e U2 (G) , sendo obtidos 
os valores m1 (G) e m2 (G) respectivamente, têm-se: 
 
 G = m1 (G) . U1 (G) 
 G = m2 (G) . U2 (G) 
Isto é: 
 m1 (G) .U1 (G) = m2 (G) . U2 (G) 
então: 
   
 
 GU
GU
Gm
Gm
1
2
2
1  
 
 
Podemos concluir que a razão entre duas medidas de mesma grandeza, com unidades diferentes, é 
igual ao inverso da razão entre essas unidades. Desta maneira, esta relação soluciona um dos problemas da 
Física, como “mudança de unidades”. 
Continuando, teremos: 
 
         10.12
1
12
GU
GU
GmGm  , sendo: 
 
m2 (G): nova medida 
m1 (G): medida antiga e 
 
 
 
   
U G
U G
unidade nova
unidade antiga
G
1
2
  que é o símbolo dimensional da grandeza G. 
 Assim:     GU
GU
G
2
1 
 
 Partindo da definição de [ G ] - símbolo dimensional, pode-se escrever: 
 
 m2 (G)= m1 (G) . [ G ] 
 
 que é definida como a “expressão fundamental na resolução dos problemas de unidades”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 01 
 
 EXPERIMENTO 01 
 ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:_______________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
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 ATIVIDADE 01 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 EXPERIMENTO 01: ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
1) Determinar, no sistema LMT, as equações dimensionais das seguintes grandezas: 
a) quantidade de movimento 
 
 
 
 
 
 
b) impulso 
 
 
 
 
 
 
c) massa específica linear 
 
 
 
 
 
d) massa específica superficial, 
 
 
 
 
 
 
e) massa específica volumétrica 
 
 
f) trabalho de uma força 
 
 
 
 
 
g) energia 
 
 
 
 
 
h) potência 
 
 
 
 
 
 
 
i) momento de uma força 
 
 
 
 
 
 
j) constante de gravitação universal 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verificar a homogeneidade das seguintes equações: 
 
 
a) 2
2
1
tgy  
 
 
 
 
 
 
 
b) 2
2
1
vmEC  
 
 
c) 
g
h
t
2
 
 
 
 
 
 
 
d) 
R
vm
FC
2
 
 
 
 
 
 
 
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RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 02 
 
 EXPERIMENTO 01 
 ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:______________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
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A = comprimento 
B = momento de uma força 
C = pressão 
 
A = comprimento 
B = trabalho de uma força 
C = força 
D = volume 
 
 
ATIVIDADE 02 - RELATÓRIO 
EXPERIMENTO 01: ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ________________________________________________________ 
________________________________________________________________________ 
________________________________________________________________________ 
 
QUESTÕES: 
 
1) Verificar a homogeneidade das seguintes equações: 
 
 
a) hgp  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
t
s
v


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 2
2
1
tav  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 3
3
1
C
B
A  , onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
B
DC
A
3
1
 , onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESP.: 
RESP.: 
RESP.: 
RESP.: 
RESP.: 
 
 
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2) Determinar os expoentes x e y , sabendo que o espaço percorrido por um móvel em movimento variável é 
função do tempo e da aceleração da gravidade ( S = k g x t y ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A velocidade (v) de propagação de ondas transversais numa corda elástica é função da força tensora (F) 
aplicada à corda e de sua massa específica ( ), isto é, v = k F x  y , onde k é uma constante 
adimensional. Determinar os expoentes x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontra-se, experimentalmente, que a freqüência fundamental ( f ) na qual um fio de massa específica 
linear (  ) e comprimento ( ) , submentido a uma força tensora ( F ) , pode vibrar, depende apenas de  , 
e F ( zyx Fkf ..... ). Sabe-se, ainda, que o fator adimensional (k) que figura na relação de 
dependência entre de f ,  , e F vale ½. Determinar: 
a) os expoentes x, y e z; 
b) a freqüência fundamental de um fio de 0,50m de comprimento de 10 g de massa, submetido a uma força 
tensora uniforme de 288N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPONDER: 
1) O que é equação dimensional de uma grandeza G? 
______________________________________________________________________________________ 
2) O que é homogeneidade de equações? 
_____________________________________________________________________________________ 
3) Qual o procedimento para previsão da fórmula que define uma grandeza? 
______________________________________________________________________________________ 
RESP.: 
RESP.: 
RESP.: 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
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EXPERIÊNCIA 02 
ATRITO EM PLANO INCLINADO 
 
OBJETIVO 
Determinar experimentalmente o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies diferentes. 
PROCEDIMENTO 
 Utilizando um plano inclinado e fazendo deslizar alguns corpos de materiais diferentes sobre o referido 
plano, determinar o coeficiente de atrito estático para as duas superfícies utilizadas. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
A força de atrito é uma força que se manifesta entre duas superfícies em contato quando há tendência 
de movimento relativo entre elas. 
Para tentarmos entender o mecanismo de ação das forças de atrito, vamos considerar duas 
superfícies.Mesmo que numa primeira observação nos pareçam perfeitamente lisas, quando observadas com 
maior detalhamento perceberemos que há imperfeições nessas superfícies. Estas imperfeições são chamadas 
de rugosidades superficiais que têm origem no tratamento dado à superfície dos corpos e inclui, também, 
elementos de contaminação da superfície como grãos de poeira, gorduras, etc. 
Vamos admitir que essas duas superfícies examinadas sejam uma mesa e um bloco em repouso 
apoiado sobre essa mesa. Observe a figura abaixo. No detalhe estão ilustradas as imperfeições superficiais 
dos dois corpos que se “encaixam” e oferecem uma resistência ao início do movimento do bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
Neste momento inicial as únicas forças atuando no bloco são o seu próprio Peso ( P ) e a reação 
Normal de apoio ( N ) que a mesa aplica sobre o bloco. A força normal é uma força perpendicular à superfície 
de apoio de um corpo e é a reação desse apoio. No nosso caso, a ação está aplicada na mesa e a reação no 
bloco (observe a figura 1). Nestas condições a resultante das forças que atuam sobre o bloco na direção 
vertical é nula. A partrir de agora, para simplificar os esquemas, iremos apenas representarras forças na 
direção horizontal, ou seja, na direção do plano da superfície da mesa. 
 
Aplicaremos ao bloco em repouso uma força motriz horizontal,de intensidade tal que o bloco 
permaneça em repouso. Esquematicamente, teremos a seguinte situação. 
 
 
Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, se o bloco 
permanece em repouso a resultante das forças sobre o corpo na 
direção horizontal é nula ( 0R

 ). No entanto, a situação 
representada na figura 2 contrariaria esse princípio, pois a única 
força atuando sobre o bloco é a força F

 e, assim, a resultante na 
direção horizontal seria a própria força F

. 
 
Então, somos levados a concluir que a força 
F

não é a única força atuando no bloco, pois se a 
resultante é nula há que existir uma força de mesma 
oposto ao de F

 intensidade, mesma direção e sentido 
( – F

 ) atuando no bloco ( figura 3 ) e é esta força que 
impede o bloco de entrar em movimento. Esta força é 
exercida no bloco pelas rugosidades superficiais da 
mesa devido aos “encaixes” das rugosidades 
 
 
Figura 2 
 
Figura 3 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
18 
superficiais da mesa e do bloco. 
Esta força de resistência ao movimento do bloco é o 
que chamamos de força de atrito ( 
atf

 ) que nesta condição é 
denominada força de atrito estático (
estatf

) pois ocorre enquanto 
o corpo está em equilíbrio estático (repouso). Observe a figura 
4 
Se aumentamos a intensidade da força F

 e ainda 
assim o bloco permanece em repouso, é porque a força de 
atrito, assim como a força motriz, também aumentou sua 
intensidade, pois a resultante ainda é nula. Experimentalmente 
sabemos que este processo de amento da intensidade de F

e 
de
atf

 com o corpo tem um limite. 
Quando o bloco sai do repouso ( 0R

) a intensidade da 
força motriz for maior que a intensidade da força de atrito, 
devido a esta última ter atingido seu valor máximo que é igual à 
intensidade da força motriz de tirar o corpo do repouso, 
também chamado de força de destaque (figura 5). Isto indica 
que a intensidade da força de atrito pode aumentar qundo 
solicitada até uma intensidade máxima. 
Assim: 
 destaquemáxat Ff

 
 
 No momento em que o bloco entra em movimento passa a agir sobre ele um outro tipo de força de 
atrito denominada força de atrito dinâmico ou cinético (
datf

d ou catf

 ). Essa força de atrito também se opõe 
ao movimento do bloco, mas como o bloco já está em movimento agora a tendêndia é no sentido de diminuir a 
velocidade do bloco até que ele retorne ao repouso. Empiricamente observa-se que a intensidade da força de 
atrito dinâmico é menor que a intensidade da força de atrito estático. 
Devemos ainda observar que as forças de atrito não dependem da área de contato entre as duas 
superfícies. 
Graficamente a representação da intensidade da força de atrito em função da força motriz, que é uma 
força externa, pode ser observada na figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora retomar o esquema de forças completo (figura 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
Figura 4 
 
Figura 7 
 
Figura 5 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
19 
 
A teoria do atrito vista na Dinâmica nos mostra que o módulo da força de atrito que ocorre entre duas 
superfícies sob compressão N (força de reação Normal), na iminência de escorregamento de uma sobre a 
outra, é dada por: 
Fat = た .N 
onde た , é uma constante de proporcionalidade adimensional, denominada coeficiente de atrito, que 
caracteriza as superfícies em contato. 
 O valor máximo da intensidade da força de atrito estático (quando o escorregamento é iminente), é 
expresso por: 
Fat e = e . N 
onde e é o coeficiente de atrito estático. 
 
 A força de atrito dinâmica, que se manifesta depois que as superfícies já deslizam relativamente, é 
expressa por: 
Fat d = d . N 
onde d é o coeficiente de atrito dinâmico. 
O coeficiente de atrito dinãmico é menor que o coeficiente de atrito estático. 
 
O coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) depende da natureza das superfícies, isto é, do tipo de 
material que as superfícies são constituídas e do estado de polimento dessas superfícies. 
 É importante observar que os valores do coeficiente de atrito, em geral. são menores que 1. 
 
Os dados referentes às forças de atrito estático e cinético são muito aproximados e dependem dos 
diferentes graus de polimento das superfícies e dos diferentes graus de contaminação com substâncias 
estranhas. Esses fatores são os que realmente determinam os coeficientes de atrito e a dependência da força 
de atrito cinético com a velocidade relativa das superfícies em questão, sendo assim, não faz sentido tabelar 
coeficientes de atrito entre superfícies diversas, a menos que elas sejam padronizadas. O atrito nunca é entre 
uma superfície de cobre e uma de alumínio, por exemplo, mas entre uma superfície de cobre com certo 
polimento e com algumas impurezas e uma superfície de alumínio com outro polimento e com outras 
impurezas. 
Para entender a origem das forças de atrito deve-se considerar que, ao nível atômico, nas pequenas 
irregularidades das superfícies, onde o contato ocorre num número relativamente pequeno de pontos, as 
irregularidades se interpenetram e se deformam, exercendo forças mútuas cujas intensidades dependem da 
intensidade da força que empurra as superfícies uma contra a outra. Nos pontos de contato existem ligações 
dos átomos de uma superfície com os átomos da outra, que atuam como se fossem soldas microscópicas. 
 
Atrito em plano inclinado 
Quando o corpo estiver apoiado em um plano inclinado, a distribuição de forças será diferente, pois a 
reação normal de apoio ( N ) será igual à parcela do Peso na direção perpendicular ao plano inclinado (figura 
8). 
 
Lembrar que: 
 
Pt = P.sen  
Pn = P.cos  
 
O ângulo de atrito estático  mede a inclinação de um plano no 
qual o móvel, abandonado do repouso, se apresenta na iminência de 
deslizar (mas permanece em repouso). Na iminência de deslizamento: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
20 
 
Análise quantitativa (cálculos) 
 
Em um plano inclinado temos a seguinte distribuição de forças, vista anteriormente. 
 
Consideraremos como eixo 
horizontal a direção do plano inclinado e e 
como eixo vertical a direção perpendicular à 
direção do plano inclinado. Assim, teremos, 
em módulo: 
 
No eixo vertical: 
 a = 0  FR = 0 
então teremos 
 N = Pn 
mas 
 Pn = P.cos  
então 
 N = P.cos  ( 1 ) 
 
No eixo horizontal: 
 Fr = m . a 
 e FR = Pt – Fat , então 
Pt – Fat = m . a 
mas, na iminência de movimento a = 0, 
então 
 Pt – Fat = 0 
 Pt = Fat ( 2 ) 
 Sabendo que Fat = た .N 
 e Pt = P.sen  ( 3 ) 
 substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 2 ), teremos: 
  . P.cos  = P.sen  
 
 
 Assim 
 
Vejamos um exemplo: 
1) Um bloco de massa 1 kg está sobre um plano inclinado e o coeficiente de atrito estático entreo bloco e 
o plano é 0,5. Calcule a inclinação necessária para que o bloco deslize plano abaixo. Adote g = 10 
m/s2. 
 
 
Se m = 1 kg, então P= 10 N 
Calculando as componentes do Peso, teremos: 
 
Pn = P.cos  = 10 . cos  
e 
Pt = P.sen  = 10.sen  
 
Na iminência de movimento a = 0 e Pt = Fat e Fat = た .N 
então 
 . P.cos  = P.sen  


cos.
.
P
senP
  e = tg  
Sendo た = 0,3 , então 0,3 = tg    = arct 0,3  
 
Figura 9 
 e = tg  


cos.
.
P
senP
 
 
 = 16,7 ° 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
21 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Explique o que é atrito. 
 
 
 
 
 
 
2) Cite os principais fatores que influem no atrito. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Como o atrito pode ser reduzido? 
 
 
 
 
 
 
 
4) O atrito é necessário para caminharmos? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
5) Em um laboratório de física, alguns alunos fizeram um estudo sobre coeficiente de atrito. O experimento constava de 
uma rampa de alumínio articulada em seu vértice que permitia que sua inclinação  sofresse variações, um 
paralelepípedo de madeira de 20 cm de altura, que possibilitava o apoio da rampa nas variações de sua inclinação , 
alguns discos de metal e alguns corpos de massas e materiais diferentes listados abaixo: 
 
Material madeira PVC (plástico) alumínio 
Massa 50 g 30 g 40 g 
 
Os corpos eram apoiados sobre a rampa e sua inclinação era aumentada até que o corpo começasse a deslizar com MRU 
(sem aceleração). No momento do destaque do corpo, a rampa era apoiada no toco de madeira fixando sua inclinação, 
formando um triângulo de base b e altura h. 
 
Os discos de metal de massa igual a 50 g cada um eram adicionados ao corpo em cada deslizamento e alguns dados 
obtidos estão reproduzidas nas tabelas abaixo. Com base nas informações fornecidas, complete os dados das tabelas. 
MADEIRA 
Massa do 
corpo 
Massa 
adicionad
Massa 
total 
Base 
(cm) 
Altura 
(cm) 
 
 50 
 100 0,40 
 150 
PVC 
Massa do 
corpo (g) 
Massa 
adicionad
Massa 
total 
Base 
(cm) 
Altura 
(cm) 
 
 50 0,50 
 100 
 150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
PARTE PRÁTICA 
 
1) Montar o plano inclinado articulado. 
 
2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será 
a altlura do triângulo formado pelo plano inclinado e sua base. Anotar na 
tabela na coluna altura. 
3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano 
inclinado, de maneira que este permaneça em repouso. Usando o toco de 
madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano inclinado até que o 
bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento a resultante na 
direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até o toco. Esta 
será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na TABELA 1 na 
coluna base. 
4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as 
massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do 
toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela. 
 
