Tarefa 1Matemática

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Curso: Administração Pública – EAD – Universidade Federal de Goiás
Disciplina: Matemática Financeira
Docente: Dr. André Barra Neto 
Tutor: Diego
Discente: Patrícia Cristina de Oliveira Sant’Ana 
1. Calcule as taxas mensais, bimensais e trimestrais proporcionais à taxa de 30% as. 
	30______6m 6X = 30
X ______1m X = 30/6
		 X = 5%am
	30______6m 6X = 60
X ______2m X = 60/6
		 X= 10%ab
	30______6m 6X = 90
X ______3m X = 90/6
	 X = 30%at
2. Calcule as taxas mensais, bimensais, trimestrais, quadrimestrais e semestrais proporcionais à taxa de 36% aa. 
	36______12m 12X = 36
 X ______1m X = 36/12
		 X = 3%am
	36______12m 12X =72
X ______2m X = 72/12
		 X = 6%ab
	36______12m 12X = 108
X ______3m X = 108/12
		 X = 9%at
	36______12m 12X = 144
X ______4m X = 144/12
		 X= 12%aq
	36______12m 12X =216
X ______6m X = 216/12
		 X = 18%as
	
3. determine o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado por: a) 4 meses a 2% am. b) 8 meses a 6% aa. c) 85 dias a 2,5% am. 
	C= 1.000 
 i= 0,02am 
n=4m 
M= C+C*i*n 
M=1000+1000*0,02*4
M=1080 em 4 meses 
M= R$ 1.080,00
	C= 1.000 
 i=0,06aa será 0,005am
n=m 
M= C+C*i*n 
M=1000+1000*0,005*8
M=1040 em 8 meses
M= R$ 1.040,00
Referência
0,06 _____12mês/1ano
 X _____ 1mês
 X = 0,005
	C= 1.000 
 i=0,025am será 0,00083ad
n=m 
M= C+C*i*n 
M=1000+1000*0,00083*8
M=1070,83 em 85 dias
M = R$1.070,83 
Referência
0,025 _____30dias/1mês
 X _____ 1 dia
 X = 0,00083
4. O montante de uma dada aplicação é $ 12.000,00. Sabe-se que o prazo da operação foi de quatro meses e que o juro gerado foi de $ 1.500,00. determine: d) O capital aplicado. e) a taxa de juros mensal da aplicação. 
	M=12000
n = 4 m
i total = 14,28%
C= 12.000,00 - 1.500,00 = R$10.500,00
Capital = R$10.500,00
	i total = 14,28% ___________4 meses
 X ___________ 1 mês 
 X = 3,57
Taxa de juros mensal = 3,57%
5. determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em quanto tempo esse capital triplicaria?
	M = 2C
C = C
t = ?
i = 5% a m = 5/100 = 0.05
	n =( M/C - 1 )/i   
n = (2C/C - 1 ) / 0.05  corta  C
n = ( 2 - 1)/0,05
n = 1/0,05 = 20 meses Em 20 meses dobra o capital
	n = M/C - 1 )/i 
n =( 3C/C) - 1 ]/0.05
n = ( 3 - 1) / 0.05
n = 2/0.05 = 40 meses Em 40 meses triplicaria o capital 
 6. O valor nominal de um título é 7/5 do seu valor atual. Sendo o prazo de aplicação de seis meses, qual a taxa de juros mensal aplicada? 
	M = C(1 + i.n)
7C/5 = C(1 + i.6)
7/5 = 1 + 6i
1,4 = 1 + 6i
6i = 1,4 - 1 = 0,4
i = 0,4/6 = 4/60 = 1/15 = 0,066666667
i% = 0,066666667 * 100
i% = 6,67% a.m. aprox.
