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Topografia Aplicada a Engenharia Civil 
Módulo IV – Irradiação 
Prof. Me. Elvio M. Martins Junior 
2016 / 2 
 
Adaptado do material Bibliográfico 
 
Levantamento de Campo 
Cálculo das Coordenadas Cartesianas 
dos detalhes A1, P1 e B1 
 Calcular as coordenadas cartesianas retangulares dos detalhes apresentados na 
poligonal fechada. 
 
 Para ângulos horizontais medidos no sentido Horário, calcular as coordenadas dos 
pontos : A1, P1 e B1 
A1, P1 e B1 
Estação Ocupada: 1 
Estação Visada a Ré: 0 
A0pp-1 = 106º 52' 07" 
X1 = 320,052 m 
Y1= 560,218 m 
 
CALCULOS DAS COORDENADAS CARTESIANAS DETALHES A1, P1 e B1 
Levantamento (CAMPO) de detalhes efetuado na estação 1: 
 
Detalhe Ângulo Distância Ângulo conversão sexagesimal p/ 
visado Horizontal inclinada (m) Zenital decimal 
A1 11º 07' 15" 58,38 88º 21' 40" 88,3611 
PA 220º 40' 32" 22,49 91º 03' 12" 91,0533 
B1 290º 37' 24" 46,87 92º 22' 09" 92,3692 
Calculo das distâncias horizontais e Azimutes entre a estação 1 e 
os detalhes A1, P1 e B1 
Calculo das distâncias horizontais entre a estação 1 
e os pontos A1, P1 e B1 
 
Dh = Di. SenZ 
 Di SenZ 
Dh 1-A1= 58,38 0,999590924 58,36 m 
Dh 1-P1= 22,49 0,999831023 22,49 m 
Dh 1-B1= 46,87 0,999145234 46,83 m 
 
 
Calculo dos azimutes entre a estação 1 e os pontos A1, P1 E B1 
 
A1-detalhe = Aopp-1 +Ângulo horizontal horário- 180º) 
Ponto Direção Azimutes 
1 1-A1 106º 52' 07" + 11º 07' 15"-180º = 297º 59' 22" 
1 1-P1 
106º 52' 07" + 220º 40' 32"-180º 
= 147º 32' 39" 
1 1-B1 
106º 52' 07" + 290º 37' 24"-180º 
= 217º 29' 31" 
 
 
conversão Azimutes - sexagesimal p/ 
decimal 
 sexagesimal decimal 
 297º 59' 22" 297,9894444 
 147º 32' 39" 147,5441667 
 217º 29' 31" 217,4919444 
Coordenadas cartesianas dos detalhes 
A1, P1 E B1 
A1, P1 e B1 
Calculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos A1, P1 e B1 
 
Xdetalhe = Xeocup + dh x senA eocup-detalhe 
Ydetalhe = Yeocup + dh x cosA eocup-detalhe 
 
X1 = 320,052 
Y1 = 560,218 
A1 
XA1 = 320,052 + 58,36 x seno 297,9894444 = 268,521 m 
YA1 = 560,218 + 58,36 x coseno 297,9894444 = 587,605 m 
P1 
XP1 = 320,052 + 22,486 x seno 147,5441667 = 332,119 m 
Yp1 = 560,218 + 22,486 x coseno 147,5441667 = 541,244 m 
B1 
XB1 = 320,052 + 46,830 x seno 217,4919444 = 291,549 m 
YB1 = 560,218 + 46,830 x coseno 217,4919444 = 523,062 m 
Cálculo das Coordenadas Cartesianas 
dos detalhes A2 e B2 
 Calcular as coordenadas cartesianas retangulares dos detalhes apresentados na 
poligonal fechada. 
 