5) Do fundamento teórico temos que 
 たe = tg  
então, com os dados da tabela (base e altura do triângulo retângulo formado entre o plano articulado e sua 
base) calcular a tangente desse ângulo e obter o coeficiente de atrito entre as superfícies analisadas. 
6) Calcular o valor mais provável do coeficiente de atrito através da média aritmética dos valores encontrados. 
7) Repetir o procedimento para o bloco de alumínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 03 
 
 EXPERIMENTO 02 
ATRITO EM PLANO INCLINADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:______________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
24 
 ATIVIDADE 03 - RELATÓRIO 
 EXPERIMENTO 02 – ATRITO EM PLANO INCLINADO 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
EXECUÇÃO: 
1) Montar o plano inclinado articulado. 
2) Medir a altura do toco de madeira que irá apoiar o plano inclinado. Esta será a altlura do triângulo formado 
pelo plano inclinado e sua base. Anotar na tabela na coluna Altura. 
3) Apoiar o bloco de madeira com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este 
permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano 
inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Neste momento 
a resultante na direção do plano inclinado é nula. Medir a distância que vai do vértice articulado do plano até 
o toco. Esta será a base do triângulo formado pelo plano inclinado e o toco de madeira. Anotar o valor na 
TABELA 1 na coluna base. 
4) Aumentar massa do bloco de madeira para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para as 
massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas (base). A altura do triângulo será a altura do 
toco de madeira em todas as medidas. Completar a tabela 1. 
 TABELA 1 : Bloco de madeira 
Massa (g) Altura (cm) Base(cm) たe 
50 
100 
150 
200 
250 
 Valor mais provável de たe madeira 
 
5) Cálculo dos valores do coeficiente de atrito estático entre o plano inclinado e o bloco de madeira a partir da 
TABELA 1. Sabendo que para um plano inclinado 
b
h
adjcat
opcat
tge 
..
.. 
calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o alumínio da rampa e o bloco de madeira para 
cada um dos valores de massa utilizados no experimento. Anotar os valores na TABELA 1. 
 
6) Apoiar o bloco de alumínio com 50 g na extremidade superior do plano inclinado, de maneira que este 
permaneça em repouso. Usando o toco de madeira, aumentar gradativamente a inclinação do plano 
inclinado até que o bloco inicie um movimento de descida com velocidade constante (a = 0). Como visto 
anteriormente, neste momento a resultante na direção do plano é nula. Medir a distância que vai do vértice 
articulado do plano até o toco na tabela (base). Anotar na TABELA 2. 
7) Aumentar a massa do bloco de alumínio para 100 g e repetir o procedimento. Repetir o procedimento para 
as massas constantes da tabela e anotar as respectivas medidas na coluna base. Completar a tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
25 
 TABELA 2 : Bloco de alumínio 
Massa (g) Altura (cm) Base (cm) たe 
50 
100 
150 
200 
250 
 Valor mais provável de たe alumínio 
 
 
8) Cálculo dos valores do coeficiente de atrito estático entre o plano inclinado e o bloco de alumínio com os 
valores constantes da TABELA 2. Sabendo que para um plano inclinado 
b
h
adjcat
opcattge 
..
.. 
calcular os valores do coeficiente de atrito estático entre o alumínio da rampa e o bloco de alumínio para 
cada um dos valores de massa utilizados no experimento. Anotar os valores na TABELA 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPONDER: 
1) Aumentando a massa do corpo o que ocorre com o módulo da força de atrito nesse corpo? 
_____________________________________________________________________________________ 
2) Aumentando a massa do corpo o que ocorre com os valores de coeficiente de atrito entre as sufperfícies 
analisadas? 
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
 
EXPERIÊNCIA 03 
ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE 
 
OBJETIVO: 
Determinar através do estudo do movimento de um corpo em queda livre, a aceleração da gravidade no local 
do experimento. 
 
PROCEDIMENTO: 
 Utilizando um centelhador, abandonar um corpo em queda livre ligado a uma fita de referência que será 
marcada a intervalos de tempos iguais durante a queda. Através dos dados obtidos na fita, construir o diagrama 
das posições ocupadas pelo corpo, o diagrama da velocidade do corpo e, finalmente, o diagrama da aceleração 
do corpo em função do tempo decorrido durante a queda. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem explicou na forma aceita atualmente, como ocorre a queda livre dos 
corpos, quando soltos próximos à superfície da Terra. Desprezando a ação do ar, ele enunciou: 
 “Todos os corpos num mesmo local, livres da resistência do ar, caem com uma mesma aceleração, 
quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada aceleração da gravidade (g).” 
O movimento de queda livre é, na verdade, um caso particular do movimento uniformemente variado, 
portanto todos os conceitos envolvidos no estudo do MUV podem ser usados no estudo de queda livre. 
Todos os corpos se abandonados próximos à superfície da Terra caem devido à força de atração aplicada 
sobre eles pelo campo gravitacional da Terra, ou seja, a força Peso. Essa queda dos corpos ocorre sempre com a 
mesma aceleração, independente de sua massa ou formato, desde que a resistência do ar (atrito) não seja 
considerada durante a queda. 
Na prática, no entanto, os corpos em queda sofrem a influência da força de atrito entre o ar e a superfície 
dos mesmos. Então, sempre que um corpo estiver caindo, pelo menos duas forças estarão agindo sobre ele, a 
força peso (apontando para o centro da Terra) e a força de atrito com o ar (apontando para o sentido contrário ao 
da queda). 
O valor da aceleração da gravidade varia com a altura do corpo, mas esta variação é muito pequena. O 
valor de g em um local situado ao nível do mar e à latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade. 
g normal = 9,80665 m/s² 
A título de curiosidade são apresentados abaixo alguns valores da variação da aceleração da gravidade 
em função da altura em relação à superfície da Terra. 
 
LOCALIZAÇÃO g (aproximado) 
m/s2 
 
Equador 9,78 
Pólos 9,83 
10 km altitude 9,78 Altura de vôo de aviões 
100 km de altitude 9,57 
300 km de altitude 8,80 Órbita de ônibus espaciais 
1000 km de altitude 7,75 
5000 km de altitude 3,71 
10000 km de altitude 1,94 
 
"Queda livre é o nome que se dá ao movimento de queda dos corpos quando a resistência do ar não é 
considerada. Se a resistência do ar não for desprezada, o movimento não será de queda livre" 
 
Análise quantitativa (cálculos) 
 Considere um objeto em queda vertical, a partir do repouso, num local em que o efeito do ar pode ser 
desprezado e a aceleração da gravidade seja constante e igual a g. Orientando-se a trajetória para baixo, o objeto 
realizará um movimento uniformemente variado (M.U.V.) com aceleração escalar igual a g. 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
27 
 
 
 Admitindo, portanto, que “queda livre” é o movimento vertical em que a força resultante 
é o Peso, então se aplicarmos o Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton), 
teremos: 
 gm
dt
sd
m ..
2
2
 ou simplesmente 
 g
dt
sd

2
2
 ga  
A solução desta equação diferencial de 2ª ordem, que será estudada 
oportunamente no curso de cálculo diferencial e integral, é a equação horária do deslocamento de M.U.V., onde 
podemos relacionar a altura descida ( h ) com seu respectivo tempo de queda ( t ) da seguinte forma: 
 200 .
2
. t
a
tvss  , onde 
s = deslocamento escalar do corpo 
s0 = posição inicial do corpo 
v0 = velocidade inicial do corpo 
 a = aceleração do corpo 
 t = instante de tempo 
 
 Para o movimento de queda livre, portanto na vertical, a equação fica: 
 
 
 
 , onde 
 y = altura do corpo 
y0 = altura inicial do corpo 
v0 = velocidade inicial do corpo 
 g = aceleração da gravidade no local do experimento 
 t = instante de tempo 
 
 No nosso estudo, adotaremos a altura inicial nula ( y0 = 0 ) e, como o movimento é de queda livre, sua 
velocidade inicial será também nula ( v0 = 0 ) e, portanto, a equação do movimento será: 
 
 
 e 
 
 
 
A velocidade escalar ( v ) adquirida após certo tempo ( t ) do MUV é dada por: 
 tavv .0  
e para o movimento de queda livre teremos: 
 
 
 
 
Também podemos expressar a velocidade atingida (v) em função da altura descida (y ). Usando a 
equação de Torricelli, temos: 
 savv  ..220
2 
e para o movimento de queda livre teremos: 
 
 , como v0 = 0 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
00 .
2
. t
g
tvyy  
2.
2
t
g
y  
g
y
t
.2
 
tgv . 
ygvv ..220
2  ygv ..22  ygv ..2 
 
 
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28 
Gráficos do movimento de queda livre 
 
 Altura do corpo em função do tempo ( y x t ) 
 
A equação da altura do corpo em função do 
tempo de queda é uma função do segundo grau e, 
portanto, seu gráfico será uma parábola. Como o 
movimento é apenas da queda do corpo, teremos 
apenas um arco de parábola (observe o gráfico ao 
lado). No nosso estudo orientaremos o eixo das 
posições ocupadas pelo corpo para baixo. Nestas 
condições e para a tabela dada, o referido gráfico 
será como no exemplo ao lado. 
 
y ( m ) t (s) 
0 0 
0,003 0,02 
0,009 0,04 
0,018 0,06 
0,032 0,08 
0,050 0,10 
0,072 0,12 
 
 
 Velocidade do corpo em função do tempo ( v x t ) 
 
 
 
A equação da velocidade em função do tempo de queda do 
corpo é uma função do primeiro grau e, portanto, seu gráfico será 
uma reta (observe o gráfico ao lado). No nosso estudo, como já 
foi dito anteriormente, a orientação do eixo das posições será 
para baixo e, assim, os valores de velocidade serão positivos e o 
gráfico será uma reta crescente como no exemplo ao lado. 
 
 
v ( m/s ) t (s) 
0 0 
3,75 0,04 
5,65 0,06 
 
 
 
O MRUV possui uma propriedade particular devida ao seu 
comportamento gráfico e suas relações matemáticas. 
Já vimos que o gráfico da velocidade em função do tempo do 
MRUV é uma reta. Genericamente teremos um gráfico do tipo: 
Nessegráfico, o deslocamento do corpo pode ser calculado 
pela área do figura formada entre a reta do gráfico e o eixo 
horizontal (integral gráfica) que, nesse caso, é um trapézio. 
Como a área do trapézio é: 
 
2
).( hbB
Atrapézio

 , para o nosso caso 
teremos: 
2
).(
2
)().( 000 tvvttvvy



 
e 
2
)( 0vv
t
y 



 
 
 
 
 
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29 
 Como a velocidade média de um corpo é calculada pela expressão: 
t
y
vM 

 , 
então teremos que, para o MRUV 
 
2
)( 0vvvM

 . 
 
 Devemos salientar que essa expressão para o cálculo da velocidade média aplica-se unicamente ao 
MRUV. 
 
 Aceleração do corpo em função do tempo ( g x t ) 
 
 
 
A aceleração de um corpo em queda livre é constante e 
igual à aceleração da gravidade, portanto, seu gráfico será 
uma reta constante. 
Lembrando que g = 9,8 m/s2 , o gráfico será como no 
exemplo ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Um corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma altura de 45 m acima do solo terrestre. Despreze a 
resistência do ar e considere g = 10 m/s2. 
 
Determine: 
a) o tempo de queda do corpo até o solo; 
b) o módulo da velocidade do corpo no instante em ele atinge o solo. 
 
Resolução 
 
 
 a) 
b) v = g · t = 10 ·3,0 ou 
 
 
 
 
2) Uma pedra é abandonada de uma altura de 3,2 m acima do solo lunar e gasta 2,0 s para atingir o solo. 
Pede-se: 
a) o valor da aceleração da gravidade na Lua; 
b) a altura descida pela pedra em seu último segundo de queda; 
c) o gráfico velocidade x tempo de queda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
Resolução 
 
a) Na Lua não há atmosfera, logo a pedra realiza uma queda livre até atingir o solo lunar. Assim: 
 
 
 
b) No primeiro segundo de queda a pedra desceu: 
 
 
 
 
Logo, durante seu segundo e último segundo de queda ela percorreu: 
h2 = h – h1 = 3,2 – 0,8 
 
c) A pedra tem velocidade inicial nula (v0 = 0) e ,após 2,0 s, atinge uma velocidade final de queda de: 
v = g · t = 1,6 · 2,0 
 
 
Através desses valores, temos o gráfico ao lado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 m de altura. Desprezando a rsistência do ar e 
adotanto-se a aceleração da gravidade 10 m/s2, determine: 
a) o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo 
b) a velocdiade do corpo ao atingir o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
2) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g. Um 
grupo de alunos obteve os seguintes dados, reproduzidos na tabela abaixo. Baseado nessas informações 
determine: 
 
t ( 10-2s) 3 6 9 12 15 
y (10-3 m) 4,5 18,0 40,5 72,0 112,5 
 
a) o diagrama y = f (t); 
 
 
 
 
 
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32 
b) o diagrama v = f (t); 
 
 
 
 
 
 
 
c) a aceleração da gravidade no local do experimento, graficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma pedra cai em um poço e o observador ouve o som da pedra o fundo após 9 s. Acmitindo uma aceleração 
de gravidade igual a 10 m/s2 e a velocidade do som no ar de 320 m/s, determine a profundidade do poço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
 
4) Em um estudo do movimento de um corpo em queda livre foi utilizado um corpo cuja massa era de 550g e um 
centelhador que foi ajustado para um valor de freqüência igual a 50 Hz (lembrar que 1 Hz = 1 ciclo por 
segundo). Este ajuste serviu para determinar os intervalos de tempo entre cada marca feita na fita passada 
pelo centelhador. A imagem da referida fita está reproduzida abaixo juntamente com uma régua graduada em 
mm. Nestas condições pede-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) o diagrama das posições do corpo em função do tempo [ y = f ( t )]; 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
b) a partir do diagrama do item anterior, construir o diagrama v = f(t); 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) a partir do diagrama v = f(t), calcular graficamente a aceleração da gravidade no local do experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 04 
 
 EXPERIMENTO 03 
 QUEDA LIVRE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:_____________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
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36 
ATIVIDADE 04 – RELATÓRIO (PARTE 1) 
 EXPERIMENTO 03 – QUEDA LIVRE 
 
OBJETIVO:____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 EXECUÇÃO: 
1) Montar o equipamento conforme o esquema abaixo. 
 
2) Com o interruptor na posição “liga” prender a esfera de 25 mm de diâmetro (a maior) ao eletroimã. 
3) Alinhar a borda inferior da esfera na posição 1,1 cm. 
 
 
4) Ajustar o cronometro para função F-2 ( botão função ) 
 
 
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37 
 
5) Posicionar a base superior do sensor óptico na posição 5 cm; 
 
 
Obs. A tomada de medida será realizada no centro do sensor, correspondendo a uma distância de 1,1 cm da 
base superior. Esta diferença já foi compensada no ajuste da esfera. 
 
6) Zerar o cronometro (botão Reset). 
7) Passar o interruptor para a posição desliga. 
8) Verificar o tempo indicado e anotar na tabela 1. 
9) Passar o interruptor para a posição liga. 
10) Prender a esfera ao eletroimã. 
11) Repetir os passos do item 5 ao 10, variando a posição do sensor conforme a tabela 1. 
 
 TABELA 1 
y(m) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 
t(s) 0 
 
12) Com o sensor na posição de 50 cm realize a tomada de tempo para as esferas de 15mm e 20mm de 
diametros. 
15 mm  t = __________(s) (para compensar o diâmetro da esfera posicionar o sensor em 49 cm) 
20 mm  t = __________(s) (para compensar o diâmetro da esfera posicionar o sensor em 49,5 cm) 
25 mm  t = __________(s) (valor obtido durante o experimento em 50 cm) 
 
Qual conclusão voce pode obter do ensaio com as 3 esferas diferentes ? 
_________________________________________________
_________________________________________________
________________________________________________ 
 
 
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38 
 
13) Baseado na tabela 1, construir o diagrama milimetrado y = f ( t ). Observe o diagrama do exemplo. 
 
 
 
 
DIAGRAMA y x t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 
 ATIVIDADE 04 – RELATÓRIO (PARTE 2) 
 EXPERIMENTO 03 – QUEDA LIVRE 
14) Prencher a tabela 2 com base no diagrama y = f(t). 
TABELA 2 
t(s) 0 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 
y(m) 0 
 
15) Calcular os valoresda velocidade do móvel, para os instantes contidos na Tabela 2, utilizando a propriedade 
da velocidade média do MRUV. Sabendo que entre dois instantes de tempo t e t0 , 
 
t
yvv
vM 




2
)( 0 
para calcular a velocidade v no instante de tempo t, teremos: 








t
y
vv
t
yvv .2
)( 
2
)(
0
0 
 
Observar o diagrama y = f(t), ao lado. 
Considerando o intante inicial com valor igual a zero temos que a 
posição neste instante também vale zero, para este caso a nossa 
equação fica reduzida para: 
t
y.2
v  
 
Cálculo dos valores de velocidade para os instantes de tempo constantes da TABELA 2. 
 para t = 0,12s  v1 = 
 
 
 para t = 0,16s  v2 = 
 
 
 para t = 0,20s  v3 = 
 
 
 para t = 0,24s  v4 = 
 
 
 para t = 0,28s  v5 = 
 
 
 
0
.2
v
t
y
v 


 
 
 
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40 
16) Anotar os valores obtidos na tabela da variação da velocidade do corpo em função do tempo, para construção 
do diagrama v x t . 
 TABELA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 DIAGRAMA v x t 
 
 
 
 
 
 
 
t ( s ) 0 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 
v ( m/s ) 0 
 
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41 
 
17) A partir do gráfico da velocidade calcular graficamente o valor da 
aceleração do movimento. No diagrama v = f (t), acima, a aceleração 
é calculada pela tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e 
o eixo horizontal. Assim: 
 
t
v
adjcat
opcat
tga
N



..
..  a 
 
 
 
Obs: Como o corpo está em queda livre, a aceleração a que o mesmo está submetido é a aceleração da gravidade que, ao 
nível do mar, é igual a 9,8 m/s2. 
 