	OUTRA FORMA DE RESOLVER
JUROS = 2 PARTES DE 5
i = J/C
PORTANTO i = 2/5 = 0,4
0,4 __________6 meses
X __________ 1 mês
X = 0,0666666 * 100 = 6,67%
7. Por quanto tempo um capital deve ser aplicado a 30% aa para que os juros gerados correspondam a 2,5 vezes o valor do capital?
	J (juros) = 2,5*C = 2,5C
Capital = C 
i = 30% = 0,3 a.a
n = ?
	J = C.i.n
2,5C = C.0,30.n
n = 2,5/0,30
n ≈ 8,33
8. determine o valor atual racional dos seguintes títulos: 
	f) FV $ 20.000,00 15,9% aa 50 dias 
PV= ?
FV = 20000
i = 15,9 = 0,159
n= 50 dias = 0,1369 
PV = FV / (1 + ir * n)
PV = 20000 / (1 + 0,159 * 0,136)
PV = R$ 19.588,63
	g) FV $ 12.500,00 21% aa 125 dias 
PV= ?
FV = 12.500
i = 21%aa = 0,21
n= 125 dias = 0,34246575342 anos
PV = FV / (1 + ir * n)
PV = 12500 / (1 + 0,21 * 0,34)
PV = R$ 11.666,98
	h) FV $ 6.420,00 30% aa 8 meses 
PV= ?
FV = 6.420
i = 30%aa = 0,3
n= 8 meses = 0,666666 anos
PV = FV / (1 + ir * n)
PV = 6.420 / (1 + 0,30 * 0,66)
PV = R$ 5.358,98
	i) FV $ 5.000,00 26,4% aa 181 dias
PV= ?
FV = 5.0000
i = 26,4 %aa = 0,264
n= 181 dias = 0,49589041095 anos
PV = FV / (1 + ir * n)
PV = 5000 / (1 + 0,264 * 0,496)
PV = R$ 4.424,77
9. Quanto pagar por um título cujo valor nominal é de $ 15.000,00, com vencimento em 150 dias, para que se tenha uma rentabilidade de 36% aa? Lembre-se: rentabilidade é a taxa de juros do desconto racional. 
	FV = 15.000
N= 150 dias = 5 meses
i = 36%aa = 3% am = 0,03
	PV = FV / (1 + ir * n)
PV = 15000 / (1+ 0,03*5)
PV = 13.043,47
10. Sabe-se que o desconto racional de um título, cujo valor nominal é $ 600,00, foi de $ 57,63. Qual será a taxa de juros considerada se o prazo de antecipação for de cinco meses? 
	FV = 600
DR = 57,63
ir = ?
n= 5 m 
D = FV – PV
57,63 = 600 – PV
PV = 600 - 57,63 
PV = 542,37
	DR = PV* i * n
DR = 542,37* i * 5
57,63 = 2.711,85 i
i = 0,02125117539 x 100
i = 2,12% am
11. O valor descontado de uma promissória é de $ 1.449,28 (PV) e a taxa de juros utilizada foi de 18% aa. Sabe-se que o desconto racional foi de $ 50,72. Qual o prazo de antecedência? 
	FV = 
PV = 1.449,28
ir = 18% aa 0,18 
D = 50,72
n= ? 
D = FV – PV
50,72 = FV – 1.449,28
FV = R$ 1.500,00
	 PV = FV / (1 + i * n) 
1.449,28 = 1500 / (1 + 0,18 * n)
1.449,28 * (1 + 0,18 * n) = 1500
1.449,28 + 260,87 n = 1500
 260,87 n = 1500 – 1.449,28
 260,87 n = 50,72
 n = 50,72 / 260,87
 n = 0,1945
0,1945*360 = 70
R= 70 dias
12. O valor nominal de um título é de 17,665 vezes o desconto racional a 24% aa. Se o desconto racional for $ 600,00, qual será o prazo de antecipação?
	FV = 17,665 *600
PV = 
ir = 24aa = 0,24 
D = 600
n= ? 
