Conteúdo para Curso de Formação de Sargentos

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AERONÁUTICA 
Curso de Formação de Sargentos 
 
4.1 ÁLGEBRA I: Funções: definição de função; funções definidas por fórmulas; domínio, 
imagem e contradomínio; gráficos; funções injetora, sobrejetora, bijetora, crescente, 
decrescente, inversa, polinomial do 1º grau, quadrática, modular, exponencial e logarítmica; 
resolução de equações, inequações e sistemas. Sequências: progressões aritmética e 
geométrica ............................................................................................................................... 1 
4.2 GEOMETRIA PLANA: Ângulos. Polígonos: definição; elementos; nomenclatura; 
propriedades; polígonos regulares; perímetros e áreas. Triângulos: condições de existência; 
elementos; classificação; propriedades; congruência; mediana; bissetriz, altura e pontos 
notáveis; semelhança; relações métricas e áreas. Quadriláteros notáveis: definições; 
propriedades; base média e áreas. Circunferência: definições; elementos; posições relativas de 
reta e circunferência; segmentos tangentes; potência de ponto; ângulos na circunferência e 
comprimento da circunferência. Círculo e suas partes: conceitos e áreas ............................ 102 
4.3 TRIGONOMETRIA: Razões trigonométricas no triângulo retângulo; arcos e ângulos em 
graus e radianos; relações de conversão; ciclo trigonométrico; arcos côngruos e simétricos; 
funções trigonométricas; relações e identidades trigonométricas; fórmulas de adição, 
subtração, duplicação e bissecção de arcos; equações e inequações trigonométricas; leis dos 
senos e dos cossenos .......................................................................................................... 171 
4.4 ÁLGEBRA II: Matrizes: conceitos, igualdade e operações. Determinantes. Sistemas 
lineares. Análise combinatória: princípio fundamental da contagem; arranjos, combinações e 
permutações simples; probabilidades ................................................................................... 214 
4.5 ESTATÍSTICA: Conceitos; população; amostra; variável; tabelas; gráficos; distribuição 
de frequência; tipos de frequências; histograma; polígono de frequência; medidas de tendência 
central: moda, média e mediana .......................................................................................... 259 
4.6 GEOMETRIA ESPACIAL: Poliedro: conceitos e propriedades. Prisma: conceitos, 
propriedades, diagonais, áreas e volumes. Pirâmide, cilindro, cone e esfera: conceitos, áreas e 
volumes ................................................................................................................................ 282 
4.7 GEOMETRIA ANALÍTICA: Estudo Analítico: do Ponto (ponto médio, cálculo do 
baricentro, distância entre dois pontos, área do triângulo, condição de alinhamento de três 
pontos); da Reta (equação geral, equação reduzida, equação segmentária, posição entre duas 
retas, paralelismo e perpendicularismo de retas, ângulo entre duas retas, distância de um ponto 
a uma reta); e da Circunferência (equações, posições relativas entre ponto e circunferência, 
entre reta e circunferência, e entre duas circunferências) .................................................... 299 
4.8 ÁLGEBRA III: Números Complexos: conceitos; conjugado, igualdade; operações; 
potências de i; representação no plano de Argand-Gauss; módulo; argumento; forma 
trigonométrica e operações na forma trigonométrica. Polinômios: conceito; grau; valor 
numérico; polinômio nulo; identidade e operações. Equações Polinomiais: conceitos; teorema 
fundamental da Álgebra; teorema da decomposição; multiplicidade de uma raiz; raízes 
complexas e relações de Girard ........................................................................................... 322 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
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conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
4.1 ÁLGEBRA I 
 
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2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a= c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
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Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
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06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
 
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5 
 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
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6 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
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7 
 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 153
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação1 é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
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- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
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Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz 
ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto 
auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual 
pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √𝑥 < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
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10 
 
02. (Assistente Administrativo) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. Enfermagem) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (TRT 6ª Região – Auxiliar Técnico - FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou 
o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número 
negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
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11 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento – UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, 
R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, 
respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Alternativa: D 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Alternativa: C 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Alternativa: A 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Alternativa: B 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 8011x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06. Alternativa: E 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Alternativa: B 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Alternativa: B 
Batata = X 
Feijão = Y 
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12 
 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita2, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
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13 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
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14 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
15 
 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
16 
 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B)14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
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17 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
18 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
19 
 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Resolveremos como uma equação do 2º grau para obtermos suas raízes. 
 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
20 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
Novamente, devemos encontrar as raízes da equação. 
 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos o gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos, pois queremos valores ≥ 0. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
21 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
 ➔ 𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES 
 
O módulo3 é conhecido como o valor absoluto do número. Por definição temos: 
 
Seja x um número real, o módulo de x é denotado por |x| e é definido por 
 
 
 
3
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1 – Versão beta – Editora Moderna 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
22 
 
Interpretandogeometricamente o módulo de um número real x, na reta, com a distância de x a origem, 
temos: 
 
Observamos que as distâncias são sempre positivas ou 0, logo: |x| ≥ 0. 
 
Propriedades: Sendo a um número real positivo, x e y números reais quaisquer, demonstra-se que: 
a) √𝒙𝟐 = |𝒙| 
 
b) |x| = a  x = - a ou x = a 
 
c) |x| < a  - a < x < a 
 
d) |x| > a  x < - a ou x > a 
 
e) |x| = | - x| 
 
f) x2 = |x|2 = |x2| 
 
g) |x.y| = |x|.|y| 
 
h) |
𝐱
𝐲
| =
|𝐱|
|𝐲|
 
 
i) |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdade Triangular) 
 
Equação Modular 
 
Sua resolução está baseada nas seguintes propriedades: 
 
Tendo como conjunto universo: U = R. 
 
Exemplos 
a) Resolver a equação |2x + 1| = 5. 
De acordo com as propriedades, temos: 
2x + 1 = 5 ➔ 2x = 4 ➔ x = 2 ou 
2x + 1 = -5 ➔ 2x = - 6 ➔ x = - 3 
S = {- 3, 2}. 
 
b) |9x + 2| = - 3 
 
Sabemos que o módulo é sempre positivo, como o valor do módulo é igual a -3, não podemos ter |9x 
+ 2| < 0. Portanto o conjunto solução da equação é S = ∅. 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
23 
 
Inequação Modular 
 
A resolução de inequações modulares se baseia nas seguintes propriedades: 
 
 
Exemplo 
Resolvendo a inequação |2x + 1| > 5. 
De acordo com P1, podemos escrever: 
2x + 1 < -5 ➔ 2x < -6 ➔ x < -3 (I) ou 
2x + 1 > 5 ➔ 2x > 4 ➔ x > 2 (II) 
Fazendo a união: 
 
 
 
Questões 
 
01.O valor em R, da equação |2x – 3| = 5, é? 
(A) -1 e 4. 
(B) 3 e 5 
(C) -5 e 5. 
(D) -4 e 4. 
(E) -1 e 1. 
 
02. O valor em R, da inequação |2x – 5| < 3, é? 
(A) {x ∈ R| 3 < x < 5} 
(B) {x ∈ R| -1 < x < 1} 
(C) {x ∈ R| 1 < x < 4} 
(D) {x ∈ R| -4< x < 4} 
(E) {x ∈ R| 4 < x < 8} 
 
03. Resolvendo em R, os valores da inequação√(2𝑥 − 5)2 ≥ 1 será? 
(A) {x ∈ R| x = 2 ou x = 3} 
(B) {x ∈ R| 4 ≤ x ≤ 9} 
(C) {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 3} 
(D) {x ∈ R| x ≤ 4 ou x ≥ 9} 
(E) {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 3} 
 
04. (UEL) Quaisquer que sejam os números reais x e y: 
(A) se |x| < |y|, então x < y. 
(B) |x.y| = |x|.|y| 
(C) |x + y| = |x| + |y| 
(D) | - |x|| = - x 
(E) se x < 0, então |x| < x 
 
 
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24 
 
05. (FEI) Os valores reais de x que satisfazem a inequação |2x – 1| < 3 são tais que: 
(A) x < 2 
(B) x > - 1 
(C) ½ < x < 2 
(D) x > 2 
(E) – 1 < x < 2 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
|2x – 3| = 5 
2x – 3 = 5 ou 2x – 3 = - 5 
2x = 5 + 3 2x = - 5 + 3 
2x = 8 2x = - 2 
x = 8 : 2 x = - 2 : 2 
x = 4 x = - 1 
V = {- 1, 4} 
 
02. Resposta: C 
 |2x – 5| < 3 
Pela propriedade c: 
 
- 3 < 2x – 5 < 3 
- 3 + 5 < 2x < 3 + 5 
2 < 2x < 8 (dividindo por 2) 
1 < x < 4 
 
V = {x ∈ R| 1 < x < 4} 
 
03. Resposta: E 
Pela propriedade: 
 
√(2𝑥 − 5)2 ≥ 1 → |2x – 5| ≥ 1 
Por propriedade: 
2x – 5 ≤ - 1 ou 2x – 5 ≥ 1 
2x ≤ - 1 + 5 2x ≥ 1 + 5 
2x ≤ 4 2x ≥ 6 
x ≤ 4 : 2 x ≥ 6 : 2 
x ≤ 2 x ≥ 3 
V = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 3} 
 
04. Resposta: B 
Resolução: teórico, basta observar as propriedades. 
 
05. Resposta: E 
|2x – 1| < 3 
Pela propriedade c: 
- 3 < 2x – 1 < 3 
- 3 + 1 < 2x < 3 + 1 
- 2 < 2x < 4 (dividindo por 2) 
- 1 < x < 2 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
25 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chama-se equação exponencial4, toda equação onde a variável x se encontra no expoente. 
 
Exemplos 
3𝑥 = 1 ; 5.22𝑥+2 = 20 
 
Para resolução, precisamos encontrar os valores da variável que a torna uma sentença numérica 
verdadeira. Vamos relembrar algumas das propriedades da potenciação para darmos continuidade: 
 
 
Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação exponencial: 
 
Exemplos 
 
1) 2x = 8 
1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras equivalentes, as quais possuem nos dois 
membros potências de mesma base. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de base 2. 
Fatorando o 8 obtemos 23 = 8. 
2º) Aplicando a propriedade da potenciação: ➔ base iguais, igualamos os expoentes, logo 
x = 3 
 
2) 2m . 24 = 210 
2 m + 4 = 210 ➔ m + 4 = 10 ➔ m = 10 - 4 ➔ m = 6 
S = {6} 
 
3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64 
6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64 ➔ 2m – 1 – m + 3 = 4 ➔ 2m – m = 4 + 1 – 3 ➔ m = 5 – 3 ➔ m = 2 
S = {2} 
 
4) 32x - 4.3x + 3 = 0. 
A expressão dada pode ser escrita na forma: 
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0 
Criamos argumentos para resolução da equação exponencial. 
Fazendo 3x = y, temos: 
y2 – 4y + 3 = 0, assim y = 1 ou y = 3 (Foi resolvida a equação do segundo grau) 
Como 3x= y, então 
3x = 1 
x = 0 ou 
 
3x = 3 1 
x = 1 
 
S = {0,1} 
 
 
 
4
colegioweb.com.br 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
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26 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Cabo – CETRO) O valor de x na equação é 5 ∙ 3𝑥+1 + 3𝑥−2 = 408 é 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
 
02. (PM/SP – Sargento CFS – CETRO) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 3 ∙
9x − 4 ∙ 3x + 1 = 0 é 
(A) S = {0, 1}. 
(B) S = {-1, 0}. 
(C) S = {-2, 1}. 
(D) S = {1/3,1} 
 
03. (Escola de Sargento das Armas – Combatente/Logística – Exército Brasileiro) Se 5x+2=100, 
então 52x é igual a: 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 16. 
(E) 100. 
 
04. (Escola de Sargento das Armas – Música – Exército Brasileiro) O conjunto solução da equação 
exponencial 4x-2x=56 é: 
(A) {-7,8} 
(B) {3,8} 
(C) {3} 
(D) {2,3} 
(E) {8} 
 
05. (BANESE – Técnico Bancário I – FCC) Uma empresa utiliza a função y = (1,2)x − 1 para estimar 
o volume de vendas de um produto em um determinado dia. A variável y representa o volume de vendas 
em milhares de reais. A variável x é um número real e representa a quantidade de horas que a empresa 
dedicou no dia para vender o produto (0 ≤ x ≤ 6). Em um dia em que o volume de vendas estimado foi de 
R$ 500,00, o valor utilizado para x, em horas, é tal que 
(A) 1 < x ≤ 2. 
(B) 2 < x ≤ 3. 
(C) 3 < x ≤ 4. 
(D) 4 < x ≤ 5. 
(E) 5 < x ≤ 6. 
 
06. (Pref. de Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
O conjunto solução da equação:(16𝑥−1)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 é 
(A) S = {-2, 3} 
(B) S = {-1, 4} 
(C) S = {0, 6} 
(D) S = {-4, 1} 
 
07. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Após o processo de recuperação de uma reserva ambiental, 
uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi reintroduzida. Os biólogos responsáveis 
por essa área estimam que o número P de aves dessa espécie, t anos após ser reintroduzida na reserva, 
possa ser calculado pela expressão 
 
𝑃 =
300
7 + 8 × (0,5)𝑡
 
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27 
 
De acordo com essa estimativa, quantos anos serão necessários para dobrar a população inicialmente 
reintroduzida? 
(A) 2 anos. 
(B) 4 anos. 
(C) 8 anos. 
(D) 16 anos. 
 
08. (CREA/PR – Administrador – FUNDATEC) Se 5n + 5-n = 10, o valor de 25n + 25-n é 
(A) 100. 
(B) 98. 
(C) 75. 
(D) 50. 
(E) 68. 
 
09. (SANEAR – Fiscal - FUNCAB) Sendo 23X+1 = 128 e y = 5 . x - 3, o valor de y² , é: 
(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
3𝑥+1(5 + 3−3) = 408 
 3𝑥+1 (5 +
1
27
) = 408 
 3𝑥+1 (
136
27
) = 408 
 3𝑥+1 = 408 ∙
27
136
 
 3𝑥+1 = 81 
 3𝑥 . 3 = 81 
 3𝑥 = 27 
 3𝑥 = 33 
 𝑥 = 3 
 
02. Resposta: B 
3. (3𝑥)² − 4 ∙ 3𝑥 + 1 = 0 
3𝑥 = 𝑦 
3𝑦2 − 4𝑦 + 1 = 0 
∆= 16 − 12 = 4 
𝑦 =
(4 ± 2)
6
 
𝑦1 = 1 𝑦2 =
1
3
 
Voltando: 
3𝑥 = 1 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 0 
3𝑥 =
1
3
 
3𝑥 = 3−1 
𝑥 = −1 
 
03. Resposta: D 
5𝑥 ∙ 25 = 100 
5𝑥 = 4 
52𝑥 = (5𝑥)2= 42 = 16 
 
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28 
 
04. Resposta: C 
Podemos simplificar 4x = 22x 
Substituindo: 
(2x)2 – 2x = 56 
Fazendo 2x = y 
y² - y – 56 = 0 
∆ =(-1)² -4.1.(-56) = 1 + 224 = 225 
𝑦 =
1 ± 15
2
, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑦 = 8 𝑜𝑢 𝑦 = −7 
O resultado y = -7 não convém, pois 2x é sempre positivo, assim: 
2x = 8 ➔ 2x = 2³ ➔ x = 3 ➔ S = {3} 
 
05. Resposta: B 
0,5 = (1,2)x − 1 
 1,5 = 1,2x 
1,2²=1,44 
1,2³=1,728 
Portanto, 2 < x ≤ 3. 
 
06. Resposta: A 
(42𝑥−2)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 
(2x-2)(x+1)=x²+x+4 
2x²+2x-2x-2=x²+x+4 
x²-x-6=0 
=1+24=25 
 
 𝑥 =
1±5
2
 
𝑥1 =
1 + 5
2
= 3 
𝑥2 =
1 − 5
2
= −2 
 
07. Resposta: B 
Vamos verificar quantos animais foram reintroduzidos inicialmente (t = 0): 
𝑃 =
300
7+8×(0,5)0
= 
300
7+8 𝑋 1
= 
300
15
= 20 (população inicial) 
 
População dobrada: 2 . 20 = 40 
Assim: 
40 =
300
7+8×(0,5)𝑡
 
40 . (7 + 8 . 0,5𝑡) = 300 
7 + 8 . 0,5𝑡 = 
300
40
 
8 . 0,5𝑡 = 7,5 − 7 
0,5𝑡 = 
0,5
8
 
0,5𝑡 = 0,0625 = 0,54 
Excluindo as bases (0,5), temos que t = 4 anos. 
 
08. Resposta: B 
Elevando ao quadrado: 
(5𝑛 + 5−𝑛)2 = 102 
52𝑛 + 2.5𝑛. 5−𝑛 + 5−2𝑛 = 100 
5𝑛. 5−𝑛 = 50 = 1 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 100 − 2 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 98 
25 = 5² 
 
 
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29 
 
09. Resposta: A 
128=27 
23X+1 = 27 
3X-1=7 
X=2 
Y=5.2-3=7 
Y²=7²=49 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Assim como as equações exponenciais, as inequações são aquelas cujo a variável se encontra no 
expoente. São representadas por uma desigualdade > , < , ≤ ou ≥. 
 
Exemplos 
 
 
Resolução de inequação exponencial 
 
Resolver uma inequação exponencial é achar valores para variável que satisfaça a sentença 
matemática. 
Antes de resolver uma inequação exponencial, deve-se observar a situação das bases nos dois 
membros, caso as bases sejam diferentes, reduza-as a uma mesma base e, em seguida, forme uma 
inequação com os expoentes. Atente-se as regras dos sinais: 
 
 
 
Exemplos 
 
A) 2x ≥ 128 
Por fatoração, 128 = 27. 
2x ≥ 27 ➔ como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes ➔ x ≥ 7 
S = {x ∈ R | x ≥ 7} 
 
B) ( 
𝟏
𝟑
)
𝒙
< (
𝟏
𝟑
)
𝟐
 
 
Como as bases são iguais então igualamos os expoentes: x < 2. E como as bases estão 
compreendidas entre 0 e 1, inverte-se o sinal, logo: x > 2. 
S = {x ϵ R | x > 2} 
 
C) 4x + 4 > 5 . 2x 
Perceba que, por fatoração, 4x = 22x e 22x é o mesmo que (2x)². Vamos reescrever a inequação: 
(2x)² + 4 > 5 . 2x 
Chamando 2x de t, para facilitar a resolução, ficamos com: 
t2 + 4 > 5t 
Caso a > 1, mantenha o sinal original. 
 
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal. 
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30 
 
t2 – 5t + 4 > 0, observe que caímos em uma inequação do 2º grau, resolvendo a equação gerada pela 
inequação encontramos as raízes t’ = 1 e t’’ = 4. Como a > 0, concavidade fica para cima e isto também 
significa que estamos procurando valores que tornem a inequação positiva, ficamos com: 
t < 1 ou t > 4 
Retornando a equação inicial: 
t = 2x 
2x < 1 ➔ x < 0 ➔ lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo 
número elevado a zero é igual a 1. 
2x > 4 ➔ 2x > 22 ➔ x > 2. 
S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2} 
 
Questões 
 
01. A soma das raízes da equação 5x²– 2x+1 = 5625 é: 
(A) -4 
(B) -2 
(C) -1 
(D) 2 
(E) 4 
 
02. (PUC-SP) Na função exponencial y = 2x2 – 4x , determine os valores reais de x para os quais 
1<y<32. 
(A) S = { x ϵ R| 0<x<4} 
(B) S = { x ϵ R| x < -2 e x > 4} 
(C) S = { x ϵ R| x < 0 e x > 5} 
(D) S = { x ϵ R| x < 8 e x > 4} 
(E) S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
 5𝑥
2−2𝑥+1 = 54 → 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 4 → 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 −
𝑏
𝑎
→ −
−2
1
= 2 
 
02 . Resposta: E 
Devemos determinar esta inequação obtendo números em mesma base numérica. 
 
Como agora temos somente números na base numérica 2, podemos escrever essa desigualdade em 
relação aos expoentes. 
0 < x2 – 4x < 5 ➔ Vamos fazer cada desigualdade separadamente: 
0 < x2 – 4x ➔ Devemos encontrar as raízes da equação do segundo grau x2-4x=0 e comparar o 
intervalo de valores em relação à desigualdade. 
x2 – 4x = 0 ➔ x’ = 0 e x’’ = 4 
Devemos comparar a desigualdade em três intervalos, (o intervalo menor que o x’, o intervalo entre x’ 
e x’’ e o intervalo maior que x’’). 
Para valores menores que x’’, teremos o seguinte: 
 
Portanto, os valores menores que x = 0 satisfazem essa inequação. Vejamos valores entre 0 e 4. 
 
Portanto, não é um intervalo válido. Agora os valores maiores que 4. 
 
Portanto para a desigualdade 0 < x2 – 4x a solução é: 
S = { x ϵ R| x < 0 e x > 4} 
 
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31 
 
LOGARITMO 
 
Sendo a um número real, positivo e diferente de 1 e N um número real positivo, chama-se logaritmo 
de N na base a o número ao qual devemos elevar a base a para obtermos N. 
 
Definição: logaN = x ⇔ a
x = N, onde: 
- N é chamado de logaritmando e N > 0. 
- a é chamado de base com a > 0 e a ≠ 1. 
 
Exemplo: log8 64 = 2 ⇔ 8
2 = 64 
 
Casos Particulares 
1) log𝑎 𝑎 = 1, pois a
1 = a; 
 
2) log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, pois na = na; 
 
3) log𝑎 1 = 0, pois a
0 = 1. 
 
Propriedades dos Logaritmos 
1) Logaritmo do Produto: o logaritmo de um produto é igual à soma de logaritmos. 
 
Log𝑎𝑀.𝑁 = log𝑎𝑀 + log𝑎𝑁 
 
2) Logaritmo da Divisão: o logaritmo da divisão é igual à subtração de dois logaritmos. 
 
Log𝑎
𝑀
𝑁
= log𝑎𝑀 − log𝑎𝑁 
 
3) Logaritmo da Potência: o expoente passa multiplicando. 
 
Log𝑎𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎𝑁 
 
Mudança de Base 
Em alguns casos é necessário efetuar uma mudança na base que foi dada, para isto temos a seguinte 
fórmula: 
log𝑎𝑁 =
log𝑏𝑁
log𝑏 𝑎
 
 
Questões 
 
01. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Uma bactéria se espalhava no ambiente em que estava 
seguindo uma função logarítmica 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, (x >1), em que x é o tempo medido em minutos e F(x) é 
a área que possui a presença da bactéria em m². Após 32 minutos, a área ocupada será de: 
(A) 1 m². 
(B) 2 m². 
(C) 3 m². 
(D) 4 m². 
(E) 5 m². 
 