 
18) Construir em papel milimetrado o diagrama a = f ( t ). Observe o exemplo 
ao lado. 
 
 
 
 
 
 DIAGRMA a x t 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/__________ smga  
 
 
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42 
 
Considerando o valor teorico da aceleração da gravidade local igual a 9,8 m/s calcule o erro percentual do 
valor obtido experimentalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando 7% um erro aceitável para este experimento, o valor obtido está de acordo com o esperado? 
 
______________________________________________________________________________________ 
 
 
Se o valor esperado é diferente do valor obtido, compare esses valores e avalie por que ocorreu essa 
diferença? 
 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
% = ____________% 
 
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43 
EXPERIÊNCIA 04 
FORÇA ELÁSTICA – LEI DE HOOKE 
 
OBJETIVO 
Determinar experimentalmente a constante elástica de uma mola pelo processo estático. 
PROCEDIMENTO 
 Utilizando um sistema massa-mola, obter as deformações produzidas na mola por corpos de massas 
conhecidas e relacionar essas deformações e as forças que as produziram. Através dessa relação entre força e 
deformação, determinar a constante elástica da mola utilizada no experimento bem como o trabalho da força 
elástica. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
A lei de Hooke 
Podemos dizer que não conhecemos corpos perfeitamente rígidos, uma vez que todos os experimentados 
até hoje sofrem deformações mais ou menos apreciáveis quando submetidos à ação de forças. 
Entendemos por deformação de um corpo uma alteração na forma, ou nas dimensões, ou na forma e 
dimensões do corpo considerado. Essas deformações, que podem ser de vários tipos - compressões, distensões, 
flexões, torções, etc - podem ser elásticas ou plásticas. 
Dizemos que uma deformação é elástica quando desaparece com a retirada das forças que a originaram, 
enquanto que uma deformação plástica persiste mesmo após a retirada das forças que a originaram. Desta forma 
um sistema é considerado elástico quando as deformações que ele pode experimentar são elásticas e é 
considerado plástico um sistema capaz de sofrer deformações plásticas. 
Rigorosamente falando, não conhecemos sistemas nem perfeitamente elásticos, nem perfeitamente 
plásticos. No entanto, muitos corpos conhecidos se comportam, com uma boa aproximação, como se fossem 
perfeitamente plásticos, enquanto que outros se comportam como perfeitamente elásticos, com aproximação 
razoável. O estudo de deformações, que oferece um grande interesse técnico, é altamente complexo, estando 
fora dos limites de possibilidades do nosso curso. A teoria da plasticidade encontra-se ainda em fase primária, 
apesar do enorme estímulo concedido ao seu estudo pelas grandes potências industriais do momento. A teoria da 
elasticidade está altamente desenvolvida, mas nos é totalmente inacessível, neste curso, devido ao enorme 
cabedal matemático exigido. Vamos aqui nos limitar a uma simples informação sobre as deformações elásticas. 
Em 1660 o físico inglês Robert Hooke (1635-1703), observando o comportamento mecânico de uma mola, 
descobriu que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Hooke determinou que quanto maior 
o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um 
suporte fixo) maior a deformação (no caso: aumento de comprimento) sofrida pela mola. 
 
 
Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre proporcionalidade entre força 
deformante e deformação elástica produzida. Pôde então enunciar o resultado das suas observações sob forma 
de uma lei geral. Tal lei, que é conhecida atualmente como lei de Hooke, e que foi publicada por Hooke em 1676, 
é a seguinte: 
 
As forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas. 
 
Por exemplo: no caso inicialmente considerado por Hooke – deformação elástica sofrida por uma 
mola – a deformação era caracterizada pela variação L comprimento da mola, sob a ação de uma força F

 e 
Hooke observou que era 
 Esta relação de proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade se introduzirmos um fator de 
proporcionalidade conveniente. Representando-se tal fator pela letra k, a lei de Hooke nos permite escrever que 
 O fator k - que é característico da mola considerada - é denominado constante elástica da mola. Sua 
unidade no SI é newton por metro (N/m). 
 
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44 
Assim, pela lei de Hooke, o módulo de cada esforço F realizado numa mola helicoidal cilíndrica fixa por 
uma das extremidades corresponde proporcionalmente ao módulo de uma deformação x. Desta forma podemos 
escrever a lei de Hooke da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 A constante elástica depende do material de que a mola é feita e 
das suas características geométricas. Pode-se demonstrar que a dependência entre a constante elástica (k) e o 
módulo de rigidez do material () pode ser expressa por: 
 
onde 
n = o número de espiras da mola, 
d = o diâmetro do fio de que é feita a mola e 
D = diâmetro interno médio da mola. 
 No caso da deformação elástica considerada ser o alongamento, ou o encurtamento, de uma barra de 
seção reta uniforme, de comprimento igual a L e área de seção reta igual a A, a lei de Hooke ainda pode ser 
escrita sob a forma 
 
onde com L estamos representandoa variação de comprimento da barra devida à ação da força F

 
(supondo-se que a força F

 esteja agindo segundo o eixo da barra). Da mesma forma que no caso da mola, a 
relação de proporcionalidade 
 
pode ser transformada numa igualdade, bastando, para tanto, se introduzir um fator de proporcionalidade 
conveniente. Representando-se tal fator de proporcionalidade pela letra k, a lei de Hooke permite escrever que 
 
e a experiência diz que tal fator k é diretamente proporcional à área da seção reta, A, da barra, e inversamente 
proporcional ao seu comprimento inicial L, isto é, a experiência nos diz que 
 
Portanto o fator de proporcionalidade capaz de transformar em Igualdade a relação de proprocionalidade 
depende apenas do material da barra. Tal fator é representado geralmente pela letra Y e é chamado módulo de 
Young do material considerado. Então, para o caso da deformação de uma barra de seção reta uniforme A e 
comprimento L, construída com um material cujo módulo de Young seja Y, a lei de Hooke permite escrever que 
 
Os valores dos módulos de Young correspondentes aos diversos materiais são calculados 
experimentalmente. Consultando uma tabela de características mecânicas de materiais, encontramos, por 
exemplo, que o módulo de Young do aço vale2,2 x 10 N/m , o do chumbo vale 0,15x 10 N/m, o do tungstênio vale 
3,5 x 10 N/m , etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F = k . x 
 
 
 
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45 
Análise quantitativa (cálculos) 
Robert Hooke verificou experimentalmente que, em regime de deformações elásticas, a intensidade da 
força aplicada à mola é diretamente proporcional à deformação produzida, isto é, se duplicarmos a intensidade da 
força aplicada à mola, sua deformação também será duplicada, e assim por diante enquanto a deformação for 
elástica. 
 Podemos sintetizar a lei de Hooke pela seguinte expressão: 
 
 
 
Graficamente podemos obter a constante elástica (k) de uma mola elástica através da declividade da reta 
de seu diagrama força x deformação, como indicado abaixo. 
 
 
 
 tgk
N
 e 
x
F
adjcat
opcat
tg 
..
. 
Convém lembrar que, no processo de deformação, a mola sempre estará sujeita a ação de duas forças 
(uma em cada extremidade), sendo de mesma intensidade (k·x) quando sua massa for desprezível (mola 
ideal). 
 
O trabalho da força elástica 
Embora não se tenha uma definição de energia, podemos dizer que a presença de energia implica a 
possibilidade de produzir movimento. A energia que uma pessoa armazena ao alimentar-se, por exemplo, 
possibilita o funcionamento de seus órgãos, permite que ela se movimente e mova outros corpos. A energia dos 
combustíveis usados nos automóveis também possibilita seus movimentos. Da mesma forma, a energia elétrica 
produzida por uma bateria possibilita o movimentos de elétrons em fios condutores. 
 O Princípio da Conservação da Energia é de fundamental importância: não se cria nem se destrói energia; 
o que ocorre freqüentemente é a conversão de uma modalidade de energia em outra. 
 
Para exemplificar conversões de energia, consideremos uma mola elástica relaxada, ou seja, não 
deformada. 
 
 Uma pessoa gasta uma parcela de sua energia para comprimir essa mola. Para isso, exerce na mola uma 
força e provoca um deslocamento de sua extremidade: dizemos que essa força realiza um trabalho . Esse trabalho 
corresponde à energia transferida da pessoa para a mola. A figura abaixo representa um carrinho C , colocado 
junto à mola comprimida. Ele só não se move porque a trava T não permite. 
 
 A mola comprimida armazena energia, já que é capaz de produzir movimento. Essa energia, porém, não 
se manifesta, a menos que se retire a trava T . Por isso, a energia armazenada na mola é denominada energia 
potencial , isto é, que pode manifestar-se. O nome completo dessa energia é energia potencial elástica ( Ep el ), 
porque está armazenada num corpo elástico deformado. 
 Retirando a trava, a energia potencial da mola se manifesta: a mola se distende, exercendo uma força no 
carrinho e produzindo um deslocamento . Novamente temos uma força realizando trabalho , e esse trabalho 
xkF

 . 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
46 
corresponde à energia transferida da mola para o carrinho. 
 
 A energia que o carrinho adquiriu é denominada energia cinética (E c ) que é a energia que um corpo 
possui por estar em movimento, isto é, por adquirir velocidade. 
 Em um ponto qualquer entre a mínima deformação da mola e a máxima deformação da mola, teremos no 
processo as duas energia juntas, a cinética referente ao movimento do carrinho e a potencial referente à 
compressão da mola. A soma destas duas energias chamamos de energia mecânica. 
 
 
 
 
É importante salientar que tanto o trabalho como as diversas formas de energia são grandezas escalares. 
 Consideremos uma força constante F

 atuando numa partícula enquanto ela sofre um deslocamento d, do 
ponto A ao ponto B . O trabalho realizado por essa força nesse deslocamento, sendo  o ângulo entre F e d , é a 
grandeza escalar F , definida por: 
 
 
 
 
 
 
Sua unidade no SI é joule = J (1J = 1N . 1m) 
 
 
 Suponha que uma força constante esteja atuando em um corpo, paralelamente à direção do 
deslocamento e no mesmo sentido desse deslocamento. Se construirmos um diagrama F x d , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se calcularmos a área compreendida entre o eixo d e o eixo da força F (que é constante) no deslocamento 
entre 0 e d , teremos: 
 A = b . h  A = d . F 
 Se desejarmos calcular o trabalho diretamente utilizando a equação do trabalho teríamos: 
  = F . d . cos  
mas como a força é paralela ao deslocamento teremos  = 0º e cos 0º = 1 
 
 então 
 
Assim podemos dizer que o trabalho da força F é numericamente igual a área hachurada do gráfico. 
 Esta conclusão é válida também para quando a força não for constante. Para se determinar o trabalho de 
uma força F

, basta calcular a área da figura que será formada no gráfico no intervalo do deslocamento em que 
se queira calcular. 
 As forças conservativas, quando realizam trabalho, não alteram a quantidade de energia mecânica, porque 
apenas convertem energia potencial em energia cinética ou cinética em potencial. Assim , a soma dessas 
energias não se modifica. 
 Quando aplicamos a uma mola uma força F

 , provocando na mesma uma determinada deformação x , 
verificamos que a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação provocada, como já vimos e pela 
Lei de Hooke, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação da mola. Graficamente o gráfico da 
força pela deformação será uma reta crescente, pois a equação que a define é do primeiro grau, assim: 
 
 
 = F . d 
 
 
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47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a área é numericamente igual ao trabalho teremos: 
2
hbB
AeA
N 
 , mas 
 
 11 .xkFB  , 
 22 .xkFb  e 
 12 xxxh  . 
 
Assim: 
 
2
)).((
2
)).(..( 12121221 xxxxkxxxkxk 

 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1) A mola ideal da figura varia seu comprimento de 12 cm para 17 cm quando penduramos em sua 
extremidade um corpo A (em repouso) de peso 10 N. 
a) Qual a constante elástica da mola, em N/m ? 
 b) Qual o comprimento dessa mola, quando ela sustentar em equilíbrio um corpo B de peso 20 N ? 
 
 Resolução 
 
a) A deformação ocorrida na mola vale: 
x = l - l0 = 17 - 12 = 5 cm = 0,05 m 
Pelo fato do bloco A estar em equilíbrio, vem: 
 
 
b) Como o peso do corpo B é o dobro do peso de A, a mola terá sua deformação duplicada (de 5 cm para 10 cm). 
Logo, o comprimento da mola, quando esta sustenta o corpo B, será: 
cmx 2210120   
 
 
 
 
 
 
 
)(
2
2
1
2
2 xx
k
 
 
 
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48 
2) O sistema montado na figura apresenta-se em equilíbrio. As molas verticais 
são leves (pesos desprezíveis) e cada uma possui constante elástica k = 50 N/m e 
comprimento natural (não deformada) de 20 cm. Cada bloco tem peso de 5,0 N. Quais 
os comprimentos a e b das molas? 
Resolução 
a) Analisando o equilíbrio do bloco inferior, temos: 
 
 
 
logo 
 
 
b) Observando as forças em equilíbrio no bloco superior e lembrando que a mola inferior traciona ambos os 
blocos com a mesma intensidade (F1), tem-se: 
 
logo: 
 
Observação: 
Pode-se obter também a deformação da mola superior considerando que o conjunto de 
blocos (peso total 10 N) produza sua deformação. Como as molas são idênticas, a mola 
superior sofrerá o dobro da deformação experimentada pela inferior, isto é: 20 cm. 
 
 
 
 
 
 
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49 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Um grupo de alunos, em um laboratório de física, realizou um experimento para estudar a energia de 
deformação armazenada em um corpo elástico. Para tal estudo foi utilizada uma tira de borracha que teve 
uma de suas extremidades presa a uma haste e em sua outra extremidade foram pendurados alguns discos 
com massas conhecidas. O peso desses discos provocava deformações na tira de borracha que foram 
medidas. As medidas obtidas estão reproduzidas na tabela abaixo: 
 
m ( g ) 110 200 270 320 340 370 390 410 420 430 
P ( N ) 
x ( m ) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 
 
Adotando a aceleração da gravidade no local do experimento como 10 m/s2, pede-se: 
a) construir o diagrama cartesiano que relaciona a força aplicada e a deformação provocada na tira de 
borracha. 
 
 
 
 
 
b) observando o gráfico do item anterior, a que conclusão podemos chegar a respeito da elasticidade do corpo 
analisado (tira)? 
 
 
 
 
 
c) a partir do gráfico obtido no item a, calcular a energia de deformação armazenada no corpo durante o 
experimento. 
 
 
 
 
 
 
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50 
2) O gráfico ao lado mostra a compreesão de uma mola desde x0 = 0 ( onde a mola não está comprimida) até 
um ponto A onde xA = 0,40 m. O gráfico mostra como varia a força F

 exercida pela mola sobre o bloco. 
 
 
 
 
a) calcule a inclinação deste gráfico. 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a constante elástica da mola? 
 
 
 
 
c) Podemos usar a expressão  = F . d .cos  para calcular o trabalho realizado pela força elástica enquanto 
a mola empurra o bloco? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Calcule o trabalho da força elástica entre 0,10m e 0,30m graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Calcule o trabalho da força elástica entre os mesmos pontos do ítem anterior, usando a equação deduzida 
no fundamento teórico. 
 
