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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico -robertafmu@hotmail.com 
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
1) Dadas as matrizes � = �3 −13 2 	, 
 = �3 40 −2	, 
 = �3 −11 2 	 e � = �−1 3−1 0	, calcule: 
a) � + 
 = �3 −13 2 	 + �3 40 −2	 = �6 33 0	 
b) � − 
 = �−1 3−1 0	 − �3 −11 2 	 = �−1 3−1 0	 + �−3 1−1 −2	 = �−4 4−2 −2	 
c) 5� − 2
 = �15 −515 10	 + �−6 −80 4 	 = � 9 −1315 14 	 
d) 3
 + 5� = �9 −33 6 	 + �−5 15−5 0 	 = � 4 12−2 6 	 
e) � . 
 = �3 −13 2 	 . �3 40 −2	 = �3.3 + �−1�. 0 3.4 + �−1�. �−2�3.3 + 2.0 3.4 + 2. �−2� � = �9 − 0 12 + 29 + 0 12 − 4	 = = �9 149 8 	 
f) 
. � = �3 −11 2 	 �−1 3−1 0	 = �3. �−1� + �−1�. �−1� 3.3 + �−1�. 01. �−1� + 2. �−1� 1.3 + 2.0 � = �−3 + 1 9 + 0−1 − 2 3 + 0	 = = �−2 9−3 3	 
 
2) Calcule os determinantes dados abaixo: 
a) �3 25 4�−8 18 = 10 c) �−2 −71 3 �+7 −6 = 1 
 
b) �−3 −9−2 −5�−18 +15 = −3 d) �5 112 −8�−22 −40 = −62 
 
e) �3 2 −1 5 0 42 −3 1 � 3 25 02 −3+0 +36 −10 +0 +16 +15 = +67 − 10 = +57 
 
f) �1 3 −12 −2 −1 3 1 −3 � 1 3 2 −2 3 1−6 +1 +18 +6 −9 −2 = +25 − 17 = +8 
 
3) Dados os pontos � = �−2, 4, 5� e 
 = �3 , −6 , 1�, escreva: 
a) o vetor �
�����⃗ 
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2 
 
�
�����⃗ = 
 − � = �3 , −6 , 1� − �−2 , 4 , 5� = �3 , −6 , 1� + �+2 , − 4 , −5� = �5 , −10 , −4� 
b) a expressão cartesiana do vetor �
�����⃗ �
�����⃗ = 5 �⃗ − 10 ⃗ − 4 !�⃗ 
c) o módulo do vetor �
�����⃗ "�
�����⃗ " = #5$ + �−10�$ + �−4�$ = √25 + 100 + 16 = √141 
 
d) a normalização do vetor �
�����⃗ (versor) 
&'()�
�����⃗ = �
�����⃗"�
�����⃗ " = �5, −10, −4�√141 = � 5√141 , −10√141 , −4√141� = 
= * 5√141 . √141√141 , −10√141 . √141√141 , −4√141 . √141√141+ = , 5√141-√141.$ , −10√141-√141.$ , −4√141-√141.$/ = 
= *5√141141 , − 10√141141 , − 4√141141 + 
e) as coordenadas do vetor oposto ao vetor �
�����⃗ 
������⃗ = −�
�����⃗ = −�5, −10, −4� = �−5, 10 , 4� 
f) a expressão cartesiana do vetor oposto ao vetor �
�����⃗ 
������⃗ = −5 �⃗ + 10 ⃗ + 4 !�⃗ 
 
4) Dados os vetores 0�⃗ = �1, 4 , 7�,&⃗ = �2, −8 , 6� e 1��⃗ = �4 , 3, −1�, determine: 
a) 0�⃗ + &⃗ − 1��⃗ = = �1 , 4 , 7� + �2 , −8 , 6� − �4 , 3 , −1� = �1 , 4 , 7� + �2 , −8 , 6� + �−4 , −3 , +1� = = �1 + 2 − 4 , 4 − 8 − 3 , 7 + 6 + 1� = �−1 , −7 , 14� 
b) 20�⃗ − &⃗ + 41��⃗ = = 2. �1 , 4 , 7� − �2 , −8 , 6� + 4. �4 , 3 , −1� = = �2 , 8 , 14� + �−2 , +8 , −6� + �16 , 12 , −4� = = �2 − 2 + 16 , 8 + 8 + 12 , 14 − 6 − 4� = �16 , 28 , 4� 
 