02. (BRB – Escriturário – CESPE) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 
1,8 como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. A população 
será de 30.000 indivíduos 5 anos após a contagem inicial. 
( )Certo ( )Errado 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
32 
 
03. (BRB – Escriturário – CESPE) Um estudo constatou que a população de uma comunidade é 
expressa pela função P(t) = 5.000e0,18t, em que P(t) é a população t anos após a contagem inicial, que 
ocorreu em determinado ano, e considerado t = 0. Com referência a esse estudo e considerando 1,2 e 
1,8 como os valores aproximados para e0,18e ln 6, respectivamente, julgue o item a seguir. 
Um ano após a contagem inicial, a população da comunidade aumentou em 20%. 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (SAEB-BA – Professor – CESPE) 
 
 
 
A obra acima foi pintada por Pablo Picasso em um único dia do ano de 1932. Em 1951, a tela foi 
adquirida por US$ 20 milhões e, em maio de 2010, foi vendida, em Nova Iorque, em um leilão que durou 
apenas 9 minutos, por US$ 95 milhões,sem incluir as comissões. 
A respeito dessa situação, considere que o investimento tenha evoluído a uma taxa de juros R, 
compostos continuamente, de acordo com o modelo C (t) =C0eRt , em que C(t) é o valor da tela, em 
milhões de dólares, t anos após 1951. Nesse caso, assumindo 1,56 como o valor aproximado de ln(4,75), 
é correto afirmar que a taxa de juros de tal investimento foi 
(A) superior a 5% e inferior a 10%. 
(B) inferior a 5%. 
(C) superior a 20%. 
(D) superior a 10% e inferior a 20%. 
 
05. (CBM/ES – Oficial Bombeiro Militar Combatente – CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
 
O produto desses números é igual a 1 milhão. 
( )Certo ( )Errado 
 
06. (CBM/ES - Oficial Bombeiro Militar Combatente - CESPE) A soma dos logaritmos na base 10 
de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue o item 
a seguir. 
 
A soma desses números é igual a 2.000. 
( )Certo ( )Errado 
 
07. (ESSA - Sargento - EB) Se 𝑓(𝑥) = log√5 𝑥
2, com x real e maior que zero, então o valor de f(f(5)) 
é: 
(A) 
2𝑙𝑜𝑔2
1+𝑙𝑜𝑔2
 
 
(B) 
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+2
 
 
(C) 
5𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2+1
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
33 
 
(D) 
8𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
(E) 
5𝑙𝑜𝑔2
1−𝑙𝑜𝑔2
 
 
08. (PREVIC – Técnico Administrativo – CESPE) Com o objetivo de despertar mais interesse de 
seus alunos para a resolução das expressões algébricas que com frequência ocorrem nos problemas, um 
professor de matemática propôs uma atividade em forma de desafio. Os estudantes deveriam preencher 
retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada retângulo fosse o resultado da soma das 
expressões contidas nos dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto para aqueles da base do 
triângulo. Portanto, na figura a seguir, D = A + B, E = B + C e F = D + E. 
 
Com base nos dados acima, julgue o item que se segue. 
Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em branco encontraram F = In (4x) + 4x 
√x. 
( )Certo ( )Errado 
 
09. (Petrobras – Engenheiro de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Dado log3(2) = 0,63, tem-se que 
log6(24) é igual a 
(A) 1,89. 
(B) 1,77. 
(C) 1,63. 
(D) 1,51. 
(E) 1,43. 
 
10.(Pref. Chupinguaia/RO - Professor - MSCONCURSOS) O conjunto solução da equação log (x² - 
8) = 0: 
(A) ∅. 
(B) {0}. 
(C) {– 3, 3}. 
(D) {– 9, 9}. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
 Fazendo x = 32, temos: 
𝐹(𝑥) = log2 32 , fatorando o 32 temos 2
5. Então: 
𝐹(𝑥) = log2 2
5 , pela propriedade log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛, temos que F(x) = 5 m2 
 
02. Resposta: ERRADO 
Pelo enunciado que saber o valor de t quando P(t) = 30.000: 
P(t) = 30.000 
 
5.000.𝑒0,18𝑡 = 30.000 
𝑒0,18𝑡=
30.000
5.000
 
 
 
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34 
 
𝑒0,18𝑡 = 6 , colocando logaritmo (ln) nos dois membros: 
ln 𝑒0,18𝑡 = ln6 , pela propriedade log𝑏 𝑎
𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝑎 
 
0,18t = 1,8 → t = 1,8: 0,18 = 10 
 
03. Resposta: CERTO 
Se após u 1 ano houve um aumento de 20% temos 100% + 20% = 120% = 120: 100 = 1,2. Fazendo t 
= 1 nós teremos: 
P(1) = 1.2.P(0) 
5000 e0,18.1 = 5000 e0,18.0 
e0,18 = 1,2.e0 
1,2 = 1,2 – Certo 
 
04. Resposta: B 
Do enunciado: preço em 2010 (final) 95 mi, preço em 1951 (inicial) 20 mi, tempo t = 2010 – 1951 = 59 
anos e C(t) é preço final e C0 preço inicial. 
C(t) = C0.eRt 
95 = 20.eR.59 
95 : 20 = e59R 
4,75 = e59R , neste ponto para calcularmos o valor de R temos que utilizar logaritmo, já que temos a 
seguinte propriedade log𝑎𝑁
𝑚 = 𝑚. log𝑎𝑁, então colocaremos logaritmo nos dois membros da equação. 
E, pelo enunciado, usaremos ln (log. Neperiano de base e). Então: 
ln4,75 = lne59R 
1,56 = 59R 
R = 1,56 : 59 = 0,02644 (x100) → R = 2,644% 
 
05. Resposta: CERTO 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
Para esta questão só precisamos para soma (1ª equação) e da propriedade que diz: a soma de dois 
logaritmos é igual ao logaritmo do produto. Então: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 → log 𝑥𝑦 = 6 → como a base é 10 → 106 = x.y 
x.y = 1.000.000 
 
06. Resposta: ERRADO 
Sendo x e y os logaritmandos, temos: 
log 𝑥 + log 𝑦 = 6 
2. log 𝑥 = 4 
log 𝑥 =
4
2
 → log 𝑥 = 2 → 102 = x → x = 100 
 
Da questão anterior xy = 1.000.000, então: 
100.y = 1.000.000 → y = 1.000.000 : 100 → y = 10.000 
x + y = 100 + 10.000 = 10.100 
 
07. Resposta: D 
f(x) = log√5 𝑥
2 calcular f(f(5)), primeiro vamos calcular f(5): 
f(5) = log√5 5
2 = log
5
1
2
52 = 
2
1
2
 = 2.2 = 4 
f(f(5)) = f(4) = log√5 4
2 = 2. log√5 4, agora usamos a mudança de base log𝑎𝑁 =
log𝑏𝑁
log𝑏 𝑎
, mudando para 
base 10: 
2. log√5 4 = 2. (
log4
log√5
) = 2. (
log 22
5
1
2
) = 2. (
2.log2
1
2
.log5
) = 2. (
2.log2
1
2
.log
10
2
) → lembrando que 
2
1
2
= 4: 
 
2. (
4.log2
log10−log2
) = 
8.log2
1−log2
 
 
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35 
 
08. Resposta: CERTO 
D = A + B → D = ln(
x
2
) + x√x + B 
E = B + C 
-x√x + 2.ln(2) = B – 5x√x + ln(2) 
-x√x + 2.ln(2) + 5x√x - ln(2) = B 
B = 4x√x + ln(2) 
F = D +E 
𝐹 = 𝑙𝑛 (
𝑥
2
) + 𝑥√𝑥 + 𝐵 − 𝑥√𝑥 + 2. ln(2) → 𝐹 = ln(𝑥) − ln(2) + 4𝑥√𝑥 + ln(2) + ln (22) 
F = 4x√x + ln(x) + ln(4) 
F = ln(4x) + 4x√x 
 
09. Resposta: B 
Sabemos que log3 2 = 0,6. O log que foi dado está na base 3 e o que pede para calcular na base 6. 
Primeiro precisamos mudar de base e para isto temos a fórmula log𝑎𝑁 =
log𝑏𝑁
log𝑏 𝑎
. 
log6 24 =
log3 24
log3 6
 = 
 
= 
log3 2
3.3
log6 2.3
 = 
log3 2
3+log3 3
log3 2+log3 3
 = 
 
= 
3.log3 2+1
0,63+1
 = 
3.0,63+1
1,63
 = 
2,89
1,63
≅ 1,77 
 
10. Resposta: C 
Temos um logaritmo de base 10. 
log10(𝑥
2 − 8) = 0 , pela definição de logaritmo, temos: 
100 = x2 – 8 
1 = x2 – 8 
1 + 8 = x2 
x2 = 9 → x = ±√9 → x = 3 ou x = - 3. 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA5 
 
Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de mesma base pela simples 
aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na 
definição de logaritmo. 
 
𝒂𝒙 = 𝒃 → 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 , 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎. 
 
Existem quatro tipos de equações logarítmicas: 
 
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙) 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 
Temos que: 
2x + 4 = 3x + 1 
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = {3} 
 
5
brasilescola.com 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática – Volume 1 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Ùnico 
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36 
 
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar. 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟑 
Pela definição de logaritmo temos: 
5x + 2 = 33 
5x + 2 = 27 
5x = 27 – 2 
5x = 25 
x = 5 
Portanto S = {5}. 
 
3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita: 
 
Exemplo 
(𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙)
𝟐 − 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝟒 
Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita: 
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝒚 
 
Substituindo na equação inicial, ficaremos com: 
 
 
4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base: 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒙 
 
Usandoas propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
 
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 
log 𝑥. 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦 
log 𝑥𝑛 = 𝑛. log 𝑥 
Vamos retornar à equação: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
 
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que: 
(2x + 3)(x + 2) = x2 
ou 
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2 
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0 
x2 + 7x + 6 = 0 
 
x = -1 ou x = - 6 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
37 
 
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. Com os valores 
encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø. 
 
Questões 
 
01. (Escola de Sargento das Armas – Combatente/Logística – Exército Brasileiro) O logaritmo de 
um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a mesma base. 
Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada. 
(A) Logb(a.c )= logba + logbc 
(B) Logb(a.c) = logb(a + c) 
(C) Logb(a + c) = logba.logbc 
(D) Logb(a + c) = logb(a.c) 
(E) Loge(a.c) = logba + logfc 
 
02. (FUSA/PR – Agente Comunitário de Saúde – UNIUV) Aplicando as propriedades de logaritmo 
na equação log A - log B = 0, teremos: 
(A) A . B = 0 
(B) A . B > 0 
(C) A = B 
(D) A / B = 0 
(E) A é o inverso de B 
 
03. (Escola de Sargento das Armas – Música – Exército Brasileiro) Sabendo que log P = 3loga - 
4logb + 1/2logc, assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
(A) 12 
(B) 52 
(C) 16 
(D) 24 
(E) 73 
 
04. (SESI/PA – Nutricionista – FIDESA) Para calcular o pH de um efluente, os técnicos do 
departamento de controle ambiental utilizam a fórmula: 𝑝𝐻 = log (
1
|𝐻+|
), onde |H+|é a concentração de 
íons H+ nas amostras do efluente. Considerando que a concentração de íons é |H+|=5x10-5 e log 2 = 0,3, 
o pH das amostras coletadas desse efluente é de: 
(A) 3,6 
(B) 4,3 
(C) 6,4 
(D) 7,2 
 
05. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Qual é o produto das raízes da 
equação [log(x)]² - log(x²) - 3 = 0 ? 
(A) - 3.000 
(B) - 3 
(C) 0,001 
(D) 100 
(E) 1.000 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Logb(a.c )= logba + logbc 
 
02. Resposta: C 
log(A/B)=0 
Pela propriedade do log: 
A/B=1 
A=B 
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38 
 
03. Resposta: C 
log P = log a3 − logb4 + logc
1
2 
log P = log(a3.
c
1
2
b4
) 
 P =
43√16
24
= 16 
 
04. Resposta: B 
 
pH = log (
1
|5x10−5|
) 
 
pH = log(0,2x105) 
pH = log 0,2 + log105 
 
pH = log (
2
10
) + 5log10 
 
pH = log 2 − log 10 + 5log10 
pH=0,3-1+5=4,3 
 
05. Resposta: D 
[log(x)]²- 2logx - 3 = 0 
Fazendo logx=y 
y²-2y-3=0 
=4+12=16 
 
𝑦 =
2 ± 4
2
 
y1 = 3 
y2 = −1 
 
Substituindo: 
Log x=3 
X=10³=1000 
Log x=-1 
X=10-1=0,1 
Produto das raízes: 10000,1=100 
 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
 
A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação, mas é preciso ter muito 
cuidado quando a base for 0 < a < 1. 
São dois tipos de inequação logarítmica. 
 
1º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙) 
 
Neste caso há ainda dois casos a considerar 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
39 
 
Exemplo 
Log3 (2x + 1) ≤ 1 
Condição de existência: 
2x + 1 > 0 → 2x > – 1 → x > -1/2 (S1) 
Veja que no 2º membro da desigualdade não temos um logaritmo. Porém, podemos escrever o número 
1 em forma de logaritmo, dessa forma igualando as bases: 1 = log3 31. A Base 3 foi escrita 
intencionalmente, para se igualar a base do logaritmo escrito no 1º membro. Reescrevendo a inequação: 
Log3 (2x + 1) ≤ log3 31 → como a > 1 mantem-se a direção inicial do sinal. 
2x + 1 ≤ 31 → 2x ≤ 3 – 1 
2x ≤ 2 → x ≤ 1. 
S = S1 ∩ S2 → a solução final é a interseção das soluções 1 e 2. 
S = {x ∈ R / −12 < x ≤ 1} 
 
2º) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒐𝒖 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 
 
Para resolver uma inequação desse tipo, basta substituir r por log𝑎 𝑎
𝑟, assim teremos: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) > 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂
𝒓 
 
Exemplo 
log1/2 (x − 7) > log1/2(3x + 1) 
Condições de existência: 
x – 7 > 0 → x > 7 (S1) 
3x + 1 > 0 → 3x > – 1 → x > −13 (S2) 
 
log1/2(x − 7) > log1/2(3x + 1) → como 0 < a <1 inverte-se a direção inicial do sinal. 
x – 7 < 3x + 1 → x – 3x < 1 + 7 
–2x < 8 → 2x > – 8 → x > – 4 (S3) 
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 → a solução final é a interseção das soluções 1, 2 e 3. 
S = {x ∈ R | x > 7} 
 
Questões 
 
01. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Resolva a inequação abaixo 
 
 
(A) ]1,5/4[ 
(B) ]1, 8[ 
(C) ]- ∞, 5/4[ 
(D)] -∞, 1[ 
(E) ]5/4,8[ 
 
02. (SEDUC/SP – Professor de Matemática – FGV) Considere a desigualdade: 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > 0 
 
o menor valor inteiro de x que satisfaz essa desigualdade é: 
(A) 20132014 + 1 
(B) 20142013 + 1 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
40 
 
(C) 20142015 + 1 
(D) 20152014 + 1 
(E) 2016 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
A condição de existência (C.E.). 
C.E.: x - 1 > 0, 
x > 1 
 
Obs.: a função é decrescente (0 < x < 1). 
Assim, inverte-se o sinal. 
log1/2 (x-1) > 2 
log1/2 (x-1) > log1/2 (1/2)2 
x – 1 < 1/4 
x < 1 + 1/4 
x < 5/4 
S = {x E R / 1< x < 5/4} 
 ]1, 5/4[ 
 
02. Resposta: D 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > 0 
 log2013(log2014( log2015 𝑥)) > log2013 1 
log2014(log2015 𝑥) > 1 
log2014(log2015 𝑥) > log2014 2014¹ 
log2015 𝑥 > 2014 
log2015 𝑥 > log2015 2015
2014 
x > 20152014, logo o menor inteiro será: x > 20152014 + 1. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
41 
 
Resolução de Sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3)pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 8
 
 
x – y = 2 
x + y = 8 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro) 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
Métodos para solução de sistemas do 1º grau 
 
Método de Substituição 
Este método de resolução para os sistemas de equações de 1º grau estabelece que “extrair” o valor 
de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
{
x – y = 2
x + y = 4
 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 
x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 
2y = 4 – 2 
2y = 2 
y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da Adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
 
 
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42 
 
Observe: 
{
x – y = −2
3x + y = 5
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
 x - y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
{
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por + 2 
» multiplica-se a 2ª equação por - 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
Gráfico de um sistema do 1º grau 
 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
Exemplo: Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
 
 
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43 
 
Unindo os pontos formamos uma reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Mas, e aí, será que agora conseguiremos resolver aquele problema lá do início? 
 
João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros 
e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno 
Vamos chamar de x o preço do caderno e de y o preço do livro. 
Assim temos 2x + 3y = 15,40 e 2x + 1y = 9,20. 
{
2x + 3y = 15,40 
2x + 1y = 9,20
 
Vamos resolver pelo método da substituição. 
Iremos isola y na segunda equação, ficando então com: 
y = 9,20 – 2x 
Agora vamos substituir na primeira equação: 
2x + 3y = 15,40 
2x + 3(9,20 - 2x) = 15,40 
2x + 27,60 - 6x = 15,40 
2x - 6x = 15,40 - 27,60 
- 4x = - 12,20 (-1) 
4x = 12,20 
x = 
12,20
4
 
x = 3,05 
 
Temos 
y = 9,20 – 2x 
y = 9,20 – 2.3,05 
y = 9,20 – 6,10 
y = 3,10 
 
Assim cada caderno custa R$3,05 e cada livro custa R$3,10. 
 
Questões 
 
01. (SABESP - Aprendiz - FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. (PM/SE - Soldado - FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional 
de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e 
calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pagou 
indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
44 
 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. (Pref. Lagoa da Confusão/TO - Orientador Social - IDECAN) A razão entre a idade de Cláudio 
e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença 
entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. de Nepomuceno/MG - Porteiro - CONSULPLAN) Numa adega encontram-se armazenadas 
garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas de vinho seco 
excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a porcentagem de garrafas 
de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - Técnico de Administração e Controle Júnior - CESGRANRIO) Maria vende 
salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 
vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª Região - Analista Judiciário - FCC) Para fazer um trabalho, um professor vai dividir os 
seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por seis alunos. Dessa forma, 
sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos formados por seis alunos, o 
produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (Banco do Brasil - Escriturário - FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, alguns 
decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 homens, 
totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
(E) 4 para 5. 
 
 
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45 
 
08. (SABESP - Analista de Gestão - FCC) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem, em 
cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem derrotadas. 
Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP - Escrevente Técnico Judiciário - VUNESP) Uma empresa comprou um determinado 
número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a sua 
distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. (SEAP - Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária - VUNESP) A razão entreo número de 
litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa ordem, foi 
de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de litros de 
óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Vamos chamar as cores de letras, usaremos x, y, z. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
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46 
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 = 30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
47 
 
07. Resposta: A 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (. −
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
 
mmc(3,4) = 12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
09. Resposta: D 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
48 
 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Precisamos antes de resolvermos, interpretarmos minuciosamente cada questão e depois equacioná-
las de forma a transcrever o texto em linguagem matemática. 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc., 
porém devemos ficar atentos para o fato de ter que resolver uma equação do 2° grau. 
Uma sequência prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. 
 
Exemplo 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as 
medidas dos lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10, assim: 
x + y + x + y = 10 
ou 2x + 2y = 10, dividindo tudo por 2 
x + y = 5 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → (isolando x na 1ª equação) x = 5 – y, → (substituindo na 2ª equação) (5 – y) . y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 
- y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) 
y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau, vamos resolver pela fórmula de bháskara) 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
49 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥′ =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥" =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
 
Logo: 
Se x = 1 → y = 5 - 1 → y = 4 
Se x = 4 → y = 5 - 4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4, tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4, 
podendo x ou y assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
Os pares ordenados (1,4) ou (4,1) satisfazem o sistema de equações. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS Concursos) A soma entre dois 
números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor 
número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. (Câm. de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade - FUMARC) Marque, dentre as 
alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
 
04. O produto de dois números inteiros e positivos é 10. O maior é igual ao dobro do menor mais 1.O 
valor desse número é: 
(A) 3 e 5 
(B) 5 e 2 
(C) 8 e 2 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 5 
 
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário - FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto 
é igual a 20, a soma de seus quadrados é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
50 
 
(C) 50 
(D) 60 
(E) 80 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como não sabemos quem são esses números, iremos atribuir letras a eles, um será x e o outro será 
x. 
Teremos o seguinte sistema: 
{
x + y = 37 (I)
x. y = 330 (II)
 
Vamos resolver pelo método da substituição: 
Isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 (propriedade distributiva) 
37x – x2 = 330 
37x – x2 – 330 = 0 (multiplicando tudo por -1) 
x2 – 37x + 330 = 0 (vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 
𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 
 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 
Se x = 15 → y = 37 – 15 = 22 
Logo, os números serão 22 e 15, e a diferença entre eles será: 
22 – 15 = 7. 
 
02. Resposta: D 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então vamos substituir y por x + 2 na equação y = x2 + 2x: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0 (resolvendopela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 1 e c = - 2 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 
 
𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
51 
 
03. Resposta: E 
Vamos substituir as idades de Miguel e Lucas pelas letras M e L, assim teremos o seguinte sistema: 
{
𝑀. 𝐿 = 500 (𝐼)
𝑀 = 𝐿 + 5 (𝐼𝐼)
 
 
Como M já está isolado em (II), vamos substituir em (I) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0 (Vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 5 e c = - 500 
 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 
𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → M = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45. 
 
04. Resposta: B 
Pelo enunciado temos o seguinte sistema: 
{
𝑥. 𝑦 = 10
𝑥 = 2𝑦 + 1
 
(2y + 1).y = 10 
2y2 + y - 10 = 0 (Resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a= 2 ; b = 1 e c = -10 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦 =
−1± √(1)2 − 4.2. (−10)
2.2
→ 𝑦 = 
−1 ± √1 + 80
4
 
 
𝑦 =
−1 ± 9
4
 ∴ 𝑦1 =
−1− 9
4
=
−10
4
= −2,5 𝑒 𝑦2 =
−1+ 9
4
=
8
4
= 2 
 
Como são números positivos então descartamos o valor de y1 
Substituindo: 
Se y = 2, temos x = 2 . 2 + 1 → x = 5 
Os números são 5 e 2. 
 
