modelagem (4)

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Modelagem e Controle 
de Sistemas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos
Revisão Textual:
Prof.ª Esp.ª Kelciane da Rocha Campos
Transformadas de Laplace e o 
Desenvolvimento de Frações Parciais
• Transformadas de Laplace.
 · Fornecer ao aluno ferramentas para que ele possa simplificar um 
sistema e em seguida esboçar qual é a resposta daquele sistema em 
uma variável usual, como, por exemplo, o tempo.
 · Estudar e conhecer as transformadas de Laplace. As funções de trans-
ferência nem sempre são simples como as funções da tabela de trans-
formadas de Laplace, então o aluno deverá saber transformar uma 
fração em frações parciais.
 · Facilitar ainda mais a sua leitura e interpretação simplificadas para 
um sistema complexo
 · Escrever a equação de transferência de um sistema real tanto no 
espaço de frequências como no espaço de estados.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Transformadas de Laplace e o 
Desenvolvimento de Frações Parciais
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
Transformadas de Laplace
Já encontramos nas Unidades de estudo anteriores alguma motivação para estudar 
as transformadas de Laplace. Nem sempre os sistemas podem ser representados 
em funções do tempo, como gostaríamos. Na maioria das vezes, os sistemas são 
baseados em dispositivos que trabalham com sinais de pulsos e impulsos, como 
frequência, tensão, comprimentos de onda, corrente etc. Uma boa parte dessas 
grandezas pode ser representada por uma variável complexa.
Uma variável complexa é dita variável complexa porque é um número que tem 
sua parte real (como nós estamos acostumados) e uma parte imaginária. Podemos 
representar essa variável da seguinte maneira:
s j� �� �
Onde σ é a parte real, ao passo que ω é a parte imaginária.
É muito útil para o estudo de sistemas que o aluno saiba e compreenda representar uma 
variável complexa graficamente. Veja mais em: https://goo.gl/vGULz8.Ex
pl
or
Representação Geométrica de Variáveis 
Complexas e Definições Usuais
Já utilizamos em Unidade anteriores a notação G(s) para uma função complexa. 
Podemos escrever que G s G jGx y� � � � . Onde Gx e Gy são quantidades reais. O 
cálculo do módulo de G(s) é idêntico ao cálculo do módulo de um vetor, G Gx y
2 2+ 
e o ângulo entre eles é dado por tg
G
G
y
x
�
� �1 . Este ângulo deve ser medido no 
sentido anti-horário a partir do eixo real (x) positivo. Por último, saiba que funções 
complexas têm o complexo conjugado, dado por G G jGs x y� � .
Diz-se que uma função imaginária é dita analítica em uma região se ela G(s) e 
todas as suas derivadas existem nessa determinada região. Vamos utilizar como 
exemplo uma função G(s) no plano s. Seja G s
s
� � �
�
1
1
.
Então 
d
ds
G s
s
� � � �
�� �
1
1 2
. Podemos observar que a função G(s), dada como 
exemplo, é analítica em todo plano s, exceto s = -1. Os pontos para os quais G(s) 
existe são denominados pontos ordinários, já os pontos onde G(s) não existe são 
denominados pontos singulares.
Outros dois conceitos importantes nessa análise são os polos e zeros da fun-
ção complexa. 
8
9
Não se esqueça: as funções com-
plexas são as funções que melhor 
representam funções de transfe-
rência em sistemas dinâmicos.
Os polos da função complexa são os pontos singulares para os quais G(s) tende 
a infinito. Já os zeros da função complexa são os pontos singulares para os quais 
G(s) se anula. 
Vamos utilizar um novo exemplo para ilustrar os polos e zeros de uma função 
complexa. Seja G s
K s s
s s s s
� � � �� � �� �
�� � �� � �� �
2 10
1 5 15 2
A função do exemplo tem zeros em s = -2 e s = -10, assim como tem polos 
em s = -1, s = -5 e s = -15. Observem que para o polo em s = -15, dizemos que a 
função tem polo duplo ou de ordem 2.
Outra observação sobre esse exemplo é que, note o denominador, caso seja 
realizada a propriedade distributiva nos primeiros termos, teremos um s3. E ainda, 
para valores elevados de s, G(s) tende a se anular.
Já vimos as características de uma função complexa, agora vamos nos voltar 
para a análise das transformadas de Laplace. Elas são especialmente úteis na 
análise de sistemas e sua estabilidade.
A transformada de Laplace de um sinal x(t) qualquer pode ser definida como:
X s x t e dtst� � � � � ���� �
Onde, conforme vimos acima, a variável s é uma variável complexa. Podemos 
indicar a transformada de Laplace na forma de um operador, como x t X s� �� � �
L
 
