Lista de Exercícios Resolvidos II/ Teoria dos Números

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Lista de Exercícios Resolvidos II/ Teoria dos Números
Professor: Ítalo Melo
Divisibilidade, Algoritmo da Divisão, MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e
Teorema Fundamental da Aritmética
1. Aplique o algoritmo de Euclides para calcular o mdc(198, 52).
Solução: Realizando divisões sucessivas temos:
198 = 3 · 52 + 42
52 = 1 · 42 + 10
42 = 4 · 10 + 2
10 = 5 · 2 + 0.
Logo, o mdc(198,52) = 2.
2. Aplique o algoritmo de Euclides para calcular o mdc(542, 234).
Solução: Realizando divisões sucessivas temos:
542 = 2 · 234 + 74
234 = 3 · 74 + 12
74 = 6 · 12 + 2
12 = 6 · 2 + 0.
Logo, o mdc(198,52) = 2.
3. Mostre que se p é um número primo maior ou igual a 7 então p é da forma 6k+1 ou 6k+5 com k ∈ N.
Solução: Pelo algoritmo da divisão segue que o inteiro p pode ser escrito em uma das seguintes formas:
(a) p = 6q, q ∈ Z;
(b) p = 6q + 1, q ∈ Z;
(c) p = 6q + 2, q ∈ Z;
(d) p = 6q + 3, q ∈ Z;
(e) p = 6q + 4, q ∈ Z;
(f) p = 6q + 5, q ∈ Z;
com q ≥ 1. Observe que nos itens a), c) , d) e e) p não pode ser primo, pois nestes casos p é divisível
por um elemento maior que 1 e diferente de p assim p é da forma 6k + 1 ou 6k + 5.
4. Mostre que se a e b são números inteiros com mdc(a, b) = 1 então mdc(a+ b, a− b) = 1 ou 2.
Solução: Seja d = mdc(a, b), pela definição de mdc temos que d|a+ b e d|a− b. Das propriedades de
divisibilidade temos que d|(a+ b) + (a− b) e d|(a+ b)− (a− b), ou seja, d|2a e d|2b.
Das propriedades de mdc temos que d|mdc(2a, 2b), por outro lado, mdc(2a, 2b) = 2mdc(a, b) = 2 assim
d|2 e podemos concluir que d = 1 ou d = 2.
5. Sejam a e b números inteiros positivos ímpares, então a2 + b2 não pode ser um quadrado perfeito.
Solução: Como a e b são ímpares, existem inteiros k e l tais que a = 2k + 1 e b = 2l + 1. Daí,
a2 + b2 = (2k + 1)2 + (2l + 1)2 = 2(2k2 + 2l2 + 2k + 2l + 1) = 2(2t+ 1),
onde t = k2+ l2+ k+ l. Se a2+ b2 fosse um quadrado perfeiro então poderíamos escrever a2+ b2 = c2,
da igualdade acima c2 = 2(2t+1). Daí, 2|c2, em particular, 2|c, disto segue que c2 é um múltiplo de 4
mas isto é um absurdo pois c2 = 2(2t+ 1) só tem um fator 2, esta contradição prova que a2 + b2 não
pode ser um quadrado perfeito.
6. Encontre inteiros x e y tais que 93x+ 81y = 3.
Solução: A ideia para encontrar x e y é usar as mesmas divisões do algoritmo de Euclides para
encontrar o mdc e depois escrever o mdc em função dos números iniciais. Realizando as divisões temos:
93 = 1 · 81 + 12
81 = 6 · 12 + 9
12 = 1 · 9 + 3.
Isolando o 3 da última igualdade temos, 3 = 12 − 9, isolando 9 da segunda igualdade e substituindo
temos que 3 = 12 − 9 = 12 − (81 − 6 · 12) = 7 · 12 − 81. Agora isolando 12 da primeira equação e
substituindo na última igualdade obtemos que
3 = 7 · (93− 81)− 81 = 7 · 93− 8 · 81.
Portanto, x = 7 e y = −8.
7. Mostre que n4 + 4 é um número composto, onde n é um número natural maior que 1.
Solução: Observe que
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4− 4n2
= (n2 + 2)2 − (2n)2
= (n2 + 2 + 2n)(n2 + 2− 2n)
Como n2 + 2 + 2n e n2 + 2 − 2n são maiores que para n > 1, isto prova que n4 + 4 é um número
composto.
8. Mostre que se para algum n, m|35n+ 26, m|7n+ 3 e m > 1, então m = 11.
Solução: Pelas propriedades de divisibilidade temos que m divide 35n+26− 5(7n+3), ou seja, m|11.
Como 11 é um número primo segue que m = 1 ou m = 11, por hipótese temos que m > 1, logo m = 11.
9. Exiba uma lista com 50 números consecutivos, onde todos os números são compostos.
Solução: 51!+2, 51!+3, · · · , 51!+50, 51!+51 é um exemplo de lista de números consecutivos que são
todos compostos.
Agora vamos provar que estes números são comostos, vamos mostrar que 51! + 37 é composto, a
demonstração de que outros números são compostos é análoga. Observe que, relembre que 51! =
1 · 2 · · · 50 · 51. Daí,
51! + 37 = 37(1 · 2 · · · 36 · 38 · · · 51 + 1
Isto prova que 51! + 37 é um número composto.
Bom Trabalho!!