05. Resposta: D. 
De acordo com o enunciado, vamos montar o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥. 𝑦 = 20
 
Eu quero saber a soma de seus quadrados: x2 + y2 
Vamos elevar o x + y ao quadrado: 
(x + y)2 = (10)2 
x2 + 2xy + y2 = 100 
Como x . y=20 substituímos o valor: 
x2 + 2.20 + y2 = 100 
x2 + 40 + y2 = 100 
x2 + y2 = 100 – 40 
x2 + y2 = 60 
 
 
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52 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas; e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um espaço. Além do mais, o plano 
cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação ao 
par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico Cartesiano do Par Ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
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53 
 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
Listagem dos Elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) . n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) . n (B) = 3 . 2 = 6 
 
Diagrama de Flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
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Plano Cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
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56 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao 
eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com maisde uma correspondência, aí podemos 
dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Elementos da Função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que, dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto 
imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
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Domínio de uma Função Real de Variável Real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real e obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0 ➔ x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Comentário 
 
01. Resposta: A 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição6: Toda função f: R → R, definida por: 
 
6
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
 Construção do gráfico no plano cartesiano: 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é sempre uma 
reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que veremos 
mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
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A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, 
notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela 
função em um único ponto (o que representa uma 
imagem distinta), logo concluímos que se trata de 
uma função injetora. 
 
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Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do contradomínio 
tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. Logo 
não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
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Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) também aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x aumentam, 
os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º).Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
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Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
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Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
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64 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio 
de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
65 
 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto 
é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para 
que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
 
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66 
 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
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67 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituiros pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000→ x = 
10000
1
6
 → x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
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68 
 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
A inversa7 de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função 
f. Vejamos a figura abaixo: 
 
Observe que: 
1º A função f "leva" o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, "traz de volta" o valor - 16 
até o valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2. 
2º Outra maneira de entender essa ideia é: a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a 
inversa, f-1, associa o valor -2 ao valor -16. 
3º Dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, 
invertendo as colunas x e y. 
4º Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número 
de volta. 
 
Definição 
 
Seja uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f-1 é a função 
, com domínio B e imagem A tal que: 
 
f-1(f(a)) = a para a ∈ A e f(f-1(b)) = b para b∈ B 
 
Assim, podemos definir a função inversa f-1 por: , para y em B. 
 
Exemplo 
A ideia de trocar x por y para escrever a função inversa, nos fornece um método para obter o gráfico 
de f-1 a partir do gráfico de f. Vejamos então como isso é possível, levando em conta que: 
 
 
Podemos concluir que: 
 
 
7
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
http://www.calculo.iq.unesp.br 
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69 
 
 
Propriedade 
Os gráficos cartesianos de f e f -1 são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano 
cartesiano. 
 
Regra prática para determinar a inversa de uma função: 
- primeiramente temos que toda função ( f(x), g(x), h(x), ....) representa o “y”. 
 
Para determinar a inversa temos dois passos: 
 
1° Passo: isolamos o x. 
2° passo: trocamos x por y e y por x. 
 
Exemplo 
Determinar a inversa da função f(x) = 3x + 1, sabendo que é bijetora. 
 
Então, temos que: 
y = 3x + 1 
 
1° passo: 
 
y – 1 = 3x → x =
y−1
3
 (isolamos o x) 
 
2º passo: 
 
y =
x−1
3
 (trocamos x por y e y por x), temos a inversa de f(x) → 𝑓−1(𝑥) =
𝑥−1
3
. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Agua Branca/AL – Agente Administrativo – FAPEC) A função inversa para f(x) = 2 - 
6x é equivalente a: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
02. (PUC/SP) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretaria de 
Saúde de um município verificaram que o custo de vacinação de x por cento da população era de, 
aproximadamente, 𝑦 =
300𝑥
400−𝑥
 milhares de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, 
obtém-se x igual a: 
(A) 
4
3
 
(B) 
300𝑦
400−𝑦
 
(C) 
300𝑦
400+𝑦
 
(D) 
400𝑦
300−𝑦
 
(E) 
400𝑦
300+𝑦
 
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70 
 
03. (Receita Federal – Auditor Fiscal – ESAEF) Considere a função bijetora f, de em é definida 
por em que é o conjunto de números reais. Então os 
valores da função inversa de f, quando x = -8 e x = 8 são, respectivamente, iguais a: 
(A) -7 ; 3 
(B) -7; -3 
(C) 1/9; -1/63 
(D) -1/9; -1/63 
(E) -63; 9 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Temos que y = 2 – 6x 
Vamos isolar o “x” 
6x = 2 – y 
x = 
2−𝑦
6
 
 
x = 
2−𝑦
6
 
Trocando x por y e y por x, teremos: 
y = 
2−𝑥
6
 
f-1(x) = 
2−𝑥
6
 
 
02. Resposta: E 
Basta isolar o x: 
y
1
=
300x
400 − x
 (multiplicando em cruz) 
300x = y(400 − x) 
300x = 400y − xy 
300x + xy = 400y (colocando − se o x em evidência) 
x(300 + y) = 400y 
x =
400y
300 + y
 
 
03. Resposta: A 
Vamos calcular as duas funções inversas 
 
f(x) = (x² - 1) 
y= x² - 1 
y + 1 = x² 
x = √𝑦 + 1 
y = √𝑥 + 1 
f-1(x) = √𝑥 + 1 
 
e a outra 
f(x) = x – 1 
y = x – 1 
y + 1 = x 
x + 1 = y 
f-1(x) = x + 1 
 
para x = -8 < 0 
 
f-1(x) = x + 1 
f-1(-8) = -8 + 1 = -7 
 
para x = 8 >0 
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71 
 
f-1(x) = √𝑥 + 1 
f-1(8) = √8 + 1 = √9 = 3 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau8, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2; 
b é o coeficiente de x; 
c é o termo independente. 
 
Exemplos 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação Gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valorreal, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
8
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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72 
 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y, neste caso no 0 (zero); 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4. 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(maior que zero ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um 
polinômio do 2º grau. 
 
 
Vértice da Parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de Simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
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73 
 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor Máximo e Valor Mínimo 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = - 4. Logo o valor de mínimo é - 4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ - 4}. 
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74 
 
Raízes ou Zeros da Função 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2
−
=
 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da Variação do Sinal da Função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes reais. 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= - 4 e x2 = 0), podemos utilizar a forma fatorada: 
f (x) = a.[ x – (- 4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (- 2,4), temos: 
4 = a.(- 2 + 4).(- 2) → a = - 1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (- x - 4x).x → - x2 - 4x 
 
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75 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = - (2)2 + (k + 4).2 - 5 → 3 = - 4 + 2k + 8 - 5 → 2k + 8 - 9 = 3 → 2 k - 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → 
k = 2. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
76 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x) = 3x² - 12x-5x² + 40x + 40 
L(x) = - 2x² + 28x + 40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C = 0,81, pois é exatamente a distância de V 
f(x) = - x² + 0,81 
0 = - x² + 0,81 
x² = 0,81 
x =  0,9 
A distância AB é 0,9 + 0,9 = 1,8 
 
04. Resposta:A 
- 2x + 3 = x² + 5x - 6 
x² + 7x - 9 = 0 
 = 49 + 36 = 85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
y = - 2 . 1,105 + 3 = 0,79 
Para x = - 8,105 
y = 19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
Chama-se função modular a função f: R → R, definida por: f(x) = |x|. 
Por definição: 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓(𝑥) = |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
A função modular é definida por duas sentenças: f(x) = x, se x ≥ 0 e f(x) = - x, se x < 0. 
 
Módulo de um número 
- O módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; 
- O módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número; 
- O módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero: |x| ≥ 0, para todo x. 
 
 
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77 
 
Construção do Gráfico da f(x) = |x|. 
 
 
Imagem de uma Função Modular 
O conjunto imagem da função Modular é R+, isto é, a função assume valores reais não negativos. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de São Borja/RS – Agente Administrativo Auxiliar – MS Concursos) Observe a figura: 
 
Este gráfico é representação de uma função: 
(A) Quadrática. 
(B) Exponencial. 
(C) Modular. 
(D) Afim. 
 
02. (UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
03. (UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que: 
(A) a soma delas é – 1. 
(B) o produto delas é – 6. 
(C) ambas são positivas. 
(D) o produto delas é – 4. 
(E) n.d.a. 
 
04. (UFCE) Sendo f(x) = |x² - 2x|, o gráfico que melhor representa f é: 
 
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78 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
05. (Pref. de Osasco – Atendente – FGV) Assinale a única função, dentre as opções seguintes, que 
pode estar representada no gráfico a seguir: 
 
 
(A) y = 1 - |x-1|; 
(B) y = 1 - |x + 1|; 
(C) y = 1 + |x + 1|; 
(D) y = 1 + |x + 1|; 
(E) y = |x-1| + |x+1|. 
 
 
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Comentários 
 
01. Resposta: C 
O gráfico é simétrico o caracteriza a uma função modular. 
 
02. Resposta: B 
Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações: 
5x – 6 = x² 
x² - 5x + 6 = 0 
S = -5 , P = 6 
(x - 2)(x - 3) = 0 
x = 2 ou x = 3 
5x – 6 = -x² 
x² + 5x – 6 = 0 
S = 5, P = -6 
(x + 6)(x - 1) = 0 
x = -6 ou x = 1 
Assim, teremos uma solução negativa: -6. 
 
03. Resposta: D 
Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará y² + 
y – 6 = 0. Resolvendo-a: 
y² + y – 6 = 0 
S = 1, P = -6 
(y + 3)(y - 2) = 0 
y = - 3 ou y = 2 
Assim, |x| = - 3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = - 2 ou x = 2. Portanto, 
seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4. 
 
04. Resposta: A 
Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A 
diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos: 
|x² - 2x| = 0 
x² - 2x = 0 
x (x - 2) = 0 
x = 0 ou x = 2 
 
05. Resposta: A 
Observando o gráfico temos: 
Quando x = 1, temos que y = 1; 
Quando x = 2, temos que y = 0; 
Quando x = 0, temos que y = 0, 
Logo, a única alternativa que satisfaz estas condições é a "A". 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
Podemos concluir, que a função exponencial é definida por: 
 
 
 
 
 
 
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Gráficos da Função Exponencial 
 
 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax . ay = ax + y 
- ax / ay = ax - y 
- (ax) y = ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) = x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo, de acordo com a definição da função exponencial, temos 
que: 
ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, um dos primeiros 
a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Porém ninguém é obrigado a decorar este número, sabendo com duas casas após a vírgula já é mais 
que suficiente, ou seja, devemos saber que e = 2,72 aproximadamente. 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
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81 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (UFOP – Assistente em Administração – UFOP/2018) Sobre a função f(x) = (1/3)-x, assinale a 
afirmativa correta. 
(A)f é crescente. 
(B) f não é injetora. 
(C) O domínio de f é o conjunto dos números reais negativos. 
(D) A imagem de f é o conjunto dos números reais. 
 
02. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
03. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
04. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em 
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em 
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
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(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
05. (CBTU - Assistente Operacional - FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t) 
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como o expoente é um número negativo (-x), basta invertemos a fração para deixa-lo positivo, ou 
seja: 
(1\3)-x = (3\1)x = 3x, e está função é fácil identificar que será crescente, pois se aumentarmos o valor 
de x, aumentamos o valor de f(x). 
 
02. Resposta: C 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
03. Resposta: A 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
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04. Resposta: A 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t = 3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
05. Resposta: A 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log
2
𝑥 = 3 
log
𝑥
100 = 2 
7log
5
625𝑥 = 42 
3log
2𝑥
64 = 9 
log
−6−𝑥
2𝑥 = 1 
 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Função Logarítmica 
 
A função logaritmo natural mais simples é a função y = f0(x) = lnx. Cada ponto do gráfico é da forma 
(x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da 
reta x = 0. 
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O que queremos será descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y = ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. 
Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y = f1(x) = ln x + k, onde k é uma 
constante real. A pergunta natural a ser feita é, qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função 
quando comparado ao gráfico da função inicial y = f0(x) = ln x? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y = f2(x) = a.ln x onde 
a é uma constante real, a 0. 
Observe que se a = 0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma 
questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y = f3(x) = ln(x + m), onde 
m é um número real não nulo. Se g(x) = 3.ln(x - 2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos 
intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y = a.ln(x + m) + k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y = ln(x + m); em seguida, y = a.ln(x + m) e, finalmente, y 
= a.ln(x + m) + k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- Em primeiro lugar, y = ln(x + m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x = - m exerce 
o papel que x = 0 exercia em y = ln x; 
- A seguir, no gráfico de y = a.ln(x + m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y = ln(x + m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- Por fim, o gráfico de y = a.ln(x + m) + k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m) + k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y = a.ln(x + m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a, é toda função f : R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 com: 
a ϵ R*+ e a ≠ 1. 
 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log
𝑏
𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1 e 10. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
85 
 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Acima temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da 
tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1 000 000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
Função Crescente e Decrescente 
 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log
𝑎
𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
Função Logarítmica Crescente 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valores de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
 
 
 
 
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Função Logarítmica Decrescente 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
03. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E) Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
 
04. (PETROBRAS - Analista de Comercialização e Logística Júnior - CESGRANRIO) Ao resolver 
um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 5. Quando perguntou ao professor se suas 
expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era 
dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A)log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
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05. (TRT 13ª Região - Analista Judiciário - FCC) Com base em um levantamento histórico e utilizando 
o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a equação para estimar a 
probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado equipamento em função do tempo (t), em 
minutos, em que as propriedades do equipamento são divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) 
= - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento forem divulgadas por um tempo de 15 minutos 
na mídia, então a probabilidade do equipamento ser vendido é, em %, de 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C) 72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS - Conhecimentos Básicos - CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de 
um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo 
a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade 
y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade 
da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
Dados 
log 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C)170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT - Analista em Infraestrutura de Transportes - ESAF) Suponha que um técnico efetuou 
seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber que os 
valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática (logaritmo na 
base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida transformação 
logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS - Técnico de Exploração de Petróleo Júnior - CESGRANRIO) Se y = log81 (1⁄27) 
e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A)1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
(D) 2 
(E)16 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
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09. (PETROBRAS - Geofísico Junior - CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 10 
de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A)2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS - Todos os Cargos - CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a tecla log serve 
para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, 
o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com aproximação de três casas 
decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 103 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C 
(x) = log2(x - 2) 
Verificamos a condição de existência, daí x – 2 > 0 
X > 2 
Logo a reta x = 2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B 
8p = 3 
23p = 3 
log23p = log3 
3p = (log3/log2) 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
89 
 
p = (log3/log2).1/3 
3q = 5 
q.log3 = log5 
q = log5/log3 
3.p.q = 3. (log3/log2).1/3 . log5/log3 = log5/log2 
3.p.q/(1 + 3.p.q) 
log5/log2/(1 + log5/log2) 
(log5/log2)/( log2/log2 + log5/log2) 
(log5/log2)/(log2 + log5)/log2) 
(log5/log2)/( log10)/log2) 
(log5/ log10)= 
log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03 . t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60 . p 
p = 0,625 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então: 
i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
(i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
1/3 = 0,6 (x/88) 
log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
log 1 - log 3 = x/88 . log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 . log 6/10 
88 . (- 0,48) = x . [ log 6 - log 10 ] 
6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
como log10 na base 10 = 1. 
- 42,24 = x . [ log 3 + log 2 - (1)] 
- 42,24 = x . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
x = - 42,24 / - 0,22 
x = (42,24 / 0,22) = 192 
x = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A 
y = log (81) (1/27) 
y = -3log(81)(3) 
y = -3. 1/4 
y = -3/4 
x(-3/4) = 8 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
x-3 = 84 
1/x3 = 84 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
90 
 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
 
09. Resposta: C 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1, 
onde 1 = log 10 
então: 
log (n . 2) = 3 . log 10 
log(n . 2) = log 10 3 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
10. Resposta: B 
Log 6 = Log (2 . 3) 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A . B) = Log A + Log B 
Então, Log (2 . 3) = Log 2 + Log 3. 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28= Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Portanto: 
Log 2 + Log 3 + x = Log 2 + Log 2 + Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log 3 + x = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os, temos que: 
0,477 + x = 0,301 + 0,845 
x = 0,669 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
91 
 
Igualdade de Sequências 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos 
Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos 
Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
92 
 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
93 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouroe pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado 
com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
94 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Aritmética é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação 
Uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplos 
01. (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
02. (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
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Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) 
a2 =
a3
a1
. 
Exemplo 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior 
multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Geométrica é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
Exemplos 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação 
Uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
 
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96 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos (Soma Finita) 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
01. (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
02. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
Como podemos observar, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio 
(8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. Porém, só 
existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
Exemplo 
 
 
Questões 
 
01. (Câm. Municipal de Eldorado do Sul/RS – Técnico Legislativo – FUNDATEC/2018) Para 
organizar a rotina de trabalho, um técnico legislativo protocola os processos diariamente, de acordo com 
as demandas. Supondo que o número de processos aumenta diariamente em progressão aritmética e 
que no primeiro dia foram protocolados cinco processos e 33 no décimo quinto dia, quantos processos 
serão protocolados no trigésimo dia? 
(A) 20. 
(B) 35. 
(C) 48. 
(D) 63. 
(E) 66. 
 
02. (FUB – Assistente em Administração – CESPE/2018) A tabela seguinte mostra as quantidades 
de livros de uma biblioteca que foram emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. 
 
 
A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
 
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos somente a partir de 
julho de 2017 e os números correspondentes às quantidades de livros devolvidos a cada mês formavam 
uma progressão aritmética em que o primeiro termo era 90 e razão, 30. Assertiva: Nessa situação, mais 
de 200 livros foram devolvidos somente a partir de 2018. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (SEFAZ/RS – Assistente Administrativo Fazendário – CESPE/2018) Sobre uma mesa há 9 
caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um grão de feijão; depois, em outra caixa, serão 
colocadostrês grãos de feijão. Prosseguindo-se sucessivamente, será escolhida uma caixa vazia, e nela 
colocada uma quantidade de grãos de feijão igual ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente 
escolhida, até que não reste caixa vazia. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
98 
 
Nessa situação, nas 9 caixas será colocada uma quantidade de grãos de feijão igual a 
(A)
39−1
2
 
(B) 39 − 1 
(C) 
310−1
2
 
(D) 310 − 1 
(E) 
38−3
2
 
 
04. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
05. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o número 
0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa 
maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
06. (EBSERH/UFSM/RS – Analista Administrativo – AOCP) Observe a sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
 𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
 𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) O primeiro e 
o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do 
segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
08. (TRF/ 3ª Região – Analista Judiciário – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse 
possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na 
quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª 
casa desse tabuleiro seria igual a 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
99 
 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
09. (Polícia Militar/SP – Aluno Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
10. (EBSERH/UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
11. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
12. (MPE/AM – Agente de Apoio – FCC) Considere a sequência numérica formada pelos números 
inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (4, 8, 12, 
16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
 
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100 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Sabemos pelo enunciado que se trata de uma PA, ele quer descobrir quantos processos serão 
protocolados no trigésimo dia, então será nosso a30, pela fórmula do termo geral temos que: 
a30 = a1 + (30-1)r 
a30 = a1 + 29r 
Precisamos descobrir a razão, portanto vamos analisar os outros dados. 
a1 = 5 
a15 = 33 
Utilizando o termo geral neste passo. 
a15 = a1 + 14r 
33 = 5 + 14r 
33 – 5 = 14r 
28 = 14r 
r = 
28
14
 
r = 2, agora podemos encontrar o que ele quer no exercício. 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 5 + 29.2 
a30 = 5 + 58 = 63 
 
02. Resposta: Certo 
Como serão devolvidos em forma de PA a partir de julho, teremos o seguinte, nem precisamos de 
fórmula para resolver esta questão (Caso queira pode encontrar eles através do termo geral da PA). 
Julho: 90 
Agosto: 90 + 30 = 120 
Setembro: 120 + 30 = 150 
Outubro: 150 + 30 = 180 
Novembro: 180 + 30 = 210 
Dezembro: 210 + 30 = 240 
Total devolvido até dezembro: 90 + 120 + 150 + 180 + 210 + 240 = 990 livros devolvidos (Pode utilizar 
a fórmula da soma dos termos da PA se quiser) 
 
Vamos encontrar o total de livros que foram emprestados 
50 + 150 + 250 + 250 + 300 + 200 = 1200 livros emprestados. 
Assim 1200 – 990 = 210 livros ainda faltam para ser entregues no ano de 2018 o que é mais que 200. 
 