(indica transformar uma função do tempo, t, em uma função de variável complexa, s.
Em sinais de sistemas algumas funções são mais comumente encontradas, como:
1. A função exponencial, do tipo x t
parat
Ae paratt
� � �
��
�
�
�
�
�
�
0 0
0� 
. A transformada 
de Laplace para essa função será:
X s Ae Ae e dt
X s A e dt
X s
A
s
t t st
s t
� � � �� �� � �
� � � �
� � �
�
� � � �
� � �� �
L � �
�
0
0
.
��
9
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
Onde s é variável complexa. 
2. A função degrau, onde x t
parat
Aparat
� � �
�
�
�
�
�
�
�
0 0
0

. A transformada de Laplace 
para essa função será: 
X s
parat
Aparat
A e dt
X s
A
s
st� � �
��
�
�
�
�
� � �
� � �
� �L
0 0
0 0
.

Observe que a função degrau, cuja altura A é unitária é chamada degrau unitário.
3. A função rampa, onde x t
parat
At parat
� � �
��
�
�
�
�
�
0 0
0
. A transformada de Lapla-
ce para essa função será:
X s
parat
At parat
At e dt
X s
A
s
st� � �
��
�
�
�
�
� � �
� � �
� �L
0 0
0 0
2
.

1) A função senoidal, onde x t
parat
Asen t parat
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
0 0
0� 
Importante!
As funções periódicas podem ser escritas como uma combinação de exponenciais?Veja 
em Fórmula e notações de Euler no link https://goo.gl/eFWQBb.
Você Sabia?
Vamos escrever a função seno com a notação de Euler, utilizando uma combinação 
de funções exponenciais, onde sen t
j
e ej t j t� � �� � � �� ��1
2
. A transformada de 
Laplace dessa função será: 
X s A
j
e e
A
j
e e e dt
X s
j t j t j t j t st� � � �� ��
�
�
�
�
� � � �� �
� �
� � � �L
1
2 2 0
� � � � .
��
�
A
s
�
�2 2
Outras funções podem surgir. No entanto, o que é mais comum na análise 
de sinais é que a função de transferência ou a função de um dispositivo qualquer 
seja interpretada como uma função de variável complexa G(s). Neste caso, o que 
é necessário fazer é utilizar o caminho inverso da Transformada de Laplace, ou 
10
11
seja, a partir de uma função complexa s, obter uma função mais simplificada, com 
a variável tempo t. Esse processo é conhecido como Transformada inversa de 
Laplace e podemos utilizar a seguinte notação:
L� � �
� �� ��� �� � � � � � � � �1
1
2
0.X s x t
j
X s e dsc j
c j st
�
para t
Onde c é chamada abcissa de convergência (alguns livros chamam de região 
de convergência, RDI), é uma constante real e deve ter um valor superior à parte 
real de todos os pontos singulares de X(s), de modo que o caminho de integração 
fique paralelo ao eixo jw, deslocado do eixo de um valor c e à direita de todos os 
pontos singulares.
Utilizar a equação definida para a transformada inversa de Laplace parece ser 
difícil, no entanto o que utilizamos na prática, na maioria das vezes, é uma tabela, 
onde constam as transformadas e anti-transformadas de Laplace que mais surgem 
em casos reais. Sendo assim, vamos tentar adquirir experiência em ler e interpretar 
a tabela de acordo com a necessidade do nosso sistema. 
Tabela 1
f (t) F (s)
1 Impulso unitário δ(t) 1
2 Degrau unitário 1(t)
1
s
3 t
1
2s
4
t
n
n
n�
�� �
� �� �
1
1
1 2 3
!
, , , 1
sn
5 t nn �� �1 2 3, , ,... n
sn
!
+1
6 e at−
1
s a+
7 te at−
1
2s a�� �
8
1
1
1 2 31
n
t e nn at
�� �
� �� �� �
!
, ,
1
s a n�� �
9 t e nn at� �� �1 2 3, , ...
n
s a n
!
�� � �1
11
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
10 sen tω
�
�s2 2�
f (t) F (s)
11 cos tω
s
s2 2� �
12 senh tω
�
�s2 2�
13 cosh tω
s
s2 2��
14
1
1
a
e at�� �� 1s s a�� �
15
1
b a
e eat bt
�
�� �� � 1s a s b�� � �� �
16
1
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�� �� � ss a s b�� � �� �
17
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ab a b
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��
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��
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s s a s b�� � �� �
18
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1
2s s a�� �
19
1
12a
at e at� �� �� 12s s a�� �
20 e sen tat� �
�
�s a�� � �2 2
21 e cos tat� �
s a
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�
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22
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1
1
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2
2
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( )
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n ns s
2
2 22� �
12
13
23
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�
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1
1
1
1
0 1 0
2
2
2
1
2
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�
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�
� �
�
��e sen t
tg
e
nt
n
( ) ��
s
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2 22� ��� �
f (t) F (s)
24
1
1
1
1
1
0 1 0
2
2
2
1
2
�
�
� �� �
�
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� �� � � ��
�
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� � �
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� �
�
��e sen t t
tg
e
nt
��
�
�
�
�
�� �
n
n ns s s
2
2 22� �� �
25 1 � cos�t
�
�
2
2 2s s �� �
26 � �t sen t�
�
�
3
2 2 2s s �� �
27 sen t tcos t� � ��
2 3
2 2 2
�
�s �� �
28
1
2ω
ωtsen t
s
s2 2
2
�� ��
29 tcos tω
s
s
2 2
2 2 2
�
�� �
�
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30
1
2
2
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2 1 2 1 2� �
� � � �
�
�� � �� �cos cost t
s
s s2 1
2 2
2
2�� � �� �� �
31
1
2�
� � �sen t tcos t�� �
s
s
2
2 2 2�� ��
Agora que temos a tabela de transformadas e anti-transformadas de Laplace, 
podemos usá-la em um exercício de aplicação. Sendo assim, vamos analisar a saída 
de um sistema para quando há um sinal de entrada bem específico, do tipo degrau 
unitário, ou impulso unitário ou rampa. Na prática, no cotidiano dos sistemas, 
não se sabe exatamente qual será o sinal de entrada para o sistema. No entanto, 
nos projetos de sistemas deve haver uma base de comparação de desempenho, 
13
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
estabelecida por testes específicos. Ou seja, dado um sinal de entrada, tem-se 
uma saída pré-estabelecida (uma saída esperada). Sendo assim, pode-se estimar a 
capacidade de o sistema responder a qualquer sinal de entrada real. 
Exemplo 1: Para começar, observe o sistema da imagem. Fisicamente, ele pode 
ser um sistema RC, um sistema térmico ou algo semelhante: 
R (s)
+
-
E(s) C(s)1
T s
Figura 1
Para iniciar essa análise, vamos escrever a função de transferência de malha 
fechada para o sistema.
Sendo assim, podemos dizer que:
C s
Ts
E s� � � � �1 Equação I
Onde E s R s C s� � � � � � � � Equação II
Inserindo a equação II na equação I, temos:
C s
Ts
R s C s� � � � � � � �� �1
Vamos unir os termos comuns C(s):
C s
Ts Ts
R s
C s
Ts
Ts Ts
R s
� � ��
��
�
��
� � �
� � ��
��
�
��
� � �
1
1 1
1 1
Se simplificarmos os denominadores de ambos os lados da equação, teremos enfim:
C s
Ts
R s� � �
�
� �1
1
 Equação III
Entretanto, observe que esse sistema é simples. O vimos nas demonstrações das 
Unidades anteriores, logo podemos utilizar sem problemas a equação geral: 
C s
G s
H s G s
R s� � � � �
� � � � � � �1
14
15
Onde G s
Ts
� � � 1 no novo sistema e H(s) = 1. Utilizando a equação geral (demonstrada 
em unidades anteriores), o aluno chega ao mesmo resultado da equação III.
Uma vez que obtivemos a equação de transferência de malha fechada, vamos 
analisar qual será a saída do sistema a uma entrada do tipo função impulso. Observe 
a tabela de transformadas de Laplace, a função do tipo impulso é F(s)=1. Logo, na 
