Trabalho Final Topografia Aplicada

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UFRGS – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS – DEPARTAMENTO DE GEODÉSIA 
GEO 05039 - TOPOGRAFIA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 
PROF. REGINALDO MACEDÔNIO DA SILVA 
 
 
 
 
TRABALHO FINAL – TURMA C 
 
 
 
 
 
Aluna: Eduarda Winck Hugo 
 
Porto Alegre, 20 de novembro de 2020. 
 
 
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SUMÁRIO 
Memorando ..................................................................................................................................... 3 
1. Cálculo dos ângulos horizontais médios e precisões ...................................................................... 4 
2. Cálculo dos ângulos verticais médios e precisões .......................................................................... 8 
3. Cálculo das distâncias horizontais ................................................................................................. 11 
4. Cálculo do azimute verdadeiro de do alinhamento BA da poligonal .............................................. 12 
5. Cálculo da convergência dos meridianos ....................................................................................... 14 
6. Transformação do azimute verdadeiro em azimute de quadrícula (UTM) do alinhamento BA ....... 14 
7. Cálculo dos demais azimutes de quadrícula dos demais alinhamentos ........................................... 15 
8. Cálculo das projeções de todos os alinhamentos do polígono ........................................................ 16 
9. Cálculo das coordenadas dos vértices do polígono ......................................................................... 16 
10. Cálculo das diferenças de nível entre os vértices do polígono........................................................ 17 
11. Cálculo das cotas dos vértices do polígono ................................................................................... 18 
12. Cálculo do fator de correção linear “k” ......................................................................................... 19 
13. Cálculo da distância horizontal plana (UTM) entre os pontos R e S ............................................... 19 
14. Cálculo da distância horizontal real entre os pontos R e S ............................................................ 19 
15. Cálculo do azimute de quadricula do alinhamento RS .................................................................. 19 
16. Cálculo do azimute verdadeiro do alinhamento RS ...................................................................... 19 
17. Cálculo da declividade entre os pontos R e S ................................................................................ 19 
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MEMORANDO 
 
Levantamento: Topográfico 
Localidade: Estação de Energia – Campus do Vale da UFGRS 
Município: Porto Alegre, RS 
Interessado: Eduarda Winck Hugo 
 
 
 DESCRIÇÃO 
O levantamento inicia-se no marco denominado RN, referenciado ao Sistema Geodésico Brasileiro, DATUM-SAD 69, MC 51°W, Coordenadas Plano 
Retangulares, sistema UTM: E= 488.133,045m e N= 6.673.081,605 m, o marco está localizado nas proximidades da caixa d’água localizada na entrada do 
Campus do Vale da UFRGS; daí foi demarcada uma base BA, iniciando-se pelo ponto B, localizado a uma distância do RN de referência de 13,295m, 
num azimute de quadrícula de 91°16’14,23”. A partir do ponto B, (E=488.139,2767m e N=6.673.093,349m) mediu-se uma base de comprimento 32,156m 
até o ponto A (E=488.171,4248m, e N=6.673.092,636m) e com uma direção de azimute de quadrícula de 271°16’14,2”. A partir da base visualizou-se os 
pontos R e S, dos quais foram determinadas a distâncias entre os mesmos (DHRS = 5.214,743629 m), o azimute do alinhamento (Az=211°29’26,9”) e 
cujas coordenadas dos pontos são ER=488.870,8545m; NR=6.670.567,808m; ES== 486.146,8694m m e NS=6.666.121,072m. Foram também 
determinadas as cotas referentes aos pontos levantados em campo, partindo-se da cota verdadeira do RN de referência a qual é de 48,750m. Através 
dos dados medidos em campo obteve-se as cotas dos extremos da base que foram: Ponto A, Cota= 50,7115m; Ponto B, Cota= 48,3846m e a partir destas 
obteve-se as cotas dos pontos de interesse que foram Ponto R, Cota= 252,2209m, e Ponto S, Cota= 519,2765m. Com os dados das coordenadas UTM dos 
pontos de interesse obteve-se a distância dos mesmo que é de 5.214,744086m. Todos os cálculos foram efetuados a partir do Azimute verdadeiro do 
alinhamento BA que é de Az= 91°16’14,23”, e cuja Convergência dos Meridianos para a área levantada é de CM= 0°03’42,13” 
Porto Alegre / 2020 
 