03. Resposta: A 
Para resolver esta questão devemos descobrir que se trata de um PG pela dica deixada “feijão igual 
ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente escolhida” quando multiplica a razão será PG, 
se fosse somada a razão seria uma PA. 
Enfim, temos 9 caixas vazias e essa PG será assim, 1, 3, 9, 27, 81, ... até chegar na nova caixa, então 
é finita essa PG, como ele que saber a quantidade de grãos colocadas no total de caixas, teremos a soma 
desta PG Finita. 
𝑆𝑛 = 𝑎1.
𝑞𝑛−1
𝑞−1
, onde n = 9, q = 3 e 𝑎1 = 1 
𝑆9 = 1.
39 − 1
3 − 1
= 
39 − 1
2
 
 
04. Resposta: A 
O próprio enunciado já diz que é uma PA, então vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, mas 
primeiro vamos descobrir a razão. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
 
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101 
 
05. Resposta: D 
Como temos uma subtração será uma PA decrescente, 𝑎1 = 0,3; 𝑟 = −0,07 
Termo Geral da PA:𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
Vamos calcular o valor do a4 e do a7 e depois soma-los. 
𝑎4 = 0,3 + 3. (−0,07) 
𝑎4 = 0,3 − 0,21 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 + 6. (−0,07) 
𝑎7 = 0,3 − 0,42 = −0,12 
 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 + (−0,12) = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
06. Resposta: C 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. Resposta: E 
Vamos utilizar o primeiro e terceiro temos para descobrir a razão desta PG. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
Agora vamos calcular o valor do segundo e do quarto termos e depois soma-los. 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
1 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 = 4 ∙ 53 = 4.125 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
08. Resposta: B 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
a64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
09. Resposta: D 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 =52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
10. Resposta: C 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
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102 
 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
11. Resposta: A 
Vamos resolver este exercício sem fórmula, utilizando apenas o raciocínio lógico, mas também é 
possível resolver com fórmula. 
Número que tem 9 de 1 até 100 são: 
09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 e 99, assim em 20 vezes aparece 
o algarismo 9. 
Por fórmula ficará assim: 
Pois começa no 9 e vai de 10 em 10 até chegar no 99. 
99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
10𝑛 − 10 + 9 = 99 
𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 para ser contado a parte: 10-1=9 
Agora vamos encontrar do 90 até 99. 
99 = 90 + (𝑛 − 1). 1 
𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
12. Resposta: D 
Sabemos que a razão é 4 e que pela sequência teremos uma PA, assim: 
r = 4 
𝑎1 = 4 
E como ele que saber o último algarismo do 234° termo, devemos encontrar o 𝑎234 
Pela fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
4.2 GEOMETRIA PLANA 
 
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103 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
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104 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
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105 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
106 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
107 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
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108 
 
06. (Pref. de Curitiba – Docência I – NC-UFPR) Sabendo que as retas r e s da figura ao lado são 
paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
109 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo 
 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
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110 
 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono.Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
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111 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
 
 
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112 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Exemplos: 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
113 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
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114 
 
d) 
 
 
Resoluções 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
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115 
 
Questões 
 
01. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
(A) 375’’. 
(B) 22.500”. 
(C) 3.615’’ 
(D) 2.950’’ 
(E) 25.000’’ 
 
02. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
(A) 60° 
(B) 90° 
(C) 45° 
(D) 120° 
(E) 135° 
 
03. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
(A) 60° 
(B) 30° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 150° 
 
04. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
(A) 35° e 55° 
(B) 40° e 50° 
(C) 20° e 70° 
(D) 45° e 45° 
(E) 40° e 55° 
 
05. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Qual é p valor 
do ângulo y? 
 
(A) 45° 
(B) 90° 
(C) 135° 
(D) 120° 
(E) 155° 
 
06. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
(A) 11º; 159º. 
(B) 12º; 158º. 
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116 
 
(C) 10º; 160º. 
(D) 15º; 155º. 
(E) 16º; 150º. 
 
07. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
(A) 135° 
(B) 40° 
(C) 90° 
(D) 100° 
(E) 45° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
02. Resposta: A. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
03. Resposta: B. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
04. Resposta: A. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
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117 
 
x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
05. Resposta: C. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
06. Resposta: A. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
07. Resposta: E. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
POLÍGONOS 
 
Um polígono9 é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Uma região do plano designa-se por convexa quando qualquer segmento de reta que tenha as 
extremidades dentro da região, tem todos os seus pontos na região. 
Por exemplo, o seguinte polígono é convexo porque o segmento de reta [A,B], seja para onde for que 
o desloquemos e desde que os pontos A e B permaneçam "dentro" do polígono, terá todos os pontos do 
segmento também "dentro" da região. 
 
9 DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau– Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
www.somatematica.com.br 
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118 
 
 
Neste segundo exemplo, o seguinte polígono não é convexo porque o segmento de reta [C,D], apesar 
de ter as extremidades "dentro" do polígono, possui pontos que estão "fora". 
 
 
Elementos de um polígono 
 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o número de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígono. 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
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119 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
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120 
 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
07. ( Pref. de Cerrito/SC – Técnico em Enfermagem – IESES/2017) Um eneágono tem um de seus 
lados com 125 cm, como todos os lados são iguais o seu perímetro será de: 
(A) 625cm. 
(B) 750cm. 
(C) 1.500cm. 
(D) 1.125 cm. 
(E) 900 cm. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados) → n = 7 
Si = (n – 2).180° 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados) → n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
 
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121 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5 → pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
 
07. Resposta: D. 
Um eneágono possui 9 lado, portanto 9x125 = 1.125cm. 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular10 pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
I) Triângulo Equilátero: 
 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
 
 
 
 
10 DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
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122 
 
II) Quadrado: 
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 →𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
 → 10 =
𝑟
2
 → r = 2.10 → r = 20 cm 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
123 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
 → 𝑟 =
12√2
2
 → 𝑟 = 6√2 dm 
 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triânguloA’B’C’ = S2 
 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,… , 𝑛 − 2 
 
Então: 
 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 +⋯+ 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 +⋯+ 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
124 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Questão 
 
01. (TJ/RS – Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos 
medindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área 
do primeiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2. 
(C) 3√2 e 10√2. 
(D) 5 e 6. 
(E) 6 e 10. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A razão entre as Áreas =e igual ao quadrado da razão entre os lados. 
O triângulo de catetos 3 e 5 possui área igual a 7,5. Já o outro triângulo possui o dobro de área, 
conforme o enunciado. Assim sendo teremos: 
A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 3²/x² 
X = 3√2 
E A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 5²/y² 
Y= 5√2. 
 
SEMELHANÇA 
 
De acordo com o dicionário, semelhante vem do latim – similare – que significa “parecer-se com, ter a 
mesma aparência que”. 
Porém em Geometria, para que duas figuras geométricas sejam semelhantes é preciso que elas sejam 
mais do que “parecidas”, elas devem ter formas iguais e dimensões proporcionais. 
 
Em relação ao perímetro: 
 
 
Em relação a área: 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
125 
 
Exemplo 
 
01. Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações: 
 
 
Ângulos 
A = A’ 
B = B’ 
C = C’ 
D = D’ 
E = E’ 
 
Lados 
AB é proporcional à A’B’ 
BC é proporcional à B’C’ 
CD é proporcional à C’D’ 
DE é proporcional à D’E’ 
EA é proporcional à E’A’ 
 
Razão entre os lados 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
= 
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= 
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
= 
𝐷𝐸
𝐷′𝐸′
= 
𝐸𝐴
𝐸′𝐴′
 
 
Caro aluno, os mais utilizados casos de semelhança será semelhança em triângulos e teorema de 
Tales. 
 
Questões 
 
01. (Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 
m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do 
prédio, em metros, é: 
 
(A) 25 
(B) 29 
(C) 30 
(D) 45 
(E) 75 
 
02. Se a razão entre a área do Retângulo R1 e a área do Retângulo R2 é de 
1
64
, e o comprimento de R1 
é 4cm, qual é o comprimento de R2, sabendo que esses retângulos são semelhantes? 
(A) 4 
(B) 8 
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126 
 
(C) 16 
(D) 32 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Como as figuras são semelhantes teremos: 
 
𝑥
15
= 
5
3
 
Assim, 
3x = 15 . 5 
x = 
75
3
 
x = 25 m, logo alternativa A. 
 
02. Resposta: D. 
 
Como os retângulos são semelhantes, então a razão entre suas áreas será igual ao quadrado da razão 
entre seus lados, assim: 
 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑅1
Á𝑟𝑒𝑎 𝑅2
= (
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅1
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅2
)
2
 
 
1
64
= (
4
𝑥
)
2
 
 
1
64
=
16
𝑥2
 
x² = 64 . 16 
x² = 1024 
x = √1024 
x = 32 
 
TRIÂNGULOS 
 
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único 
polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, 
lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 
 
1. Vértices: A, B e C. 
2. Lados: AB̅̅ ̅̅ ,BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ . 
3. Ângulos internos: a, b e c. 
 
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao 
vértice formando um ângulo reto. BH̅̅ ̅̅ é uma altura do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
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127 
 
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM̅̅ ̅̅ é uma mediana. 
 
 
 
Bissetriz: É a semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B̂ está dividido ao meio 
e neste caso Ê = Ô. 
 
 
 
Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são Â, B̂ e Ĉ 
 
 
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a 
este lado, na figura são D̂, Ê e F̂ (na cor em destaque). 
 
Classificação 
O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto aos lados: 
 
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(BC̅̅̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e os três ângulos 
iguais. 
 
 
Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB̅̅ ̅̅ ) = m(AC̅̅̅̅ ) e dois ângulos iguais. 
 
 
 
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB̅̅ ̅̅ ) ≠ m(AC̅̅̅̅ ) ≠ m(BC̅̅̅̅ ) e os três 
ângulos diferentes. 
 
 
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128 
 
2 - Quanto aos ângulos: 
 
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são 
menores do que 90º. 
 
 
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do 
que 90º. 
 
 
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). 
 
 
Propriedade dos ângulos 
 
1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. 
 
 
a + b + c = 180º 
 
2- Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os 
ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo 
cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. 
 
 
 
 = b̂ + ĉ; B̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ 
 
Semelhança de triângulos 
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos congruentes (iguais). 
 
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129 
 
Dados os triângulos acima, onde: 
AB̅̅ ̅̅
DE̅̅ ̅̅
=
BC̅̅̅̅
EF̅̅̅̅
=
AC̅̅̅̅
DF̅̅̅̅
 
 
e  = D̂ B̂ = Ê Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. 
 
Critérios de semelhança 
1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes 
congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: Â = D̂ e Ĉ = F̂ 
 
então: ABC ~ DEF 
 
2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionaise os 
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅̅̅
=
BC̅̅̅̅
FG̅̅̅̅
→
6
3
=
8
4
= 2 
então: ABC ~ EFG 
 
3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 
Nas figuras ao lado: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑅𝑆̅̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝑆𝑇̅̅̅̅
→
3
1,5
=
5
2,5
=
4
2
= 2 
 
então: ABC ~ RST 
 
 
Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, 
isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos 
correspondentes congruentes (iguais). 
 
Casos de congruência 
 
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 
 
 
 
 
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130 
 
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes. 
 
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 
 
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo 
oposto ao lado. 
 
 
Questões 
 
01. (PC/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) Com relação à semelhança de triângulos, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes. 
II. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os lados homólogos proporcionais. 
III. Dois triângulos são semelhantes se, e se somente se, possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados homólogos proporcionais. 
Nessas condições, está correto o que se afirma em: 
(A) I e II, apenas 
(B) II e III, apenas 
(C) I e III, apenas 
(D) I, II e III 
(E) II, apenas 
 
02. Na figura abaixo AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ , CB̅̅̅̅ = CD̅̅̅̅ , a medida do ângulo DĈB é: 
 
(A) 34° 
(B) 72° 
(C) 36° 
(D) 45° 
(E) 30° 
 
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131 
 
03. Na figura seguinte, o ângulo AD̂C é reto. O valor em graus do ângulo CB̂D é igual a: 
 
(A) 120° 
(B) 110° 
(C) 105° 
(D) 100° 
(E) 95° 
 
04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto 
mede o lado do quadrado? 
 
(A) 0,70 
(B) 0,75 
(C) 0,80 
(D) 0,85 
(E) 0,90 
 
05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, 
que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 
30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. A sombra projetada 
pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. 
 
Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é 
aproximadamente: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Todas as afirmações estão corretas pois em todos os casos os triângulos são semelhantes. 
 
02. Resposta: C. 
Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC 
tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: 
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132 
 
AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 
36° + x + x = 180° 
2x = 180° - 36° 
2x = 144 
x = 144 : 2 
x = 72 
Logo: AĈB = AB̂C = 72° 
Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: 
CB̂D = CD̂B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 
72° + 72° + y = 180° 
144° + y = 180° 
y = 180° - 144° 
y = 36º 
 
03. Resposta: D. 
Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD̂C = 90° (reto). 
O ângulo BD̂C = 30° → AD̂B = 60º. 
 
O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: 
x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) 
x = 100° 
 
04. Resposta: B. 
Sendo x o lado do quadrado: 
 
 
Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. 
O ângulo BÂC é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo 
estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: 
AB̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
CF̅̅ ̅̅
 
1
x
=
3
3−x
 (multiplicando em “cruz”) 
 
3x = 1.(3 – x) 
3x = 3 – x 
3x + x = 3 
4x = 3 
x = ¾ 
x = 0,75 
 
 
 
 
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133 
 
05. Resposta: A. 
Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: 
 
Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois 
triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: 
CG̅̅ ̅̅
EF̅̅ ̅̅
=
AG̅̅ ̅̅
AF̅̅ ̅̅
 
 
8
r
=
80
30
 
 
8r = 8.3 
r = 3 m 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Em um triângulo qualquer nós temos alguns elementos chamados de cevianas. Estes elementos são: 
- Altura: segmento que sai do vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice. 
- Mediana: segmento que sai do vértice e vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice, isto é, 
divide o lado oposto em duas partes iguais. 
- Bissetriz do ângulo interno: semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
- Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo de 90° 
 
 
 
E todo triângulo tem três desses elementos, isto é, o triângulo tem três alturas, três medianas, três 
bissetrizes e três mediatrizes. Os pontos de intersecção desses elementos são chamados de pontos 
notáveis do triângulo. 
 
- Baricentro: é o ponto de intersecção das três medianas de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
E divide as medianas na razão de 2:1. É ponto de gravidade do triângulo. 
 
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134 
 
- Incentro: é o ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo. É sempre um ponto interno. 
É o centro da circunferência circunscrita (está dentro do triângulo tangenciando seus três lados). 
 
 
- Circuncentro: é o ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo. É o centro da 
circunferência circunscrita (está por fora do triângulo passando por seus três vértices). No triângulo 
acutângulo o circuncentro é um ponto interno, no triângulo obtusângulo é um ponto externo e no triângulo 
retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
 
 
- Ortocentro: é o ponto de intersecção das três alturas de um triângulo. No triângulo acutângulo é um 
ponto interno, no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto e no triângulo obtusângulo é um ponto 
externo. 
 
 
Um triângulo cujos vértices são os “pés” das alturas de um outro triângulo chama-se triângulo órtico 
do primeiro triângulo. 
 
Observações: 
1) Num triângulo isósceles (dois lados iguais) os quatro pontos notáveis são colineares (estão numa 
alinhados). 
2) Num triângulo equilátero (três lados iguais) os quatro pontos notáveis são coincidentes, isto é, um 
só ponto já é o Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 
3) As iniciais dos quatro pontos formam a palavra BICO. 
 
Questões 
 
01. Assinale a afirmação falsa: 
(A) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes. 
(B) O encentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno. 
(C) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto. 
 
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135 
 
(D) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa. 
(E) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cadamediana. 
 
02. (UC-MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro O e raio 2 
cm. AD̅̅ ̅̅ é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE̅̅̅̅ , em centímetros, é: 
 
 
(A) 2√3 
(B) 2√5 
(C) 3 
(D) 5 
(E) √26 
 
03. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(A) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo acutângulo. 
(B) O baricentro pode ser um ponto de um dos lados do triângulo e isto ocorre no triângulo escaleno. 
(C) O baricentro pode ser um ponto exterior ao triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(D) O baricentro pode ser um ponto dos vértices do triângulo e isto ocorre no triângulo retângulo. 
(E) O baricentro sempre será um ponto interior ao triângulo. 
 
04. Na figura a seguir, H é o ortocentro do triângulo ABC, AĈH = 30° e BĈH = 40°. Determine as 
medidas dos ângulos de vértices A e B. 
(A) A = 30° e B = 50° 
(B) A = 60° e B = 50° 
(C) A = 40° e B = 50° 
(D) A = 30° e B = 60° 
(E) A = 50° e B = 60° 
 
 
05. O ponto de intersecção das três mediatrizes de um triângulo é o: 
(A) Baricentro 
(B) Incentro 
(C) Circuncentro 
(D) Ortocentro 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
O baricentro divide as medianas na razão de 2 para 1, logo não é ponto médio. 
 
02. Resposta: A. 
Do enunciado temos que O é o circuncentro (centro da circunferência inscrita) então O também é 
baricentro (no triângulo equilátero os 4 pontos notáveis são coincidentes), logo pela propriedade do 
baricentro temos que AO̅̅ ̅̅ é o dobro de OD̅̅ ̅̅ . Se OD̅̅ ̅̅ = 2 (raio da circunferência) → AO̅̅ ̅̅ = 4 cm. 
O ponto E é ponto de tangência, logo o raio traçado no ponto de tangência forma ângulo reto (90°) e 
OE̅̅ ̅̅ = 2 cm. Portanto o triângulo AEO é retângulo, basta aplicar o Teorema de Pitágoras e sendo AE̅̅̅̅ = x: 
(AO̅̅ ̅̅ )2 = (AE̅̅̅̅ )2 + (OE̅̅ ̅̅ )2 
42 = x2 + 22 
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136 
 
16 − 4 = x2 
x2 = 12 
x = √12 
x = 2√3 cm 
 
03. Resposta: E. 
O baricentro é sempre interno, pois as 3 medianas de um triângulo são segmentos internos. 
 
04. Respostas: B. 
Ortocentro é ponto de intersecção das alturas de um triângulo, então se prolongarmos o segmento CH 
até a base formará um ângulo de 90° (reto). Formando dois triângulos retângulos ACD e BCD, de acordo 
com a figura abaixo: 
 
 
A soma do ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
No triângulo ACD: A + 90° + 30° = 180° → A = 180° - 90° - 30° = 60° 
No triângulo BCD: B + 90° + 40° = 180° → B = 180° - 90° - 40° = 50° 
 
05. Resposta: C. 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales11: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
 
 
 
11
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
www.jcpaiva.net/ 
conteudoonline.objetivo.br 
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137 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
138 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
139 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
140 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
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Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
142 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, 
percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
 
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Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
QUADRILÁTEROS 
 
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: 
- Tem 4 lados. 
- Tem 2 diagonais. 
- A soma dos ângulos internos Si = 360º 
- A soma dos ângulos externos Se = 360º 
 
Observação: é o único polígono em que Si = Se 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
144 
 
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: 
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D. 
- Os ângulos internos são A, B, C e D. 
- Os lados são os segmentos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ . 
 
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos 
e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma 
dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. 
 
 
 
Quadriláteros Notáveis: 
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ é paralelo a CD̅̅̅̅ 
 
Os trapézios podem ser: 
- Retângulo: dois ângulos retos. 
- Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). 
- Escaleno: os quatro lados diferentes. 
 
 
 
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes e os lados apostos também são congruentes. 
 
 
- AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ 
- AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ = BC̅̅̅̅ (lados opostos iguais) 
- Â = Ĉ e B̂ = D̂ (ângulos opostos iguais) 
- AC̅̅̅̅ ≠ BD̅̅ ̅̅ (duas diagonais diferentes) 
 
Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: 
 
- Losango: 4 lados congruentes 
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) 
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
145 
 
 
 
Observações: 
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) 
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são 
bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). 
 
Fórmulas da área dos quadriláteros: 
1 - Trapézio: A =
(B+b).h
2
, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida 
da altura. 
2 - Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 
3 - Retângulo: A = b.h 
4 - Losango: A =
D.d
2
, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 
5 - Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. 
 
Exemplos 
 
01. Determine a medida dos ângulos indicados: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Resolução 
01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. 
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
b) x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
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146 
 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18°. 
 
Questões 
 
01. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: 
(A) Todo quadrado é um trapézio. 
(B) Todo retângulo é um paralelogramo. 
(C) Todo quadrado é um losango. 
(D) Todo trapézio é um paralelogramo. 
(E) Todo losango é um paralelogramo. 
 
02. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área 
desse trapézio é 
 
(A) 4. 
(B) (4√3)/3. 
(C) 5√3. 
(D) 6√3. 
(E) 7. 
 
03. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos 
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
(A) a = 63°, b = 117° e c = 63° 
(B) a = 117°, b = 63° e c = 117° 
(C) a = 63°, b = 63° e c = 117° 
(D) a = 117°, b = 117° e c = 63° 
(E) a = b = c = 63° 
 
04. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: 
(A) 3 e 8 
(B) 5 e 6 
(C) 4 e 7 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
147 
 
(D) 6 e 5 
(E) 8 e 3 
 
05. (Câmara de Sumaré – Escriturário – VUNESP/2017)A figura, com dimensões indicadas em 
centímetros, mostra um painel informativo ABCD, de formato retangular, no qual se destaca a região 
retangular R, onde x > y. 
 
Sabendo-se que a razão entre as medidas dos lados correspondentes do retângulo ABCD e da região 
R é igual a 5/2, é correto afirmar que as medidas, em centímetros, dos lados da região R, indicadas por 
x e y na figura, são, respectivamente, 
(A) 80 e 64. 
(B) 80 e 62. 
(C) 62 e 80. 
(D) 60 e 80. 
(E) 60 e 78. 
 
06. (UEM – Técnico Administrativo – UEM/2017) Rui fez um canteiro retangular de 12,5 m de 
comprimento por 6 m de largura. Então a área deste canteiro, em m², é igual a 
(A) 18,5. 
(B) 37. 
(C) 72. 
(D) 74. 
(E) 75. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Trata-se de uma pergunta teórica. 
a) V → o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. 
b) V → o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
c) V → o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um losango. 
d) F 
e) V → o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 
 
02. Resposta: D. 
De acordo com e enunciado, temos: 
 
 
- sen60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√3
2
=
ℎ
4
 → 2h = 4√3 → h = 2√3 
 
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148 
 
- cos60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
1
2
=
𝑥
4
 → 2x = 4 → x = 2 
 
- base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 
 
- base menor CD = 1 
 
A = 
(𝐵+𝑏).ℎ
2
 → A = 
(5+1).2√3
2
 → A = 6√3 
 
03. Resposta: C. 
Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos 
superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. 
c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
04. Resposta: E. 
 
x + y = 11 
x - y = 5 
_________ 
2x + 0 = 16 
2x = 16/2 
x = 8 
x + y = 11 
8 + y = 11 
y = 11 – 8 
y = 3 
 
05. Resposta: A. 
 Pelo critério de razões temos: 
200/x = 5/2 
5x = 400 
x = 400/5 
x = 80 
160/y = 5/2 
5y= 320 
y = 320/5 
y = 64 
 
06. Resposta: E. 
A área de um retângulo é comprimento x largura, então: 
12,5 x 6 = 75,0 
 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
 
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão 
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez 
seja a curva mais importante no contexto das aplicações. 
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Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é 
menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O 
círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico 
acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo 
é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. 
 
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo 
 
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na 
circunferência. 
 
 
 
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. 
 
Raio, Corda e Diâmetro 
 
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no 
centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na 
figura abaixo, os segmentos de reta OA̅̅ ̅̅ , OB̅̅ ̅̅ e OC̅̅̅̅ são raios. 
 
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à 
circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os 
segmentos de reta AC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ são cordas. 
 
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o 
segmento de reta AC̅̅̅̅ é um diâmetro. 
 
 
 
Posições relativas de uma reta e uma circunferência 
 
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em 
dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. 
 
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência 
em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura 
ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à 
circunferência. 
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150 
 
 
 
Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura 
abaixo a reta t é externa. 
 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta 
secante s. 
 