nossa função de transferência de malha fechada teremos a entrada teste R(s)=1. 
Então, vamos colocar esse valor na equação III:
C s
Ts
R s
C s
Ts
� � �
�
� �
� � �
�
1
1
1
1
A saída C(s) acima é a resposta do sistema para uma entrada do tipo impulso. 
Por meio da tabela de transformadas de Laplace, vamos observar essa resposta 
como função do tempo. Para tanto, precisamos ir de C(s) para c(t), ou seja, vamos 
recorrer a uma anti-transformada de Laplace.
c t
Ts
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�L 1
1
1
Há na tabela alguma função com a característica acima? O que vejo mais 
próximo de nossa função é a F(s) da linha 6. Note que, para F(s) ficar mais próxima 
da função da linha 6, podemos utilizar o seguinte argumento:
1
1
1
1Ts
T
s
T
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 dividimos ambos os termos (numerador e denominador) por T.
Logo, c t T
s
T
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�L 1
1
1
Portanto (leia a resposta na mesma linha 6): c t
T
e T
t
� � �
�1 1
 Se restar dúvida, volte a observar a linha 6. Note que e
s a
at� ��
�
�
�
�
�
�
�L
1 1 . No 
nosso exemplo, é o valor constante, 1
T
. 
Confira as propriedades das transformadas de Laplace no material complementar.
Já que encontramos c(t), você poderá esboçar um gráfico dessa função para 
observar a resposta do sistema a uma entrada do tipo impulso. Faça esse exercício 
como uma atividade de aprofundamento.
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UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
Exemplo 2: Vamos analisar a resposta ao sinal do tipo degrau para o mesmo 
sistema que estudamos no exemplo anterior. Observe sua imagem, assim como suafunção de transferência de malha fechada:
R (s)
+
-
E(s) C(s)1
T s
Figura 2
C s
Ts
R s� � �
�
� �1
1
Agora, se a entrada é do tipo degrau, teremos R s
s
� � � 1 , (observe por meio 
da tabela de transformadas de Laplace). Logo, C s
Ts s
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
Qual é a saída em função do tempo? Se você observar e procurar uma anti-
transformada de Laplace na tabela, verá que nenhuma delas se adequa à equação 
acima. Sendo assim, é muito útil que o aluno conheça técnicas para transformar a 
função C(s) em frações parciais.
Para tanto, vamos observar os seguintes passos:
1. Reescreva a função de acordo com a quantidade de fatores (de fatoração) 
existentes no denominador. Para o nosso exemplo, podemos utilizar:
1
1
1
1Ts s
A
Ts
B
s�
�
�
�
�
�
� � �
�
A partir de agora, vamos encontrar o valor de A e B. 
2. Vamos calcular o valor de A e B nos pontos onde a fração não existe; por 
exemplo, 
B
s
 não deve existir quando s = 0, visto que não existe divisão por zero. 
Para o cálculo de A, anule a fração que tem B, e para o cálculo de B, anule a 
fração que contém A.
A Ts
Ts s
A T
B s
Ts s
s
T
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
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�
�
�
��
1
1
1
1
1
1
1
1
�� � �
�s
B
0
1
16
17
3. Reescreva a fração, utilizando os valores encontrados para A e B. Teremos:
C s
T
Ts s
� � � �
�
�
1
1
Com apenas um ajuste, vemos que as duas frações possuem a anti-trasformada 
de Laplace. Na primeira fração, vamos dividir numerador e denominador por T:
C s
s
T
s
� � � �
�
�
1
1
1
4. Por fi m, vamos ler a anti-transformada de Laplace na Tabela; teremos:
c t
s
T
s
c t e T
t
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
L 1
1
1
1
1
1
Ou ainda:
c t e T
t
� � � �
�
1
1
5. Por fi m, vamos fazer um breve esboço da função c(t). 
Para tanto, vamos construir uma tabela com alguns valores de T e verificar o 
resultado para c(t). Em seguida, vamos plotar essa tabela em um gráfico t x c(t).
t c(t)
 