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CÁLCULOS 
 
1. Cálculo dos ângulos horizontais médios e precisões: 
Para a tabela 1: 
1.1 Ângulos medidos: 
O valores de PD e PI dos ângulos medidos na tabela 1 foram preenchidos utilizando que 
PDR (ângulos medidos) = PDS – PDR (leitura angular) 
PIR (ângulos medidos) = PIB – PIS (leitura angular) 
A mesma coisa é feita para todos os ângulos da tabela. 
Exemplo: (31°40’30” - 0°00’00”) = 31°40’30” = PDR e (211°40’42” - 179°59’52”) = 31°40’50” = PIR 
1.2 Ângulo médio: 
A tabela abaixo foi preenchida considerando que: 
α = (PD + PI)/2 , sendo PD e PI o ângulo medido em relação a R e S; 
β = (PD + PI)/2 , sendo PD e PI os ângulos medidos em relação a B e S; 
γ = (PD + PI)/2 , sendo PD e PI os ângulos medidos em relação a R e A; 
δ = (PD + PI)/2 , sendo PD e PI os ângulos medidos em relação a S e R; 
θ = (PD + PI)/2 , sendo PD e PI os ângulos medido em relação a RN e S. 
Exemplo: α = (31°40’30” + 31°40’50”)/2 = 31°40’40”, e assim feito para cada ângulo da tabela abaixo. 
 
 
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LEVANTAMENTO POR INTERSECÇÃO 
Estação PV Leitura Angular de Campo Ângulos Medidos Ângulo Médio 
 PD PI PD PI XXXXXXXXXXXXXXXXXX 
A R 0°00’00” 179°59’52” 31°40’30” 31°40’50” α= 31°40’40” 
 S 31°40’30” 211°40’42” 75°04’55” 75°04’56” Β= 75°04’55,5” 
B 106°45’25” 286°45’38” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
R 60°18’32” 240°18’24” 31°40’52” 31°40’52” α= 31°40’52” 
S 91°59’24” 271°59’16” 75°04’19” 75°04’19” Β= 75°04’19” 
B 167°03’43” 347°03’35” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
R 120°15’01” 300°15’07” 31°40’26” 31°40’18” α= 31°40’22” 
S 151°55’27 331°55’25” 75°04’37” 75°04’42” Β= 75°04’39,5” 
B 227°00’04” 407°00’07” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
B A 0°00’00” 180°00’39” 72°34’48” 72°34’22” γ= 72°34’35” 
 R 72°34’48” 252°35’01” 32°06’09” 32°06’09” δ= 32°06’09” 
S 104°40’57” 284°41’10” 12°00’20” 12°00’11” θ= 12°00’15,5” 
RN 116°41’17” 296°41’21” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
A 60°00’09” 240°00’11” 72°34’22” 72°34’16” γ= 72°34’19” 
R 132°34’31” 312°34’27” 32°06’11” 32°06’12” δ= 32°06’11,5” 
S 164°40’42” 344°40’39” 12°00’10” 12°00’02” θ= 12°00’06” 
RN 176°40’52” 356°40’41” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
A 120°00’57” 300°01’20” 72°34’42” 72°34’21” γ= 72°34’31,5" 
R 192°35’39” 372°35’41” 32°06’00” 32°06’17” δ= 32°06’8,5” 
S 224°41’39” 404°41’58” 12°00’24” 12°00’14” θ= 12°00’19” 
RN 236°42’03” 416°42’12” XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 
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 Para a tabela 2: 
1.3 Médias: Para α, β, γ, δ e θ médios foi feito a média aritmética entre os ângulos médios de cada iterada. 
Exemplo: α1 = (31°40’40” + 31°40’52” + 31°40’22”)/3 = 31°40’38” 
 
