Texto 3_Integrais de funções trigonometricas

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UNIFACS: Adelmo R. Jesus adelmojesus2008@gmail.com 
 
TEXTOS DE CÁLCULO 
Métodos de Integração 
Adelmo R. de Jesus / Ilka R. Freire 
 
2.4. Integrais de Funções Trigonométricas 
 
Introdução: Já sabemos calcular as integrais de senx, cosx, tgx, tg2x, secx, sec2x, etc. Falta calcular integrais 
que contém potências de seno e cosseno, como 
 dx xsen2
, 
 dx xcos2
, 
 dx xsen3
 
 dxcos xsen 22
, etc. 
Algumas dessas integrais ainda são fáceis de calcular (sem truques trigonométricos) por substituição, veja! 
 
a) 
C
3
xsen
C
3
t
 td t dx x cos xsen
33
2
senxt
cosxdxdt
dt
2  



 (fácil) 
 
b) 
C
3
xcos
C
3
t
- t)d(- t dx senx xcos
33
2
xosct
xdxsendt
dt -
2  



 (fácil) 
 
c) 
C
4
xsen
C
3
t
 td t dx cosx xsen
44
3
senxt
cosxdxdt
dt
3  



 (fácil) 
 
Integrais Envolvendo Potências de Seno e Cosseno: 
 dx)x(cos)x(sen
nm
 com m, n ≥ 0 
 
Observe que nesses casos um dos expoentes já tem grau 1, e por isso ele serve para ser nosso “dt”. 
Mas, para nosso estudo geral, devemos dividir essas integrais em dois tipos: 
 
1o Tipo: Um dos expoentes (m ou n) é ímpar 
Exemplos: 
 dx cosx xsen2
; 
 dx xsen3
; 
 dx xcos xsen 32
; 
 dx xcos5
 
 
Para resolver uma integral desse tipo escrevemos a parte que tem expoente ímpar como produto de duas 
potências, sendo uma delas de grau 1 (para obter nosso “dt”). 
Por exemplo: 
xcosxcosxcos 23 
 ; 
,x cos x cos x cos 45  x cos x cos x cos 67 
, etc. 
Daí, usamos uma das fórmulas da trigonometria: 
)x(sen1)x(cos 22 
 ou 
)x(cos1)x(sen 22 
 
 
Exemplo 1: 
 dx)x(cos
3
 e 
 dx)x(sen
3
 
 C
3
)x(sen
senxC
3
t
tdt)t1(dx cosx ) x sen1(dxxcosxcosdxxcos
33
2
dt
2
tdtservai
23   
 
 Note que substituímos cos2x por 1-sen2x para conseguir a substituição t=senx e dt = cos x dx 
Analogamente, 
 C
3
)x(cos
)xcos(C
3
t
t)dt)(t1(dx x sen ) x cos1(dxxsenxsendxxsen
33
2
dt-
2
tdtservai
23  


 
 
 Note que substituímos sen2x por 1-cos2x para conseguir a substituição t=cosx e dt = -senx dx 
 
2 
 
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Exemplo 2: 
 dx)x(cos)x(sen
32
 e 
 dx)x(cos)x(sen
23
 
 
  C
5
t
3
t
dt)tt(dxxcos)xsen1(xsendxxcosxcosxsendx)x(cos)x(sen
53
42
dt
2
t
2
tdtservaixsen1
2232
2
  


 
Como t=senx, temos finalmente 
C
5
xsen
3
xsen
dx)x(cos)x(sen
53
32 
 
 
Como já fizemos, trocamos cos2x por 1-sen2x para conseguir a substituição t=senx e dt=cosx dx 
 
Vamos resolver agora a integral 
 dx)x(cos)x(sen
23
: 
 




dtservaitrocar
223223 dxsenx xsenxcosdx xsenxcosxdxcosxsen
 
    

C
5
t
3
t
dt)tt()dt()t1(tdxsenx)xcos1(xcosdxsenx xsenxcos
53
4222
dt
2
t
2
tdttrocar
22

 
 
Como t=cosx, temos finalmente 
C
5
xcos
3
xcos
dx)x(cos)x(sen
53
23 
 
 
 
Exemplo 3: 
 dxxcos
5
 
 
Neste caso seguimos o mesmo padrão: 
  dxxcosxcosdxxcos
45
 e nosso “dt” será cos x dx 
    dt)t1()t1(dxcosxx)sen1(x)sen1(dxcosxxcosxcos dxcosxxcosdxxcos
22
dt
2
t
2
ttrocar
2
trocar
245

 
Logo, 
C
5
t
3
t2
tdt)tt21(dt)t1(dt)t1()t1(dxxcos
53
4222225  
 
 
Exemplo 4: 
 dxxcosxsen
35
 
 
Faça 
xcosxcosxcos 23 
 (escolhemos a menor dos expoentes para facilitar os cálculos). Logo, 
  C
8
t
6
t
dt)t1(tdxxcos)xsen1(xsendxxcosxcosxsendxxcosxsen
86
25
dt
2
t
5
ttrocar
2535   
 
Logo, 
C
8
xsen
6
xsen
dxxcosxsen
86
35 
 
 
Exemplo 5: 
 dxxcosxsen
57
 
 
  .....dt)t1(tdxxcos)xsen1(xsendxxcosxcosxsendxxcosxsen
227
dt
22
t
7
ttrocar
4757   
 
Como vimos nos exemplos, a ideia é separar uma das potencias de grau impar para obter nosso “dt”. 
 