 
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51 
PARTE PRÁTICA 
1) Montar o sistema massa-mola indicado. 
2) Calcular os valores de Peso referentes às 
massas dos discos que serão utilizados no 
experimento. Completar a linha referente aos 
valores de Peso na TABELA. 
3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma 
referência para a deformação nula (x0 = 0). 
Observe a figura 1. 
4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a 
deformação provocada a partir de x0. Anotar na 
tabela nos valores de x (deformação total). 
Observe a figura 2. 
5) Aumentar o valor das massas penduradas na 
mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) 
e medir as deformações provocadas na mola e 
anotar na tabela. Observar que o valor da 
deformação é o valor total da medida, sempre 
a partir de x0. Observe a figura 3. 
6) A partir dos dados da Tabela e a partir da lei de Hooke, calcular o valor da constante de elasticidade da mola 
utilizada para os diferentes valores de massa. 
Para cada valor de massa fazer o cálculo: 
x
F
k  
7) Determinar o valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no experimento ataravés da média 
aritmética entre os valores encontrados o item anterior. 
8) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola 
pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ). 
9) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola graficamente. Graficamente a constante 
elástica da mola é numericamente igual á declividade da reta do gráfico, assim poderá ser calculada através da 
tangente do ângulo formado entre a reta do gráfico e o eixo horizontal: 
 tgk
N
graf  
10) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola. 
 100.%
TEO
GRAFTEO
k
kk 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.2 
 
Fig.1 
 
 
Fig.3 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 05 
 
 EXPERIMENTO 04 
FORÇA ELÁSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:_____________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
53 
ATIVIDADE 05- RELATÓRIO 
EXPERIMENTO 04 – FORÇA ELÁSTICA 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
EXECUÇÃO: 
1) Montar o sistema massa-mola indicado. 
2) Calcular os valores de Peso referentes às 
massas dos discos que serão utilizados no 
experimento. Completar a linha referente aos 
valores de Peso na TABELA. 
3) Ajustar a régua de maneira a estabelecer uma 
referência para a deformação nula (x0 = 0). 
Observe a figura 1. 
4) Pendurar o disco de 50 g na mola e medir a 
deformação provocada a partir de x0. Anotar 
na tabela nos valores de x (deformação total). 
Observe a figura 2. 
5) Aumentar o valor das massas penduradas na 
mola (conseqüentemente aumenta-se o Peso) 
e medir as deformações provocadas na mola 
e anotar na tabela. Observar que o valor da 
deformação é o valor total da medida, sempre a partir de x0. Observe a figura 3. 
6) A partir dos dados da TABELA, determinaro valor mais provável da constante elástica da mola utilizada no 
experimento. 
 
 TABELA 
m (g) m (kg) F = P (N) x (m) k (N/m) 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
Valor mais provável de k 
 
 
 
 
7) Baseado nos valores da tabela, construir em papel milimetrado, o diagrama da Força elástica aplicada na mola 
pela deformação sofrida pela mola (FEl = f ( x) ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) A partir do diagrama F x x, calcular a constante elástica da mola (graficamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Calcular o erro percentual entre o valor teórico e o valor gráfico da constante elástica da mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kgraf = ____________ (N/m) 
% = ____________% 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
55 
RESPONDER: 
 
1) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através dos dados da tabela? 
 _____________________________________________________________________________________ 
 
2) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através do gráfico? 
______________________________________________________________________________________ 
 
3) Compare os valores obtidos e responda se eles foram os valores esperados para esse experimento. 
______________________________________________________________________________________ 
 
4) Justifique a semelhança ou a diferença entre os resultados obtidos. 
______________________________________________________________________________________ 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
56 
EXPERIMENTO 05 
OSCILAÇÕES MECÂNICAS 
OBJETIVO 
Determinar experimentalmente a constante de elasticidade de uma mola aplicando os conceitos de 
oscilações, em particular o conceito de período do movimento oscilatório. 
 
PROCEDIMENTO 
 Utilizando um pêndulo elástico, medir o período de oscilação desse pêndulo para diferentes massas 
pendulares e através dos conceitos de oscilações e grafiicamente determinar a constante de elasticidade da mola 
usando dois métodos diferentes. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 Pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes estruturas (grandes edificações) até estruturas 
microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Portanto compreender o processo vibratório é 
fundamental para entender a natureza e aplicar esse conhecimento na solução de nossos problemas em 
tecnologia ou ciência. 
 Apenas para facilitar a compreensão desse movimento vibratório, por questões didáticas, vamos analisar o 
seguinte movimento: 
Imagine uma mola ideal, sobre um plano horizontal livre de atrito, com uma extremidade fixa, e um corpo preso à 
outra extremidade dessa mola. O conjunto é abandonado sem deformação da mola, conforme figura 1. 
 
 Nesta condição as forças que atuam sobre o corpo são exclusivamente: força Peso ( P

) e a e força de 
reação Normal ( N

) aplicada pelo plano horizontal. 
 
 Como o corpo permanece em estado de repouso prolongado, concluímos que a resultante das forças 
sobre o corpo é nula, ou seja, o corpo se encontra em equilíbrio (estático). 
Para melhor analisar o movimento, vamos estabelecer um eixo horizontal (eixo x), orientado para a direita, com 
origem (x = 0) na posição de equilíbrio do corpo. 
 
 A partir destas condições vamos esticar (deformar) a mola, até levar o corpo para uma posição qualquer, 
em que a posição será dada por x = A. 
 Para provocar o deslocamento do corpo para essa posição (x = A), teremos que aplicar uma força sobre o 
corpo, no sentido de seu deslocamento, que chamaremos força aplicada pelo operador ( operadorF

), isso implica 
em que estaremos realizando um Trabalho Mecânico sobre o corpo, que é armazenado pelo sistema massa mola 
na forma de Energia Mecânica (Energia Potencial Elástica). 
Por outro lado, à medida que é deformada, a mola exercerá sobre o corpo uma força de natureza elástica 
( elásticaF

), dada pela Lei de Hooke 
xkFelástica

. (Lei de Hooke) 
 
onde k é a constante elástica da mola (determina a dificuldade em deformar a mola) e x

 determina a posição do 
corpo (a deformação da mola). Essa força é dita força de restituição porque tende sempre a levar o corpo para a 
posição de equilíbrio (x = 0). 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
57 
 
 
Vamos admitir a condição em que a força aplicada pelo operador ( operadorF

) tenha a mesma 
intensidade do que a força elástica ( elásticaF

), e que o corpo esteja em repouso. Nessa condição o corpo se 
encontra em equilíbrio, embora o sistema possua Energia Potencial Elástica armazenada devido ao Trabalho 
Mecânico realizado pelo operador sobre o sistema massa mola. 
 
Mas, logo que abandonarmos o corpo (logo que o operador deixar de aplicar força, 0

operadorF ), tendo 
em vista que na direção vertical somente temos força Peso ( P

) e a e força de reação Normal ( N

) aplicada pelo 
plano horizontal que, como já vimos, se equilibram, fazendo com que a força resultante na direção vertical seja 
nula (motivo pelo qual muito embora continuem agindo Peso ( P

) e força de reação Normal ( N

), de agora em 
diante, nesta descrição, deixarão de ser representadas) a força resultante sobre o corpo será exclusivamente a 
força elástica ( elásticaF

), aplicada pela mola. 
 
 
Sob ação dessa resultante, a força elástica ( elásticaF

), o corpo descreverá o seguinte movimento: 
a partir do repouso, o corpo tenderá a voltar para a posição de equilíbrio com o aumento do módulo de sua 
velocidade já que a força resultante, e portanto a aceleração, está no mesmo sentido de sua velocidade. 
 
 
 
Quando passa pela posição de equilíbrio, força resultante e aceleração, ambas, são nulas, mas como o 
corpo adquiriu velocidade (o sistema converteu Energia Potencial Elástica em Energia Cinética) ele passa pela 
posição de equilíbrio (agora equilíbrio dinâmico) 
 
 
e começa a comprimir a mola numa fase de diminuição do módulo de sua velocidade, já que nesta condição, a 
força resultante ( elásticaF

), de restituição, e portanto a aceleração, têm sentido oposto ao sentido da velocidade. 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
58 
 
 
 
Na ausência de atrito, conforme a hipótese inicial, o corpo atingirá o repouso instantâneo quando ocupar a 
posição x = - A, isto é, quando a mola estiver comprimida de A, condição simétrica ao início do movimento. Nessa 
posição, a força resultante sobre o corpo ( elásticaF

) terá alcançado sua intensidade máxima ( F elástica

máxima) 
e conseqüentemente o modulo de sua aceleração também será máximo, 
 
e apontará para o ponto de equilíbrio (x = 0). 
Nessas condições o corpo será acelerado de volta para a posição de equilíbrio. Novamente o corpo passa 
pela posição de equilíbrio, onde alcançará sua velocidade máxima, agora no sentido positivo do eixo x 
(alongamento da mola), No ponto de equilíbrio (x = 0), novamente força resultante e aceleração, ambas, são 
nulas. A partir dessa posição, com o alongamento da mola, a força elástica (de restituição) se opõe ao sentido do 
movimento, diminuindo o módulo da velocidade até que o móvel atinge novamente o repouso instantâneo quando 
x = A, retornando à condição inicial do movimento. A partir daí todo o movimento se repete indefinidamente (na 
ausência de forças dissipativas). 
Nessas condições dizemos que o corpo realiza um movimentoharmônico simples (MHS). 
 
A cinemátioca do Movimento Harmônico Simples (MHS) 
A descrição acima é meramente qualitativa e tem o objetivo de nos introduzir ao movimento. Agora temos 
condições de efetuar uma análise mais detalhada. 
Vamos voltar à condição apresentada na Figura 6 (para t = 0, x = A, v = 0) e vamos aplicar a 2ª lei de 
Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) ao problema: 
 elásticaFtetanresulF
dt
xd
m


2
2 
 
Mas, como nosso problema é unidimensional (o movimento se realiza somente na direção x) é mais 
simples escrever 
 x.kelásticaFtetanresulF
dt
xd
m 
2
2
 ou ainda 
 x.k
dt
xd
m 
2
2
 ou ainda 
 x.
m
k
dt
xd 
2
2
 
E a solução geral para essa equação diferencial de 2ª ordem é: 
 x(t) = a cos [(k/m)1/2t] + b sen [(k/m)1/2t] 
Lembre que as constantes a e b são determinadas a partir das condições iniciais do problema. Em nosso 
problema, no instante inicial t0 = 0, x(t =0) = A e v(t = 0) = 0. 
A primeira condição implica em que 
 Asenbatx mkmk  )]0.([.)]0.(cos[.)0( )/( 2/1)/( 2/1 
mas como 1)]0.(cos[. )/( 2/1 mka 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
59 
e 0)]0.([. )/( 2/1 mksenb 
então a = A 
A segunda condição implica em que se 
 x(t) = a cos [(k/m)1/2t] + b sen [(k/m)1/2t], então 
 v(t) = dx(t)/dt = A (- sen [(k/m)1/2t]) (k/m)1/2 + b (cos [(k/m)1/2t]) (k/m)1/2 ou 
 v(t) = (k/m)1/2 ( - A sen [(k/m)1/2t] + b cos [(k/m)1/2t]) 
 e para t0 = 0 
 
 0)])0.(cos[.)]0.([..()/()0( )/( 2/1)/( 2/1
2/1  mkmk bsenAmktv 
mas como 0)]0.([. )/( 2/1  mksenA 
e 1)]0.(cos[ )/( 2/1 mk 
então 0.)/()0(
2/1  bmktv 
ou seja b = 0 
de modo que a solução particular da equação diferencial para nosso problema é 
 x(t) = A cos [(k/m)1/2t] 
Um detalhe importante é que, como sabemos, a função cosseno é periódica, de periodicidade 2ヾ, logo o 
período do movimento é dado por: 
 
m
k
T
2
 
ou 
k
m
.T 2 
assim podemos escrever que 
 )t.
T
cos(.A)t(x
2
 
 
ou seja, a função horária do espaço, que descreve o movimento como uma função do tempo, mostra que as 
condições do evento vão se repetir nos instantes t = 1T, 2T, 3T ...indefinidamente, claro na ausência de forças 
dissipativas. 
Por outro lado como o módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo do deslocamento máximo do 
corpo, medido a partir da posição de equilíbrio, é A, que é a deformação da mola no instante t0 = 0, e que 
chamamos de amplitude do movimento. É importante perceber pelo equacionamento desenvolvido que o período 
(
k
m
.T 2 ) só depende do corpo (m) e da mola (k), e não depende da amplitude do movimento, ou seja, 
qualquer que seja a deformação inicial da mola, o período do movimento será o mesmo. 
A freqüência do movimento, definida por 
 f = 1/T 
e indica o número completo de oscilações por unidade de tempo. Ela é medida em Hertz, (1Hz = 1/s). 
Para nosso oscilador, a freqüência 
 
k
mT
f
2
11
 
ou 
 
m
k
.f
2
1
 
que é chamada de freqüência própria ou natural do sistema. 
Podemos, também, definir a freqüência angular, ou pulsação, do sistema (の), comoμ 
 
m
k
..f.


2
1
22  
ou 
m
k
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
60 
medida em radianos por segundo (rad/s). 
Então podemos escrever que: 
 )t.cos(.A)t(x  
Naturalmente, a partir da função horária do espaço, podemos escrever a função horária da velocidade do corpo: 
 dx(t) / dt = v(t) = - A (k/m)1/2 sen [(k/m)1/2t] 
ou v(t) = - A の sen [の t] 
Como o módulo do valor máximo da função seno é 1, o módulo da velocidade máxima do corpo será 
 ｡vmax｡= A. の 
e, claro, a partir da função horária da velocidade do corpo podemos escrever a função horária da aceleração do 
corpo: 
 dv(t) / dt =  (t)  - A. の2. cos [の t], 
ou t - A. の2. cos [の t] 
e, novamente, como módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo da aceleração máxima do corpo será 
｡ max ｡ = A. の2 
 
A Figura 11 apresenta os diagramas horários do espaço, da velocidade e da aceleração para um corpo em 
MHS com as seguintes características: A = 0,50 m; m = 5 Kg e k = 20 N/m. Conseqüentemente teremos: T = 3,14 
s ; f =0,32 Hz e の =2,00 rad/s. 
 
 
 
Figura 11 - Diagramas horários do espaço, da velocidade e da aceleração para um corpo em MHS 
 
É fácil perceber que o espaço e a velocidade estão defasados de ヾ/2 radianos ｠ a explicação matemática 
é simples: 
inicialmente temos que: x(t) = A. cos(の t) 
e temos, também, que: v = vmax. sen(の t) 
mas, com o auxílio da trigonometria: sen(x+ ヾ/2) = cos(x) 
ou então: sen(x) = cos(x - ヾ/2) 
então podemos escrever que: v = vmax cos(の t - ヾ/2) 
isso implica em que a velocidade está ”adiantada” em relação ao espaço de ヾ/2 radianos, ou seja, a velocidade é 
máxima quando o espaço é zero, e o espaço é máximo quando a velocidade é zero. 
Raciocínio semelhante podemos fazer entre espaço e aceleração. Vejamos: 
temos que: x(t) = A. cos(の t) 
e também que:(t)  - A. の2. cos [の t] 
 logo: (t)  - の2. x(t) 
o que significa que espaço e aceleração estão em oposição de fase (diferença de fase de ヾ radianos), ou seja 
quando o espaço é máximo positivo a aceleração é máxima negativa e vice versa. 
 
A dinâmica do Movimento Harmônico Simples (MHS) 
O “Princípio da conservação da Energia” nos garante que a soma de todas as energias de um sistema 
fechado permanece constante no tempo. 
Em nosso sistema massa-mola, livre da ação de forças dissipativas, a única modalidade de energia 
envolvida é a Energia Mecânica, e a Energia Mecânica de um sistema é soma da Energia Cinética e Energia 
Potencial do sistema. 
 
