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Bacharelado em administração - UFRRJ/Cederj/Uab. Disciplina: Matemática financeira –1ºsem2024 Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira ATIVIDADE A DISTÂNCIA 1 – AD1 - GABARITO 1ª QUESTÃO (2,0 pontos) Se R$ 2.000,00 foram aplicados por 4 meses à taxa de juros simples de 96% a.a., determine os juros e montante recebidos. Resolução: C = $ 2.000,00 i = 96% a.a. * = 0,96 n= 4 meses = 4/12 anos * J=? (juros) M=? (montante) J = 2.000 x 0,96 x 4 / 12 = R$ 640,00 Para o cálculo do M, utiliza-se a seguinte fórmula: M = 2.000 + 640 = R$ 2.640,00 * Quando as unidades de tempo de juros (i) e tempo (n) são diferentes, é sempre recomendável transformar a unidade do tempo para a mesma unidade da taxa. Ou ainda a outra fórmula de juros simples: M = 2.000 x (1+ 0,96 x 4/12) = 2.000 x 1,32 = R$ 2.640,00 e o Juros calculados pela diferença: J = M – C = 2640 – 2000 = R$ 640,00 2ª QUESTÃO (2,0 pontos) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de quanto tempo? Resolução: * Quando não se falar o valor, pode-se trabalhar com 100. C = $ 100 ou C M = $ 400 (quatro vezes o C) ou 4C J = $ 300 (400 – 100) ou 3C i = 36% a.a. n = ? (tempo em ano porque a taxa é anual) 300 = 100 x 0,36 x n --- ou 3C = C x 0,36 x n 3 = 1 x 0,36n n = 3 / 0,36 = 8,33 anos ou x 12 = 100 meses * Também se pode encontrar pela fórmula do Montante: M = C (1 + i.n) = 400 = 100 x (1 + 0,36 x n) e desenvolver. 3ª QUESTÃO (2,0 pontos) Uma empresa desconta um título no valor de face de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo um desconto simples de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do título como imposto financeiro, qual o valor líquido recebido e o custo do empréstimo em termos da taxa de juros real paga pela empresa? Desconto sobre o valor nominal = desconto comercial ou “por fora” FV = R$ 10.000,00 (valor nominal do título) n= 30 dias = 1 mês DC = ? (desconto) = 3% x FV = 3% x 10.000 = R$ 300,00 Taxa de abertura de crédito = R$ 50,00 Imposto Financeiro = 1% x FV = 1% x 10.000 = R$ 100,00 PV = ? (valor recebido, valor descontado, valor liquido) a) Valor líquido recebido (PV): valor nominal FV – deduções PV = 10.000 – (300 + 50 + 100) = 10.000 – 450 = R$ 9.550,00 b) Custo do empréstimo (taxa de desconto) M = 400 ou 4C 0 n = ? i = 36% a.a. J = $ 300 (400 – 100) ou 3C (4C – C) C = $ 100 (se não há o valor do capital, estipule valor de $ 100 – dica) PV = ? FV = R$ 10.000,00 i = ? 0 n = 30 dias = 1 mês M = ? J = ? n = 4 meses 0 i = 96% a.a. C = R$ 2.000 9.550 = 10.000 x (1 – i x 1) → 9.550 / 10.000 = 1 – i → 0,955 – 1 = - i → i = 0,045 = 4,5% a.m. (taxa de desconto comercial) Custo efetivo: PV = FV / (1 + i.n) → 9.550 = 10.000 / (1 + i.1) → i = 10.000/9.550 – 1 = 4,71% a.m. (custo / tx desc racional) 4ª QUESTÃO (2,0 pontos) Um poupador realizou dois investimentos junto à sua instituição financeira, o primeiro com taxa de 20% a.a e o segundo com 40% a.a., ambos em regime de juros simples. Determine os valores dos dois capitais aplicados e respectivos juros, ao saber que o somatório dos dois capitais é igual a R$ 1.000,00 e que renderam juntos um total de juros de R$ 260,00 no período de um ano. Resolução: C1 + C2 = 1.000 (I) J1 + J2 = 260 (II) Pela fórmula dos juros: J1 = C1 x 0,20 x 1 = 0,20C1 J2 = C2 x 0,40 x 1 = 0,40C2 Ao substituir esses dois valores em II: J1 + J2 = 260 → 0,20C1 + 0,40C2 = 260 De I, se tira que C2 = 1.000 - C1 0,20C1 + 0,40C2 = 260 0,20C1 + 0,40x(1.000 - C1) =260 0,20C1 - 0,40C1 = 260 – 400 - 0,20C1 = -140 → C1 = R$ 700,00 * Ao substituir em I, encontra-se C2 = R$ 300,00 * Como: J1 = 0,20C1 e J2 = 0,40C2 → J1 = 0,20C1 = 0,20 x 700 = R$ 140,00 / e J2 = 0,40C2 = 0,40 x 300 = R$ 120,00. 5ª QUESTÃO (2,0 pontos) Um indivíduo deve R$ 800,00 no prazo de nove meses e R$ 1.000,00 no de dezoito meses. Qual é o valor do pagamento único a ser efetuado hoje que liquidaria os dois débitos, com taxa de juros de 24% a.a. em juros simples? Resolução: As dívidas de R$ 800 (em t=9 meses) e R$ 1.000 (em t=18) são equivalentes à dívida única X em t=0. Pela equivalência de capitais e fórmula do desconto comercial e mantendo a data focal no tempo 0: X = 800 x (1 – 0,02 x 9) + 1.000 x (1 – 0,02 x 18) X = 800 x 0,82 + 1.000 x 0,64 = 656,00 + 640,00 = R$ 1.296,00 Outra possibilidade: caso seja utilizado o modelo racional, poderíamos encontrar o valor PV através da fórmula: X = 800 + 1.000 = 677,97 + 735,29 = R$ 1.413,26 (1 + 0,02 x 9) (1 + 0,02 x 18) "A persistência é o caminho do êxito." - Charles Chaplin M1 M2 J1 J2 i1 = 20% a.a. i2 = 40% a.a. n = 1 ano 0 C1 C2 i = 24% a.a. = 2% a.m. 0 9 18 meses X R$ 800,00 R$ 1.000,00
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