1.4 Resíduos: Para o cálculo dos resíduos, se fez a diferença,em segundos, entre o ângulo médio da iterada e a média aritmética dos ângulos, elevando esse valor 
ao quadrado. 
Exemplo: v = (31°40’40” - 31°40’38”) = 02” e 02² = 04 = v² 
 
1.5 Erro médio: O erro médio quadrático de uma observação isolada e o erro médio quadrático da média aritmética foram calculados utilizando as fórmulas dadas 
na tabela mostrada a seguir: 
 
 
ÂNGULOS HORIZONTAIS – ERRO MÉDIO QUADRÁTICO 
Ângulo α Ângulo β Ângulo γ Ângulo δ Ângulo θ 
 31°40’40” 75°04’55,5” 72°34’35” 32°06’09” 12°00’15,5” 
 31°40’52” 75°04’19” 72°34’19” 32°06’11,5” 12°00’06” 
 31°40’22” 75°04’39,5” 72°34’31,5" 32°06’8,5” 12°00’19” 
MÉDIAS 
α= 31°40’38” β= 75°04’38” γ= 72°34’28,5” δ= 32°06’9,67” θ= 12°00’13,5” 
7 
 
RESÍDUOS AO QUADRADO 
v2 = 04 v2 = 306,25 v2 = 42,25 v2 = 0,4489 v2 = 4 
v2 = 196 v2 = 361 v2 = 90,25 v2 = 3,3489 v2 = 56,25 
v2 = 256 v2 = 2,25 v2 = 9 v2 = 1,3689 v2 = 30,25 
SOMA DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS 
Σv2= 456 Σv2= 669,5 Σv2= 141,5 Σv2= 5,1667 Σv2= 90,5 
 
 
ERRO MÉDIO QUADRÁTICO DE UMA OBSERVAÇÃO ISOLADA ε1=√Σ��/(� − 	) 
ε1= +- 15,09967 ε1= +- 18,29617 ε1= +- 8,41130 ε1= +- 1,60728 ε1= +- 6,72681 
ERRO MÉDIO QUADRÁTICO DA MÉDIA ARITMÉTICA εm=ε1/√� 
εm= +- 8,71779 εm= +- 10,56329 εm= +- 4,85626 εm= +- 0,92796 εm= +- 3,88372 
TABELA 2 
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2. Cálculo dos ângulos verticais médios e precisões: 
Para a tabela 3: 
2.1 Ângulos zenitais medidos (z): 
A tabela abaixo foi preenchida utilizando a seguinte fórmula: Z = [��
° + (�� − ��)]/�. 
Exemplo: Z = [360° + (85°38’33” - 274°22’46”)]/2 = 85°37’53,5” 
Estação PV Leitura dos ângulos Zenitais de Campo Ângulos Zenitais Medidos Observações 
 PD PI Z 
A R 85°38’33” 274°22’46” 85°37’53,5” 1ª Medição 
 S 86°14’54” 273°45’17” 86°14’48,5” 1ª Medição 
B 100°06’38” 259°53’48 100°06’25” 1ª Medição 
R 85°37’18” 274°22’53” 85°37’12,5” 2ª Medição 
S 86°13’53” 273°46’36” 86°13’38,5” 2ª Medição 
B 100°06’39” 259°53’56” 100°06’21,5” 2ª Medição 
R 85°37’28” 274°23’35” 85°36’56,5” 3ª Medição 
S 86°12’52” 273°47’37” 86°12’37,5” 3ª Medição 
B 100°05’26 259°54’56” 100°05’15” 3ª Medição 
B A 91°44’15” 268°15’24” 91°44’25,5” 1ª Medição 
 R 85°38’03” 274°22’25” 85°37’49” 1ª Medição 
S 86°15’06” 273°45’14” 86°14’56” 1ª Medição 
RN 95°29’11” 264°31’10” 95°29’0,5" 1ª Medição 
A 91°45’40” 268°13’29” 91°46’5,5” 2ª Medição 
R 85°44’33” 274°15’52” 85°44’20,5” 2ª Medição 
S 86°19’40” 273°40’43” 86°19’28,5” 2ª Medição 
9 
 