 Para ângulos horizontais medidos no sentido Horário, calcular as coordenadas dos 
pontos : A2 e B2 
A2 e B2 
Estação Ocupada: 2 
Estação Visada a Ré: 1 
A1-2 = 173º 39' 35" 
X2 = 332,831 m 
Y2= 445,171 m 
 
CALCULOS DAS COORDENADAS CARTESIANAS DETALHES A2 e B2 
Levantamento (CAMPO) de detalhes efetuado na estação 2 : 
 
Detalhe Ângulo Distância Ângulo conversão sexagesimal p/ 
visado Horizontal inclinada (m) Zenital decimal 
B2 243º 11' 13" 35,40 89º 44' 51" 89,7475 
A2 342º 40' 32" 52,66 90º 59' 39" 90,9942 
Calculo das distâncias horizontais e Azimutes entre a estação 1 e 
os pontos A2 e B2 
Calculo das distâncias horizontais entre a estação 2 
e os pontos A2 e B2 
 
Dh = Di. SenZ 
 Di SenZ 
Dh 2-B2= 35,4 0,999990288 35,40 m 
Dh 2-A2= 52,66 0,999849473 52,65 m 
 
 
 
Calculo dos azimutes entre a estação 2 e os pontos A2, B2 
 
A2-detalhe = A2-det +Ângulo horizontal horário- 180º) 
Ponto Direção Azimutes 
2 2-B2 173º 39' 35" + 243º 11' 13"-180º = 227º 50' 48" 
2 2-A2 173º 39' 35" + 342º 40' 32"-180º = 336º 20' 07" 
 
 
 conversão Azimutes - sexagesimal p/ decimal 
 sexagesimal decimal 
 227º 50' 48" 227,8466667 
 336º 20' 07" 336,3352778 
Coordenadas cartesianas dos detalhes 
A2 e B2 
A2 e B2 
Calculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos A2,e B2 
 
Xdetalhe = Xeocup + dh x senA eocup-detalhe 
Ydetalhe = Yeocup + dh x cosA eocup-detalhe 
 
X2 = 332,831 
Y2 = 445,171 
A1 
XB2 = 332,831 + 35,40 x seno 227,8466667 = 306,587 m 
YB2 = 445,171 + 35,40 x coseno 227,8466667 = 421,413 m 
P1 
XA2 = 332,831 + 52,652 x seno 336,3352778 = 311,697 m 
YA2 = 445,171 + 52,652 x coseno 336,3352778 = 493,395 m 
Cálculo das Coordenadas Cartesianas 
dos detalhes A3 e A4 
 Calcular as coordenadas cartesianas retangulares dos detalhes apresentados na 
poligonal fechada. 
 
 Para ângulos horizontais medidos no sentido Horário, calcular as coordenadas dos 
pontos : A3 e A4 
A3 e A4 
Estação Ocupada: 3 
Estação Visada a VANTE: 4 
A3-4 = 16º 54' 26" 
X3 = 220,037 m 
Y3= 415,318 m 
 
CALCULOS DAS COORDENADAS CARTESIANAS DETALHES A3 e A4 
Levantamento (CAMPO) de detalhes efetuado na estação 3 : 
 
Detalhe Ângulo Distância Ângulo conversão sexagesimal p/ 
visado Horizontal inclinada (m) Zenital decimal 
A3 21º 12' 40" 84,22 90º 03' 49" 90,0636111 
A4 48º 11' 29" 71,15 91º 02' 22" 91,0394444 
Calculo das distâncias horizontais e Azimutes entre a estação 1 e 
os pontos A3 e A4 
Calculo das distâncias horizontais entre a estação 3 
e os pontos A3 e A4 
 
Dh = Di. SenZ 
 Di SenZ 
Dh 3-A3= 84,22 0,999999384 84,22 m 
Dh 3-A4= 71,15 0,999835449 71,14 m 
 
 
 
Calculo dos azimutes entre a estação 3 e os pontos A3, A4 
 
A3-detalhe = A3-4 +Ângulo horizontal horário) 
Ponto Direção Azimutes 
3 3-A3 16º 54' 26" + 21º 12' 40" = 38º 7' 06" 
3 3-A4 16º 54' 36" + 48º 11' 29" = 65º 5' 55" 
 
 
 conversão Azimutes - sexagesimal p/ decimal 
 sexagesimal decimal 
 38º 07' 06" 38,11833333 
 65º 05' 55" 65,09861111 
Coordenadas cartesianas dos detalhes 
A3 e A4 
A3 e A4 
Calculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos A3,e A4 
 