0 0
T 0,632121
2T 0,864665
3T 0,950213
4T 0,981684
5T 0,993262
Tabela 2 Figura 3
Note que o gráfico mostra alguns detalhes, como a tendência da curva ao valor 
constante 1. Ou ainda, para o valor de t = T, a função alcançou 63,2% de sua 
variação total. A função alcançou 95,0% de sua variação total para t = 3T e assim 
por diante. Mais adiante o aluno verá que essa análise é importante na análise de 
estabilidade no projeto de um sistema. 
17
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
 Agora analise, qual é a diferença da resposta ao impulso realizada no 
exemplo 1 (como atividade de aprofundamento) e a resposta ao degrau unitário, 
realizada no exemplo 2?
Elementos Físicos em Sistemas Reais
Na Unidade II estudamos um sistema mecânico para falar da representação de um 
sistema no estado de espaços. A representação de um sistema no espaço de estados 
é especialmente útil quando um sistema tem múltiplas entradas e múltiplas saídas. 
É válido lembrar que um sistema pode ser mecânico, elétrico, óptico, termodinâmico 
etc. Agora, vamos estudar elementos de controle mecânicos e elementos elétricos 
que aparecem comumente em sistemas. Assim como os modelos de equação que 
melhor os representam, seja no espaço de estados ou frequência.
Sistemas mecânicos de translação e rotação
Já vimos na Unidade II que para escrever a equação de um sistema mecânico 
é necessário recorrer à segunda Lei da dinâmica newtoniana. Observe o sistema 
abaixo e seus principais componentes:
Figura 4
Se aplicamos a dinâmica newtoniana a cada um dos elementos (mola de 
constante k, massa m e fluido de viscosidade B) apresentados no sistema acima, 
teremos a seguinte força resultante:
F t m
d x
dt
B
dx
dt
kx� � � � �
2
2
Considerando as Transformadas de Laplace da equação acima, com condições 
iniciais nulas, temos:
F s ms X s BsX s kX s� � � � � � � � � � �2
18
19
E ainda, poderão haver dispositivos mecânicos de rotação, conforme mostra a 
imagem a seguir:
Figura 5
Onde o torque resultante pode ser descrito com a equação:
T t J
d
dt
B
d
dt
k t� � � � � � �
2
2
� �
�
Elementos elétricos
Assim como recorremos à Lei da dinâmica para modelar os elementos 
mecânicos em sistemas, utilizamos as Leis de Kirchhoff para modelar sistemas com 
componentes elétricos. Por exemplo, observe o circuito com resistor, indutor e 
capacitor, mostrado na imagem:
R L C
Figura 6
A equação total para este circuito pode ser escrita como:
V t Ri t L
di t
dt C
i t dtt� � � � � � � � � � � �1 0
Considerando as Transformadas de Laplace da equação acima, com condições 
iniciais nulas, temos:
V s RI s LsI s
C s
I s� � � � � � � � � � �1 1
19
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
Agora, vamos relacionar elementos físicos reais de um sistema à sua modelagem 
matemática, ou seja, vamos relacionar um sistema físico à sua função de transferência 
e à sua representação no espaço de estados. Se for necessário, tenha em mãos a 
Unidade II, onde estudamos Representação no espaço de Estados.
Observe o circuito da imagem abaixo:
RL
C
ei e0
Figura 7
Para modelar o sistema adequadamente, vamos seguir os seguintes passos:
1. Para iniciar a modelagem matemática, vamos utilizar a Lei das malhas de 
Kirchhoff. Note que para este circuito há duas malhas, representadas por 
e0 e ei. Podemos considerar que a primeira é a chamada tensão de entrada, 
assim como a segunda é a tensão de saída. Observe, isso é idêntico ao que 
fazemos com os sistemas: analisamos função de entrada e função de saída. 
2. Se há duas malhas, haverá duas equações para o sistema. Vamos começar 
pela primeira e maior malha, ei (vamos considerar as condições iniciais nulas).
e t L
di t
dt
Ri t
C
i t dti � � �
� �
� � � � � ��
1
Já podemos escrever a transformada de Laplace para essa equação, que será: 
E s LsI s RI s
C s
I si � � � � � � � � � � �
1 1
 Equação I
Agora, vamos escrever a equação dada pela segunda malha, e0:
e t
C
i t dt0
1� � � � ��
Onde a transformada de Laplace para a equação será:
E s
C s
I s0
1 1� � � � � Equação II
20
21
3. Dadas as equações que modelam o sistema, podemos escrever a função de 
transferência de malha fechada do nosso circuito. Antes, vamos relembrar 
que um sistema dinâmico tem função de transferência de malha fechada 
escrita da seguinte maneira:
C(s)=(FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA).R(s)
Saída Entrada
Figura 8
Então, podemos escrever que: 
C s
R s
� �
� �
� FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
Logo, para o nosso circuito, vamos escrever: E
E
o
i
, o que resultará:
E s
E s
C s
I s
LsI s RI s
C s
I s
o
i
� �
� �
�
� �
� � � � � � � �
1 1
1 1
O(a) aluno(a) deve realizar essa operação como um exercício. O que resultará na 
função de transferência de malha fechada:
E s
E s LCs RCs
o
i
� �
� �
�
� �
1
12
Podemos ilustrar da seguinte maneira:
Ei EO1
LCs2 + RCs + 1
Figura 9
4. Nesta etapa, utilize suas notas de aula da Unidade II, vamos gerar um 
modelo no espaço de estados para o nosso circuito (sistema). Para tanto, 
vamos reescrever a função de transferência, sem denominadores:
LCs RCs E s E so i
2 1� �� � � � � � �
21
UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
5. Agora, vamos realizar a operação distributiva para Eo e em seguida retornar 
à variável tempo, com a anti-transformada de Laplace:
LC RCe e eeO O o i � �� � �
Paraque a equação acima fique mais próxima da linguagem que utilizamos 
na Unidade II, vamos dividir ambos os lados da equação por LC, e teremos:
 e
R
L
e
e
LC
e
LCO O
o i� ��
�
�
�
�
� �
É válido que o(a) aluno(a) tenha em mãos o material da Unidade II, visto 
que, novamente, vamos utilizar a linguagem mais próxima da que utilizamos 
naquela unidade. Então, sejam:
x e
x e
u e
y e x
o
i
O
1 0
2
1
=
=
=
= =