RN 95°32’29” 264°27’50” 95°32’19,5” 2ª Medição 
A 91°46’34” 268°13’17” 91°46’38,5” 3ª Medição 
R 85°44’23” 274°16’32” 85°43’55,5” 3ª Medição 
S 86°19’12” 273°41’02” 86°19’05” 3ª Medição 
RN 95°32’10” 264°27’59” 95°32’5,5” 3ª Medição 
 
Para a tabela 4: 
2.2 Médias: Calculadas fazendo a média aritmética entre os ângulos zenitais medidos em cada medição. 
Exemplo: ZR = (85°37’53,5” + 85°37’12,5” + 85°36’56,5”)/3 = 85°37’20,83” 
2.3 Resíduos ao quadrado: Encontrados a partir do quadrado da diferença entre o valor de Z em cada medição é o valor da média aritmética dos valores de Z. 
Exemplo: vS = (86°13’38,5” - 86°13’41,5”) = 03” e 03² = 09 = vS² 
2.4 Erro médio quadrático de uma observação isolada e erro médio quadrático da média aritmética: Calculado da mesma forma que foi feito para a tabela 
2, utilizando as fórmulas presentes na tabela abaixo: 
ÂNGULOS VERTICAIS – Erro Médio Quadrático 
Estação A Estação B 
R S B A R S RN 
 85°37’53,5” 86°14’48,5” 100°06’25” 91°44’25,5” 85°37’49” 86°14’56” 95°29’0,5" 
 85°37’12,5” 86°13’38,5” 100°06’21,5” 91°46’5,5” 85°44’20,5” 86°19’28,5” 95°32’19,5” 
 85°36’56,5” 86°12’37,5” 100°05’15” 91°46’38,5” 85°43’55,5” 86°19’05” 95°32’5,5” 
MÉDIAS 
R= 85°37’20,83” S= 86°13’41,5” B= 100°06’0,5” A= 91°45’43,17” R= 85°42’1,67” S= 86°17’49,83” RN= 95°31’8,5” 
TABELA 3 
10 
 
RESÍDUOS AO QUADRADO 
v2 = 1.067,3289 v2 = 4.489 v2 = 600,25 v2 = 6.032,6289 v2 = 63.842,1289 v2 = 30.216,8689 v2 = 16.384 
v2 = 69,3889 v2 = 9 v2 = 441 v2 = 498,6289 v2 = 19.273,7689 v2 = 9.735,7689 v2 = 5.041 
v2 = 591,9489 v2 = 4.096 v2 = 2.070,25 v2 = 3.061,4089 v2 = 12.957,2689 v2 = 5.650,5289 v2 = 3.249 
SOMA DOS QUADRADOS DOS RESÍDUOS 
 
Σv2= 1.728,6667 Σv2= 8.594 Σv2= 3.111,5 Σv2= 9.592,6667 Σv2= 96.073,1667 Σv2= 45.609,1667 Σv2= 24.674 
 
 
ERRO MÉDIO QUADRÁTICO DE UMA OBSERVAÇÃO ISOLADA ε1=√Σ��/(� − 	) 
ε1= +- 29,39954 ε1= +- 65,55150 ε1= +- 39,44299 ε1= +- 69,25556 ε1= +- 219,17249 ε1= +- 151,00524 ε1= +- 111,07205 
ERRO MÉDIO QUADRÁTICO DA MÉDIA ARITMÉTICA εm=ε1/√� 
εm= +- 16,97383 εm= +- 37,84617 εm= +- 22,77242 εm= +- 39,98471 εm= +- 126,53929 εm= +- 87,18291 εm= +- 64,12748 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 4 
11 
 
3. Distâncias horizontais: 
Para o cálculo das distâncias, utilizaremos alguns ângulos que serão encontrados por trigonometria e algumas relações trigonométricas. 
 