D = FV – PV
600 = 10.599 – PV
PV = 9.999
	DR = PV * i * n
600= 9.999 * 0,24 * n
2.399,76n = 600
 n = 0,25 anos 
n = 0,25 anos ou 3 meses
13. Deduza qual relação deve existir entre a taxa de juros do desconto racional (ir) e a taxa de desconto do desconto comercial (id) para que o desconto de um título gere o mesmo valor descontado, ou valor atual. 
	D = N.i.t
ic = D/Nt
d = (N-D).i.t
ir = d/[(N-D).t]
ir/id = d/[(N-D).t)] : D/Nt = d/[(N-D).t] * Nt/D
Cancelando-se "t" em ambos os membros da fração, vem:
ir/id = d/(N-D) * N/D
Mas, como os descontos serão iguais, ou seja, d=D, podemos simplifica o numerador "d" do primeiro fator com o denominador "D" do segundo fator:
ir/id = 1/(N-D) * N/1
ir/id = N/(N-D)
	LEGENDA
N = nominal
D = desconto comercial
d = desconto racional
i = taxa por período de desconto
t = quantidade de períodos
14. determine a taxa mensal de desconto comercial que um banco deve aplicar para que o “custo da operação” corresponda a uma taxa de desconto racional de 6,5% am nos seguintes prazos de desconto: 
	a) 1 mês. 
i = id/(1- i*n):
0,065 = id/(1 - id*1)
0,065*(1 - id*1) = id
0,065 - 0,065*id = id
id + 0,065*id = 0,065
1,065*id = 0,065
id = 0,065/1,065
id = 0,061032864 = 6,10% a.m. 
	b) 2 meses.
i = id/(1- i*n):
0,065 = id/(1 - id*2)
0,065*(1 - id*2) = id
0,065 - 0,065*id*2 = id
0,065 - 0,13*id = id
0,065 - 0,13*id = id + 0,13*id = 1,13*id
id = 0,065/1,13
id =0,057522124
id = 0,057522124*100 = 5,75% a.m.
	c) 3 meses. 
i = id/(1- i*n):
0,065 = id/(1 - id*3)
0,065*(1 - id*3) = id
0,065 - 0,065*id*3 = id
0,065 - 0,195*id = id
0,065 = id + 0,195*id = 1,195*id
id = 0,065/1,195
id = 0,054621849
id = 0,054621849*100 = 5,46% a.m. 
15. Um banco propõe a um cliente duas alternativas de empréstimo com base em desconto comercial: 
	a) 5,5% am e prazo de quatro meses:
i = id/(1- i*n):
i = 0,055/(1 - 0,055*4)
i = 0,055/0,78-
i = 0,070512821
i = 0,070512821*100 = 7,05% a.m.
	b) 6% am e prazo de dois meses. 
i = id/(1- i*n):
i = 0,06/(1-0,06*2)
i = 0,06/0,88
i = 0,06/0,88
i = 0,068181818
i = 0,068181818*100
i = 6,82% a.m.
Qual das alternativas é mais vantajosa para o cliente?
A alternativa b é a mais vantajosa.
17. Um produto é ofertado por uma loja em duas condições de pagamento: 
(a) $ 20.000,00 à vista; e 
(b) dois pagamentos iguais no valor de $ 10.299,00 para 30 e 60 dias da data da compra. 
Qual a taxa mensal de juros cobrada pela loja? Resolva utilizando os modelos racional e comercial. 
Observação: Não entendi bem como é requerido o modo de resolução, pois racional e comercial são termos usados em descontos...
Fazendo pelo método normal, atualiza-se o valor da prestação para 1 e 2 meses atrás, dividindo-se seu valor por (1+i) e (1+2i), respectivamente:
[10299/(1+i) + 10299/(1+2i)] = 20000
20000/10299 = (1+2i + 1+i)/(1+i)(1+2i)
20000/10299 = (2 + 3i)/(2i² + 3i + 1)
Temos aí uma proporção; multiplicando os extremos e comparando ao produto dos meios, fica:
20000(2i² + 3i + 1) = 10299(2 + 3i)
40000 i² + 60000 i + 20000 = 20598 + 30897 i
40000 i² + 29103 i - 598 = 0
Resolvendo por Bhaskara esta equação do 2º grau em "i", obtém-se:
i = 0,0199980457 ≈ 0,02
i% ≈ 2% a.m.