Material de divulgação para distribuição semfins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
61 
A Energia Cinética é definida como: 
 Ec = mv
2/2 
Uma vez que a coordenada de alturas do corpo permanece constante a Energia Potencial Gravitacional 
permanecerá constante, de modo que só interessará considerar a Energia Potencial Elástica, 
então podemos escrever que: 
dx
dU
F elástica
 
e como x.kelásticaF  
então 
dx
dU
x.k  então dx.x.kdU  e portanto 
x
dx.x.k
x
dx.x.kU
00
 
logo: 
2
2x.k
U  
Como dissemos antes, a ausência de forças dissipativas garante que a Energia Mecânica do sistema 
permanece constante no tempo. Portanto: 
 Et = Ec + U = (m/2) d
2x/dt2 + kx2/2 = constante 
a equação acima evidencia a conversão contínua entre energia cinética e potencial. 
Como a energia total é constante, podemos determiná-la na condição de maior conveniência. A condição 
mais interessante corresponde ao momento em que o corpo é abandonado (v = 0) no ponto de abscissa A (Figura 
6). 
 
nessa condição como a velocidade é nula... v = 0 s Ec = m.v2/2 = m.02/2 = 0; 
 e como x = A... x = A s U = k.x2/2 = k.A2/2, 
e portanto Et = Ec + U = kA
2/2 = constante 
A Figura a seguir apresenta a conservação da Energia Mecânica do sistema e a conversão contínua entre 
Energia Cinética e Potencial, para um oscilador harmônico simples com as seguintes características: A = 0,50 m; 
m = 5 Kg e k = 20 N/m. 
Balanço de Energias no MHS
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0,00 0,16 0,31 0,47 0,63 0,79 0,94 1,10 1,26 1,41 1,57 1,73 1,88 2,04 2,20 2,36 2,51 2,67 2,83 2,98 3,14
tempo (s)
E
 (
J
) Ec(t)
U(t)
E(t)
 
 
O estudo do MHS é fundamental para a compreensão dos fenômenos oscilatórios porque para a maioria 
dos sistemas oscilatórios que apresentam posição de equilíbrio com deslocamentos pequenos em torno dessa 
posição de equilíbrio e na ausência de forças dissipativas (ou quando podem ser negligenciadas), a força 
resultante obedece à Lei Hooke. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
62 
PARTE PRÁTICA 
 
EXECUÇÃO 
1) Montar e arranjo experimental conforme a Figura 
 
2) Anote massa do conjunto massa/suporte; 
 g21mm ortesupmola  
3) Coloque no suporte um massor (uma corpo de massa padrão) de massa 50 
g, e faça com que o conjunto entre em oscilação. 
 
Importante: para tentar reduzir o erro experimental, as oscilações devem 
ocorrer exclusivamente na direção vertical e com pequena amplitude! 
 
4) Meça o tempo (t) de 10 oscilações consecutivas e divida esse valor por 10 
para calcular o Período de oscilação para cada massa utilizada. Anote esses valores na Tabela. 
 
5) Repita os itens 2; 3; e 4 para difernetes valores de massas. 
 
6) Para cada valor de massa (m) de massor determinar a massa pendular(M), isto é a massa efetiva que oscilou, 
ou seja, a massa (m) do massor somada à massa da mola (mmola), somada à massa do suporte (msuporte). Ou 
seja 
 ortesupmola mmmM  
mas g21mm ortesupmola  
portanto g21mM  
a partir desses dados determinar a constante elástica da mola (k) 
 
7) No fundamento teórico mostramos que 
 
k
m
..2T  , Importante! m é a massa pendular que em nosso caso é M, dado por 
ortesupmola mmmM  
portanto 
k
M
..2T  
22 )
k
M
..2()T(  ou seja 
k
M
..4T 22  , 
então 
2
2
T
M
..4k  
A partir desse resultado vamos determinar a constante elástica da mola (k), utilizando dois métodos 
diferentes, e comparar os resultados obtidos: 
Método 1 – Para cada massa pendular (M), aplicar que: 
2
2
T
M
..4k  (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular para Kilograma) 
e determinar um valor de constante elástica da mola (k) para cada valor de massa pendular. 
 
O valor experimental obtido para a constante elástica da mola será a média aritmética dos valores calculados. 
4
k3kkk
k 421

 
 
Método 2 – A partir da equação 
2
2
T
M
..4k  
 podemos escrever 
2
2
T.
.4
k
M

 
 
Figura – Esquema do arranjo 
experimental. 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
63 
se imaginarmos que T2 é uma variável independente x, e M é uma variável dependente y então 
x.
.4
k
y
2
 , 
que é uma função de 1º grau e cujo diagrama é uma reta crescente passando pela origem, onde o coeficiente 
angular da reta é 
2.4
 ktg  
 ou seja  tgk ..4 2 
Em outras palavras, se construirmos o diagrama cartesiano, 
de modo que no eixo vertical (eixo y) lançarmos a massa pendular 
(M) (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular 
para Kilograma), e no eixo horizontal (eixo x) o quadrado do período 
(T2), obteremos um diagrama conforme a figura ao lado, onde 
  tgk ..4 2 
Então, vamos construir em papel milimetrado um diagrama 
cartesiano, de modo que no eixo vertical (eixo y) lançarmos a massa 
pendular (M) (Importante! Não esqueça de transformar a massa pendular para Kilograma), e no eixo 
horizontal (eixo x) o quadrado do período (T2). 
A partir dos valores do quadrado do período (T2) e da massa pendular (M) lançados na Tabela 1, 
lançamos os pontos no diagrama; 
Traçar a reta média; 
Escolher um ponto na reta média; 
Para esse ponto escolhido calculamos a declividade da reta (tang g), usando por exemplo que 
 
adjacentecat
opostocat
tg
.
.
 ; 
Para determinar k, fazer  tgk ..4 2 . 
Comparar e discutir os valores encontrados para a constante elástica pelo Método 1 e pelo Método 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 06 
 
 EXPERIMENTO 05 
OSCILAÇÕES MECÂNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
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Dia da semana da Turma:_________________ 
 
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65 
 
ATIVIDADE 06- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EXPERIMENTO 05 – OSCILAÇÕES MECÂNICAS 
 
1) Um corpo de massa 2 kg está preso na extremidade livre de uma mola 
helicoidal, segundo uma direção horizontal. Para uma elongação de 10 cm é 
necessária uma força de intensidade 5 N. Calcule o período de oscilação e a 
pulsação desse movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma mola horizontal sofre um alongamento de 8 cm a partir de seu estado de equilíbrio quando se aplica 
uma força de 6 N. Nesta condição, liga-se à extremidade livre da mola um corpo de massa 2 kg. 
Abandonando-se o conjunto, o corpo começa a oscilar, efetuando um MHS. Desprezando as forças 
dissipativas, determine: 
a) A constante elástica da mola; 
b) O período do movimento;c) A amplitude do movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um corpo de massa 0,1 kg oscila em torno da posição de equilíbrio O, animado de movimento harmônico 
simples, na ausência de forças dissipativas. A mola tem constante elástica 40 N/m e a energia mecânica total 
do sistema é 0,2 J. 
a) Qual a amplitude de oscilação do movimento? 
b) Qual o período do movimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 07 
 
 EXPERIMENTO 05 
OSCILAÇÕES MECÂNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:______________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
67 
 
ATIVIDADE 07- RELATÓRIO 
EXPERIMENTO 05 – OSCILAÇÕES MECÂNICAS 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
EXECUÇÃO: 
1) Monte e arranjo experimental conforme a Figura ao lado. 
 
2) Anote massa do conjunto massa/suporte: 
 
 
3) Agora, para cada massa (m) de massor vamos determinar a massa pendular(M), isto é a massa efetiva que 
oscilou, ou seja, a massa (m) do massor somada à massa da mola (mmola), somada à massa do suporte 
(msuporte). Ou seja: 
M = m + m mola + m suporte (observe o item anterior) 
Preencha a coluna M da TABELA em g e em kg. 
4) Coloque no suporte um massor (uma corpo de massa padrão) de massa 50 g, e faça com que o conjunto 
entre em oscilação. 
IMPORTANTE: Para tentar reduzir o erro experimental, as oscilações devem ocorrer exclusivamente na 
direção vertical e com pequena amplitude! 
5) Meça o tempo (t) de 10 oscilações consecutivas. Anote esses valores na TABELA. 
6) Para cada valor de massa oscilante (M), determinar o valor do período de oscilação (T) da seguinte maneira: 
 
10
10 oscilaçõesparat
T  . Preencha a coluna T da TABELA. 
7) Para cada valor de período de oscilção (T) obtido no item anterior determinar o quadrado desse período de 
oscilação. Preencha a coluna T2 da TABELA. 
 
TABELA 
 
 
8) Complete a TABELA, calculando o valor da constante de elasticidade da mola utilizada no experimento para 
cada valor de massa oscilante aplicando a seguinte equação: 
 
2
2
T
M
..4k  
m (g) M (g) M (Kg) 
tempo ( t ) 
para 10 
osc.(s) 
T (s) T2 (s2) k (N/m) 
100 
200 
300 
400 
 m mola + m suporte = ___________ g 
 
 
 Figura – Esquema do 
arranjo experimental. 
 
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68 
9) Determinar a constante elástica da mola pelo MÉTODO 1, ou seja, o valor experimental obtido para a 
constante elástica da mola por esse método será a média aritmética dos valores calculados. 
4
k3kkk
k 421

 Assim: 
 
 
10) Determinar a constante elástica da mola pelo METÓDO 2, ou seja, graficamente. Para tanto será necessário 
construir em papel milimetrado um diagrama cartesiano, de modo que no eixo vertical será lançada a massa 
pendular (M) e no eixo horizontal o quadrado do período (T2). O valor experimental obtido para a constante 
elástica da mola por esse método será dado pela seguinte expressão: 
  tgk ..4 2 
onde tg  é a declividade da reta obtida no diagrama. 
 
 DIAGRAMA M x T2 
 
 
 
Do gráfico tem-se que _______
..
..
  tg
adjcat
opcat
tg , então 
 
 ___________________..4..4
22   ktgk Assim: 
 
RESPONDER: 
1) Qual o valor da constante elástica da mola obtido no experimento através dos dados da tabela? 
_____________________________________________________________________________________ 
2) Qual o da constante elástica da mola obtido no experimento através dos dados do gráfico? 
______________________________________________________________________________________ 
3) Compare os valores obtidos,Esses valores foram os esperados para esse experimento? 
______________________________________________________________________________________ 
4) Justifique a semelhança ou a diferença entre os resultados obtidos. 
______________________________________________________________________________________ 
kM1 = _____________ (N/m) 
kM2 = _____________ (N/m) 
 
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69 
EXPERIÊNCIA 06 
ONDAS MECÂNIAS PROGRESSIVAS 
 
OBJETIVO 
Compreender os conceitos, reconhecer , caracterizar e operar os elementos de uma onde mecânica 
progressiva. 
 
PROCEDIMENTO 
 Através de fimdamentação teórica e exemplos práticos resolver os exercícios propostos. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Introdução 
 Como foi visto nos experimentos anteriores, pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes 
estruturas (grandes edificações) até estruturas microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Para 
entender esses processos vibratórios utilizamos um oscilador harmônico composto de um corpo preso a uma 
mola, denominado oscilados massa-mola e analisamos seu movimento oscilatório e a distribuição da energia 
armazenada no corpo durante o processo. 
 Uma onda mecânica é uma oscilação em um meio elástico. Podemos citar como exemplos ondas na 
superfície da água, ondas sonoras, em uma corda, etc. 
 Essas ondas são chamadas mecânicas porque se originam no deslocamento de uma parte de um meio 
elástico em relação à sua posição original, ocasionando a oscilação dela em torno de uma posição de equilíbrio. 
Devido às propriedades elásticas do meio, o distúrbio é transmitido de uma camada à seguinte e esse distúrbio, 
ou onda, progride através do meio. É importante notar que o próprio meio não se move como um todo juntamente 
com o movimento ondulatório, mas a energia das partículas pode ser transmitidas a distâncias consideráveis. Para 
ilustrar esse fenômeno podemos tomar como exemplo um pequeno objeto flutuante em ondas da superfície da 
água onde observamos que o movimento real da água é ligeiramente para cima e para baixo e para frente e para 
trás. Contudo, as ondas de água propagam-se continuamente ao longo da água. Quando essas ondas atingem o 
objeto flutuante estes são postos em movimento, adquirindo energia transmitida pelas ondas. 
 A energia das ondas é a energia cinética e potencial da matéria, mas a transmissão da energia ocorre 
pela sua passagem de uma parte do meio à seguinte e não por um movimento de longo alcance da própria 
matéria. 
 Ondas são caracterizadas pelo transporte de energia sem o transporte de matéria. 
 Para a transmissão das ondas mecânicas é necessário haver um meio material. As propriedades desse 
meio determinarão a velocidade de uma onda nesse meio elástico. 
 
Tipos de ondas 
 As ondas de uma maneira geral podem ser classificadas de acordo com alguns parâmetros. 
Quanto à direção de vibração das partículas 
Quando o movimento das partículas materiais que transmitem a onda estárelacionada com a direção de 
propagação da própria onda, as ondas podem ser consideradas transversais ou longitudinais. 
 
 Ondas transversais 
 Uma onda é dita transversal quando o movimento das partículas materiais que transmitem a onda for 
perpendicular á direção de propagação da própria onda. 
 Se um pedaço de corda se movimenta por causa de um puxão de um agente externo que cria um pulso 
em um pedaço de sua extremidade, e ao se movimentar esse pedaço de corda puxa o pedaço vizinho. A 
perturbação inicial coloca paulatinamente toda a corda em movimento, na medida que o pulso se propaga. 
Quando uma onda se propaga em uma corda, os pedaços se movimentam oscilando na direção vertical enquanto 
que a onda se propaga na direção horizontal. Em outras palavras, a matéria oscila em uma direção enquanto a 
onda se propaga na direção perpendicular, e uma onda desse tipo é dita transversal. 
 
 
 
Fig. 1 – Esquema de uma onda transversal se propagando em uma corda. 
 
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70 
 
 Ondas longitudinais 
 Uma onda é dita longitudinal se o movimento das partículas que transmitem a onda tiver a mesma direção 
de propagação da onda. 
 Consideremos um tubo cheio de ar, com um êmbolo numa das extremidades. Ao ser pressionado o 
êmbolo cria uma pequena perturbação no ar de sua vizinhança e essa perturbação se propaga até a outra 
extremidade do tubo. Enquanto está sendo pressionado o êmbolo cria próximo à sua superfície uma região 
volumétrica onda a pressão do ar é maior que a sua pressão de equilíbrio. Essa região de pressão modificada 
(aumentada) perturba a região vizinha, enquanto ela própria tende a voltar ao valor de pressão inicial. 
 
Fig. 2 – Esquema de uma onda longitudinal que se propagando em um tubo. 
 Vamos considerar o ar do tubo dividido em pequenos volumes, de largura muito pequena mas com uma 
área igual a área transversal do tubo. Uma região de pressão modificada (aumentada) acontece quando pequenos 
volumes se adensam, diminuindo ainda mais a sua pequena largura original. Quando o êmbolo pressiona o ar no 
tubo ele adensa os pequenos volumes. Esse adensamento vai se deslocando, de modo que uma região perturba 
a região vizinha e depois disso retorna a situação original. 
 Se o tubo estiver na posição horizontal, os pequenos volumes serão perturbados e oscilarão na direção 
horizontal, em torno de sua posição de equilíbrio. A perturbação (pulso) também se propaga na mesma direção 
horizontal. . Em outras palavras, a matéria oscila numa direção e a onda se propaga na mesma direção, e uma 
onda desse tipo é dita longitudinal. 
 Devemos notar que há ondas que não são exclusivamente transversais ou longitudinais. É o caso das 
ondas que se propagam na superfície da água, cujas partículas descrevem trajetórias elípticas enquanto a onda 
se propaga. 
Quanto ao número de dimensões em que propagam energia 
Nesse caso as ondas podem ser unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. 
Como exemplo de ondas unidimensionais temos ondas em cordas; as bidimensionais podem ser 
exemplificadas por ondas numa superfície da água e as tridimensionais podem ser representadas pelas ondas 
sonoras no ar. 
 
 
Fig. 3 – Onda unidimensional, onda bidimensional e onda tridimensional. 
 
Quanto ao comportamento das paratículas durante o tempo de propagação 
 
Podemos produzir em uma corda um único pulso ou um trem de ondas. 
No caso de um pulso em uma corda, por exemplo, cada partícula permanece em repouso até ser 
alcançada pela onda e, assim, se move por um curto período de tempo. 
Se continuamos a mover a extremidade da corda a partícula será continuamente excitada pela onda. Se o 
movimento da extremidade da corda for periódico, produz-se nessa corda um trem de ondas periódico. 
Temos como caso especial mais simples de onda periódica a onda harmônica simples, que produz em 
cada partícula um MHS. 
 
 
 
 
 
 
 
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71 
 
Fig. 4 – Pulso em uma corda e trem de ondas em uma corda. 
 
Quanto à forma da frente de onda 
 
Considerando um pulso tridimensional, pode-se desenhar uma superfície que passe por todos os pontos 
que em um dado instante sofreram o mesmo distúrbio. Com o decorrer do tempo, essa superfície se move, 
revelando como se propaga o pulso. Podemos generalizar essa idéia e no caso de uma onda periódica 
desenhando-se superfícies cujos pontos estejam todos na mesma fase de movimento. 
A estas superfícies chamamos frentes de onda. Se o meio for homogêneo e isotrópico, a direção de 
propagação será sempre perpendicular à frente de onda. 
 As frentes de onda podem ter formas variadas. Estudaremos aqui as frentes de onda planas e esféricas. 
 