Agora utilizando a Lei dos Senos: 
DHAC = 32,156 x (sen(γ) / sen(a)) = 57,3395553 m DHBS = 58,07071459 x (sen(b) / sen(c)) = 7.251,367882 m 
DHBC = 32,156 x (sen(β) / sen(a)) = 58,07071459 m DHCS = 58,07071459 x (sen(δ) / sen(c)) = 7.202,242472 m 
DHAR = 57,3395553 x (sen(b) / sen(f)) = 2.619,916098 m DHRC = 57,3395553 x (sen(α) / sen(f)) = 2.571,295304 m 
 
E por último usando Lei dos Cossenos: 
DHRS² = DRC² + DCS² - (2 x DRC x DCS x Cos(a)) DHRS = 5.214,743629 m 
 
Chamaremos o ponto de intersecção das retas de C, e os ângulos serão chamados conforme 
mostra a figura ao lado. 
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°: 
a = 180° - 75°04’38” - 72°34’28,5” = 32°20’53,5” 
b é suplementar de a, logo, b = 180° - 32°20’53,5” = 147°39’6,5” 
c = 180° - b – δ = 0°14’43,83” 
Sabemos que o ângulo entre A e R deve ser igual a b; 
f = 180° - α – b = 0°40’15,5” 
Sabemos também que o ângulo entre R e S deve ser igual a a. 
Por trigonometria achamos d = 15°17’50,78” 
E e = 180° - a – d = 132°21’15,72” 
DHAS = 7.259,582027 m 
DHBR = 2.629,366019 m 
12 
 
4. Cálculo do azimute verdadeiro e do alinhamento BA da poligonal: 
Para a tabela 5: 
4.1 Primeiramente é feito as médias dos horários (TC), dos Ângulos Horizontais (Hzms) e dos Ângulos Zenitais (Zm). 
4.2 Cálculo da Correção da Paralaxe (Cp) e Cálculo da Refração Atmosférica (Cr): 
CP= -8,8”x sen(Zm) 
Cp1 = - 8,8” x sen(57°03’23”) = -7,3850144” 
Cp2 = - 8,8” x sen(57°28’17,5”) = -7,419494” 
Cp3 = - 8,8” x sen(58°05’44,5”) = -7,470614” 
 
4.3 Cálculo da Distância Zenital Compensada (Zc): 
Zc = Zm + Cp + Cr + Ci 
Zc1 = 57°05’3,84” 
Zc2 = 57°29’59,66” 
Zc3 = 58°07’28,72” 
 
4.5 Cálculo do Fuso Real, Cálculo do tempo universal da hora da observação (TU) e Cálculo da declinação do sol (δs): 
TU = TC + Fuso δs = -2°30’18,5” + (Δδ X TU) 
TU1 = 18h00’20,0514” δs1 = -2°47’47,09” 
TU2 = 18h03’18,0514” δs2 = -2°47’49,97” 
TU3 = 18h07’44,5514”δs3 = -2°47’54,28” 
 
 
Crm = (60,08” x tgZm) – (0,067” x tg3Zm) Cr = Crm x (P/760) x [1/(1 + 0,00384 x T)] 
Crm1 = 92,468500” Cr1 = Crm1 x 0,9216631395 = 0°1’25,22272” 
Crm2 = 93,945096” Cr2 = Crm2 x 0,9216631395 = 0°1’26,58361” 
Crm3 = 96,22870518” Cr3 = Crm3 x 0,9216631395 = 0°1’28,688277” 
 
λ= 51°07’23,2713’ 
51° = 3h24min 
07’ = 0’28” 
23,2713 = 1,5514” 
Fuso = 3h24’29,5514” 
13 
 
4.5 Cálculo do Azimute do sol na hora da Observação: 
��s = 360° - arc cos (��� δs – (��� φ x cos ��) / cos φ x ��� �) 
Azs1 = 287°55’9,3” 
Azs2 = 287°34’48,2” 
Azs3 = 287°04’36,08” 
 