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos 
distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo 
ponto médio da corda AB. 
 
 
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta 
perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 
 
 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Posições relativas de duas circunferências 
 
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é 
denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. 
 
 
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em 
dois semiplanos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semiplano, 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
151 
 
temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão 
em semiplanos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. 
 
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os 
pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus 
pontos são pontos externos à outra. 
 
 
 
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios 
diferentes são circunferências concêntricas. 
 
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à 
outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 
 
 
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da 
reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado 
da reta tangente comum. 
 
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. 
 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e 
B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA 
 
Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo 
determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmentepara: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
152 
 
O ângulo central determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual a esse arco. 
 
α = AB̂ 
Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. 
 
 
 
O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴�̂� e sua medida é igual à metade do arco. 
α =
AB̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. 
 
 
 
O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à 
metade da soma dos dois arcos. 
α =
AB̂ + CD̂
2
 
 
Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. 
 
O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴�̂� e 𝐶�̂� e sua medida é igual à 
metade da diferença dos dois arcos. 
 
 α =
AB̂ − CD̂
2
 
 
Questões 
 
01. O valor de x na figura abaixo é: 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
153 
 
(A) 90° 
(B) 92° 
(C) 96° 
(D) 98° 
(E) 100° 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? 
 
 
(A) 30° 
(B) 45° 
(C) 60° 
(D) 35° 
(E) 25° 
 
03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: 
 
(A) 80° 
(B) 82° 
(C) 84° 
(D) 86° 
(E) 90° 
 
04. A medida do arco x na figura abaixo é: 
 
(A) 15° 
(B) 20° 
(C) 25° 
(D) 30° 
(E) 45° 
 
05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: 
(A) tem dois pontos em comum. 
(B) tem três pontos em comum. 
(C) não tem ponto em comum. 
(D) tem um único ponto em comum. 
(E) nda 
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154 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 
 
 46° =
𝑥
2
 
 
 x = 46°.2 
 x = 92° 
 
02. Resposta: D. 
O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois 
arcos dados. 
 
 𝑦 =
110°−40°
2
 
 
 𝑦 =
70°
2
= 35° 
 
03. Resposta: C. 
O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 𝑥 =
108°+60°
2
 
 𝑥 =
168°
2
= 84° 
 
04. Resposta: A. 
O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 
 
 55° =
95°+𝑥
2
 
 55°. 2 = 95° + 𝑥 
 110° − 95° = 𝑥 
 𝑥 = 15° 
 
05. Resposta: D. 
Questão teórica 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa 
hipotenusa: 
 
Sendo: 
A= hipotenusa 
b e c = catetos 
h= altura 
m e n = projeções do catetos 
Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos 
retângulos que são: 
 
I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
HIP2 = CAT2 + CAT2 
a² = b² + c² 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
155 
 
II) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. 
CAT2 = HIP.PROJ 
c² = a.m 
b² = a.n 
 
III) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. 
ALT2 = PROJ.PROJ 
h² = m.n 
 
IV) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. 
HIP.ALT = CAT.CAT 
a.h = b.c 
 
Exemplo 
A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
 
Do enunciado se um cateto é x o outro é 
2𝑥
3
, e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma 
cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 =
𝑏.ℎ
2
, então: 
A = 12 
𝑥.
2𝑥
3
2
= 12 
2𝑥2
6
= 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2 
x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6 
Uma cateto mede 6 e o outro 
2.6
3
= 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa: 
a2 = 62 + 42 
a2 = 36 + 16 
a2 = 52 
𝑎 = √52 
𝑎 = √13.4 
𝑎 = 2√13 
 
Questões 
 
01. (Polícia Científica/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) A medida da altura relativa à hipotenusa 
de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm é igual a: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 4,8 
(D) 6 
(E) 10 
 
02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa 
Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e 
de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: 
AB
= 24 m e 
BC
 = 18 m. Usando 
seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede: 
 
(A) 30 
(B) 28 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
156 
 
(C) 26 
(D) 35 
(E) 42 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se 
determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos. 
(A) 24cm 
(B) 8cm 
(C) 64cm 
(D) 16cm 
(E) 6cm 
 
04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. 
Se 
BC
 = 8 e 
AC
 = 6, o valor de 
AB
 é: 
 
(A) 
63
 
(B) 
34
 
(C) 
712
 
(D) 
52
 
(E) 
24 
 
05. Em um triângulo retângulo os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determinar a medida da hipotenusa, 
da altura e das projeções dos catetos desse triângulo. 
(A) 12 cm, 5 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
(B) 10 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
(C) 10 cm, 5 cm, 3,6 cm e 7 cm 
(D) 10 cm, 4,8 cm, 4 cm e 6,4 cm 
(E) 15 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Primeiramente devemos calcular o valor da hipotenusa deste triângulo, para posteriormente calcular 
a altura (utilizando a relação ALT.HIP = CAT.CAT). 
HIP² = CAT² + CAT² 
X² = 6² + 8² 
X² = 36 + 64 = 100 
X = 10. 
ALT.10 = 6.8 
ALT = 48/10 = 4,8 
 
02. Resposta: A. 
Pelo teorema de Pitágoras: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 242 + 182 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 576 + 324 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 900 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
157 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 30 
 
03. Resposta B. 
Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras: 
102 = x2 + 62 
100 = x2 + 36 
100 – 36 = x2 
x2 = 64 
x = √64 
x = 8 cm 
 
04. Resposta: D. 
Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
x2 = (2a)2 + (2b)2 
x2 = 4a2 + 4b2 (colocando o 4 em evidência) 
x2 = 4.(a2 + b2) (I) 
 
32 = (2a2) +b2 
9 = 4a2 + b2 (II) 
 
42 = a2 + (2b)2 
16 = a2 + 4b2 (III) 
 
Somando, membro a membro, as equações (II) e (III): 
 
5 = a2 + b2 (substituindo em (I)): 
x2 = 4.5 
x2 = 20 
x = √20 
x = 2√5 
 
05. Respostas: B. 
Utilizando as relações métricas, temos: 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
a2 = 82 + 62 
a2 = 64 + 36 
a2 = 100 
a = √100 
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158 
 
a = 10 cm 
HIP.ALT = CAT.CAT 
10.h = 8.6 
10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm 
CAT2 = HIP.PROJ 
62 = 10.n 
36 = 10 n 
n = 36 : 10 = 3,6 cm 
82 = 10.m 
64 = 10m 
m = 64 : 10 = 6,4 cm 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA (OU POTÊNCIA DE PONTO) 
 
Numa circunferência de centro o e raio r temos as seguintes definições: 
 
a) Corda: segmento que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. 
b) Diâmetro: é qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. É a maior corda possível. 
A medida do diâmetro é igual ao dobro do raio. 
 
 
Posições de reta em relação a uma circunferência: 
 
a) Reta secante: é uma reta que tem dois pontos em comum com a circunferência. 
b) Reta tangente: é uma reta que tem um único ponto em comum com a circunferência. 
c) Reta exterior (ou externa): é uma reta quenão tem pontos em comum com a circunferência. 
 
 
 
Relação métrica em uma circunferência (ou potência de ponto) é uma característica do ponto em 
relação à circunferência, e portanto não depende da reta escolhida, desde que intercepte a circunferência. 
E é importante destacar: 
 
I) Duas cordas: sendo AB e CD duas cordas e P o ponto de intersecção, temos: 
 
 
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159 
 
II) Duas secantes: sendo PD e PB duas secantes e P o ponto de intersecção, temos: 
 
 
 
III) Secante e tangente: 
 
 
Questões 
 
01. (CESGRANRIO) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da 
circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em centímetros: 
 
(A) 36 
(B) 45 
(C) 48 
(D) 50 
(E) 54 
 
02. (FUVEST) O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 20/3 
(B) 3/5 
(C) 1 
(D) 4 
(E) 15 
 
03. De um ponto exterior a uma circunferência são traçadas uma tangente e uma secante, conforme a 
figura seguinte. A tangente AB̅̅ ̅̅ mede 10 m e as medidas AC̅̅̅̅ e CD̅̅̅̅ são iguais. Assim, o comprimento da 
secante AD̅̅ ̅̅ é igual a: 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
160 
 
 
(A) 10 m 
(B) 5√2 m 
(C) 10√2 m 
(D) 15√2 m 
(E) 15 m 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Para calcular o perímetro do triângulo, temos que calcular o raio r da circunferência. Temos que 
prolongar o segmento AO até interceptar a circunferência, determinando um ponto E. 
 
 
De acordo com as relações, temos: 
AD.AE = AB.AC 
4.(4 + 2r) = 8(10 + 8) 
16 + 8r = 8.18 
8r = 144 – 16 
8r = 128 
r = 128/8 
r = 16. 
Então: 
AO = 4 + 16 = 20 
OC = 16 
AC = 18 
Perímetro = 20 + 16 + 18 = 54 
 
02. Resposta: B. 
De acordo com a relação entre duas cordas: 
x.10 = 2.3 
10x = 6 
x =
6
10
=
3
5
 
 
03. Resposta: C. 
 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 
102 = x.2x 
100 = 2x2 
x2 = 100/2 
x2 = 50 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
161 
 
x = √50 
x = 5√2 
AD̅̅ ̅̅ = 2x ➔ AD̅̅ ̅̅ = 2.5√2 ➔ AD̅̅ ̅̅ = 10√2 m 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
162 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
163 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
164 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
165 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadradoterá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
166 
 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
167 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
168 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
169 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
170 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
171 
 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de umacoroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A palavra trigonometria significa: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida), traduzido mais ou menos 
para estudo das medidas de três ângulos. A figura que tem três ângulos chama-se Triângulo. 
 
Em todo triângulo retângulo os lados recebem nomes especiais. O maior lado (oposto do ângulo de 
90°) é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados menores (opostos aos dois ângulos agudos) são 
chamados de Catetos. 
4.3 TRIGONOMETRIA 
 
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172 
 
 Observe a figura: 
 
 
 Para estudo de Trigonometria, são definidos no triângulo retângulo, três razões chamadas 
trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 
 
- 𝑠𝑒𝑛 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
- 𝑐𝑜𝑠 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
- 𝑡𝑔 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
No triângulo acima, temos: 
 
Como podemos notar, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 
Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°. 
No triângulo retângulo um ângulo mede 90°, então: 
90° + α + β = 180° 
α + β = 180° - 90° 
α + β = 90° 
 
Quando a soma de dois ângulos é igual a 90°, eles são chamados de Ângulos Complementares. E, 
neste caso, sempre o seno de um será igual ao cosseno do outro. 
 
Valores Notáveis 
A tabela a seguir representa os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°, 
considerados os três ângulos notáveis da trigonometria. 
 
 30° 45° 60° 
sen 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
cos √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tg √3
3
 
1 √3 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
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173 
 
Nestas relações, além do senx e cosx, temos: tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec 
(cossecante). 
 
Questões 
 
01. Um avião levanta voo formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sua altura, em metros, após 
ter percorrido 600 m será: 
(A) 100 
(B) 200 
(C) 300 
(D) 400 
(E) 500 
 
02. (UDESC) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. 
 
 
Sabendo-se que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano 
inclinado medem 280√3 cm, conforme mostra a figura acima, então, a escada deverá ter: 
(A) 10 degraus 
(B) 28 degraus 
(C) 14 degraus 
(D) 54 degraus 
(E) 16 degraus 
 
03. (FUVEST) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo 𝛼, como mostra a figura. 
 
 
Sabendo que sen20° = 0,342 e cos20° = 0,940, a altura da torre, em metros, será aproximadamente: 
(A) 14,552 
(B) 14,391 
(C) 12,552 
(D) 12,391 
(E) 16,552 
 
04. (U. Estácio de Sá) Simplificando a expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛17º. 𝑐𝑜𝑡𝑔17°. 𝑐𝑜𝑡𝑔73°. 𝑠𝑒𝑐73°, encontramos: 
(A) – 2 
(B) – 1 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 5 
 
05. Qual das afirmativas abaixo é falsa: 
(A) sen3x + cos3x = 1 
(B) 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
174 
 
(C) sen2x + cos2x = 1 
(D) 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
(E) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
06. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra o perfil de um muro 
construído para conter uma encosta pouco estável. A primeira parte da rampa tem 10m de comprimento 
e inclinação de 25° com a horizontal, e a segunda parte tem 10 m de comprimento e inclinação de 50° 
com a horizontal. 
 
Considerando sen25° = 0, 42 e cos25° = 0,91, o valor da altura total do muro (h) é, aproximadamente: 
(A) 11,1m. 
(B) 11,8m. 
(C) 12,5m. 
(D) 13,2m. 
(E) 13,9m. 
 
07. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma 
altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme 
mostra figura abaixo. 
 
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com 
o chão e a uma distância BR de medida 6√2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos 
A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do 
deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre 
(A) 3 e 4. 
(B) 4 e 5. 
(C) 5 e 6. 
(D) 6 e 7. 
 
08. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) As medidas 
dos catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo 10 cm e com o seno de um dos ângulos 
agudos valendo 0,8 são: 
(A) 5cm e 4cm. 
(B) 3cm e 5cm. 
(C) 6cm e 8cm. 
(D) 4cm e 6cm. 
 
 
 
 
 
 
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175 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Do enunciado temos a seguinte figura. 
 
 
600 m é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo dado, então temos que usar o seno. 
sen30° =
cat. oposto
hipotenusa
 
 
1
2
=
h
600
 → 2h = 600 → h = 600 : 2 = 300 m 
 
02. Resposta: C. 
Para saber o número de degraus temos que calcular a altura BC̅̅̅̅ do triângulo e dividir por 20 (altura de 
cada degrau). No triângulo ABC, BC̅̅̅̅ e AC̅̅̅̅ são catetos, a relação entre os dois catetos é a tangente. 
tg30° =
cat.oposto
cat.adjacente
=
BC̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅
AC̅̅ ̅̅
 
 
 
Número de degraus = 280 : 20 = 14 
 
03. Resposta: A. 
Observando a figura, nós temos um triângulo retângulo, vamos chamar os vértices de A, B e C. 
 
Como podemos ver h e 40 m são catetos, a relação a ser usada é a tangente. Porém no enunciado 
foram dados o sen e o cos. Então, para calcular a tangente, temos que usar a relação fundamental: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝛼𝑥
 → 𝑡𝑔𝛼 =
0,342
0,940
 → tg𝛼 = 0,3638 
 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 → 0,363 =
ℎ
40
 → h = 40.0,363 → h = 14,552 m 
 
04. Resposta: D. 
Temos que usar as relações fundamentais. 
 
 
𝑦 =
𝑐𝑜𝑠17°
𝑠𝑒𝑛73°
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
176 
 
Sendo 17° + 73° = 90° (ângulos complementares), lembrando que quando dois ângulos são 
complementares o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, resultaque sen73° = cos17°. Então: 
𝑦 =
𝑐𝑜𝑠17°
𝑐𝑜𝑠17°
= 1 
 
05. Resposta: A. 
 
06. Resposta: B. 
Observando a figura, temos: h = x + y 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 e 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥25º =
𝑥
10
 → 0,42 =
𝑥
10
 → x = 10.042 → x = 4,2 
 
𝑠𝑒𝑛50º =
𝑦
10
 → 𝑠𝑒𝑛(2.25º) =
𝑦
10
 → 2. 𝑠𝑒𝑛25º. 𝑐𝑜𝑠25º =
𝑦
10
 → 2.0,42.0,91 =
𝑦
10
 
 
 →0,76 =
𝑦
10
 → y = 10.076 → y = 7,6 
 
h = 4,2 + 7,6 = 11,8 
 
07. Resposta: B. 
Do enunciado temos a seguinte figura: 
 
 
BR = 6√2 
𝑠𝑒𝑛45° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 
√2
2
=
ℎ
6√2
 → 2ℎ = 6√2. √2 → 2h = 12 → h = 6 
 
O ângulo BRP = 45º, logo o triângulo BRP é isósceles → BP = PR = h = 6 
 
No triângulo APR: 𝑡𝑔30º =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
ℎ
𝑥+6
 
 
√3
3
=
6
𝑥+6
 → √3. (𝑥 + 6) = 18 → 𝑥 + 6 =
18
√3
. Racionalizando, temos: 
 
𝑥 + 6 =
18.√3
√3.√3
 → 𝑥 + 6 =
18√3
3
 → 𝑥 + 6 = 6√3 (√3 ≅ 1,7) 
 
x = 6.1,7 – 6 
x = 10,2 – 6 = 4,2 
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177 
 
08. Resposta: C. 
 Pelo enunciado a hipotenusa mede 10 e o seno de um dos ângulos (vamos chamar este ângulo de α) 
mede 0,8. 
 
 
 𝑠𝑒𝑛 ∝=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 → 0,8 = 
𝑥
10
 → x = 10.0,8 → x = 8 cm 
 
 Pelo Teorema de Pitágoras: 
 x2 + y2 = 102 
 82 + y2 = 100 → 64 + y2 = 100 → y2 = 100 – 64 → y2 = 36 → y = 6 cm 
 
MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS 
 
Arcos (e ângulos) na circunferência 
 
Se forem tomados dois pontos A e B sobre uma circunferência, ela ficará dividida em duas partes 
chamadas arcos. Estes dois pontos A e B são as extremidades dos arcos. 
 
 
Usamos a seguinte representação: AB. 
Observação: quando A e B são pontos coincidentes, um arco é chamado de nulo e o outro arco de 
uma volta. 
 
Unidades de medidas de arcos (e ângulos) 
 
I) Grau: para medir ângulos a circunferência foi dividida em 360° partes iguais, e cada uma dessas 
partes passou a ser chamada de 1 grau (1°). 
1° =
1
360
 (𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑒𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒 𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑜𝑠) 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
 
Submúltiplos do grau 
O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que: 
1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau. 
1’ = 60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. 
 
II) Radiano 
A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da 
circunferência sobre a qual está arco está determinado. 
 
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178 
 
Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos: 
α =
l
r
 
O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma 
circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C → lmax = 2πr. 
Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será: 
α =
2πr
r
 ==> α = 2π rad 
 
Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad. 
 
Conversões 
- graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples. 
 
Exemplo: 
Converter 150° para radianos. 
180° π rad 
150° x rad 
 
180°
150°
=
π
x
 
180𝑥 = 150𝜋 
x =
150π
180
 (simplificando) 
x =
5π
6
 rad 
 
- radianos para graus: basta substituir o π por 180°. 
 
Exemplo: 
Converter 
3π
2
 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também). 
3𝜋
2
=
3.180
2
=
540
2
= 270° 
 
Questões 
 
01. Um ângulo de 120° equivale a quantos radianos? 
(A) 
7𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(B) 
5𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(C) 
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 
 
(D) 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
(E) 
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Um ângulo de 
5𝜋
4
 rad equivale a quantos graus? 
(A) 180° 
(B) 210° 
(C) 300° 
(D) 270° 
(E) 225° 
 
 
 
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179 
 
03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14) 
(A) 6° 
(B) 5° 
(C) 4° 
(D) 3° 
(E) 2° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
180° π rad 
120° x rad 
 
180°
120°
=
𝜋
𝑥
 
 
180x = 120π 
𝑥 =
120𝜋
180
 (simplificando) 
𝑥 =
2𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 
 
02. Resposta: E. 
5𝜋
4
=
5.180°
4
=
900°
4
= 225° 
 
03. Resposta: A. 
Neste caso, usamos regra de três: 
180° π rad 
 x 0,105 rad 
 
180°
𝑥
=
𝜋
0,105
 
 
π.x = 180°.0,105 
3,14x = 18,9 
x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01 
x ≅ 6° 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre 
um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. 
 
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio 
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto 
determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o 
eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro 
ponto B=(0,y'). 
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco 
AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). 
 
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k
)=y' 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
180 
 
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do 
arco de medida x radianos. 
 
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a 
medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M. 
 
 
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = 
cos(a) = cos(a+2k ) = x' 
 
Tangente: Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é 
perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta 
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM 
correspondente ao ângulo a. 
 
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) 
= µ(AT) = t' 
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O 
seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. 
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: 
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes 
 
Ângulos no segundo quadrante 
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre 
o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro 
quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. 
Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no 
segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. 
 
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos(
/2)=0e sen( /2)=1 
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. 
 
Ângulos no terceiro quadrante 
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao 
intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
181 
 
relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O 
seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. 
 
 
Em particular, se a= radianos, temos que cos( )= - 1, sen( )=0 e tg( )=0 
 
Ângulos no quarto quadrante 
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, 
o cosseno é positivo e a tangente é negativa. 
 
 
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas 
são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sen(3 /2)=-1 
 
Simetria em relação ao eixo OX 
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M 
em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais 
opostos. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM', obtemos: 
sen(a) = - sen(b) 
cos(a) = cos(b) 
tg(a) = - tg(b) 
 
Simetria em relação ao eixo OY 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico 
a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são 
simétricas. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
182 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = sen(b) 
cos(a) = - cos(b) 
tg(a) = - tg(b) 
 
Simetria em relação à origem 
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico 
de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas. 
 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = - cos(b) 
tg(a) = tg(b) 
 
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis 
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita 
frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples 
observação no círculo trigonométrico. 
 
 
Primeira relação fundamental 
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as 
áreas da Matemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo 
a. 
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do 
que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y"). 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
183 
 
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como: 
 
 
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por 
(cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, 
aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a). 
 
 
Segunda relação fundamental 
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função 
tangente, é dada por: 
tg(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. 
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tg(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, 
segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tg(a)=sen(a)/cos(a) não é 
verdadeira para estes últimos valores de a. 
Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência 
trigonométrica na figura seguinte. 
 
 
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: 
AT 
 
MN 
= 
OA 
 
ON 
Como AT=|tg(a)|, MN=|sen(a)|, AO = 1 e ON = |cos(a)|, para todo ângulo a, 0 < a < 2 com a 
/2 e a 3 /2 temos 
tg(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
 
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença 
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0<a<2 e 0<b<2 , a>b, então; 
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
 
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: 
tg(a+b)= 
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) 
 
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
184 
 
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a).cos(b), segue a fórmula: 
tg(a+b)= 
tg(a) + tg(b) 
 
1 - tg(a)tg(b) 
Como 
sen(a-b) = sen(a).cos(b) - cos(a).sen(b) 
cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) 
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: 
 
tg(a-b)= 
tg(a) - tg(b) 
 
1 + tg(a)tg(b) 
 
Arcos côngruos (ou congruentes) 
Os arcos no círculo trigonométrico possuem origem e extremidade. Uma volta completa no círculo 
trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad. mas nem todos os arcos possuem o mesmo comprimento, 
pois eles podem ter número de voltas completas diferentes. Com isso podemos definir que: 
 
 
 
1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º. 
2º quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva → 90º < α < 180º. 
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º. 
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º. 
 
Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma extremidade e 
diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras. 
 
 
Uma regra prática e eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a 
diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos 
arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero. 
Exemplo: 
Verificar se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos. 
8390º – 6230º = 2160 
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos. 
 
De maneira geral: 
 
a) Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é 
dada por αº + k.360º, com k ϵ Z. 
 
b) Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a 
ele é dada por α + 2kπ, com k ϵ Z. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
185 
 
Exemplos: 
1) Um móvel partindo do ponto A, origem dos arcos, percorreu um arco de 1690°. Quantas voltas 
completas deu e qual quadrante parou? 
 
Logo, o móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário. Como 180º < 250º < 270º, o móvel parou 
no 3º quadrante. 
 
2) Verifique se são côngruos os seguintes arcos: 22π/5 rad e 52π/5 rad. 
 
22𝜋
5
2𝜋
=
22
10
=
20
10
+
2
10
= 2 +
1
5
 
 
 
22𝜋
5
= (2 +
1
5
) . 2𝜋 = 4𝜋 +
2𝜋
5
= 2.2𝜋 +
2𝜋
5
 
 
52𝜋
5
2𝜋
=
52
10
=
50
10
+
2
10
= 5 +
1
5
 
 
52𝜋
5
= (5 +
1
5
) . 2𝜋 = 10𝜋 +
2𝜋
5
= 5.2𝜋 +
2𝜋
5
 
 
Os arcos são côngruos, pois ambos são expressos pela forma 
2𝜋
5
+ 2𝑘𝜋. 
 
Referência 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy – Matemática Fundamental – 2º grau Volume Único – FTD - São Paulo: 1994 
 
Questões 
 
01. ( MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Se um arco mede α graus,a expressão geral 
dos arcos côngruos a ele é dada por α + k 360° , onde k é um número inteiro. Por outro lado, se um arco 
mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2 kπ, onde k é um número 
inteiro. Um móvel A, partindo do ponto de origem dos arcos de uma circunferência trigonométrica, 
percorreu um arco de 1690 graus. O móvel B, partindo deste mesmo ponto de origem, percorreu um arco 
de 35π⁄8 radianos. Desse modo, pode-se afirmar que o móvel: 
(A) A deu 4 voltas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. 
(B) A deu 4 voltas no sentido horário e parou no III quadrante. 
(C) B deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no I quadrante. 
(D) B deu 2 voltas completas no sentido horário e parou no I quadrante. 
(E) independente do número de voltas, os móveis A e B pararam no primeiro quadrante. 
 
02. (PETROBRAS – Técnico de Estabilidade Junior – CESGRANRIO) No ciclo trigonométrico de 
centro O, representado na figura, os ângulos PÔB e QÔS são congruentes, e o arco AP, tomado no 
sentido anti-horário, mede 164°. Reduzindo-se o arco AQ ao primeiro quadrante, o valor encontrado será 
igual a 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
186 
 
 
(A) 16° 
(B) 24° 
(C) 64° 
(D) 74° 
(E) 86° 
 
03. (Marinha – Fuzileiro Naval – Marinha) Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um 
relógios quando são exatamente 7 horas? 
(A) 210° 
(B) 180° 
(C) 165° 
(D) 150° 
(E) 120° 
 
04. (PETROBRAS – Técnico de Estabilidade Junior – CESGRANRIO) 
 
Se o arco AQ mede 294°, o arco PS mede: 
(A) 114° 
(B) 156° 
(C) 164° 
(D) 204° 
(E) 246° 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Basta reduzirmos a primeira volta ambos os ângulos. 
1690° = 250° + 4.360, ou seja deu quatro voltas no sentido anti-horário e parou no 3° quadrante. 
35π⁄8 = 32π⁄8 + 3π⁄8 . Ou seja, ele deu 2 voltas completas no sentido anti-horário e parou no 1° 
quadrante. 
 
02. Resposta: D. 
Observe que o arco AB possui 180°, Como o arco AP = 164°, nos resta que PB = 180° – 164° = 16°, 
portanto QS = 16°, temos que AQ = 270° - 16° = 254°, como a questão pede para encontrar no primeiro 
quadrante devemos fazer 254° – 180° = 74° 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
187 
 
03. Resposta: D. 
 
Observe que no relógio temos 12 horas, como uma volta completa é de 360°, ao dividirmos por 12 
obtemos 30° então para cada hora possuímos 30 graus. 
No exercício, o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio de 7 para 12 temos 5 horas, logo 5 . 
30 = 150°. 
 
04. Resposta: B. 
Como AQ = 294°, QA (no sentido anti-horário) = 360° – 294° = 66°, mas de P até o ponto onde temos 
no ciclo 180° possui o mesmo valor (66°) Então o arco PS = 66° + 90° = 156° 
 
IDENTIDADES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
 
Aqui aprenderemos relações que são fundamentais para a resolução de questões trigonométricas. 
 
Relação I – sen2 x + cos2 x = 1, para todo x ϵ [0 , 2π[ 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OPP2, obtermos a fórmula acima. 
 
 
Exemplo: 
Dado sen x = 1/3 , com π/2 < x < π , obter cos x. 
Usando a relação fundamental, temos: 
(
1
3
)
2
+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −
1
9
=
8
9
→ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√
8
9
= ±
2√2
3
 
Como o intervalo esta compreendido π/2 < x < π, notamos que x está no 2º quadrante, e 
consequentemente, cos x < 0. , assim teremos 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
2√2
3
 
 
Relação II - 𝒕𝒈𝒙 = 
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙
, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
+ 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁 
O eixo (vertical) das tangentes é obtido ao se tangenciar, por uma reta, o ciclo no ponto A, origem da 
contagem dos arcos. 
 
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188 
 
➔ Valores Notáveis 
 
 𝒕𝒈
𝝅
𝟒
 
Pela relação fundamental II, temos: 
𝑡𝑔
𝜋
4
=
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
=
√2
2
√2
2
= 1 
 
Se observamos a figura ao lado, o quadrilátero formado 
confirma o valor acima encontrado. 
𝒕𝒈
𝝅
𝟑
 𝒆 𝒕𝒈
𝝅
𝟔
 
 
Pela relação fundamental II, temos: 
𝑡𝑔
𝜋
3
=
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
=
√3
2
1
2
= √3 
 
𝑡𝑔
𝜋
6
=
𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
=
1
2
√3
2
=
√3
3
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Para calcular 𝑡𝑔
3𝜋
4
, devemos unir o centro à extremidade do arco, prolongando esse segmento até o eixo 
das tangentes. 
 
 
Notando a congruência entre os três ângulos assinalados, concluímos que: 
𝑡𝑔
3𝜋
4
= −𝑡𝑔
𝜋
4
= −1 
 
Podemos resolver também pela relação fundamental II: 
𝑡𝑔
3𝜋
4
=
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4
=
√2
2
−
√2
2
= −1 
 
𝑡𝑔
7𝜋
4
=
𝑠𝑒𝑛
7𝜋
4
𝑐𝑜𝑠
7𝜋
4
=
−
√2
2
√2
2
= −1 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
189 
 
OUTRAS IDENTIDADES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Relação III - 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 = 
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠ 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁 
 
Assim como para a tangente para a cotangente também é necessário acoplar um eixo externo, porém ele 
é feito no ponto B, que corresponde a π/2 radianos. 
 
 
Relação IV – 𝐬𝐞𝐜𝒙 = 
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ≠
𝝅
𝟐
+ 𝒌𝝅, 𝒌 𝝐 𝒁 
 
 
Relação V – cossec 𝑥 = 
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍 
 
Exemplos: 
 
1) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
5𝜋
4
=
1
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
4
=
1
−
√2
2
= −√2 
 
2) 𝑠𝑒𝑐
5𝜋
3
=
1
𝑐𝑜𝑠
5𝜋
3
=
1
1
2
= 2 
3) 𝑐𝑜𝑡𝑔
5𝜋
6
=
𝑐𝑜𝑠
5𝜋
6
𝑠𝑒𝑛
5𝜋
6
=
−
√3
2
1
2
= −√3 
 
Questões 
 
01. (SAMAE – CONTADOR – FUNTEF/PR) Considerando que sen
π
10
=
√5−1
4
, o valor de 𝑐𝑜𝑠 
𝜋
10
 é: 
(A) 
√10+2√5
4
 
(B) 
√10−2√5
4
 
(C) 
√12√5
4
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
190 
 
(D) -1/2 
(E) 1/4 
 
02. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°, determine o valor da expressão 
E = sen² x + tg² x. 
(A) 9/4 
(B) 11/4 
(C) 13/4 
(D) 15/4 
(E) 17/4 
 
03. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) O gráfico da função f(x) = cos²x – 
sen²x + cos x, no intervalo [0,2π], intercepta o eixo das abscissas em três pontos distintos (a,0), (b,0) e 
(c,0), sendo a < b < c. Nessas condições, a diferença (c − b) vale 
(A) π /3 
(B) 2π /3 
(C) π 
(D) π /6 
(E) 5π /6 
 
04. (COBRA TECNOLOGIA – TÉCNICO DE OPERAÇÕES – DOCUMENTOS/QUALIDADE - ESPP) O 
valor da expressão sec(180º) +[ sen(-45º)]2 cossec(450º)+ cos2(315º) é igual a: 
(A) 2 
(B) -1 
(C) 1 
(D) 0 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Sen²x + cos²x = 1 
(
√5−1
4
)
2
+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − (
√5−1
4
)
2
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −
5−2√5+ 1
16
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −
6−2√5
16
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
16
16
−
6−2√5
16
 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
10−2√5
16
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
√10+2√5
4
 
 
02. Resposta: D. 
Sen²x + cos²x = 1 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (
1
2
)
2
= 1 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 −
1
4
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
3
4
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±
√3
2
 
Como está no primeiro quadrante 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = +
√3
2
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
191 
 
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= (
√3
2
)
2
+
(
√3
2
)
2
(
1
2
)
2 =
3
4
+
3
4
1
4
=
3
4
+ 3 =
15
4
 
03. Resposta: B. 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥 
Substituindo na função: 
f(x) = cos²x - (1 - cos²x) + cosx 
f(x)=cos²x + cos²x + cosx - 1 
f(x)=2cos²x + cosx - 1 
f(x)=0=2cos²x + cosx -1 
 
 ∆= 1 + 8 =9 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−1±3
4
 
 cos 𝑥 =
−1+3
4
=
1
2
 
 cos 𝑥 =
−1−3
4
= −1 
 
 𝑐 =
5𝜋
3
 
 𝑏 = 𝜋 
 𝑐 − 𝑏 =
5𝜋
3
− 𝜋 =
2𝜋
3
 
 
04. Resposta: D. 
sec 180° =
1
cos 180°
= −1 
𝑠𝑒𝑛(−45) = −𝑠𝑒𝑛 45 = −
√2
2
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 450° =
1
𝑠𝑒𝑛450
=
1
𝑠𝑒𝑛90
= 1 
360 – 315 = 45 
cos 315° = cos 45 =
√2
2
 
Substituindo: 
−1 + (−
√2
2
)
2
. 1 + (
√2
2
)
2
= −1 +
2
4
+
2
4
= −1 + 1 = 0 
 
TRANSFORMAÇÕES 
 
Estaremos aqui obtendo fórmulas que possibilitem encontrar funções circulares da soma e diferença de 
dois arcos, dobro (ou triplo) de arco e transformações em produto. 
 
- Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos 
Observe a figura abaixo: 
Considerando dois arcos, a e b, cos (a + b): 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
192 
 
 
 
Os arcos 𝐴𝑃�̂� e 𝑅𝐴�̂� possuem a mesma medida (a + b) e, consequentemente, as cordas 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ e 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ também 
têm medidas iguais. 
As coordenadas dos pontos acimas são: 
A (1,0); 
P (cos a, sen a); 
Q (cos (a + b), sen (a + b) e 
R (cosb, - sen b). 
 
Aplicando as fórmulas da distância entre dois pontos chegamos a: 
 
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) ≡ 𝑠𝑒𝑛 𝑎. cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝑎
𝑎=𝑏=𝑥
⇒ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ≡ 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 
 
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) ≡ 𝑠𝑒𝑛 𝑎. cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑏. cos𝑎 
 
∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) ≡ cos 𝑎. cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝑎 
𝑎=𝑏=𝑥
⇒ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ≡ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) ≡ cos 𝑎. cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝑎 
 
∗ 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) ≡
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏
1 − 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏 𝑎=𝑏=𝑥
⇒ 𝑡𝑔 2𝑥 ≡
2. 𝑡𝑔 𝑥
1 − 𝑡𝑔2 𝑥
 
 
∗ 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) ≡
𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏
1 + 𝑡𝑔 𝑎. 𝑡𝑔 𝑏
 
 
 
Exemplos: 
1) sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º . cos 45º + sen 45º . cos 60º 
 
 
2) cos 135º = cos (90º + 45º) = cos 90º . cos 45º – sen 90º . sen 45º 
 
 
3) Demonstre que cos (2π + x) = cos x. 
cos (2π + x) = cos 2π . cos x – sen 2π . sen x = 1 . cos x – 0 . sen x = cos x 
 
4) Utilizando as fórmulas da adição, desenvolva a expressão tg (π + x). 
 
 
 
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193 
 
- Arcos Duplos 
Utilizado quando as fórmulas do seno, cosseno e tangente do arco (a + b), fazemos b = a. 
 
 
 
Exemplos: 
Observe o ciclo trigonométrico: 
 
 
 
Nele é mostrado um arco 𝐴�̂� que mede a. 
 
Vamos determinar: 
1) sen 2a. 
2) cos 2a. 
3) O quadrante que está o arco que mede 2a. 
4) sen 3a. 
 
Resolvendo temos: 
1) sen 2a. 
Como sen 2a = 2.sen a. cos a e sabemos que sen a = 3/5 , com a no 2º quadrante, encontramos o cos 
através de: sen2 a + cos2 a = 1 ➔ cos2 a = 1 – 9/25 ➔ cos2 a = 16/25, como sabemos que a pertence ao 
2º quadrante, logo o seu cosseno é negativo: cos a = -4/5. 
Com isso fazemos: 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2.
3
5
. (−
4
5
) → 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = −
24
25
 
 
2) cos 2a. 
Como cos 2a = cos2 a – sen2 a, teremos: 
cos 2𝑎 =
16
25
−
9
25
→ cos 2𝑎 =
7
25
 
 
3) O quadrante que está o arco que mede 2a. 
Vamos analisar, como sen 2a < 0 e cos 2a >o , podemos concluir que o arco que mede 2ª tem extremidade 
no 4º quadrante. 
 
4) sen 3a. 
Como sen 3a = sen (2a + a) ➔ sen 3a = sen 2a . cos a + sen a . cos 2a ➔ 
 
𝑠𝑒𝑛 3𝑎 = (−
24
25
) . (−
4
5
) + (
3
5
) . (
7
25
) → 𝑠𝑒𝑛 3𝑎 =
117
125
 
 
. 
 
sen 2a = 2.sen a. cos a 
 
cos 2a = cos2 a – sen2 a 
 
𝒕𝒈 𝟐𝒂 =
𝟐𝒕𝒈 𝒂
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝒂
 (𝒂 ≠
𝝅
𝟒
+ 𝒌𝝅) 
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194 
 
- Arco Metade 
Vamos achar valores que mede a/2, conhecendo os valores das funções trigonométricas do arco que 
mede a. 
Vamos determinar os valores partindo do cos a, partindo dele determinamos os valores de 
𝑠𝑒𝑛 
𝑎
2
, 𝑐𝑜𝑠
𝑎
2
 𝑒 𝑡𝑔 
𝑎
2
. 
 
Para isso utilizaremos a seguinte fórmula: cos 2x = cos2 x – sen2 x 
 
Vamos primeiramente ajusta-la ao nosso problema fazendo 2x = a ➔ cos a = cos2 a/2 – sen2 a/2 (I) 
Como temos que o cos2 a/2 = 1 – sen2 a/2: 
cos 𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
 → 2𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
= 1 − cos 𝑎 → 𝑠𝑒𝑛2
𝑎
2
=
1 − cos 𝑎
2
= 𝒔𝒆𝒏 
𝒂
𝟐
= ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝒂
𝟐
 
 
Se em (I) substituirmos sen2 a/2 por 1 – cos2 a/2 
cos𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2
𝑎
2
− (1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑎
2
) → cos 𝑎 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝑎
2
=
1 + cos 𝑎
2
→ 𝒄𝒐𝒔
𝒂
𝟐
= ±√
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝒂
𝟐
 
 
E como: 
 𝑡𝑔
𝑎
2
=
𝑠𝑒𝑛 
𝑎
2
𝐶𝑂𝑆 
𝑎
2
 ( 𝑐𝑜𝑚 
𝑎
2
≠
𝜋
2
+ 𝑘. 𝜋, 𝑘 𝜖 𝑍) , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
𝒕𝒈
𝒂
𝟐
= ±√
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝒂
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝒂
 
 
- Funções trigonométricas de arco que mede a, em função da tangente do arco metade. 
 
 
 
 
 
 
- Transformação da soma em produto 
As fórmulas abaixo relacionadas nos permitirão transformar somas em produtos. 
 
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑝 + 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2. 𝑠𝑒𝑛
𝑝 + 𝑞
2
. 𝑐𝑜𝑠
𝑝 − 𝑞
2
 
 
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑝 − 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2. 𝑠𝑒𝑛
𝑝 − 𝑞
2
. 𝑐𝑜𝑠
𝑝 + 𝑞
2
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
195 
 
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑝 + cos 𝑞 = 2. 𝑐𝑜𝑠
𝑝 + 𝑞
2
. 𝑐𝑜𝑠
𝑝 − 𝑞
2
 
 
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑝 − cos 𝑞 = −2. 𝑠𝑒𝑛
𝑝 + 𝑞
2
. 𝑠𝑒𝑛
𝑝 − 𝑞
2
 
 
 
Exemplos: 
Vamos transformar em produtos: 
1) N = sen 4x + sen 6x 
Vamos chamar 4x = p e 6x = q 
Usando a primeira das fórmulas vistas, obtemos: 
𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 
4𝑥 + 6𝑥
2
. 𝑐𝑜𝑠
4𝑥 − 6𝑥
2
→ 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛(5𝑥). cos(−𝑥) → 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 5𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
2) N = 1 – sen 4x 
Vamos substituir 1 por sen π/2, obtemos: 𝑁 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 
Onde: π/2 = p e 4x = q 
𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
2 − 4𝑥
2
) . 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2 + 4𝑥
2
) → 𝑁 = 2. 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
− 2𝑥) . 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
+ 2𝑥) 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
IEZZI, Gelson – Matemática Elementar – Volume 3 - Trigonometria 
 
Questões 
 
01. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ/SC – FARMACÊUTICO – ALTERNATIVE CONCURSOS) O valor de 
(sen 90º + cos 180º) é igual a: 
(A) 0 
(B) 3 
(C) -1 
(D) -2 
 
02. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo cos x =1/2 com 0° < x < 90°, determine o valor da expressão 
E = sen² x + tg² x. 
(A) 9/4 
(B) 11/4 
(C) 13/4 
(D) 15/4 
(E) 17/4 
 
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades 
senx=(m+1)/m e cos x=(m+2)/m é 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 4 
(D) -4 
(E) -6 
 
04. (PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a: 
(A) 0,2 
(B) 0,3 
(C) 0,4 
(D) 0,5 
(E) 0,6 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
196 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
sen 90°=1 
cos〖180°〗= -1 
1+(-1)=0 
 
02. Resposta: D. 
Sen²x+cos²x=1 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (
1
2
)
2
= 1 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 −
1
4
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
3
4
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±
√3
2
 
Como está no primeiro quadrante 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = +
√3
2
 
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= (
√3
2
)
2
+
(
√3
2 )
2
(
1
2)
2 =
3
4
+
3
4
1
4
=
3
4
+ 3 =
15
4
 
 
03. Resposta: E. 
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
 
(
𝑚 + 1
𝑚
)
2
+ (
𝑚 + 2
𝑚
)
2
= 1 
 
𝑚2 + 2𝑚 + 1
𝑚2
+
𝑚2 + 4𝑚 + 4
𝑚2
− 1 = 0 
 
𝑚2 + 2𝑚 + 1 +𝑚2 + 4𝑚 + 4 −𝑚2 = 0 
𝑚2 + 6𝑚 + 5 = 0 
 
S = -b/a → S = -6/1 = -6 
 
04. Resposta: B. 
O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por: 
𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 
tg x + tg y 
1 – tg x . tg ySabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, temos: 
33 = 
3 + tg y 
1 – 3 . tg y
 
 
33 – 99.tg y = 3 + tg y 
100.tg y = 30 
tg y = 30/100 
tg y = 0,3 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma 
igualdade. 
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197 
 
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, 
é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita. 
sen x = cos 2x 
sen 2x – cos 4x = 0 
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0 
 
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica. 
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15 
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a 
incógnita não pertence à função trigonométrica. 
 
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas 
elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma: 
sen x = sen α 
cos x = cos α 
tg x = tg α 
 
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que 
a incógnita deverá assumir em cada equação. 
 
Resolução da 1ª equação fundamental 
- sen x = sen α 
Para que dois arcos x e α da primeira volta possuam o mesmo seno, é necessário que suas 
extremidades estejam sobre uma única horizontal. Podemos dizer também que basta que suas 
extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos senos. 
Assim, os valores de x que resolvem a equação sen x = sen α (com α conhecido) são x = α ou x = π- 
α. Veja a figura: 
 
 
- cos x = cos α 
Para que x e α possuam o mesmo cosseno, é necessário que suas extremidades coincidam ou sejam 
simétricas em relação ao eixo dos cossenos, ou, em outras palavras, que ocupem no ciclo a mesma 
vertical. 
 
Nessas condições, com α dado, os valores de x que resolvem a equação cos x = cos α são: x = a ou 
x = 2π- α. 
 