Nos próximos exemplos vamos resolver o caso em que os dois expoentes são pares. Vamos ver? 
3 
 
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2º Tipo: Os dois expoentes (m e n) são pares 
Exemplos: 
 dx xsen2
; 
 dx xcos4
; 
 dx xsen4
; 
 dx xcos xsen 22
 
 
Neste caso usamos as identidades trigonométricas 
2
)x2cos(1
xcos2


 ou 
2
)x2cos(1
xsen2


 
 
Exemplo 6: Calcular as integrais
 dxxcos
2
 e 
 xdxsen
2
 
 
Vamos trocar 
)x(cos2
 por 
2
)x2cos(1
 na 1ª integral. Na 2ª integral, trocamos 
xsen2
 por 
2
)x2cos(1
xsen2


 
Logo, 
C
4
)x2(sen
2
x
C)
2
)x2(sen
x(
2
1
dx))x2cos(1(
2
1
dx
2
)x2cos(1
dxxcos2 

 
 
C
4
)x2(sen
2
x
C)
2
)x2(sen
x(
2
1
dx))x2cos(1(
2
1
dx
2
)x2cos(1
xdxsen2 

 
 
 
 
 Observação: Para fazer o exemplo seguinte vamos precisar calcular a integral
 dx)x2(cos
2
 
 
Solução: Como 
2
)x2cos(1
xcos2


 temos que 
2
)x4cos(1
)x2(cos2


 
Logo, 
C
8
)x4(sen
2
x
dx))x4cos(1(
2
1
dx
2
)x4cos(1
dx)x2(cos2 

 
 
Resumindo: 
C
8
)x4(sen
2
x
dx)x2(cos2 
 (*) 
 
Exemplo 7: 
 xdxsenxcos
22
 
Neste exemplo vamos precisar escrever 
)x2(cos2
 como 
2
)x4cos(1
)x2(cos2


 (veja fórmula acima) 
 


calculamosjá
22
baba
22 dx)x2(cos
4
1
dx
4
1
dx)x2cos1(
4
1
dx
2
x2cos1
2
x2cos1
xdxsenxcos   




























 
Já vimos em (*) que 
C
8
)x4(sen
2
x
dx)x2(cos2 
 
Logo, 
C
32
)x4(sen
8
x
C
32
)x4(sen
8
x
4
x
C)
8
x4sen
2
x
(
4
1
4
x
dx)x2(cos
4
1
dx
4
1
xdxsenxcos
calculamosjá
222   
 
 
Exemplo 8: 
 dx)x(sen
4
 e 
 dx)x(cos
4
 
 
 




 
 dx))x2(cos)x2(cos21(
4
1
dx
2
)x2cos(1
)xsen(dxxsen 2
2
224
 
Resumindo: 
]dx)x2(cosdx)x2(cos2dx([
4
1
dxxsen 24   
 
4 
 
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Já sabemos que 
C
8
)x4(sen
2
x
dx)x2(cos2 
 . 
Logo... 
C])
8
)x4(sen
2
x
(
2
)x2(sen
2x[
4
1
]dx)x2(cosdx)x2(cos2dx([
4
1
dxxsen 24   
 
 
Efetuando os cálculos, ficaremos com: 
 
C
32
)x4(sen
4
)x2(sen
8
x3
C]
8
)x4(sen
)x2(sen
2
x3
[
4
1
dxxsen4 
 
 
Analogamente, 
...dx))x2(cos)x2(cos21(
4
1
dx
2
)x2cos(1
)x(cosdxxcos 2
2
224 




 
 
 
 
Conclusão: 
C
32
)x4(sen
4
)x2(sen
8
x3
dxxcos4 
 
 
Para terminar nosso texto, faremos algumas integrais “simples”, aparentemente mais difíceis: 
 
1) 
 dxxtg
2
 
Como 1+ tg2x=sec2x temos que tg2x = sec2x-1. Logo, 
Cxxtgdx)1x(secdxxtg 22  
 
 
2) 
 dx
xsen
1
2
 e 
 dx
xcos
1
2
 
Como 
xseccos
senx
1

 exsec
xcos
1

 temos 
 
Cxgcotdxxseccosdx
xsen
1 2
2
 
 . Também, 
Cxtgdxxsecdx
xcos
1 2
2
 
 
 
3) 
 dxxcos
xseccos
1
2
 
Como 
senx
1
xseccos 
 temos que 
senx
xseccos
1

. 
 
Logo, 
 C
3
xsen
C
3
t
dttxdxcosxsendxxcos
xseccos
1 332
dt
2
t
2
  
 
 
4) 
 dx)x3(sen
2
 
Como 
2
)x2cos(1
xsen2


 temos 
2
)x6cos(1
)x3(sen2


 
 
Logo, 
C
12
)x6(sen
2
x
dx
2
)x6cos(1
dx)x3(sen2 

 
 F I M