4.6 Cálculo dos resíduos e desvio padrão conforma fórmula da tabela: 
V1 = 91°19’56,36” - 91°19’56,36” = 1.428,56 V2 = 239,16 V3 = 1.667,72 
V1² = 2.040.783,674 V2² = 57.197,5056 V3² = 2.781.289,998 
εm=√[Σ,2/�(� − 1)] = 901,782603 
 
Estação: B Mira: A Latitude(ϕ)= -30°04’24,0221” Longitude(λ)= -51°07’23,2713’ 
Declinação do Sol para o dia da leitura(δSd)= -2°30’18,5” Variação Horária da Declinação do Sol (∆δSd)= -58,237”/h 
Ci= +23” Data: 29/09/2020 Temperatura(T)= 24°C Pressão (P)= 765 mmHg 
Ângulo Horizontal de partida na Mira= 0°00’00” Aparelho= 0323478 Fuso horário= 3h24’29,5514” 
Posição 
do Sol 
Hora Ângulo Horizontal Ângulo Zenital Cp Cr Ângulo Zenital Corrigido 
1Q 14h35min34s 196°44’02” 57°17’20” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
3Q 14h36min07s 197°14’01” 56°49’26” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
Médias TC= 14h35min50,5s Hzms= 196°59’1,5” Zm= 57°03’23” Cp= 7,39” Cr= 1’25,2227” Zc1= 57°05’3,84” 
1Q 14h38min29s 196°03’41’ 57°41’29” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
3Q 14h39min08s 196°34’01” 57°15’06” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
Médias TC= 14h38min48,5s Hzms= 196°18’51” Zm= 57°28’17,5” Cp= 7,42” Cr= 1’26,5836” Zc2= 57°29’59,66” 
1Q 14h42min57s 195°01’46” 58°19’35” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
3Q 14h43min33s 195°31’58” 57°51’54” xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 
Médias TC= 14h43min15s Hzms= 195°16’52” Zm= 58°05’44,5” Cp= 7,47” Cr= 1’28,6882” Zc3= 58°07’28,72” 
 
Azm = Azs – Hz 
Azm1 = 287°55’9,3” - 196°59’1,5” = 90°56’7,8” 
Azm2 = 287°34’48,2” - 196°18’51” = 91°15’57,2” 
Azm3 = 287°04’36,08” - 195°16’52” = 91°47’44,08” 
Azmédio = 91°19’56,36” 
 
14 
 
Cálculo da Correção Instrumental: 
Ci=[360°-(Zd+Zi)]/2 
Cálculo da Correção da Paralaxe: 
CP=-8,8”.senZm 
Cálculo da Refração Atmosférica: 
Crm=60,08”.tgZm-0,067”.tg3Zm 
Cr=Crm(P/760).[1/(1+0,00384.T)] 
Cálculo da Distância Zenital Compensada: 
Zc=Zm+CP+CR+Ci 
Cálculo da Declinação do Sol para a hora da leitura: 
TU=TC+Fuso horário 
∆δSh=∆δS.TU δSh=δSd+∆δSh 
Cálculo do Azimute do Sol (em relação ao Norte) 
AzS=arc cos[(senδSh-senϕ.cosZc)/(cosϕ.cosZc.senZc)] (Observação pela Manhã) 
Azs=360°- arc cos[(senδSh-senϕ.cosZc)/(cosϕ.cosZc.senZc)] (Observação pela Tarde) 
Azimute do Alinhamento em relação ao Norte (se der negativo soma-se 360°) 
Azm=AzS-Hzms 
Resultados 
AzV v v2 Desvio Padrão εm=√[Σ,2/�(� − 1)] 
Azvc1= 90°56’7,8” 1.428,56 2.040.783,674 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 
Azvc2= 91°15’57,2” 239,16 57.197,5056 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 
Azvc3= 91°47’44,08” 1.667,72 2.781.289,998 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 
Média Azv(BA)= 91°19’56,36” 
 
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Σv2= 4.879.271,178 εm= 901,782603 
 
