119_AP1-AR-2008-1-gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 - Ana´lise Real Versa˜o Gabarito 2008-1 Coord. H. Clark
1a Questa˜o [2 pontos] Mostre, pelo pric´ıpio de induc¸a˜o finita, que
xn − yn = (x− y) (xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1) ,
para todo n ∈ N e x, y ∈ R.
Demonstrac¸a˜o- A demonstrac¸a˜o e´ feita pelo princ´ıpio de induc¸a˜o finita. De fato,
• quando n = 1 tem-se x1 − y1 = x− y;
• suponha por hipo´tese, a identidade va´lida para um n qualquer. Ou seja,
xn − yn = (x− y) (xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1) (hipo´tese indutiva).
Deseja-se provar que
xn+1 − yn+1 = (x− y) (xn + xn−1y + · · ·+ xyn−1 + yn) . (1)
De fato, subtraindo e adicionando xny no primeiro membro de (1) e fatorando obte´m-se
xn+1 − yn+1 = xn+1 − xny + xny − yn+1 = xn(x− y) + y(xn − yn). (2)
Usando a hipo´tese indutiva no u´ltimo termo do lado direito de (2) tem-se
xn(x− y) + y(xn − yn) = xn(x− y) + y(x− y) (xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)
= (x− y) (xn + y (xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1))
= (x− y) (xn + xn−1y + · · ·+ xyn−1 + yn) .
Substituindo, esta identidade em (2) obte´m-se (1)
2a Questa˜o [2 pontos] Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que α ≤ β para todo α ∈ A e para
todo β ∈ B. Enta˜o, supA = inf B se, somente se, para qualquer ² > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais
que β − α < ².
Demonstrac¸a˜o- Deve-se provar, sendo α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B, que
supA = inf B ⇐⇒ β − α < ², para todo ² > 0.
De fato, (=⇒) Hipo´tese: supA = inf B. Pela definic¸a˜o de supremo, para todo ² > 0 existe α ∈ A tal
que α+ ² > supA. Como por hipo´tese supA = inf B, enta˜o α+ ² > inf B. Assim, usando a definic¸a˜o
de ı´nfimo, existe β ∈ B tal que β < α+ ². Logo, β − α < ².
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(⇐=) Hipo´tese: para todo ² > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ². Sera´ usado um
racioc´ınio que levara´ a` uma contradic¸a˜o. De fato, seja supA < inf B e suponha ² = inf B − supA.
Note que ² > 0. Como β ≥ inf B e −α ≥ − supA, enta˜o β − α ≥ inf B − supA. Portanto, β − α ≥ ²
para qualquer α ∈ A e qualquer β ∈ B. O que contradiz a hipo´tese. Logo, supA = inf B
3a Questa˜o [2 pontos] Mostre, por meio da definic¸a˜o, que a sucessa˜o (an)n∈N definida por
an =
n
n+ 1
converge para L = 1.
Demonstrac¸a˜o- Dado ² > 0 deseja-se determinar n0 ∈ N tal que∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < ² para todo n ≥ n0. (3)
Sendo
∣∣∣ nn+1 − 1∣∣∣ < ², tem-se as seguintes equivaleˆncias∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < ²⇐⇒ ∣∣∣∣ −1n+ 1
∣∣∣∣ < ²⇐⇒ 1n+ 1 < ²⇐⇒ n > 1² − 1.
Assim, escolhendo n0 como um natural moior que 1² − 1, isto e´, n0 ∈ N tal que n0 > 1² − 1 obte´m-se
(3)
4a Questa˜o [2 pontos] Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
1
2n−1
converge para 2.
Demonstrac¸a˜o- A n−e´sima soma parcial associada a` se´rie e´ dada por
Sn = 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
.
Fazendo x = 1 e y = (1/2) na questa˜o 1 acima, resulta
1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+ · · ·+ 1
2n−1
=
1− (1/2)n
1− (1/2) .
Note que
1− (1/2)n
1− (1/2) = 2[1− (1/2)
n].
Assim, Sn = 2[1− (1/2)n]. Portanto, lim
n−→∞Sn = limn−→∞ 2[1− (1/2)
n] = 2. Logo, por definic¸a˜o
∞∑
n=1
1
2n−1
= 2
2
5a Questa˜o [2 pontos] Sejam I um intervalo e f : I −→ R uma func¸a˜o lipschitziana, isto e´, existe
L > 0 tal que
|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| para todo x, y ∈ I. (4)
Mostre que f e´ cont´ınua em I.
Demonstrac¸a˜o- Seja ² > 0 dado. Escolhendo δ =
²
L
tal que |x−y| < δ para todo x, y ∈ I, enta˜o por
(4) obte´m-se |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y| < L ²
L
= ². Isto satisfaz as condic¸o˜es da definic¸a˜o de continuidade
uniforme de f em I. Logo, f e´ cont´ınua em I
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