Lista de Exercícios Vetores

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Algebra Linear para Computac¸a˜o- MAT0139 2o semestre 2008
Lista 3
Observac¸a˜o: Todas as figuras necessa´rias para os exerc´ıcios esta˜o em anexo.
1 Mostre que
−→
AB −−→AC = −−→CB.
2 Na figura 1, (ver anexo) M,N,P sa˜o pontos me´dios de AB,BC e CA respectiva-
mente. Exprima
−−→
BP,
−−→
AN,
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
AB e
−→
AC.
3 Na figura 2, a medida de AX e´ metade da medida de XB. Exprima
−−→
CX em func¸a˜o
de
−→
CA e
−−→
CB.
4 Prove que as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo ponto me´dio.
5 Prove que se os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero sa˜o ve´rtices de um
segundo quadrila´tero, este e´ um paralelogramo.
6 Prove que num triaˆngulo as retas suportes de duas medianas se encontram num
u´nico ponto.
7 (SOMA DE PONTO COM VETOR) Como ja´ sabemos, dado um ponto P e um
vetor −→v existe um u´nico ponto Q tal que −→v = −→PQ. Assim, definimos
P +
−→
PQ = Q
Com isso temos: ∀P, ∀−→v : P +←−v = Q⇐⇒ −→v = −→PQ. Mostre que:
(a) P +
−→
0 = P ;
(b) P +−→u = P +−→v =⇒ −→u = −→v ;
(c) (P +−→u ) +−→v = P + (−→u +−→v );
(d) P +−→u = Q+−→u =⇒ P = Q;
(e) (P −−→u ) +−→u = P , onde P −−→u = P + (−−→u ).
2
8 Dados quatro pontos A,B,C e X tais que
−−→
AX = m
−−→
XB, exprima
−−→
CX em func¸a˜o de
−→
CA e
−−→
CB. Veja figura 3.
Sugesta˜o: Na relac¸a˜o
−−→
AX = m
−−→
XB fac¸a aparecer C em ambos os membros.
9 E´ dado um triaˆngulo ABC e os pontos X, Y, Z tais que
−−→
AX = m
−−→
XB,
−−→
BY = n
−−→
Y C
e
−→
CZ = p
−→
ZA. Exprima
−−→
CX,
−→
AY ,
−→
BZ em func¸a˜o de
−→
CA e
−−→
CB (e m,n, p).
10 Num triaˆngulo ABC e´ dado X sobre AB tal que ‖ −−→AX ‖= 2 ‖ −−→XB ‖ e e´ dado Y
sobre BC tal que ‖ −−→BY ‖= 3 ‖ −−→Y C ‖. Mostre que as retas CX e AY se cortam.
Sugesta˜o: Use o exerc´ıcios anterior, achando qual deve ser m e qual deve ser n.
Suponha
−−→
CX = λ
−→
AY e chegue a um absurdo.
11 Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o-paralelos de
um trape´zio e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas das
bases. (Atenc¸a˜o: na˜o e´ suficiente provar que
−−→
MN = 1
2
(
−→
AB+
−−→
DC), mas isso ajuda
bastante). Veja figura 4.
12 Mostre que:
• ‖ −→u +−→v ‖2 = ‖ −→u ‖2 + 2−→u · −→v + ‖ −→v ‖2
• −→u · −→v = 1
2
(‖ −→u +−→v ‖2 − ‖ −→u ‖2 − ‖ −→v ‖2)
13 Prove que as diagonais de um quadrado sa˜o perpendiculares.
14 Em cada caso, calcule
−→
PQ e ‖ −→PQ ‖.
a) P (2,−1, 3) e Q(0, 1, 1)
b) P (0, 2,−3) e Q(4,−1, 2)
c) P (2, 0,−5) e Q(0, 5, 7)
d) P (1, 2, 3) e Q(3, 2, 1)
15 a) Dado o ponto P (3,−2, 1), encontre o ponto Q tal que −→PQ =
[
−1 2 5
]T
.
b) Dado o ponto Q(0,−1, 3), encontre o ponto P tal que −→PQ =
[
3 0 −2
]T
.