 
5. Cálculo da Convergência dos Meridianos (CM): 
Δλ = MC – λ = - 0°07’23,2713” 
CM = Δλ X sen φ = 0°03’42,13” 
 
6. Transformação do azimute verdadeiro em azimute de quadrícula (UTM) do alinhamento BA: 
AZQ-BA = AZV-BA – ICMI = 91°16’14,23” 
 
 
 
15 
 
7. Cálculo dos demais azimutes de quadrícula dos demais alinhamentos: 
 
α = 31°40’38” β = 75°04’38” γ = 72°34’28,5” δ = 32°06’9,67” θ = 12°00’13,5 
d = 15°17’50,78” e = 132°21’15,72” c = 0°14’43,83” f = 0°40’15,5” 
Soma = 360° 
 
Azv-BRN = Azv-BA + (δ + γ + θ) = 208°00’48,03” 
Azv-BS = Azv-BA + (δ + γ) = 196°00’34,53” 
Azv-BR = Azv-BA + γ = 163°54’24,8” 
Azv-AB = Azv-BA + 180° = 271°19’56,3” 
 
AzQ-BR = AZQ-BA + γ = 163°50’42,7” 
AzQ-BR = AZQ-BR + 180° = 343°50’42,7” 
 
AzQ-AS = AzQ-AB - β = 196°11’36,2” 
AzQ-SA = AzQ-AB – 180° = 16°11’36,2” 
 
AzQ-RS = AzQ-RA – (e) = 211°29’27” 
AzQ-SR = AzQ-RS – 180° = 31°29’27” 
 
 
 
AzQ-BRN = AZQ-BA + (δ + γ + θ) = 207°57’05,9” 
AzQ-RNB = AzQ-BRN – 180° = 27°57’05,9” 
 
AZQ-BS = AZQ-BA + (δ + γ) = 195°56’52,4” 
AZQ-SB = AZQ-BS – 180° = 15°56’52,4” 
 
AzQ-AB = AzQ-BA + 180° = 271°16’14,2” 
 
AzQ-AR = AzQ-AB – (α + β) = 164°30’58,2” 
AzQ-RA = AzQ-AR + 180° = 344°30’58,2” 
 
16 
 
8. Cálculo das projeções de todos os alinhamentos do polígono: 
 
BAx = DHAB X sen(AzQ-AB) = -32,1481m BSx = DHBS X sen(AzQ-SB) = -1.9992,4073m 
BAy = DHAB X cos(AzQ-AB) = 0,7130m BSy = DHBS X cos(AzQ-SB) = -6.972,2772m 
 
BRNx = DHBRN X sen(AzQ-RNB) = 6,2317m ARx = DHAR X sen(AzQ-RA) = -699,4297m 
BRNy = DHBRN X cos(AzQ-RNB) = 11,7441m ARy = DHAR X cos(AzQ-RA) = 2.524,8284m 
 
RSx = DHRS X sen(AzQ-SR) = 2.723,9847m ASx = DHAS X sen(AzQ-SA) = 2.024,5544m 
RSy = DHrS X cos(AzQ-SR) = 4.446,7357m ASy = DHaS X cos(AzQ-SA) = 6.971,5644m 
 
BRx = DHBR X sen(AzQ-RB) = 731,5778m 
BRy = DHBR X cos(AzQ-RB) = -2.525,5414m 
 
9. Cálculo das coordenadas dos vértices do polígono: 
 
NRN = 6.673.081,605 m 
ERN = 488.133,045 m 
 
 
 
 
 
NB = NRN + BRNy = 6.673.093,349m NS = NA + ARy = 6.666.121,072m 
EB = ERN + BRNx = 488.139,2767m ES = NA + ARx = 486.146,8694m 
 
NA = NB + BAy = 6.673.092,636m NR = NS + RSy = 6.670.567,808m 
EA = EB + BAx = 488.171,4248m ER = ES + RSx = 488.870,8545m 
17 
 