- tg x = tg α 
Dois arcos possuem a mesma tangente quando são iguais ou diferem π radianos, ou seja, têm as 
extremidades coincidentes ou simétricas em relação ao centro do ciclo. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
198 
 
 
Assim temos x = α ou x = α ±π como raízes da equação tg x = tg α 
 
Solução geral de uma equação 
Quando resolvemos uma equação considerando o conjunto universo mais amplo possível, 
encontramos a sua solução geral. Essa solução é composta de todos os valores que podem ser atribuído 
à incógnita de modo que a sentença se torne verdadeira. 
Exemplo: 
Ao resolver a equação sen x = ½ no conjunto dos reais ( U=R), fazemos: 
sen x = ½ ➔ sen x = sen π/6 ➔ ⌊𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 
Obtendo todos os arcos x (por meio da expressão geral dos arcos x) que tornam verdadeira a sentença 
sen x = ½ 
 
Portanto: S = { x ϵ R | x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, k ϵ Z) 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
http://www.mundoeducacao.com 
www.brasilescola.com.br 
 
Questões 
 
01. (Bombeiros MG) As soluções da equação trigonométrica sem(2x) – 1/2 = 0, que estão na primeira 
determinação são: 
(A) x = π/12 ou x = 3π/24 
(B) x = π/12 ou x = 5π/12 
(C) x = π/6 ou x = 3π/12 
(D) x = π/6 ou x = 5π/24 
 
02. (PC/ES - Perito Criminal Especial – CESPEUnB) Considerando a função f(x) = senx - √3 cosx, 
em que o ângulo x é medido em graus, julgue o item seguinte: 
f(x) = 0 para algum valor de x tal que 230º < x < 250º. 
( ) Certo ( )Errado 
 
03. (PREVIC - Técnico Administrativo – Básicos – CESPEUnB) Em um estudo da interação entre 
caça e predador, tanto a quantidade de predador quanto a quantidade de caça foram modeladas por 
funções periódicas do tempo. No início dos anos 2000, a quantidade de predadores em certa região, em 
milhares, era dada pela função P(t) = 5 + 2cos(
𝜋𝑡
12
)em que o tempo t é considerado em meses. A partir 
dessa situação, julgue o item seguinte. 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
199 
 
O gráfico abaixo corresponde à função: P (t), 0 ≤ t ≤ 35. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
04. (UNIPAR) A soma de todas as raízes da equação 
3
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 4, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, é igual a: 
(A) 5π 
(B) 4π 
(C) 3π 
(D) 2π 
(E) π 
 
05. (FGV) Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel tenha sido dada (em milhares de 
reais) por 𝑅(𝑡) = 3000 + 1500. 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑡
6
), em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro 
e assim por diante. A receita de março foi inferior à de fevereiro em: 
(A) R$ 850.000,00 
(B) R$ 800.000,00 
(C) R$ 700.000,00 
(D) R$ 750.000,00 
(E) R$ 650.000,00 
Resposta 
 
01. Resposta: B 
Temos então: sem(2x) = 1/2 
Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6. 
Resolvendo: 
2x = π/6 
x = π/12 
ou 
2x = 5π/6 
x = 5π/12 
 
02. Resposta: Certo 
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥, então para f(x) = 0, temos: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = √3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ➔ (passar o 𝑐𝑜𝑠𝑥 dividindo para o 1° membro) 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑥
= √3 ➔ (das relações fundamentais temos que 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
) 
𝑡𝑔𝑥 = √3 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
200 
 
Verificando no ciclo quais ângulos tem este valor de tangente: 
 
x = 60° ou x = 240° 
 
03. Resposta: Errado 
P(t) = 5 + 2. cos (
πt
12
) 
Se t = 0: 
P(0) = 5 + 2. cos (
π.0
12
) 
P(0) = 5 + 2. cos0 , sabendo que cos0 = 1: 
P(0) = 5 + 2.1 
P(0) = 5 + 2 = 7 
 
se t = 0 ➔ P = 7, temos o ponto de início do gráfico sendo (0, 7) e não (0, 5) como está no gráfico. 
 
04. Resposta: B 
 
3
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 4 
 3 = 4. (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 
 3 = 4 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4 − 3 
 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
4
 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√
1
4
 
 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±
1
2
 
 
Os ângulos que tem cosseno igual a mais ou menos ½ são: π/3, 2π/3, 4π/3 e 5π/3. 
 
𝜋
3
+
2𝜋
3
+
4𝜋
3
+
5𝜋
3
= 
 =
𝜋+2𝜋+4𝜋+5𝜋
3
=
12π
3
= 4𝜋 
 
05. Resposta: D 
Lembrando que 
𝜋
6
=
180°
6
= 30° ➔ R(t) = 3000 + 1500.cos(30°.t) 
No mês de fevereiro: t = 2 
R(2) = 3000 + 1500.cos(30°.2) 
R(2) = 3000 + 1500. cos60° 
R(2) = 3000 + 1500.1/2 
R(2) = 3000 + 750 = 3.750 
 
No mês de março: t = 3 
R(3) = 3000 + 1500.cos(30°.3) 
R(3) = 3000 + 1500.cos90° 
R(3) = 3000 + 1500.0 
R(3) = 3.000 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
201 
 
Logo, a receita em março foi menor em: 3.750 – 3.000 = 750. 
No enunciado foi dito que a fórmulas está em milhares de reais, portanto, R$ 750.000,0 
 
INEQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Inequação trigonométrica será onde teremos os sinais da desigualdades, e algum valor trigonométrico, 
por exemplo: 
Senx> -1 
Cosx≤ 1 
tgx≥-2 
 
Vejamos os seis tipos de inequações trigonométricas fundamentais: 
 
1° tipo) sen x > n (sen x ≥ n) 
Seja n o seno de um arco y qualquer, tal que 0 ≤ n < 1. Se sen x > n, então todo x entre y e π – y é 
solução da inequação, assim como podemos ver na parte destacada de azul na figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x > n 
 
A solução dessa inequação pode ser dada na primeira volta do ciclo trigonométrico como S = { 
x | y < x < π – y}. Para estender essa solução para o conjunto dos reais, podemos afirmar que S 
= { x | y + 2kπ < x < π – y + 2kπ, k } ou S = { x | y + 2kπ < x < (2k + 1)π – y, k } 
 
2° tipo) sen x < n (sen x ≤ n) 
Se sen x < n, então a solução é dada por dois intervalos. A figura a seguir representa essa situação:Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo sen x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, a solução pode ser dada como S = { x | 0 ≤ x ≤ y ou π – y ≤ x ≤ 2π} . 
No conjunto dos reais, podemos afirmar que S = { x | 2kπ ≤ x < y + 2kπ ou π – y + 2kπ ≤ x ≤ (k + 
1).2π, k }. 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
202 
 
3° tipo) cos x > n (cos x ≥ n) 
Seja n o cosseno de um arco y, tal que – 1 < n < 1. A solução deve ser dada a partir de dois 
intervalos: 0 ≤ n < 1 ou – 1 < n ≤ 0. Veja a figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x > n 
 
Para que a solução dessa inequação esteja na primeira volta do ciclo trigonométrico, devemos 
apresentar S = { x | 0 ≤ x < y ou 2π – y ≤ x < 2π }. Para estender essa solução para o conjunto 
dos reais, podemos dizer que S = { x | 2kπ ≤ x < π + 2kπ ou 2π – y + 2kπ < x < (k + 1).2π, 
k }. 
 
4° tipo) cos x < n (cos x ≤ n) 
Nesses casos, há apenas um intervalo e uma única solução. Observe a figura a seguir: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo cos x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, a solução é S = { x | y < x < 2π – y}. No conjunto dos reais, a solução 
é S = { x | y + 2kπ < x < 2π – y + 2kπ, k }. 
 
5° tipo) tg x > n (tg x ≥ n) 
Seja n a tangente de um arco y qualquer, tal que n > 0. Se tg x > n, há duas soluções como podemos 
ver na figura: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x > n 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
203 
 
A solução dessa inequação pode ser dada no conjunto dos reais como S = { x | y + 2kπ < x 
< π/2 + 2kπ ou y + π + 2kπ < x < 3π/2 + 2kπ}. Na primeira volta do ciclo, temos: S = { x | y < x 
< π/2 ou y + π < x < 3π/2, k }. 
 
6° tipo) tg x < n (tg x ≤ n) 
Esse caso é semelhante ao anterior. Se n > 0, temos: 
 
Representação da solução da inequação trigonométrica do tipo tg x < n 
 
Na primeira volta do ciclo, temos como solução: S = { x | 0 ≤ x < y ou π/2 < x < y + π ou 3π/2 < x 
< 2π}. No conjunto dos reais a solução é S = { x | kπ ≤ x < y + kπou π/2 + kπ < x < (k + 1).π, 
k }. 
 
Questões 
 
Considere o intervalo [0;2π], para resolver as inequações em “x” nos exercícios 01 e 02 
 
01. O conjunto solução da inequação 2cosx ≤ 1 é? 
(A) S = {x IR/ 
π
3
 ≥ x ≥ 
5π
3
 } 
(B) S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
(C) S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
(D) S = {x IR/ 
π
4
 ≤ x ≤ 
5π
4
 } 
(E) S = {x IR/ 
2π
3
 ≤ x ≤ 
π
3
 } 
 
02. O conjunto solução da inequação senx ≥ 
1
2
 é? 
(A) S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
(B) S = {x IR/ 
5π
4
 ≤ x ≤ 
π
4
 } 
(C) S = {x IR/ 
π
4
 ≤ x ≤ 
5π
4
 } 
(D) S = {x IR/ 
5π
6
 ≤ x ≤ 
π
6
 } 
(E) S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
2cosx ≤ 1, então 
cosx ≤ 
1
2
, se observarmos no círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1 quadrante, cos60° = 
1
2
, 
portanto em radianos teremos cos
π
3
 = 
1
2
, e no 4º quadrante será 2π - 
π
3
 = 
5π
3
, então a solução dessa 
inequação será: 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
204 
 
 
S = {x IR/ 
π
3
 ≤ x ≤ 
5π
3
 } 
 
02. Resposta: E. 
senx ≥
1
2
 
Observe que se imaginarmos o círculo trigonométrico, nos ângulos notáveis, no 1° quadrante, 
sen30°= 
1
2
, portanto em radianos teremos sen
π
6
 = 
1
2
, e no 2° quadrante o correspondente de 
π
6
 será 
5π
6
, 
assim a inequação será da seguinte forma: para valores maiores que ½ no seno. 
 
Assim a solução será: 
S = {x IR/ 
π
6
 ≤ x ≤ 
5π
6
 } 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo 
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: 
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da 
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π 
e que possuem a mesma imagem. Observe: 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, 
onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, 
função cosseno e função tangente. 
 
Características da função seno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da 
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. 
Observe: 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
205 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
 
 
 
Características da função cosseno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal 
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
206 
 
Características da função tangente 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Para os ângulos de 90º, 270º e depois correspondentes a estes fora da primeira volta, a tangente deles 
não existe!!! 
Sinais da função tangente: 
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
Função trigonométrica inversa 
As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. Mas, para cada uma delas, 
podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa. 
 
- A função inversa do seno, denotada por arcsen, é definida como: 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
207 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 
 
 
 
- A função inversa do cosseno, denotada por arccos, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
208 
 
- A função inversa da tangente, denotada por arctan, é definida como: 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan 
 
 
Referências 
 brasilescola.com 
 uff.br/webmat 
 
Questões 
 
01. (IFB – Professor de Matemática – IFB/2017) As funções senoides por serem periódicas são muito 
utilizadas nos cálculos de movimentos de marés, movimentos de pêndulos, sinais de ondas sonoras e 
luminosas, etc. A função representa o movimento de maré de uma localidade 
na região norte do Brasil. Em relação à função dada, assinale as afirmações dadas a seguir 
como VERDADEIRAS com (V) ou FALSAS com (F). 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
209 
 
( ) É uma função periódica e seu período é 2π. 
( ) Sua imagem é o intervalo [−1,1]. 
( ) O domínio é o conjunto dos números reais. 
( ) É uma função periódica e seu período é π. 
( ) Se anula em infinitosvalores para x. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de cima para baixo. 
(A) F, V, V, V, F 
(B) F, F, V, V, V 
(C) V, F, F, V, V 
(D) F, V, F, V, V 
(E) V, F, V, F, V 
 
02. (IF/SC – Professor de Matemática – IF/SC) Dada a função f (x) = sen x - cos x, quantos zeros 
tem a função no intervalo 
(A) nenhum 
(B) um 
(C) dois 
(D) três 
(E) quatro 
 
03. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 
(A) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
(B) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(C) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(D) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /6, pi /6]. 
 
 
04. Qual é o valor de y = tg(arcsen 2/3)? 
(A) (
√
3
5
3
) 
(B) (1/2) 
(C) (
√
1
2
5
) 
(D) 
2√5 
5
 
 
05. Qual é o valor da equação 2*sen(3x) + 1 = 0? 
(A) S = {x E R/x = π/3 + kπ/3 ou x = - π/3 + kπ/3, k E Z} 
(B) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
(C) S = {x E R/x = 7π/8 + kπ/3 ou x = - π/8 + kπ/3, k E Z} 
(D) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/6 ou x = - π/18 + 2kπ/6, k E Z} 
 
06. Qual é o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0? 
(A) x = π/ 6 + 2kπ/ 3, k E Z. 
(B) x = π/ 6 + kπ/ 3, k E Z. 
(C) x = π/ 3 + kπ/ 3, k E Z. 
(D) x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O período de uma função y = a+b*sen(cx+d) é simplesmente 2pi/c, assim o período da função em 
específico é pi. Logo a primeira afirmativa é FALSA. 
A imagem da função pode ser encontrada considerando que toda função seno está entre -1 e 1. Veja: 
-1 ≤ sen(2x+pi/2) ≤ 1 
 
-3 ≤ 3sen(2x+pi/2) ≤ 3 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
210 
 
-2 ≤ 1+3sen(2x+pi/2) ≤ 4 
 
Assim, Im(f(x)) = [-2, 4]. Ou seja, a segunda afirmação também é FALSA. Analisando as afirmações 
só nos resta a alternativa B como resposta. 
 
02. Resposta: D. 
 
Observe que para a função dar zero, temos que ter senx = cosx, assim temos o ângulo de 45° e seus 
correspondentes no 2°, 3° e 4° quadrantes, mas precisamos ficar atentos a alguns fatos: 
- A função é no intervalo de 0 à 3pi, ou seja, uma volta e meia no círculo; 
- os sinais de seno e cosseno variam de acordo com o quadrante: 
1ºQ: senx = + e cosx = + 
2°Q: senx = + e cosx = - (não serve pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
3ºQ: senx = - e cosx = - 
4°Q: senx = - e cosx = + (não serve, pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
 
Então as soluções estão no 1° e 3° quadrantes, mas o intervalo é de uma volta e meia, assim passa 
pelo primeiro quadrante 2 vezes e 1 vez pelo terceiro quadrante, portanto possui 3 soluções. 
 
03. Resposta: A. 
 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: 
Para x: -1 < 4x < 1, ou seja, -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição 
vista acima, deveremos ter -pi /2 < y < pi /2. 
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
 
04. Resposta: D. 
Seja w = arcsen 2/3. 
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação 
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: 
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. 
Logo: 
cosw = ± √
5
9
=
√5 
3
. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, 
intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +
√5 
3
. 
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = 
2
3
√5 
3
=
6
3√5 
.
√5 
√5 
=
6√5 
3.5
=
2√5 
5
 
05. Resposta: B. 
Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6 
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R. 
 x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3 
Concluímos que o conjunto solução é: 
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
 
06. Resposta: D. 
Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero. 
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos: 
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0 ➔ sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 ➔ sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ ➔ x = 2kπ / 7, k E Z 
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z. 
Então: 3x = π + 2kπ ➔ x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z} 
Obs.: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: 
sen (5x) + sen (2x) = 0 ➔ sen (5x) = - sen (2x) 
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos: 
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos: 
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
211 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos. 
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações 
trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, 
de acordo com o mais conveniente. 
Importante sabermos que: 
sen x = sen (180º - x) 
cos x = - cos (180º - x) 
 
 
Lei dos senos: 
 
Resolvendo a situação da figura, temos: 
Iremos aplicar a lei dos senos: 
 
100
𝑠𝑒𝑛 120°
=
𝑥
𝑠𝑒𝑛 45°
⟶
100
𝑠𝑒𝑛 60°
=
𝑥
𝑠𝑒𝑛 45°
 
 
Pela tabela de razões trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛 45° =
√2
2
∴ 𝑠𝑒𝑛 60° =
√3
2
 
Lei dos cossenos 
a² = b² + c² - 2.b.c.cosA 
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB 
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC 
 
Exemplo: 
Analise o esquema abaixo: 
Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos? 
 
x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º 
x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5 
x² = 8900 – 4000 
x² = 4900 
x = 70 m 
Seriam gastos 70 metros de cano. 
 
Referência 
brasilescola.com 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. 4ª edição. Editora Ática, 2011. 
DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática.Vol. Único, 1ª, 2ª e 3ª Parte. 4ª edição. São Paulo: Ática, 2015 (Coleção Projeto VOAZ). 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
212 
 
Questões 
 
01. Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Qual é a medida 
do terceiro lado? 
(A) 4√7 cm 
(B) √7 cm 
(C) 3√7 cm 
(D) 5√7 cm 
(E) 2√7 cm 
 
02. Qual é o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: 
 
(A) √13 
(B) 2√13 
(C) 3√13 
(D) 4√13 
(E) 5√13 
 
03. No triângulo abaixo, pede-se determinar o valor de x: 
 
(A) √32 𝑐𝑚 
(B) √2 𝑐𝑚 
(C) 8√2 𝑐𝑚 
(D) 8√256 𝑐𝑚 
(E) 8√80 𝑐𝑚 
 
04. (Universidade Federal de Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 
10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo: 
 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é: 
(A) 5(5 + √15) 
(B) 5(5 + √5) 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
213 
 
(C) 5(5 + √13) 
(D) 5(5 + √11) 
(E) 5(5 + √7) 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, 
aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: 
x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º 
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2 
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2 
x² = 172 – 48 * 3 
x² = 172 – 144 
x² = 28 
x = 2√7 cm 
 
02. Resposta: B. 
Pela lei dos cossenos 
x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º 
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2 
x² = 100 – 48 
x² = 52 
√x² = √52 
x = 2√13 
 
03. Resposta: C. 
 Pela lei dos senos: 
 
𝑥
𝑠𝑒𝑛45°
=
8
𝑠𝑒𝑛30°
 
 
𝑥. 𝑠𝑒𝑛30° = 8. 𝑠𝑒𝑛45° 
 
𝑥.
1
2
= 8.
√2
2
 
 
𝑥 =8√2 𝑐𝑚 
 
04. Resposta: E. 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo, 
basta somar os comprimentos do lado do triângulo. 
10 + 15 + x 
O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cossenos: 
x2 = 102 + 152 – 2·10·15·cos 60° 
x2 = 100 + 225 – 2·150·cos 60° 
x2 = 325 – 300·1/2 
x2 = 325 – 150 
x2 = 175 
x = √175 (Basta decompor o 175 em fatores primos) 
x = √52. 7 
x = 5√7 
Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é: 
10 + 15 + x 
25 + 5√7 
5·5 + 5√7 
5(5 + √7) 
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214 
 
 
 
MATRIZES 
 
Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em 
tabelas, colunas e linhas. Exemplos: 
 
 
 
Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes12. O crescente uso dos computadores tem 
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, 
Matemática, Física, dentre outras. 
 
Definição 
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais 
dispostos em m linhas e n colunas. 
Exemplo: 
 
 
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à 
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 
 
 
 
 
12
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacoes-envolvendo-matrizes.html 
4.4 ÁLGEBRA II 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
215 
 
Exemplo 
 
 
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou 
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. 
 
Exemplos 
𝐴 = (5 −1
1
2
) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3 
 
𝐵 = [
7 −2
3 4
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 
 
𝐶 = ‖
√5 1/3 1
7 2 −5
−4 1/5 2
‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 
 
𝐷 = [
−1 5 8
−1 2 −3
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3 
 
Exemplo 
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j 
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 
 
 
Matrizes Especiais 
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos: 
 
- Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo 
𝐴 = [1 7 −5] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 
 
- Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1
−5
7
] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 
 
- Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. 
 
Exemplo 
𝐶 = (
0 0
0 0
0 0
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
216 
 
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, 
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. 
 
Exemplo 
𝐷 = (
3 2
−4 1
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. 
 
 
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). 
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. 
 
 
 
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os 
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. 
 
Exemplos 
 
 
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 
 
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛 𝑥 𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma 
matriz e vice e versa. Ou seja: 
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a 
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
2 −1
7 10
] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [
2 7
− 10
] 
 
Observe que: 
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. 
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. 
 
Generalizando, temos: 
 
 
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217 
 
 - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. 
Representamos por - A tal que A + (- A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. 
 
Exemplo 
 
 
- Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji 
 
Exemplo 
 
 
 
 
- Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. 
 
Exemplo 
 
 
 
Classificação de Acordo com os Elementos da Matriz 
- Real: se todos os seus elementos são reais. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
1 −5
3 2
] 
 
- Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1 −5
3 𝑖
] 
 
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos. 
 
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218 
 
Exemplo 
 
 
Igualdade de Matrizes 
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus 
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: 
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q 
 
Sendo A = B, temos: 
m = p e n = q 
 
 
Operações com Matrizes 
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida 
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. 
 
 
Exemplo 
 
 
Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento simétrico: A + (-A) = 0 
Elemento neutro: A + 0 = A 
 
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição 
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: 
 
 
Exemplo 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
219 
 
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz 
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma 
condição e uma técnica mais elaborada. Vejamos: 
 
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B 
(segunda). 
 
 
 
Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. 
 
Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, 
depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse 
produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. 
Exemplo 
 
 
A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. 
 
Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades 
Associativa: (A.B). C = A.(B.C) 
Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B 
 
Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente 
A.B ≠ B.A 
 
Matriz Inversa 
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In 
e A-1.A = In ou seja: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏.𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
 
 
Exemplos 
1) A matriz 𝐵 = [
8 −2
3 −1
] é inversa da matriz 𝐴 = [
1
2
−1
3
2
−4
] , pois: 
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220 
 
 
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = (
2 5
1 3
) 𝑒 𝐵 = (
1 2
1 1
) , são inversas entre si: 
 
Portanto elas, não são inversas entre si. 
 