Ondas progressivas 
 
Vamos considerar uma longa corda esticada. Se uma onda transmite sua energia de um ponto até o outro 
da corda dizemos que essa onda é uma onda progressiva. 
Considerando esta corda esticada, sua direção de propagação será considerada como eixo Ox. 
Suponhamos, também, que nessa corda se propague uma onda transversal. Em um dado instante, vamos supor t 
= 0 e a forna da corda pode ser representada pela função y = f (t) 
 
Equação da onda unidimensional 
 
Para escrever a equação da onda vamos imaginar uma onda transversal senoidal que se propaga na 
direção, e sentido positivo, do eixo X (como na corda considerada), com velocidade de módulo v. A deformação do 
meio material produzida pela onda se desloca no espaço com o passar do tempo. 
 
 
 
A figura representa a onda no instante de tempo (t = 0), considerado como instante inicial, e num instante 
(t) posterior qualquer. Como admitimos ondas senoidais (harmônicas), em qualquer instante de tempo, o padrão 
espacial da onda é dado por uma função harmônica (seno ou cosseno). Assim, para t = 0, podemos escrever 
y(x, 0) = A sen k.x 
onde: 
 
 
 
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72 
A = amplitude da onda; 
e 
K = número de onda = (2.ヾ/そ). 
Pela própria característica periódica de uma onda e da função trigonométrica seno podemos escrever que: 
y (x + そ, 0) = y (x, 0) e portanto 
 
A.sen k.(x + そ) = A. sen kx, 
ou ainda, 
sen (k.x + k.そ) = sen kx, 
que é uma identidade trigonométrica porque como 
K = número de onda = (2.ヾ/そ), 
então 
k.そ = 2.ヾ. 
Ora se admitirmos os pontos x' e x, de modo que x - x' = vt, ou seja, tal que x - x' representa a distância 
percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos: 
y(x,t) = y(x',0) 
ou: 
y(x,t) = y(x - vt,0) 
A partir da equação fundamental da onda temos que: 
 
k.2
.
k
1
.)
.2
.(f.v 

 

  
 
e usando a expressão acima para y(x,0) 
y(x,t) = A.sen (x – v.t) = A.sen (k.x – w.t), ou seja 
y(x,t) = A.sen (k.x – w.t), 
 
Claro que para chegar a essa equação admitimos que y(0,0) = 0, o que não é verdade em um caso 
qualquer. É necessário admitir uma fase inicial. 
Para considerar uma situação qualquer é necessário introduzir uma fase inicial l0. de modo que a 
equação geral da onda que se propaga na direção, e sentido positivo do eixo X, com velocidade de módulo v é: 
y(x,t) = A sen (kx - wt + l0) 
 
Naturalmente que quisermos descrever uma onda que se propaga na direção X, mas em sentido contrário 
(sentido negativo do eixo X) fazemos v´= – v e então teremos: 
y(x,t) = A sen (kx + wt + l0) 
 Apesar desta apresentação ter sido fundamentada na descrição de ondas transversais os resultados são 
os mesmos para ondas longitudinais, 
 
Princípio da Superposição 
 
Para muitos tipos de ondas, a experiência nos mostra que duas ou mais ondas podem cruzar-se na mesma 
região do espaço independentemente uma da outra. O fato das ondas serem independentes uma da outra 
significa que o deslocamento de qualquer partícula, em um dado instante, é simplesmentea soma dos 
deslocamentos que seriam produzidos se as ondas agissem isoladamente. 
 Este processo de adição vetorial de deslocamentos de uma partícula denomina-se superposição. 
Podemos exemplificar o fenômeno através de ondas de rádio que possuem numerosas freqüências e passam por 
uma determinada antena de rádio. As ondas formadas pela superposição de todas essas ondas são muito 
complexas. É possível, no entanto, sintonizar uma emissora particular. 
 Fisicamente o princípio da superposição é importante porque, quando válido, torna possível analisar um 
movimento ondulatório complicado como sendo a combinação de ondas simples. 
Interferência de ondas 
 
A interferência refere-se aos efeitos físicos da superposição de duas ou mais ondas. 
Para compreender a interferência entre ondas mecânicas vamos observar as ondas que se propagam na 
superfície da água. 
Vamos imaginar um operador com um bastão que toca uma única vez, a superfície plana de águas 
paradas de um lago. O ponto em que o bastão atinge a superfície do lago passa a operar como a fonte de uma 
perturbação ou pulso que se propagam em todas as direções na superfície da água. 
Agora vamos imaginar a mesma situação, porém o bastão passa a tocar a água sucessivas vezes e de 
forma periódica, por exemplo, uma vez a cada segundo, ou 2 vezes a cada segundo (freqüências f1 = 1 Hz e f2 = 2 
Hz, respectivamente) agora você terá ondas que se propagam em todas as direções na superfície da água 
(Figura 5). 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
73 
 
Figura 5 – Ondas circulares na superfície plana de um líquido. 
Agora, vamos imaginar que o operador toque a superfície da água não apenas com um bastão, mas com 
dois bastões e em pontos diferentes. Agora temos duas fontes de onda F1 e F2, de características semelhantes à 
situação descrita anteriormente. Essas fontes vão gerar ondas que em alguma região da superfície da água, vão 
sofrer sobreposição dando origem a um fenômeno que chamamos de Interferência e apresenta um padrão visual 
semelhante ao apresentado na Figura 6. 
 
 
Figura 6 – Padrão de superposição de ondas circulares na superfície plana de um líquido. 
Para entender fisicamente esse fenômeno, de muitas aplicações em tecnologia, vamos admitir que F1 
produza ondas de comprimento de onda そ1 e que F2 produza ondas de comprimento de onda そ2 e vamos analisar 
um corte transversal esquemático da superfície da água (Figura 6). 
 
 
Figura 7 – Corte transversal esquemático da superfície da água, mostrando a amplitude e o comprimento de onda 
das ondas produzidas por F1 e F2. 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
74 
Agora vamos sobrepor essas imagens (Figura 8): 
 
Figura 8 – Corte transversal esquemático da superfície da água, mostrando a sobreposição das ondas produzidas 
por F1 e F2. 
 
Analisando a Figura 7 podemos observar que há pontos, como P, por exemplo, em que se a superfície da 
água fosse deformada apenas pelas ondas produzidas por F1, a deformação seria d acima da superfície horizontal 
da água e se a deformação fosse apenas a produzida pela fonte F2, seria d, abaixo da superfície horizontal da 
água. 
Mas como os efeitos são simultâneos (e nesse caso, simétricos em relação à superfície horizontal da 
água) a resultante dos efeitos é tal que a deformação na superfície da água em P é nula (soma dos efeitos d+( -
d) = 0), ou seja, o ponto P permanece sobre a superfície horizontal da água. 
Também há pontos, como por exemplo, M, em que se a superfície da água fosse deformada apenas pelas 
ondas produzidas por F1, a deformação seria a acima da superfície horizontal da água e se a deformação fosse 
apenas aquela produzida pela fonte F2, seria b, também acima da superfície horizontal da água. E novamente, 
como os efeitos são simultâneos (a acima da superfície da água e b, também acima da superfície horizontal da 
água) a resultante dos efeitos é tal que a deformação na superfície da água em M é a soma das deformações 
(a+b), nesse caso acima da superfície horizontal da água. 
É importante perceber que a descrição acima é verdadeira apenas para o instante t (instante mostrado na 
Figura 7). Não podemos esquecer que consideramos ondas com amplitudes, comprimentos de onda e 
velocidades de propagação diferentes e que, portanto, a deformação da superfície da água irá variar a cada 
instante. Dessa forma, a deformação da superfície da água no ponto P (que no instante t considerado é nula) 
deixará de ser nula no instante seguinte. De forma análoga, a deformação da superfície da água no ponto M (que 
no instante t considerado é máxima acima da superfície da água) diminuirá no instante seguinte, e com o passar 
do tempo será nula, depois a superfície da água, em M, se deformará para baixo da superfície horizontal, em 
seguida atingirá o máximo de deformação nesse sentido, novamente será nula e processo de repetirá 
periodicamente. 
O fenômeno descrito acima é chamado INTERFERÊNCIA DE ONDAS. 
Vamos considerar duas ondas de mesma freqüência e mesma amplitude que se propagam com a mesma 
velocidade, no mesmo sentido (Ox positivo), havendo entre elas uma diferença de fase. 
)(1  tkxsenyy M  
e )(2 tkxsenyy M  
A onda de interferência pode ser definida como 21 yyy  
 tkxsentkxsenyy M   ()( 
 


 
2
cos).(.2 tkxsenyy M  
 )
2
(.
2
cos..2




  tkxsenyy M  que é a equação que define a onda de interferência. 
 
 Note que a parte do colchete se refere a amplitude da onda e portanto quando  tender a zero, a 
amplitude da onda será o dobro da amplitude das ondas componentes, mas se  tender a  ou180° a amplitude 
da onda se anulará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
 
ATIVIDADE 08 
 
 EXPERIMENTO 06 
ONDAS MECÂNICAS PROGRESSIVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
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ATIVIDADE 08- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EXPERIMENTO 06 – ONDAS MECÂNICAS PROGRESSIVAS 
 
4) A equação de uma onda transversal progressiva onde x e y são expressos em 
metro, o tempo em segundo e ângulos em radianos é dada por: 
 )t..2x..5,2(sen0,2y   
Determinar: 
a) A amplitude da onda. 
 
 
b) A freqüência. 
 
 
c) O comprimento de onda. 
 
 
d) O módulo da velocidade de propagação da onda. 
 
 
e) O sentido de propagação. 
 
f) O módulo da velocidade transversal máxima de uma partícula do meio de propagação. 
 
 
 
 
 
 
5) Quando uma corda de violão é colocada em vibração, gera no ar em sua volta uma onda sonora que se 
propaga com velocidade média de 340m/s. Se essaa corda vibrar com freqüência de 440 Hz, qual será 
o comprimento da onda sonora que se propagará no ar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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77 
6) Escrever a equação de uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo x, sabendo as seguintes 
características: amplitude 20 cm; período = 0,5 s; velocidade de propagação = 50 m/s e que para x = 0 e 
t = 0 tem-se que y = 10 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A figura ao lado representa uma onda 
periódica propagando-se na água (a onda 
está representada de perfil). A velocidade 
de propagação desta onda é de 40m/s, e 
cada quadradinho possui 10 cm de lado. 
Determinar: 
a) O comprimento de onda () desta onda. 
 
b) A amplitude (A) desta onda. 
 
c) A freqüência (f) da onda. 
 
 
d) O período (T) de oscilação do barquinho sobre a onda. 
 
 
e) A equação geral dessa onda. 
 
 
 
 
 
 
5) Uma das extremidades de uma corda de 6 m de comprimento oscila para cima e para baixo com um 
movimento harmônico simples, com a freqüência de 60 Hz. As ondas atingem a outra extremidade da 
corda 0,5 s depois de partirem. Achar o comprimento de onda das ondas na corda. 
 
 
 
 
 
 
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78 
 
EXPERIÊNCIA 07 
ONDAS MECÂNIAS ESTACIONÁRIAS – CORDAS VIBRANTES 
 
OBJETIVO 
Estudar ondas estacionárias confinadas entre extremidades fixas, pela análise dessas ondas estacionária 
em cordas com extremidades fixas e determinar graficamente os expoentes das grandezas envolvidas na equação 
de Mersenne para verificação e teste dessa equação. 
 
PROCEDIMENTO 
 Utilizando um gerador de frquências verificar a variação da frequência de ressonância em uma corda com 
suas extremidades fixas em realação à variação do comprimento, da força tensora aplicada e da densidade linear 
de massa da referida corda. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Princípio da Superposição 
Como vimos no item “FUNDAMENTO TEÓRICO” do experimento “ONDAS (MECÂNICAS) 
PROGRESSIVAS” quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio, ocorre o que 
chamamos de superposição de ondas. 
Para relembrar esse conceito vamos imaginar a situação apresentada na Figura 1: duas ondas 
propagando-se numa corda (a onda 1, de amplitude a1, se propaga da esquerda para a direita, e a onda 2, de 
amplitude a2, que se propaga da direita para a esquerda). 
Vamos admitir que essas ondas atinjam o ponto P no mesmo instante, elas vão causar nesse ponto uma 
perturbação que é igual à soma das perturbações que cada onda causaria se o tivesse atingido individualmente, 
ou seja, a onda resultante é igual à soma algébrica das ondas que cada uma produziria individualmente no ponto 
P, no instante considerado. 
 
E, após a superposição, as ondas vão continuar se propagando com os mesmos parâmetros que antes da 
superposição, como se nada houvesse acontecido. 
Quando as ondas que se superpõe se apresentam como na Figura 2, as perturbações individuais são 
subtraídas ( trata-se de uma soma algébrica). Naturalmente se as amplitudes forem iguais a deformação 
resultante apresentará amplitude nula. 
 
Observe o modelo de explicação do fenômeno de superposição de ondas, em detalhe, na Figura 3. No 
caso da Figura 3 (a), temos o que chamamos de interferência construtiva — o módulo da amplitude da onda 
resultante é dado pela soma dos módulos das amplitudes das ondas componentes. Já no caso da Figura 3 (b), 
temos o que chamamos de interferência destrutiva — o módulo da amplitude da onda resultante é dado pela 
diferença dos módulos das amplitudes das ondas componentes. 
 
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79 
 
 
Fig. 3 – Interferência de ondas 
Ondas estacionárias 
Ondas estacionárias são ondas resultantes da superposição de duas ondas que se propagam no mesmo 
meio, de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção de propagação e 
sentidos opostos. 
Vamos imaginar a seguinte situação (Figura 4): uma corda com uma extremidade livre e a outra 
extremidade fixa (por exemplo, a uma parede rígida). Vamos fazer com que a extremidade livre dessa corda vibre 
em movimentos verticais periódicos. Dessa forma produzimos perturbações regulares que se propagam pela 
corda, caracterizando uma onda progressiva que se propaga inicialmente da esquerda para a direita da figura. 
 
 
Fig. 4 – Onda estacionária 
Em determinado instante essas ondas começam a atingir a extremidade fixa e se refletem, retornando a 
propagar-se pelo meio (corda) porém com sentido de propagação contrário ao inicial. 
Dessa forma temos ondas que se superpõe umas às outras (incidentes e refletidas, de mesmos 
parâmetros, apenas de sentido de propagação contrário) dando origem à formação de ondas estacionárias. 
Como pode ser visto na Figura 5, ondas estacionárias se caracterizam por apresentar pontos que oscilam, 
caracteristicamente, com amplitudes diferentes. Em outras palavras, existirão pontos, do meio de propagação, que 
permanecerão em repouso prolongado, ou seja apresentarão constantemente amplitude de oscilação nula — 
chamados nós (ou nodos, N) — enquanto outros pontos (A1), apresentarão constantemente amplitude de variação 
a1, outros pontos (A)2, apresentarão constantemente amplitude de variação a2, e assim sucessivamente até que 
determinados pontos (V) — chamados ventres — vibrarão constantemente com amplitude de oscilação máxima. 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
80 
 
Fig. 5 – Elementos da onda estacionária 
 
É importante observar que: 
 Todos os pontos do meio de propagação vibram com a mesma freqüência, mas com amplitudes diferentes 
(exceto os nós que permanecem em repouso prolongado); 
 A distância entre ventre é nó consecutivo é そ/4; 
 A distância entre ventre é ventre consecutivo é そ/2; 
 A distância entre nó é nó consecutivo é そ/2; 
 Como os nós permanecem em repouso prolongado ondas estacionárias não transportam energia. 
 
Ondas estacionárias em uma corda 
 
Ondas confinadas entre duas paredes, como numa corda posta a vibrar, presa pelas duas extremidades e 
posta a vibrar (ou as microondas na câmara de cozimento, daí o nosso interesse tecnico), sofrem múltiplas 
reflexões, dando origem a ondas que se propagam em sentidos opostos. 
Essas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesma velocidade, mesma direção e sentidos 
opostos, sofrem superposição. E a essa superposição forma ondas estacionárias, cujos parâmetros dependem 
da relação entre o comprimento de onda da onda e da distância entre as extremidades. 
Na Figura 6 vemos formas de ondas estacionárias formadas por uma corda fixa pelas duas extremidades. 
 