Resposta do Livro: Modelo Racional = 1,99% am, Modelo Comercial = 1,935% am 
18. Uma loja vende um aparelho de dVd por $ 500,00 à vista. Alternativamente, contempla a venda a prazo com uma entrada de $ 50,00 e um pagamento adicional de $ 531,00 após 6 meses. Qual a taxa de juros anual cobrada? Resolva utilizando os modelos comercial e racional. 
	PV = 450 (500 – 50 DE ENTRADA = 450 DE SALDO DEVEDOR)
FV = 531.....PRESTAÇÃO
n = 6 MESES
Juros = 81 (531 – 450)
i = 81/450 
ias = 0,18 ou seja 18% em seis meses ou seja 
iaa = 36%
Não tenho exatidão sobre qual é esse modelo 
	
Resposta do livro Modelo Racional = ia = 36 aa; Modelo Bancário = ia = 30,50 % aa 
19. Aplicam-se $ 50.000,00 à taxa de juros de 12% aa em um período de quatro meses. 
Um mês após essa aplicação, faz-se nova aplicação à taxa de juros de 20% aa e por três meses. 
Qual o valor desta segunda aplicação para que os montantes das duas operações sejam iguais? 
a) Considerando o modelo racional.
 b) Considerando o modelo comercial. 
Como o enunciado não diz, vou considerar que são juros simples.
Converte as taxas para mensal:
12 / 12 = 1% a.m.
20/12 = 1,67% a.m.
	a) Considerando o modelo racional.
M = C(1 + i*n)
 M = M
 C(1 + i*n) = C(1 + i*n)
 C(1 + i*n) = C(1 + i*n)
50.000(1+ 0,12* 4/12) = C (1+0,20*3/12)
C = 52.000 / 1,05 = 49.523,81
	Considerando o modelo comercial
M = C(1 + i*n)
M = 50000(1 + 0,01*4)
M = 50000 *1,04
M = R$ 52.000,00
52000 = C(1 + 0,0167*3)
52000 = 1,0501C
C = R$ 49.519,09
Resposta do Livro: Modelo Racional = $ 49.523,80; Modelo Comercial = $ 49.479,16 20.
20. Uma mercadoria, cujo valor à vista é $ 20.000,00, foi vendida em três pagamentos para 30, 60 e 90 dias da data da venda. Sabendo que cada pagamento supera o anterior em $ 2.000,00 e que a i da operação é 24% aa, determine o valor de cada pagamento. 
a) Considerando o modelo racional. 
b) Considerando o modelo comercial.
a) Modelo Racional:
Valor
M=C.(1+i)tM=20000.(1+0,24)3/12 M=21105M=C.(1+i)tM=20000.(1+0,24)312M=21105
1a parcela: x
2a parcela: x+2000
3a parcela: x+4000
x+(x+2000)+(x+4000)=21105x=5035
b) Modelo Comercial:
Valor da venda a prazo (3 meses):
M=C.(1+i.t)M=20000.(1+0,24.312)M=21200M=C.(1+i.t)M=20000.(1+0,24.3/12)M=21200
1a parcela: x
2a parcela: x+2000
3a parcela: x+4000
x+(x+2000)+(x+4000)=21200x=5066,67x+(x+2000)+(x+4000)=21200x=5066,67
Resposta do Livro: 
Modelo Racional R1 = $ 4.958,12, R2 = $ 6.958,12, R3 = $ 8.958,12; 
Modelo Comercial R1 = $ 4.972,22, R2 = $ 6.972,22, R3 = $ 8.972,22