3) Dada a matriz 𝐴 = [
2 1
3 2
], determine a inversa, A-¹. 
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
[
2 1
3 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Fazendo as igualdades temos: 
{
2𝑎 + 𝑐 = 1
3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
2𝑏 + 𝑑 = 0
3𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 
Então a matriz inversa da matriz A é: 
𝐴−1 = [
2 −1
−3 2
] 
 
Equação Matricial 
 
No caso das equações com matrizes (equações matriciais), elas são equações cujas incógnitas são 
matrizes. 
Vejamos um exemplo: 
Encontre a matriz X da equação 2.A+B=X, sabendo que: 
 
Neste exemplo, a incógnita já estava isolada. 
Vejamos um exemplo em que a incógnita não está isolada na equação. Nestes casos devemos tomar 
cuidado ao operarmos as matrizes de um lado para o outro da igualdade. 
Exemplo: 
Resolva a equação a seguir: X+B=2A, utilizando as mesmas matrizes do exemplo anterior. 
Antes de substituirmos as matrizes, façamos o isolamento da incógnita, lembrando sempre das 
propriedades das operações das matrizes. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
221 
 
Note que não passamos a matriz B para o outro lado da igualdade; na verdade operamos a matriz 
oposta de B (matriz -B) dos dois lados. 
Devemos tomar esse cuidado, pois quando nos depararmos com produto de matrizes, não poderemos 
passar a matriz para o outro lado dividindo; deveremos operar a matriz inversa dos dois lados. 
O diferencial das equações que conhecíamos para as equações com matrizes está nesse maior 
cuidado ao isolarmos a incógnita. 
Voltando à resolução da equação, temos que substituir os valores das matrizes A e B na equação. 
Sendo assim: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. do Rio de Janeiro/RJ - Professor - Pref. do Rio de Janeiro) Considere as matrizes A 
e B, a seguir. 
 
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: 
(A) 9 
(B) 0 
(C) – 9 
(D) – 11 
 
02. (BRDE – Analista de Sistemas – FUNDATEC) Considere as seguintes matrizes: 𝐴 =
[
2 3
4 6
] , 𝐵 = [
2 3
4 5
6 6
] 𝑒 𝐶 = [
2 1 0
4 6 7
], a solução de C x B + A é: 
(A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 
 
(B) [
10 14
78 90
] 
 
(C) [
2 3
4 5
] 
 
(D) [
6 6
20 36
] 
 
(E) [
8 11
74 84
] 
 
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma 
das regiões da cidade durante uma semana. 
 
 
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da 
semana. 
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222 
 
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno 
do 7º dia será: 
(A) 61 
(B) 59 
(C) 58 
(D) 60 
(E) 62 
 
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma 
matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 
cumpridas: 
(A) a=0 e d=0 
(B) c=1 e b=1 
(C) a=1/c e b=1/d 
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1 
(E) b=-c e a=d=1/2 
 
05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da 
multiplicação das matrizes A e B abaixo: 
 
𝐴 = (
2 1
3 −1
) ∙ 𝐵 = (
0 4 −2
1 −3 5
) 
 
(A) (
−1 −5 1
1 15 11
) 
 
(B) (
1 5 1
−1 15 − 11
) 
 
(C) (
1 5 − 1
1 −15 11
) 
 
(D) (
1 5 1
1 15 11
) 
 
(E) (
−1 5 − 1
1 15 − 11
) 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
 
(
6 𝑦
7 2
) + (
1 −3
8 5
) = (
7 7
15 7
) 
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 
𝐵. 𝐴 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1
] . [
1 2 −2
−1 3 0
2 1 3
] → 
 
[
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3
−1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3
] = [
7 4 −10
5 8 14
1 −11 9
] 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
223 
 
Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. 
 
02. Resposta: B 
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. 
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível 
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 
𝐶 𝑥𝐵 = [
2 1 0
4 6 7
] . [
2 3
4 5
6 6
] → [
2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6
4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6
] = [
8 11
74 84
] 
 
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma 
ordem: 
[
8 11
74 84
] + 𝐴 = [
8 11
74 84
] + [
2 3
4 6
] → [
8 + 2 11 + 3
74 + 4 84 + 6
] = [
10 14
78 90
] 
 
03. Resposta: E 
Turno i –linha da matriz 
Turno j- coluna da matriz 
2º turno do 2º dia – a22=18 
3º turno do 6º dia-a36=25 
1º turno do 7º dia-a17=19 
Somando:18+25+19=62 
 
04. Resposta: E 
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] + [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
2𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 
2d=1 
D=1/2 
 
05. Resposta: B 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5
3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5
) 
 
 𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 5 1
−1 15 − 11
 ) 
 
06. Resposta: D 
(
6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 7
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
) 
y=10 
 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como 
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema 
linear”. 
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos 
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras 
verticais, como no exemplo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
224 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] 
Chamamos determinante dessa matriz o número: 
det A = [ a11] = a11 
 
Exemplos 
- A = [-2] → det A = - 2 
- B = [5] → det B = 5 
- C = [0] → det C = 0 
 
Determinante de uma Matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 2: 
 
Chamamos de determinante dessa matriz o número: 
 
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Esquematicamente: 
 
 
Exemplos 
 
Determinante de umaMatriz de Ordem 3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
 Chamamos de determinante dessa matriz: 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
225 
 
 
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada 
Regra de Sarrus: 
 
- Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz. 
 
 
 
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos 
produtos, temos: 
 
 
 
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1ª e 2ª linhas, ao invés de 
repetirmos a 1ª e 2ª colunas. 
 
Propriedades 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 
 
- Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. 
 
Exemplo 
 
- Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si 
a posição de duas filas paralelas, então temos: 
detB = - detA 
 
Exemplo 
 
B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A. 
detA = ad - bc 
detB = bc - ad = - (ad - bc) = - detA 
 
Assim, 
detB = - detA 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
226 
 
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais” tem 
determinante igual a zero. 
 
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna 
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA. 
 
Assim: detA = 0 
 
- Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos 
uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA 
 
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” 
um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). 
 
Exemplo 
 
 
 
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos 
de A por k, então: 
 
det(k.A) = kn.detA 
 
Exemplo 
 
Assim: 
det(k.A) = k3.detA 
 
- Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos 
correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são 
iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então temos: 
 
detC = detA + detB 
 
Exemplos: 
 
 
- Propriedades 5 (Teorema de Jacobi): O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila 
qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. 
 
 
 
 
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227 
 
Exemplo: 
Considere o determinante detA= 
 
 Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: 
 
 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o determinante D abaixo. 
 
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 
 
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 
 
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 
 
Observe que D1 = D, de acordo com a propriedade. 
 
Consequência da propriedade 5: Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos 
de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. 
 
Exemplo: 
Seja D= 
0514
1223
821
−
 
 
Observe que cada elemento da 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª 
coluna multiplicada por 3. 
 
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228 
 
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 
Use a regra de Sarrus e verifique. 
 
- Propriedade 6 (Teorema de Binet): Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
det(A.B) = detA . detB 
 
Exemplo: 
 
Logo, det(AB) = detA. detB 
 
Consequência da propriedade 6: Sendo A uma matriz quadrada e n

N*, temos: 
det(Na) = (detA)n 
 
Sendo A uma matriz inversível, temos: 
detA-1=
Adet
1
 
 
Justificativa: Seja A matriz inversível. 
A-1 . A = I 
det(A-1. A) = det I 
detA-1 . detA = det I 
detA-1 = 
Adet
1
 
 
Uma vez que det I = 1, onde i é a matriz identidade. 
 
Determinantes – Teorema de Laplace 
 
- Menor complementar e Cofator: Dada uma matriz quadrada A = (aij)nxn (n 2), chamamos menor 
complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que 
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
Sendo A=










212
014
321
, temos: 
M11=
21
01 =2 
M12=
22
04 =8 
M13=
12
14 =2 
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229 
 
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor 
complementar de aij. 
 
Exemplo: 
 
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz cofator de A, a matriz cujos elementos são os 
cofatores dos elementos de A e indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A 
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj A. 
 
Exemplo: 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
230 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem n 
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Então: 
 
- Para n = 1 
A=[a11] 

det A=a11 
 
- Para n 
 2: 
 
 
ou seja: 
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n 
 
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos 
elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
Sendo A=






2221
1211
aa
aa , temos: 
detA = a11.A11 + a12.A12, onde: 
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 
 
Assim: 
detA = a11.a22 + a12.(-a21) 
 
detA = a11.a22 - a21.a12 
 
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente. 
- Sendo 
 
 

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231 
 
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. 
 
- Teorema de Laplace 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
 
 
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que 
calcular apenas um cofator. 
 
 
 
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em 
determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, 
e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com 
a regra de Sarrus, por exemplo. 
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade 
de zeros. 
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante 
pelo teorema de Laplace. 
 
Exemplo: 
 
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de 
Laplace, calcularemos ainda três cofatores. 
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31 = -2 e A41 = 3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando 
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: 
 
 
 
 
 
 

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232 
 
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:Aplicamos a regra de Sarrus, 
 
 
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) 
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 
detA = -35 
 
- Aplicação do Teorema de Laplace 
 
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da: 
- 1ª coluna, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim: 
 
1ª. A é triangular superior 
 
 
 
2ª. A é triangular inferior 
 
 
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233 
 
- Determinante de Vandermonde e Regra de Chió 
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das 
potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números 
quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
Determinante de Vandermonde de ordem 3 
 
 
Determinante de Vandermonde de ordem 4 
 
 
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. 
 
- Propriedade 
 
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-
se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do 
determinante. 
 
Exemplo: 
Calcule o determinante; 
 
 
Sabemos que detA = detAt, então: 
 
 
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: 
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 
 
Questões 
 
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o 
determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
, é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) –2. 
(C) 4. 
(D) –1. 

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234 
 
02. (PM/SP – Sargento Cfs – CETRO) É correto afirmar que o determinante |
1 𝑥
−2 4
|é igual a zero 
para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
 
03. (CGU – Administrativa – ESAF) Calcule o determinante da matriz: 
(
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥
) 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) cos 2x 
(D) sen 2x 
(E) sen x/2 
 
04. (Pref. Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
, assinale a alternativa que apresenta o valor do 
determinante de A é 
(A) -9. 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4. 
 
05. (Cobra Tecnologia – Técnico De Operações – Documentos/Qualidade - ESPP) O valor de b 
para que o determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do 
sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
 é igual a: 
(A) 2. 
(B) -2. 
(C) 4. 
(C) -1. 
 
06. (SEAP/PR – Professor de Matemática – PUC/PR) As planilhas eletrônicas facilitaram vários 
procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o 
determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse 
valor. Em uma planilha eletrônica, temos os valores armazenados em suas células: 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa 
planilha fornece o valor do determinante: 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
235 
 
Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir, 
 
 
ao acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: 
(A) 1512 
(B) 7 
(C) 4104 
(D) 2376 
(E) 8424 
 
07. (TRANSPETRO – Engenheiro Júnior – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utilizado para 
controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a 
construção do quadro abaixo. 
 
1 3 2 0 
3 1 0 2 
2 3 0 1 
0 2 1 3 
 
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor 
do determinante associado à matriz M é 
(A) 42 
(B) 44 
(C) 46 
(D) 48 
(E) 50 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 - 2y 
x = 7 – 4 = 3 
 
|3
𝑏
2
2 2
| = 8 
6 – b = 8 
B = - 2 
 
02. Resposta: C 
D = 4 - (-2x) 
0 = 4 + 2x 
x = - 2 
 
03. Resposta: C 
det = cos²x - sen²x 
det = cos(2x) 
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236 
 
04. Resposta: A 
 𝐴 = (
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
 
2 2 −1
) 
 
 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
2 2 −1
| 
 
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 
 
05. Resposta: B 
 {
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
 {
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
Somando as equações: 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 – 4 = 3 
 
 𝐷𝑒𝑡 = |3
𝑏
2
2 2
| 
 
6 – b = 8 
b = - 2 
 
06. Resposta: A 
 
A.B=I 
 
(
1 0 1
2 1 0
0 1 1 
) ∙ (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
(
𝑎 + 𝑔 𝑏 + ℎ 𝑐 + 𝑖
2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓
𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 
 
{
𝑐 + 𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 = 0
𝑓 + 𝑖 = 1
 
 
Da primeira equação temos: 
c=-i 
substituindo na terceira: 
f-c=1 
 
{
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
{
−2𝑐 − 𝑓 = 0
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
 
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237 
 
Somando as equações: 
-3c=1 
C=-1/3 
f=2/3 
 
07. Resposta: D 
 𝑀 = (
1 3 2
3 1 0
2 3 0
 
0
2
1
0 2 1 3
) 
 
 
 
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso 
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. 
 𝐶13 = (−1)
4 ∙ |
3 1 2
2 3 1
0 2 3 
| 
 
 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 
A13=2.23=46 
 
 𝐶43 = (−1)
7 |
1 3 0
3 1 2
 2 3 1 
| 
 
 𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 
A43=1.2=2 
D = 46 + 2 = 48 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é 
possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática 
aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum 
a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. 
 
Definição 
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, 
x3,.., xn são as incógnitas. 
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. 
 
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. 
 
Solução de uma equação linear 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na 
equação obtemos uma igualdade. 
4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 
 
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n 
variáveis.Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
238 
 
Dessa forma temos: 
𝑎) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑥 + 𝑦 = 4
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑏) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
Matrizes associadas a um sistema 
Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os 
coeficientes das equações que formam o sistema. 
 
Exemplo: 
𝑎) {
4𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 5𝑦 = −2
 
 
Temos que: 
𝐴 = (
4 3
2 −5
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (
4 3
2 −5
 
1
−2
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 
 
 
Solução de um sistema 
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada 
uma das equações do sistema. 
 
Exemplo: 
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 
{
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 
2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 
3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) 
 
Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. 
 
 
 
Exemplos: 
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 − 3𝑦 = −2
 
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 
 
B) O sistema {
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
239 
 
C) O sistema {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). 
 
 
Sistemas escalonados 
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não 
nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes 
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
Exemplos de sistemas escalonados: 
 
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª 
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. 
 
- Resolução de um sistema na forma escalonado 
Temos dois tipos de sistemas escalonados. 
 
1º) Número de equações igual ao número de variáveis 
 
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda 
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. 
Assim temos: 
-2z = 8 → z = -4 
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 
 
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). 
O sistema tem uma única solução logo é SPD. 
 
2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas 
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será 
chamada de variável livre do sistema. 
Vamos ao passo a passo: 
 
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será 
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 
 
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
𝑦 = 2 − 𝑧
 
 
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: 
x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z 
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240 
 
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada 
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. 
 
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. 
 
Sistemas equivalentes e escalonamento 
Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é 
solução de S2. 
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como 
vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades 
que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 
 
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de 
uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo 
sistema S’ equivalente a S. 
𝑆 {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 3
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 
 
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 
𝑆′ {
3𝑥 − 3𝑦 = 12
6𝑥 + 9𝑦 = 9
 , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 
 
 
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema 
linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um 
novo sistema S’, equivalente a S. 
𝑆 {
−𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 
 
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: 
𝑆′ {
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.)
← 
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
𝑥 − 2𝑦 = −1 
(+) 
 
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é 
verificada: 
x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 
 
 
 
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan 
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 
 
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se 
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em 
geral, mais simples. 
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 
2. 
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, 
até o sistema ficar escalonado. 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
241 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: 
 
 
 
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, 
entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
−4𝑦 + 5𝑧 = 19
 
 
Que é equivalente a: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
𝑧 = 3
 
Substituímos a 3ª equação pela soma 
dela com a 2ª equação, multiplicada por 4: 
 
4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧 = 3
 
 
 
O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. 
A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) 
 
Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes 
ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
 
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): 
-3x + 3y – 6z = -3 
3x – 2y – z = 0 
 y – 7z = -3 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz456.771.818-62
 
242 
 
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.) 
-8x + 8y – 16z = -8 
8x - 6y + 2z = 2 
 2y – 14z = -6 
 
 
Deixamos a 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
0 = 0
 
(-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 
-2y + 14z = 6 
2y – 14z = -6 
 0 = 0 
 
 
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação 
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
A variável livre do sistema é z, então temos: 
(I) y = 7z – 3 
(II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 
 
Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] 
 
Sistemas homogêneos 
Observe as equações lineares seguintes: 
 
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 
 
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações 
homogêneas. 
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de 
solução nula, trivial ou imprópria. 
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema 
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. 
 
 
 
Exemplo: 
Escalonando o sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑣𝑒𝑚: 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto 
poderá ser retirada do sistema. 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
243 
 
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). 
Vamos ver algumas de suas soluções: 
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. 
- α = 1 → (4,-3,1) 
- α = -2 → (-8,6,-2) 
 
As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. 
 
Regra de Cramer 
Consideramos o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é 𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 
 
Escalonando o sistema, obtemos: {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
 (∗) 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos (
𝑎 𝑒
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
. 
 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
), cujo determinante 
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, D ≠ 0. 
 
Resumindo: 
 
Um sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 é possível e determinado quando 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema 
é dada por: 
 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒆 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 
 
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema 
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares 
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos 
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
 
Exemplo: 
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
 
 
De início temos que |
1 1 1
4 −1 −5
2 1 2
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 
 
𝐷𝑥 = |
0 1 1
−6 −1 −5
−3 1 2
| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
18
−9
= −2 
 
𝐷𝑦 = |
1 0 1
4 −6 −5
2 −3 2
| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−27
−9
= 3 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
244 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 0
4 −1 −6
2 1 −3
| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
9
−9
= −1 
 
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das 
equações do sistema. 
Assim, S = {(-2,3-1)}. 
 
Discussão de um sistema 
 
Consideremos novamente o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 , cuja forma escalonada é: 
 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)⏟ 
𝐷
. 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 
 
em que 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema. 
 
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da 
Regra de Cramer. 
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), 
temos SPI ou SI. 
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: 
 
D ≠ 0 → SPD 
D = 0 → (SPI ou SI) 
 
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos 
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) 
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. 
 Exemplo: 
 
Vamos discutir, em função de m, o sistema {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 +𝑚𝑧 = 2
 
 
Temos: 𝐷 = |
1 −2 3
3 1 1
2 3 𝑚
| = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 
 
- Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. 
- Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2, podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema 
e resolvê-lo: 
 
{
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2
⟺ {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
ou ainda {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
7𝑦 − 8𝑧 = 2
, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Assim: 
m ≠ - 2 → SPD 
m = -2 → SPI 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
245 
 
Observações: 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é 
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. 
 
Questões 
 
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares
 é correto afirmar que: 
(A) o sistema não possui solução. 
(B) o sistema possui uma única solução. 
(C) x= 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
(D) o sistema é homogêneo. 
(E) o sistema possui mais de uma solução. 
 
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: 



=+
=+
2
532
myx
yx
 
 
03. Resolver e classificar o sistema: 





−=−+
=+
=+−
422
73
53
zyx
yx
zyx
 
 
04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 





+++
=+−
=++
03
522
52
mzyx
zyx
zyx
 
 
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
 
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 
 
07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
08. Se os sistemas: 
S1: {
x + y = 1
 x – 2y = −5
 e S2: {
ax – by = 5
 ay – bx = −1
 
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
(A) 1 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 9 
(E) 10 
 
09.Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
{
x + 3y − 2z = 3
2x − y + z = 12
4x + 3y − 5z = 6
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
246 
 
10. Resolver o sistema 



−=+
=−
25
72
yx
yx . 
 
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares 
 
(
𝑥 + 2𝑦 +
3
2 𝑧 =
3
2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
) 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. 
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). 
(C) O sistema possui infinitas soluções. 
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. 
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 
 
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + 
b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 
 
01212
63
42
=−==D 
03636
69
46
=−==xD
 
01818
93
62
=−==yD
 
 
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução. 
 
02. Resposta: 







2
3
/mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 
 
32
1
32
−== m
m
D
 
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247 
 
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 







2
3
/mRm
 
 
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. 
Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz 
 
 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 
;1
25
25
=
−
−
==
D
D
x x
 
;2
25
50
=
−
−
==
D
D
y
y
4
25
100
=
−
==
D
D
z z
 
 
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 
 
04. Resposta: 
 3/  mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. 
Assim: 
 
mm
m
D 423212
13
212
121
−−+++−=−= 
D = -5m + 15 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
248 
 
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
 3/  mRm 
 
05. Resposta: 14. 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 
 
06. Resposta: S = (1,3,15). 
Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será 
o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β). 
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função 
desses valores. 
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: 
γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, 
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno 
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 
 
07. Resposta: m = -10/3. 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução. 
 
08. Resposta: E. 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1 
 x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
 
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. 
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
 
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 
 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
249 
 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: 
-3b = 9 \ b = - 3 
 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
 
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 
 
10. Resposta: 
( ) 13−= ,S
 
 
11. Resposta: C. 
 
𝐷 = |
1 2
2 1
 
3
2
1
2 4 3
| = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 
 
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado) 
 
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
250 
 
𝐷𝑥 = |
3
2
2
2 1
 
3
2
1
3 4 3
| =
9
2
+ 6 + 24 −
9
2
− 6 − 12 = 12 
Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 
 
12. Reposta: D. 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) 
(II) 4a + b – 2c = 9 
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) 
Então: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) b +2c = 5 
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), 
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). 
Substituímos c em (II): 
b + 2α = 5 
b = 5 - 2α 
substituímos b e c em (I): 
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 
2a + 15 - 6α + 4α = 17 
2a = 17 – 15 + 6α - 4α 
2a = 2 + 2α : (2) 
a = 1 + α 
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: 
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória13 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantasmaneiras poderá pedir o suco? 
 
 
13IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
251 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
252 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
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253 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
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254 
 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
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255 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo formado, 
os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes possibilidades 
que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que se 
trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
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256 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, um 
para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só não 
come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições alimentares 
dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
257 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
05. Resposta: A 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
07. Resposta: C 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
258 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
09. Resposta: D 
O anagrama que ele quer é ZILUF, assim como se inicia com Z podemos admitir todos os outros 
anagramas que iniciam com letra diferente de “Z” estão antes do desejado, assim: 
F_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
I_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
L_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
U_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
Daí começa os com Z 
Portanto colocaremos Z e a menor letra na segunda opção que será o F 
ZF_ _ _ = 3.2.1 = 6 
Agora depois do último que começa com ZF vem o que começa com ZI 
Mas antes do L temos o F 
Assim devemos contar todos que comecem por ZIF 
ZIF_ _ = 2 
Agora temos o que começa com ZIL 
Mas só temos estes possíveis anagramas em ordem crescente que começam com ZIL 
 
ZILFU = 1 
ZILUF (Que é o anagrama que queremos) 
Apostila gerada especialmente para: Hecthor morais Muniz 456.771.818-62
 
259 
 
Agora basta saber a posição em que ele ficará, 
24 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 = 105 antes dele, portanto ele estará na 106ª posição. 
 
10. Resposta: D 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28