Figura 6 - Ondas estacionárias numa corda com as duas extremidades fixas. Vemos quatro modos de vibração 
(ou quatro harmônicos) de uma mesma corda. As regiões que apresentam amplitude de vibração máxima (V) são 
os ventres, e as regiões sem vibração (N) são os nodos. 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
81 
Se transferirmos a uma das extremidades da corda um movimento harmônico simples, de pequena 
amplitude, de forma que possamos variar a freqüência de oscilação, vamos verificar que, para determinadas 
freqüências de oscilação, vão se formar diferentes formas de ondas estacionárias na corda. 
Análise matemática do problema 
Vamos admitir uma corda de comprimento L, densidade linear た, tracionada por uma força, ou tensão F. 
Definida a força que tensiona a corda e a densidade linear da corda, podemos calcular a velocidade de 
propagação da onda na corda como 

F
v  (Equação de Taylor) 
Como vimos na Figura 6, dado o comprimento da corda L, em função da freqüência que faz com a corda 
entre em vibração temos: 
no caso da Figura 6 (a) (primeiro modo de vibração) 
 n= 1 ventre 
2
.1L 1
 (distância entre dois nós sucessivos)  
1
L.2
1  
no caso da Figura 6 (b) (segundo modo de vibração) 
 n= 2 ventres 
2
.2L 2
 (distância entre três nós sucessivos)  
2
L.2
2  
no caso da Figura 6 (c) (terceiro modo de vibração) 
 n= 3 ventres 
2
.3L 3
 (distância entre quatro nós sucessivos)  
3
L.2
3  
no caso da Figura 6 (d) (quarto modo de vibração) 
 n= 4 ventres 
2
.4L 4
 (distância entre cinco nós sucessivos)  
4
L.2
4  
 
se aplicarmos essa idéia sucessivamente vamos perceber que para o n-ésimo modo de vibração 
n
L.2
n  
Observação:o primeiro modo de vibração também é chamado de fundamental ou 1º harmônico. Os 
demais modos de vibração também podem ser chamados de harmônicos. 
Como, de acordo com a equação fundamental da onda f.v  e portanto 

v
f  então, 
L.2
v
.n
)
n
L.2
(
vv
f
n
n 

 
e substituindo a equação de Taylor na expressão acima 

F
.
L.2
n
fn  (Equação de Mersenne) 
 
Sugestão: Analise as cordas de um violão para identificar do que depende o som emitido quando vibram. Nele 
existem 6 cordas de espessuras e materiais diferentes, identificadas por mi, lá, ré, sol, si e mi (de cima para baixo, 
em ordem decrescente de espessura). Elas são afinadas usando a cravelha, impondo-se a tensão correta. Numa 
certa corda, já devidamente tensionada, sons diferentes são obtidos pela variação do seu comprimento em 
vibração, pressionando-a contra os trastes do braço do violão. Assim, identificamos três parâmetros envolvidos na 
afinação (ou na obtenção de uma determinada tonalidade de som): a espessura e o material da corda, que podem 
ser representados pela densidade, a tensão aplicada e o comprimento. 
 
Exemplos: 
1. Uma onda estacionária de freqüência 8 Hz se estabelece numa linha fixada entre dois pontos distantes 60 cm. 
Incluindo os extremos, contam-se 7 nodos. Calcule a velocidade da onda progressiva que deu origem à onda 
estacionária. 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
82 
Solução: 
 
Da figura cm20cm60
2
.6AB
2
.6   
 
Logo, como s/cm1608.20vf.v   ou s/m6,1v  
 
2. Quais são as três freqüências mais baixas das ondas estacionárias em um arame com 9,88 m de comprimento 
e massa 0,107 kg, que está sob uma tração de 236 N? 
 
Solução: 
Dado que m/Kg10.08,1
m88,9
Kg107,0
L
m 2 
E que 

F
.
L.2
n
fn  , então 47,7.n
10.08,1
236
.
)88,9.(2
n
f
2n


 
Então para n= 1  Hz47,747,7.1f1  
e para n= 2  Hz94,1447,7.2f2  
e para n= 3  Hz41,2247,7.3f3  
 
3. Uma corda de 50 cm de comprimento e densidade linear 1,0.10–5 kg/m tem suas extremidades fixas. Determinar 
a freqüência do primeiro harmônico emitido pela corda quando submetida a uma força de tração de intensidade 
6,4 N. 
Solução: 
Sabemos que para o primeiro harmônico 
 
m0,1)5,0.(2L.2
2
L   
A velocidade de propagação é dada pela equação de Taylor 
s
m
5
800
)10,1(
4,6
v
F
v 

 
e a partir da equação fundamental da onda 
 
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83 
Hz800
1
800v
ff.v 

 
 
4. Uma corda de massa m = 240 g e de comprimento d = 1,2 m vibra com freqüência de 150 Hz, no estado 
estacionário esquematizado. Determine a velocidade de propagação da onda na corda. 
Solução: 
 
Como a distância entre dois nós consecutivos
2

, temos: 
m8,0m2,1
2
.3   
e a partir da equação fundamental da onda 
s
m210.2,1)150).(8,0(f.v   
Exercícios propostos: 
1) Quais são as freqüências dos primeiros três harmônicos da corda mais longa de um piano? O comprimento da 
corda é 1,98 m e a velocidade da onda na corda é 130 m/s. 
 
 
 
 
 
2) A velocidade da onda na corda de freqüência mais elevada do violino é 435 m/s e o seu comprimento de L = 
0, 33m. Se um violinista tocar ligeiramente na corda num ponto a uma distância de L/3 da extremidade produz-
se aí um nodo. Qual é a freqüência mais baixa que pode agora ser produzida por esta corda? 
 
 
 
 
3) Um guitarrista vai afinar a corda em lá da sua guitarra. O comprimento da corda é 70 cm, a sua densidade é 
10-2 kg/m e o som produzido, quando está afinada, tem uma freqüência de 110 Hz. 
a) Calcule o comprimento de onda da onda que se propaga na corda quando esta está afinada; 
 
 
 
b) E se a corda estiver desafinada (vibrando por exemplo a uma freqüência de 100 Hz), o comprimento de onda é 
o mesmo? O que é que varia quando se estica a corda? 
 
 
 
c) Calcule a velocidade de propagação da onda na corda e a tensão a que esta fica sujeita quando está afinada. 
 
 
 
d) Qual a freqüência do 4º harmônico da corda afinada? 
 
 
 
4. Duas cordas com o mesmo raio e de materiais diferentes foram ligadas como indica a figura abaixo e 
tracionadas por uma tensão de 1N. 
 
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84 
 
Uma onda com uma velocidade de 10 m/s e comprimento de onda de 1 m propaga-se inicialmente na corda 1. 
a) Qual a freqüência e o comprimento de onda da onda que se transmite para o segmento de corda 2, sabendo 
que aí a velocidade de propagação é 5 m/s? 
 
 
b) Qual a razão entre a densidade linear (kg/m) do material da corda 1 e a da corda 2? 
 
 
c) Se a corda 1 tiver 1 m, que comprimento mínimo deverá ter a corda 2 para manter uma onda estacionária? 
 
 
PARTE PRÁTICA 
EXECUÇÃO 
1. Monte o esquema conforme figura. 
2. Varie lentamente a freqüência do oscilador de forma a 
observar a formação de ondas estacionárias; 
3. Observe a dependência entre freqüência e 
comprimento de onda da onda estacionária gerada; 
4. Ajuste a freqüência do oscilador de modo a que você 
possa observar especificamente o 2º modo de vibração 
ou segundo harmônico (n= 2). A situação que você vai observar será parecida com a apresentada ao lado. 
 
 
Nessa condição, o 2º modo de vibração, ou segundo harmônico, em que n= 2, a equação de Mersenne 

F
.
L.2
n
fn  
ficaria 

F
.
L
1F
.
L.2
2
f2  , que se reescrita na forma de exponencial 
2
1
2
1
1
2 .F.f

  
de agora em diante faremos f = f2 (sem esquecer que de agora em diante a freqüência f corresponde 
especificamente à freqüência do 2º modo de vibração), e também 
2
1
2
1
1






 
portanto nossa expressão de freqüência é 
  .F.Lf  
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
85 
5. Determine . Para isso mantenha constante “F” (o peso do massor) e “” (o diâmetro da corda), varie “L” (o 
comprimento da corda) e ajuste “f” de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma 
tabela da variação da frequência em relação ao comprimento da corda. 
6. Com os dados da tabela construa o gráfico f X L em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo 
 
A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado ; 
7. Determine . Para isso mantenha constante “L” (o comprimento da corda) e “” (o diâmetro da corda), varie “F” 
(o peso do massor) e ajuste “f” de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma 
tabela da variação da frequência em relação à força tensora aplicada à corda. 
8. Com os dados da tabela construa o gráfico f X F em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo 
 
A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado ; 
9. Determine . Para isso mantenha constante “L” (o comprimento da corda) e “F” (o peso do massor) varie “” (o 
diâmetro da corda), e ajuste “f” de modo a obter sempre o 2º modo de vibração. Dessa forma será obtida uma 
tabela da variação da frequência em relação à densidade linear de massa da corda. 
10. Com os dados da tabela construa o gráfico f X  em papel log – log (Di-log), semelhante à Figura abaixo 
 
A inclinação da curva (reta), isto é, o coeficiente angular da reta é o expoente procurado . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS (para as possíveis cordas 
utilizadas nesse experimento): 
0,3 = 6,58.10-5kg/m 
0,4 = 1,32.10-4kg/m 
0,5 = 2,31.10-4kg/m 
0,6 = 2,84.10-4kg/m 
0,7 = 3,86.10-4kg/m 
0,8 = 4,38.10-4kg/m 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 10 
 
 EXPERIMENTO07 
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:_______________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
87 
 
Figura – Esquema do arranjo experimental 
 
ATIVIDADE 10- RELATÓRIO 
EXPERIMENTO 07 – ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
EXECUÇÃO: 
1) Montar o esquema conforme figura ao lado. 
 
2) Variar lentamente a freqüência do oscilador de forma a 
observar a formação de ondas estacionárias. 
 
3) Observar a dependência entre freqüência e comprimento 
de onda da onda estacionária gerada. 
4) Ajustar a freqüência do oscilador de modo a que você 
possa observar especificamente o 2º modo de vibração 
ou segundo harmônico (n= 2). Observe a figura ao 
lado. Nessas condições nossa expressão de 
freqüência é 
  ..Ff  
5) Manter constante “F” (o peso do massor) e “” (o diâmetro da corda). Variar “” (o comprimento da 
corda) e ajustar “f ” de modo a obter sempre o 2º modo de vibração (n=2). 
6) Completar a TABELA 1. 
7) Com os dados da TABELA 1 construa, em papel Di-log, o gráfico f X . que deve ser semelhante à 
Figura abaixo 
TABELA 1: f x 
f (Hz) 
 (m) 1,5 1,3 1,1 0,9 
 
O coeficiente angular da reta é o expoente procurado (). 
 
adjacentecatetodommemgráficonoocompriment
opostocatetodommemgráficonoocompriment
""
""
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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88 
 
 
Cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
8) Com os dados da TABELA 2 construa, em papel Di-log, o gráfico f X F. que deve ser semelhante à Figura 
abaixo 
O coeficiente angular da reta é o expoente procurado (). 
TABELA 2: f x F 
f (Hz) 
F (N) 
m (kg) 0,100 0,150 0,200 0,250 
 
 
adjacentecatetodommemgráficonoocompriment
opostocatetodommemgráficonoocompriment
""
""
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(
)(
mm
mm
 
 
 = _________ 
 
 
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89 
Cálculo de く: 
 
 
 
 
 
9) Com os dados da TABELA 3 construa, em papel Di-log, o gráfico f X た. que deve ser semelhante à Figura 
abaixo 
 TABELA 3: f x  
f (Hz) 
 (kg/m) 
 da corda (mm) 
 
 
O coeficiente angular da reta é o expoente procurado (). 
adjacentecatetodommemgráficonoocompriment
opostocatetodommemgráficonoocompriment
""
""
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS: 
0,3 = 6,58.10-5kg/m 
0,4 = 1,32.10-4kg/m 
0,5 = 2,31.10-4kg/m 
0,6 = 2,84.10-4kg/m 
0,7 = 3,86.10-4kg/m 
0,8 = 4,38.10-4kg/m 
)(
)(
mm
mm
 
 
 = _________ 
 
 
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90 
 
Cálculo de : 
 
 
 
 
10) Com os expoentes calculados, a equação da freqüência fica: 
 
 
 
 e a equação deduzida por Mersenne (para n=2) é 
2
1
2
1
..12
 Ff  
 
RESPONDER: 
1) Quais os valores calculados para os coeficientes ,  e  nesse experimento? 
__________________________________________________________________________ 
2) Quais os valores esperados para os coeficientes ,  e  nesse experimento? 
__________________________________________________________________________ 
3) Compare os valores esperados para o experimento e os efetivamente calculados. O que se pode concluir? 
__________________________________________________________________________ 
__________________________________________________________________________ 
4) Foi possível fazer a verificação e o teste da equação de Mersenne? 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 ..Ff 
 
)(
)(
mm
mm
 
 
 = _________ 
 
 
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91 
 
EXPERIÊNCIA 08 
ONDAS MECÂNIAS ESTACIONÁRIAS – TUBOS SONOROS 
 
OBJETIVO 
Determinar a velocidade do som no ar. 
 
PROCEDIMENTO 
 Utilizando um gerador de frquências verificar a formação de configurações estacionárias de uma onda 
sonora no interior de um tubo preenchido com ar. 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Introdução 
Vamos admitir que som é resultado do movimento vibratório das partículas que constituem um meio 
material, e que conseqüentemente somente se propaga através de meios materiais e elásticos. Trata-se, portanto, 
de energia que se propaga através de ondas mecânicas, porque precisam de um meio material para se propagar. 
Estes meios de propagação podem ser sólidos, como barras metálicas (a própria Terra, constitui meio de 
propagação de ondas sonoras); líquidos, como a água; ou gases, como o ar. 
Ondas sonoras são ondas de pressão, e se propagam através de sucessivas compressões e rarefações das 
partículas do meio Figura 1. 
 
Figura 1 - A figura ilustra a propagação do som. Cada partícula de determinado meio material (ar, água,alumínio, 
rochas...) recebe energia da fonte sonora e empurra a partícula vizinha. No vácuo, como não há partículas 
suficientes, não há como o som se propagar. 
 