Xdetalhe = Xeocup + dh x senA eocup-detalhe 
Ydetalhe = Yeocup + dh x cosA eocup-detalhe 
 
X2 = 220,037 
Y2 = 415,318 
A1 
XB2 = 220,037 + 84,22 x seno 38,1183333 = 272,025 m 
YB2 = 415,318 + 84,22 x coseno 38,1183333 = 481,577 m 
P1 
XA2 = 220,037 + 71,138 x seno 65,0986111 = 284,562 m 
YA2 = 415,318 + 71,138 x coseno 65,0986111 = 445,271 m 
Cálculo das Coordenadas Cartesianas 
dos detalhes MF1 e A5 
 Calcular as coordenadas cartesianas retangulares dos detalhes apresentados na 
poligonal fechada. 
 
 Para ângulos horizontais medidos no sentido Horário, calcular as coordenadas dos 
pontos : MF1 e A5 
MF1 e A5 
Estação Ocupada: 4 
Estação Visada a VANTE: 5 
A4-0PP = 345º 23' 00" 
X4 = 246,683 m 
Y4= 503,042 m 
 
CALCULOS DAS COORDENADAS CARTESIANASDETALHES MF1 e A5 
Levantamento (CAMPO) de detalhes efetuado na estação 4 : 
 
Detalhe Ângulo Distância Ângulo conversão sexagesimal p/ 
visado Horizontal 
inclinada 
(m) Zenital decimal 
MF1 301º 49' 15" 33,29 90º 09' 11" 90,15305556 
A5 19º 40' 19" 43,18 89º 59' 15" 89,9875 
Calculo das distâncias horizontais e Azimutes entre a estação 1 e 
os pontos MF1 e A5 
Calculo das distâncias horizontais entre a estação 4 
e os pontos MF1 e A5 
 
Dh = Di. SenZ 
 Di SenZ 
Dh 4-MF1= 33,29 1,0000 33,29 m 
Dh 4-A5= 43,18 1,0000 43,18 m 
 
 
 
Calculo dos azimutes entre a estação 4 e os pontos MF1, A5 
 
A4-detalhe = A4-OPP+Ângulo horizontal horário) 
Ponto Direção Azimutes 
4 4-MF1 345º 23' 00" + 301º 49' 15" = 287º 12' 15" 
4 4-A5 345º 23' 00" + 19º 40' 19" = 5º 3' 19" 
 
 
 conversão Azimutes - sexagesimal p/ decimal 
 sexagesimal decimal 
 287º 12' 15" 287,2041667 
 5º 03' 19" 5,055277778 
Coordenadas cartesianas dos detalhes 
MF1 e A5 
MF1 e A5 
Calculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos MF1,e A5 
 
Xdetalhe = Xeocup + dh x senA eocup-detalhe 
Ydetalhe = Yeocup + dh x cosA eocup-detalhe 
 
X4 = 246,683 
Y24= 503,042 
MF1 
XMF1 = 246,683 + 33,29 x seno 287,2041667 = 214,883 m 
YMF1 = 503,042 + 33,29 x coseno 287,2041667 = 512,888 m 
A5 
XA5 = 246,683 + 43,180 x seno 5,0552778 = 250,488 m 
YA5 = 503,042 + 43,180 x coseno 5,0552778 = 546,054 m 
Alguns cuidados 
 Configuração do sistema de ângulos da calculadora / excel : 
Sexagesimal – Grau - º - podendo ser ainda representado em décimo de grau 
Circular – Radianos – rad 
 
 Conversão de unidades quando se fizer necessário; 
 
 Número de casas decimais acima de 6 para efeito de cálculo, reduzindo o 
erro; 
 
 Número de casas decimais para P >= 6 
 
bibliografia 
• TOPOGRAFIA Fundamentos, Teoria e Prática, Instituto de Geociências da Universidade 
Federal de Minas Gerais, Dept°. de Cartografia Ariclo Pulinho Pires de Almeida, José Carlos 
de Paula Freitas e Maria Márcia Magela Machado 
 
• Luis A. K. Veiga, Maria A. Z. Zanetti, Pedro L. Faggion FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA 
Engenharia Cartográfica e de Agrimensura Universidade Federal do Paraná