Na resolução teremos: 

 
x x
x e
u
LC LC
x
R
L
xo
1 2
2 1 2
1
�
� � � �
6. Por fim, observando as equações acima, podemos escrever as matrizes 
da solução:


x
x LC
R
L
x
x LC
u1
2
1
2
0 1
1
0
1
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
e
y
x
x
� � ��
�
�
�
�
�1 0
1
2
Saiba mais em https://goo.gl/uHgiQB
Ex
pl
or
22
23
Para finalizar a Unidade III, vamos obter um modelo no espaço de estados a 
partir de um diagrama de blocos. Observe o sistema da imagem: 
+
-
+
+
a
b
s
1
s
U(s) Y(s)X2(s) X1(s)
Figura 10
Para obter um modelo no espaço de estados do sistema acima, vamos seguir os 
seguintes passos:
1. Vamos escrever as equações do sistema, relativas aos sinais Y(s), X1(s) e 
X2(s). Então:
Y s X s� � � � �1 Equação I
X s
s
X s a U s X s1 2 1
1� � � � � � � � � � ��� ��� � Equação II
X s
b
s
U s X s2 1� � � � � � � ��� �� Equação III
2. Observe como fi zemos a transformada de Laplace na etapa 2 do exemplo 
anterior. Vamos utilizar o mesmo processo aqui, mas de maneira contrária; 
vamos utilizar a antitransformada de Laplace, para tanto vamos rearranjar 
as equações I, II e III. Preste atenção:
Y s X s� � � � �1 Equação I
X s
s
X s a U s X s sX s X s a U s X s1 2 1 1 2 1
1� � � � � � � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � ��� ���� � Equação II
X s
b
s
U s X s sX s bU s bX s2 1 2 1� � � � � � � ��� �� � � � � � � � � ��� �� Equação III
Utilizando a anti-tranformada de Laplace, da equação I, temos: y t x t� � � � �1
Da equação II, temos:


x x au ax
x bu bx
1 2 1
2 1
� � �
� �
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UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
3. Por fim, podemos escrever as matrizes da solução, observando as equações:


x
x
a
b
x
x
u
a
b
y
x
x
1
2
1
2
1
2
1
0
1 0
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � ��
�
�
��
�
�
Desta maneira, finalizamos a Unidade III.
24
25
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Cengage Learning
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2003. ISBN 978-85-221-
0661-5. 5 ed. São Paulo, 2003, p. A53.
Sinais e sistemas
Oppenheim, A.; Willsky, A. Sinais e sistemas. 2ª ed. São Paulo: Pearson, 2010, p. 400.
Física I: mecânica
Young, H. D.; Freedman, R. A. Física I: mecânica. 14. ed., v.3. São Paulo: Addison-Wesley, 2016.
Física III: eletromagnetismo
Young, H. D.; Freedman, R. A. Física III: eletromagne� smo. 14. ed., v.3. São Paulo: Addison-
-Wesley, 2016.
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UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais
Referências
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010. 
OPPENHEIM, A.; Willsky, A. Sinais e sistemas. 2ª ed. São Paulo: Pearson, 2010.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2003. ISBN 978-85-221-
0661-5. 5 ed. São Paulo, 2003.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica. 14. ed., v.3. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2016.
________. Física III: eletromagnetismo. 14. ed., v.3. São Paulo: Addison-Wesley, 2016.
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