Na maioria das vezes, ouvimos sons sendo transmitidos através do ar (nesse caso constituem ondas 
mecânicas, longitudinais e tridimensionais): as ondas sonoras se propagam através do meio elástico (ar) e 
chegam até o ouvido causando a sensação sonora. O aparelho auditivo humano é sensível a sons cujas 
freqüências estão compreendidas na região de 20 Hz à 20 kHz, conhecida como espectro de audiofreqüências. 
As Compvibrações sonoras podem ser classificadas em: 
 Vibrações sônicas com freqüências entre 20 Hz e 20.000 Hz. Elas podem ser percebidas pelo ouvido 
humano; 
 Vibrações infra-sônicas de freqüências abaixo de 20 Hz. Elas não podem ser percebidas pelo ouvido 
humano. Vibrações infra-sônicas também são chamadas de vibrações subsônicas. 
 Vibrações ultra-sônicas de freqüências acima 20.000 Hz. Elas não podem ser percebidas pelo ouvido 
humano. Vibrações ultra-sônicas também são chamadas de vibrações supersônicas. Vibrações ultra-sônicas 
têm diversas aplicações tecnológicas: são empregadas em processos de homogeneização de leite, 
higienização de pratos, e mapeamento de órgãos internos do corpo humano. Estas vibrações podem ser 
percebidas por alguns animais, como morcegos e golfinhos, que se utilizam desse processo como mecanismo 
de comunicação e localização. 
A velocidade de propagação das ondas sonoras 
Como foi explicado no item anterior, a propagação de ondas sonoras ocorre pela transmissão da energia 
da fonte sonora de partícula para partícula do meio material. Naturalmente que a eficiência dessa transmissão 
está ligada à estrutura do meio de propagação, bem como às condições físicas às quais esse meio está 
submetido. Desse modo espera-se que em cada meio de propagação, e para cada conjunto de condições 
externas, as ondas sonoras apresentem velocidade de propagação diferente. A tabela abaixo evidencia esse fato 
experimental. 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
92 
 
Meio de propagação 
Velocidade 
(m.s-1) 
Dióxido de carbono (0 ºC) 258 
Oxigénio 317 
Ar (0 ºC) 331,5 
Ar (10 ºC) 337,5 
Ar (20 ºC) 343,4 
Ar (30 ºC) 349,2 
Hélio (20 ºC) 927 
Álcool etílico 1180 
Chumbo 1200 
Hidrogénio (0 ºC) 1270 
Mercúrio 1450 
Água (20 ºC) 1480 
Borracha 1500 
Água do mar 1522 
Latão 3500Cobre 3900 
Alumínio 4420 
Concreto 5000 
Aço 6000 
Tabela 1 – Alguns valores de velocidade de propagação de ondas sonoras, em diferentes materiais.Fonte: Manual 
de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107 
 
 
A velocidade de propagação das ondas sonoras nos gases 
Especialmente nos gases as ondas sonoras apresentam velocidade de propagação variável, de modo 
que: 

 p.
v  
onde: 
)tetanconsvolumeaespecíficocalorde.coef(c
)tetanconspressaõaespecíficocalorde.coef(c
v
p é o coeficiente adiabático do gás, 
 
  é a densidade volumétrica do gás, 
e p a pressão, 
a velocidade de propagação as ondas sonoras nos gases, portanto, é função do gás, da densidade e da pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos-2ºsemestre/2012 
 
 
93 
Veja Tabela 2 a seguir: 
 
 
Gás 
Velocidade de 
propagação do 
som (m/s) a 
pressão de 1 atm 
Ar (0º C) 331 
Álcool etílico (97º C) 269 
Amoníaco (0º C) 415 
Gás carbônico (0º C) 259 
Hélio (0º C) 965 
Hidrogênio (0º C) 1284 
Neón (0º C) 435 
Nitrogênio (0º C) 334 
Oxigênio (0º C) 316 
Vapor de água (134 ºC) 494 
Tabela 2 – Alguns valores de velocidade de propagação de ondas sonoras, em diferentes gases .Fonte: Manual 
de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107 
 
Como exemplo, para ao ar, temos que: 
na Pa10.013,1atm1)normalpressão(p 5 
4,1ar) do adiabático te(coeficien  
3m
Kg293,1ar) do avolumétric densidade(  
desse modo 
s
m
5
331
)293,1(
)10.013,1).(4,1(p.
v 


 
 
A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar 
 
A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar à temperatura constante 
Em particular, no ar, se a temperatura permanecer constante, a velocidade do som independe da pressão, 
isso porque pressão e densidade variam com a mesma proporcionalidade, de forma a compensar seus efeitos. 
 
A velocidade de propagação das ondas sonoras no ar e sua dependência com a temperatura 
Para o ar a relação entre a velocidade de propagação da onda sonora e a temperatura é dada pela 
seguinte expressão: 
 
2
1
).00366,01.(331 tv  , 
onde v é a velocidade da onda sonora no ar; 
e 
t a temperatura na escala Celsius 
 
Observação: em experimentos com ondas sonoras, ou na solução de exercícios, admitimos que a 
velocidade de propagação do som é 340 m/s, que é velocidade dessas ondas a aproximadamente 20 °C. 
 
Tubos sonoros 
 
Tubos sonoros são colunas de gás nas quais a massa gasosa é posta em vibração. 
Uma utilidade prática imediata dos tubos sonoros é a compreensão o funcionamento dos instrumentos de sopro. 
Observação: Apenas em caráter geral, nestes instrumentos de sopro, à região na qual o ar é soprado 
(região de excitação da coluna de ar) dá-se o nome de embocadura. 
 
 
 
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Há embocaduras constituídas apenas de calço com uma abertura lateral: são embocaduras “tipo flauta”; 
 
e embocaduras constituídas de calço com uma palheta, sem abertura lateral: são embocaduras “tipo 
palheta”. 
 
 
Os tubos sonoros podem ser abertos ou fechados. 
 
Tubos sonoros abertos 
Neste caso, as duas extremidades do tubo são abertas (a embocadura, onde o gás é excitado (soprado), e 
a outra, aberta para o meio externo). 
Ao excitar a coluna de gás no interior de um tubo aberto, produz-se uma onda que se propaga da embocadura 
para a outra extremidade. Ao atingir a segunda extremidade aberta a onda encontra um meio com propriedades 
físicas diferentes daquelas no interior do tubo (diferente temperatura, pressão, densidade), de forma que essa 
onda sofre reflexão e refração. 
A onda refletida se superpõe à onda incidente, e em condições específicas pode dar origem a ondas 
estacionárias, produzindo dessa forma sons de maior intensidade. 
Como o tubo apresenta as extremidades abertas, nelas, as partículas do gás terão ampla mobilidade 
caracterizando regiões ventrais (ventres). 
Dentro desse raciocínio, o padrão de onda estacionária que se forma, de menor freqüência possível, que 
chamamos de som fundamental, primeiro modo de vibração ou primeiro harmônico é apresentado na figura 
abaixo: 
 
Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro Harmônico (som fundamental) 
 
Como podemos verificar, nessa condição forma-se um nó central (o comprimento do tubo corresponde à 
distância entre dois ventres consecutivos (
2

)) 
L.2
2
L 1
1  

, e como 

 vff.v  , então 
L.2
v
.1
v
f
1
1  
 
 
O próximo modo de vibração constitui o Segundo Modo de Vibração ou Segundo Harmônico 
 
e nessa condição formam-se dois nós centrais (o comprimento do tubo corresponde à distância entre três ventres 
consecutivos (
2
.2

) 
 
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2
L.2
2
.2L 2
2  

, e como 

 vff.v  , então 
L.2
v
.2
v
f
2
2  
 
 
O próximo modo de vibração constitui o Terceiro Modo de Vibração ou Terceiro Harmônico 
Nessa condição formam-se três nós centrais (o comprimento do tubo corresponde à distância entre quatro 
ventres consecutivos (
2
.3

)) 
 
3
L.2
2
.3L 3
2  

, e como 

 vff.v  , então 
L.2
v
.3
v
f
3
3  
 
 
Conclusão: Ao observar a seqüência de formação das freqüências de vibração dessas ondas estacionárias não é 
difícil perceber que para o n-ésimo modo e vibração ou n-ésimo harmônico a freqüência será 
 
L.2
v
.nfn  , com n inteiro e positivo (n= 1, 2....), identificando a 
ordem do modo de vibração ou a ordem do harmônico e ainda o número de nós centrais. 
 
Podemos ainda escrever que 1n f.nf  , onde f1 é a freqüência Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro 
Harmônico (som fundamental). 
 
Tubos sonoros fechados 
 
Neste caso, uma das extremidades do tubo é aberta (a embocadura, onde o gás é excitado (soprado)), e a 
outra, fechada. 
Ao excitar a coluna de gás no interior de um tubo fechado, produz-se uma onda que se propaga da 
embocadura para a outra extremidade. Ao atingir a extremidade fechada a onda sofre reflexão. 
A onda refletida se superpõe à onda incidente, e em condições específicas pode dar origem a ondas 
estacionárias, produzindo dessa forma sons de maior intensidade. 
Na extremidade aberta do tubo as partículas do gás terão ampla mobilidade caracterizando uma região 
ventral (ventre), por outro lado na extremidade fechada do tubo as partículas do gás não terão mobilidade 
caracterizando uma região nodal (nó). 
Portanto, dentro desse raciocínio, o padrão de onda estacionária que se forma, de menor freqüência 
possível, que chamamos de som fundamental, primeiro modo de vibração ou primeiro harmônico é apresentado 
na figura abaixo: 
 
 
Primeiro Modo de Vibração ou Primeiro Harmônico (som fundamental) 
 
Como pode ser visto, temos apenas um ventre, na extremidade aberta, e um nó, na extremidade fechada (o 
comprimento do tubo corresponde à distância entre um ventre e um nó consecutivo (
4

)) 
 
L.4
4
L 1
1  

, e como 

 vff.v  , então 
L.4
v
.1
v
f
1
1  
 
 
O próximo modo de vibração constitui o Segundo Modo de Vibração 
 
 
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e nessa condição temos a formação de dois ventres e dois nós consecutivos (o comprimento do tubo corresponde 
à distância entre ventre-nó, nó-ventre, e ventre-nó (
4
.3

)) 
3
L.4
4
.3L 2
2  

, e como 

 vff.v  , então 
L.4
v
.3
v
f
2
2  
 
Note que se compararmos à seqüência de freqüências das ondas estacionárias geradas em cordas 
vibrantes(
L.2
v
.nfn  , onde n é a ordem do modo de oscilação ou harmônico (o número de ventres)), ou dos 
tubos sonoros abertos(
L.2
v
.nfn  , onde n é a ordem do modo de oscilação ou harmônico (o número de nós)) 
nostubos sonoros fechados não aparecem as freqüências de ordem par: dessa forma ao segundo modo 
de vibração corresponde o Terceiro Harmônico 12 f.3f  
 
O próximo modo de vibração constitui o Terceiro Modo de Vibração ou Quinto Harmônico 
 
nessa condição temos a formação de três ventres e três nós consecutivos (o comprimento do tubo corresponde à 
distância entre ventre-nó, nó-ventre, ventre-nó, nó-ventre, e ventre-nó (
4
.5

)) 
5
L.4
4
.5L 3
3  

, e como 

 vff.v  , então 
L.4
v
.5
v
f
3
3  
 
 
Conclusão: Ao observar a seqüência de formação das freqüências de vibração dessas ondas estacionárias não é 
difícil perceber que para o n-ésimo modo e vibração ou n-ésimo harmônico a freqüência será 
L.4
v
).1n2(fn  , com n inteiro e positivo (n= 1, 2....), identificando a ordem do modo de vibração ou ainda o 
número de ventres ou nós. 
 
Não devemos esquecer que nos tubos sonoros fechados não aparecem os Harmônico de ordem par (ao 
segundo modo de vibração corresponde o terceiro Harmônico, ao terceiro modo de vibração corresponde o quinto 
Harmônico e segue sucessivamente) 
Podemos ainda escrever que 1n f).1n.2(f  , onde f1 é a freqüência Primeiro Modo de Vibração ou 
Primeiro Harmônico (som fundamental). 
 
EXEMPOS 
1. Um tubo sonoro aberto, de comprimento igual a 0,75 m, está a emitindo sons de freqüência 680 Hz. Sabendo 
que a velocidade de propagação do som, no ar do tubo, é de 340 m/s, pede-se a ordem do harmônico 
correspondente. 
Solução: 
 
3
)340(
)680).(75,0.(2
v
f.L.2
n
L.2
v
.nf nn  
 
2. Um tubo fechado, de 0,4 m de comprimento, está emitindo sons. Considerando a velocidade do som no ar do 
tubo 340 m/s, pede-se a freqüência do som do: 
a) primeiro harmônico; 
b) terceiro harmônico. 
 
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Solução: 
a) Som fundamental, forma-se a onda: 
 
Hz5,212
)4,0.(4
)340(
).11.2(f
L.4
v
).1n2(f 1n  
b) Para o Terceiro Harmônico (segundo modo de vibração) 
 
Hz5,637
)4,0.(4
)340(
).12.2(f
L.4
v
).1n2(f 2n  
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Num tubo de órgão, três freqüências de ressonâncias sucessivas são 1310, 1834 e 2358 Hz. (a) O tubo está 
fechado numa extremidade, ou aberto nas duas? (b) Qual a freqüência fundamental? (c) Qual o comprimento 
do tubo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Instrumentos como os clarinetes usam colunas de ar abertas numa das extremidades. Qual é o comprimento 
de um clarinete que tem freqüência fundamental de 147 Hz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A freqüência fundamental do maior tubo de um órgão é 16,35 Hz. Se o tubo é aberto dos lados qual é o seu 
comprimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Um clarinete tem uma freqüência fundamental de 147 Hz e, quando tocado, tem uma extremidade fechada. 
Quantos harmônicos aparecem abaixo de 1350 Hz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Considere agora um tubo aberto dos dois lados e com a mesma freqüência fundamental do clarinete. Quantos 
harmônicos aparecem abaixo de 1350 Hz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE PRÁTICA 
 
EXECUÇÃO 
1) Montar o esquema da figura ao lado; 
 
2) A fonte de ondas é constituída pelo conjunto gerador de áudio + 
amplificador + alto falante. 
 
3) Ajuste a freqüência do gerador em f = 1000Hz (anote esse valor); 
 
4) Lentamente, baixe o nível de água no tubo (abaixe do reservatório do 
vaso comunicante) até que se perceba, através da audição, um 
reforço na intensidade sonora produzida no tubo — esse reforço 
identifica uma condição de formação de onda estacionária. Anote o 
comprimento da coluna de ar nessa condição. 
 
5) Continue, sempre lentamente, baixando o nível de água no tubo até 
ouvir novo reforço sonoro — esse novo reforço identifica nova 
condição de formação de onda estacionária. Anote o comprimento da 
coluna de ar nessa nova condição. 
 
6) Continue o processo até esvaziar o tubo, sempre anotando o 
comprimento da coluna de ar em cada condição de formação de onda 
estacionária. 
 
7) Construa uma tabela com esses dados. 
 
8) Dessa forma dado o modo de vibração n, e considerando que se trata de um tubo sonoro fechado temos que: 
 
L.4
v
).1n2(fn  , logo   )1n2(
nf.L.4v 
 
Naturalmente para cometer o erro experimental percentual mínimo é recomendável aplicar os dados 
experimentais correspondentes ao tubo mais longo, que correspondem à última medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
ATIVIDADE 11 
 
 EXPERIMENTO 08 
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM TUBOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DATA DE EXECUÇÃO : 
 ____/____/____ 
DATA DE ENTREGA : 
 ____/____/____ 
NOTA: 
Nome:_________________________________________________ Nº 
 
 
Dia da semana da Turma:_________________ 
 
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0 ATIVIDADE 11- RELATÓRIO 
EXPERIMENTO 08 – ONDAS ESTACIONÁRIAS EM TUBOS 
 
OBJETIVO: ____________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
PROCEDIMENTO: ______________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
 
EXECUÇÃO: 
1) Montar o esquema da figura ao lado. 
2) Ajuste a freqüência do gerador em f = 1000Hz (anote esse valor). 
 
 
3) Baixar, lentamente, o nível de água no tubo até que se perceba, através 
da audição, um reforço na intensidade sonora produzida no tubo – esse 
reforço identifica uma condição de formação de onda estacionária. Anote 
o comprimento () da coluna de ar para essa configuração estacionária. 
4) Continuar, sempre lentamente, baixando o nível de água no tubo até 
ouvir novo reforço sonoro (segunda configuração de onda estacionária). 
Anote o comprimento da coluna de ar. 
5) Continuar o processo até esvaziar o tubo, sempre anotando o 
comprimento da coluna de ar em cada configuração de onda 
estacionária. 
6) Completar a TABELA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determinar o valor experimental para a velocidade de propagação do som no ar. 
 
 Sendo 
   1.2
..4
.4
).12(
n
f
v
v
nf nn


 
RESPONDER: 
1) Qual o valor calculado para a velocidade do som no ar nesse experimento? 
____________________________________________________________________________ 
2) Compara esse valor com os valores adotados para a velocidade do som no ar (ver tabela na página 126). O 
que se pode concluir a partir dessa comparação? 
____________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Ordem do Modo 
de Ressonância 
Ordem do 
Harmônico 
 (cm)  (m) 
1 1º 
2 3º 
3 5º 
4 7º 
 
Figura – Esquema do arranjo 
experimental 
f = ________________ (Hz) 
v ar = __________ m/s 
OBS.: Para cometer o erro experimental 
percentual mínimo, aplicar os dados 
experimentais correspondentes ao tubo mais 
longo, que correspondem à última medida. 
 
 
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1 
 
 
Bibliografia: 
 
 BEER,Ferdinand Pierre; JOHNSTON,Elwood Russel – “Mecânica vetorial para engenheiros”, trad. 
Antonio Carlos Souza Pinto e Airton Caldas, revisão Giorgio Eugenio Oscare Giacaglia, 3ª edição, Ed. 
McGraw-Hill, São Paulo (1980). 
 
 HALLIDAY, David; RESNICK, David – “Física” , trad. Rogério Catarino Trajano da Costa, 2a edição , 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro (1978). SEARS, Fracos Weston; ZEMANSKY, Mark W. – “Física”, trad. José Lima Accioli, 1ª edição, Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro (1973). 
 
 TIPLER, Paul A. – “Física”, tradução Horácio Macedo, 2a edição, vol.2 Editora Guanabara, Rio de Janeiro 
(1990).