10. Cálculo das diferenças de nível entre os vértices do polígono: 
 
Estação Ponto Visado Distância Horizontal Ângulo Vertical 
A R 2.619, 91609m 85°37’20,83” 
 S 7.259,582027m 86°13’41,5” 
 B 32,156m 100°06’0,5” 
B A 32,156m 91°45’43,17” 
 R 2.629,366019m 85°42’01,67” 
 S 7.251,367882 86°17’49,83” 
 
hA = 1,735m hB = 1,650m 
 
DNAB = hA + DHAB.cotg(VAB) = -3,992936m DNBA = hB + DHAB.cotg(VBA) = 0,660809m 
DNAS = hA + DHAS.cotg(VAS) = 480,327968m DNBS = hB + DHBS.cotg(VBS) = 470,933955m 
DNAR = hA + DHAR.cotg(VAR) = 202,293830m DNBR = hB + DHBR.cotg(VBR) = 199,3316m DN’AB = (DNAB – DNBA) / 2 = -2,326875m 
18 
 
 
Triângulo ABR: 
DN’AB + DNAR - DNBR= 0 
-2,326875 + 202,293830 - 199,3316 = 0,63535 = Erro 
Erro permitido = 0,06 /perímetro em km = 0,1379m 
DN’BR = DNBR + Erro/2 = 199,6493m 
DN’AR = DNAR - Erro/2 = 201,9761m 
CcrBR = 0,068. DHBR² = 0,4701m 
CcrAR = 0,068. DHAR² = 0,4667m 
DN”BR = DN’BS – CcrBS = 199,1792m 
DN”AR = DN’AS – CcrAS = 201,5094m 
Verificação: DN”AR + DN’AB – DN”BR = 0,00335 
 
Diferença de nível B-RN: DNBRN = hB + DHBRN.cotg(VBRN – hP) = 0,36538m 
 
11. Cálculo das cotas dos vértices do polígono: 
 
CotaB = CotaRN – DNBRN = 48,3846m 
CotaA = CotaB – DN’AB = 50,7115m 
CotaR = CotaA + DN”AR = 252,2209m 
CotaS= CotaB + DN”BS = 519,2765m 
 
Triângulo ABS: 
DN’AB + DNAs - DNBs = 0 
-2,326875 + 480,327968 - 470,933955 = 7,067138m = Erro 
Erro permitido = 0,06 /perímetro em km = 0,2288125m 
DN’BS = DNBS + Erro/2 = 474,4676m 
DN’AS = DNAS - Erro/2 = 480,7944m 
CcrBS = 0,068. DHBS² = 3,5756m 
CcrAS = 0,068. DHAS² = 3,5837m 
DN”BS = DN’BS – CcrBS = 470,8919m 
DN”AS = DN’AS – CcrAS = 473,2107m 
Verificação: DN”AS + DN’AB – DN”BS = - 0,00815 
19 
 
 12. Cálculo do fator de correção linear “k”: 
 Pela tabela: K = 0,99960 
 
 13. Cálculo da distância horizontal plana (UTM) entre os pontos R e S: 
 DHRS-PLANA = /(NR – NS)² + (ER – ES)² = 5.214,744086 m Valor inicial encontrado: = 5.214,743629 m 
 
 14. Cálculo da distância horizontal real entre os pontos R e S: 
 DHRS-REAL = DHRS-PLANA / K = 5.216,830818m 
 
15. Cálculo do azimute de quadricula do alinhamento RS: 
 AzQ-RS = arctg (ES – ER / NS – NR) = 211°29’27,01” 
 
16. Cálculo do azimute verdadeiro do alinhamento RS: 
AZv-RS = AZQ-RS + CM = 31°33’9,14” 
 
17. Cálculo da declividade entre os pontos R e S: 
DNRS = Cota R – Cota S = -267,0555m 
D = DNRS/DHRS-REAL = -0,051191 ou 5,11911% 
 
 
Bibliografia utilizada: IRAN CARLOS STALLIVIERE CORÊA, 19° edição. Topografia aplicada à Engenharia Civil.