5) Dados os vetores 0�⃗ = �3 , 1 , 4� e &⃗ = �−2 , 0 , 6�, encontrar: 
a) o produto escalar 0�⃗ . &⃗ 0�⃗ . &⃗ = �3 , 1 , 4�. �−2 , 0 , 6� = 3 . �−2� + 1 . 0 + 4 . 6 = −6 + 0 + 24 = +18 
b) o módulo do vetor 0�⃗ 
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3 
 
|0�⃗ | = #3$ + 1$ + 4$ = √9 + 1 + 16 = √26 
c) o módulo do vetor &⃗ |&⃗| = #�−2�$ + 0$ + 6$ = √4 + 0 + 36 = √40 
d) o ângulo 3 entre os vetores 0�⃗ e &⃗ 
3 = cos78 * 0�⃗ . &⃗|0�⃗ ||&⃗|+ = cos78 � 18√26 . √40� ≅ 56,07° 
 
6) Dados os vetores 0�⃗ = �5, −2,1� e&⃗ = �−1,3,4�, encontrar: 
a) o produto vetorial 0�⃗ ∧ &⃗ 
0�⃗ ∧ &⃗ = < �⃗ ⃗ !�⃗5 −2 1−1 3 4< = �−2 13 4� �⃗ − � 5 1−1 4� ⃗ + � 5 −2−1 3 � !�⃗ = = �−3 − 8��⃗ − �+1 + 20� ⃗ + �−2 + 15�!�⃗ = −11�⃗ − 21 ⃗ + 13!�⃗ = �−11 , −21 , 13� 
b) a área do paralelogramo formado pelos vetores 0�⃗ e&⃗ � = |0�⃗ ∧ &⃗| = #�−11�$ + �−21�$ + 13$ = √121 + 441 + 169 = √731 ≅ 27,04 
c) a área do triângulo formado pelos vetores 0�⃗ e&⃗ 
� = |0�⃗ ∧ &⃗|2 = #�−11�$ + �−21�$ + 13$2 = √121 + 441 + 1692 = √7312 = 27,042 = 13,52 
 
7) Dados os vetores 0�⃗ = �4, 2,1�,&⃗ = �0,3,5� e 1��⃗ = �2,1, −3�, encontrar: 
a) o produto misto =0�⃗ , &⃗ , 1��⃗ > 
=0�⃗ , &⃗, 1��⃗ > = �4 −2 10 3 52 1 3� 4 −20 32 1 = −6 − 20 + 0 + 36 − 20 + 0 = −46 + 36 = −10 
b) o volume do paralelepípedo formado pelos vetores 0�⃗ ,&⃗ e 1��⃗ ? = |=0�⃗ , &⃗, 1��⃗ >| = |−10| = 10 
c) o volume do tetraedro formado pelos vetores 0�⃗ ,&⃗ e 1��⃗ 
? = |=0�⃗ , &⃗, 1��⃗ >|6 = |−10|6 = 106 ≅ 1,67 
 
8) Calcule @�7 , 3 , −5 , 1� na transformação linear @: ℝC → ℝ$, onde E18 = 2F8 − 3F$ + FC1$ = 3F8 + 5F$ − FG H, 
I181$J = I2 −3 0 13 5 −1 0J . K 73−51 L = M
2.7 − 3.3 + 0. �−5� + 1.13.7 + 5.3 − 1. �−5� + 0.1N = I 14 − 9 + 0 + 121 + 15 + 5 + 0J = I 641J 
∴ @�7,3, −5,1� = �6,41� 
 
 
9) Calcule @�−1 , 2 , 4� na transformação linear @: ℝG → ℝG, onde P18 = 3F8 + 5F$ − FG1$ = 4F8 − F$ + FG 1G = 3F8 + 2F$ − FG H. 
Q181$1GR = Q3 5 −14 −1 13 2 −1R . Q−124 R = S
3 . �−1� + 5 . 2 − 1 . 44 . �−1� − 1 . 2 + 1 . 43 . �−1� + 2 . 2 − 1 . 4T = Q−3 + 10 − 4−4 − 2 + 4−3 + 4 − 4 R = Q 3−2−3R ∴ @�−1 , 2 , 4� = �3, −2, −3� 
 
10) Escreva o vetor 1��⃗ = �2, −14� como combinação linear dos vetores 0�⃗ = �2, −1� e &⃗ = �3,5�, ou seja, encontre os escalares U e V, para que 1��⃗ = U0�⃗ + V&⃗. 1��⃗ = U0��⃗ + V&��⃗ �2 , −14� = U�2, −1� + V�3 , 5� �2 , −14� = �2U, −U� + �3V, 5V� �2 , −14� = �2U + 3V, −U + 5V� 
 E 2U + 3V = 2−U + 5V = −14. �2�H 
 E 2U + 3V = 2−2U + 10V = −28H 13V = −26 V = −2613 V = −2 
2U + 3V = 2 2U + 3. �−2� = 2 2U − 6 = 2 2U = 2 + 6 2U = 8 U = 82 U = 4 
 
Portanto: 1��⃗ = U 0��⃗ + V &��⃗ 1��⃗ = 40��⃗ + �−2�&��⃗ 1��⃗ = 40�⃗ − 2&⃗