Tema 07 - 04 - Lista de Intervalo de Confiança - Gabarito

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS - INF A48 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
Lista de Intervalo de Confiança 
 
1) Determine o intervalo de confiança para a média da população sabendo os dados das 
amostras: 
a) Uma amostra com 80 elementos, média 24 e desvio padrão da população 5, com 
confiança de 90%. 
𝑧45 = 1,65 
𝜀 = 1,65 . 0,559 ≅ 0,92 
23,08 < 𝜇 < 24,92 
b) Uma amostra com 80 elementos, média 24 e desvio padrão da população 5, com 
confiança de 95%. 
𝑧47,5 = 1,96 
𝜀 = 1,96 . 0,559 ≅ 1,10 
22,90 < 𝜇 < 25,10 
c) Uma amostra com 80 elementos, média 24 e desvio padrão da população 5, com 
confiança de 99%. 
𝑧49,5 = 2,57 
𝜀 = 2,57 . 0,559 ≅ 1,10 
22,56 < 𝜇 < 25,44 
d) Uma amostra com 20 elementos, média 24 e desvio padrão da amostra 3, com 
confiança de 90%. 
𝑡90 = 1,729 
𝜀 = 1,729 . 0,6708 ≅ 1,16 
22,84 < 𝜇 < 25,16 
e) Uma amostra com 20 elementos, média 24 e desvio padrão da amostra 3, com 
confiança de 95%. 
𝑡95 = 2,093 
𝜀 = 2,093 . 0,6708 ≅ 1,40 
22,60 < 𝜇 < 25,40 
f) Uma amostra com 20 elementos, média 24 e desvio padrão da amostra 3, com 
confiança de 99%. 
𝑡99 = 2,861 
𝜀 = 2,861 . 0,6708 ≅ 1,92 
22,08 < 𝜇 < 25,92 
2) Uma máquina produz esferas de rolamento com média 151,9 mm e desvio padrão 
9,7mm. Foram selecionadas 50 esferas de rolamento produzidas por esta máquina. 
Construa um intervalo de confiança, a 95%, para a média da população de todas as 
possíveis esferas produzidas pela máquina: 
𝑧47,5 = 1,96 
𝜀 = 1,96 .
9,7
√50
≅ 2,7 
149,2 < 𝜇 < 154,6 
 
 
 
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3) Supõe-se que a variância do peso das pessoas adultas de sexo masculino de uma 
determinada região seja 144. Em uma amostra de 36 pessoas, foi encontrada uma média 
de 63,4 Kg. O intervalo de confiança de 95% para a média dos pesos dessas pessoas é: 
 
𝑆2 = 144 ↔ 𝑆 = 12 
𝑧47,5 = 1,96 
𝜀 = 1,96 .
12
√36
≅ 3,92 
59,48 < 𝜇 < 67,32 
 
4) Uma amostra de tamanho 25 foi extraída de uma população com média 𝜇 e desvio 
padrão desconhecido. Suponha que a média amostral seja 4,004 e o desvio padrão 
amostral seja 0,366. Determine o intervalo para 𝜇 com 95% de confiança. 
𝑆 = 0,366 
𝐸𝑃 =
0,366
√25
= 0,0732 
𝑡95 = 2,064 
𝜀 = 2,064 . 0,0732 = 0,151 
3,853 < 𝜇 < 4,155 
5) Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média 
desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2 e a 
variância amostral foi 1,44. Determine o intervalo de confiança para a média 
populacional com uma confiança de 95% 
𝑆2 = 1,44 ↔ 𝑆 = 1,2 
𝐸𝑃 =
1,2
√25
= 0,24 
𝑡95 = 2,064 
𝜀 = 2,064 . 0,24 = 0,495 
3,705 < 𝜇 < 4,695 
6) Suponha que as notas obtidas por candidatos em uma prova sigam uma distribuição 
normal com média 50 e variância 256. Se uma amostra aleatória simples de 100 
candidatos for observada, determine o intervalo de confiança para média com uma 
confiança de 95%. (use duas casas decimais) 
 
 
 
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𝑆2 = 256 ⟺ 𝑆 = 16 
𝜀 = 1,96 .
16
√100
≅ 3,14 
46,86 < 𝜇 < 53,14 
7) Seja X a variável que representa a altura de um indivíduo escolhido aleatoriamente de 
uma população de adultos do sexo masculino. Suponha que X possua distribuição 
normal com média de 68 polegadas e desvio padrão igual a 3 polegadas. Para uma 
amostra de tamanho 25 selecionada a partir dessa população a probabilidade de que a 
média amostral difira da média populacional em menos de uma polegada. 
𝐸𝑃 =
3
√25
= 0,6 
𝑍 =
±1
0,6
≅ ±1,67 
𝑃(67 < 𝑋 < 69) = 90,50% 
 
8) Determine o tamanho de uma amostra, para um intervalo de confiança de 95%, com a 
margem de erro igual à 1,1 e desvio padrão 5. 
𝑛 = (𝑧𝑐 × 
𝜎
𝜀
)
2
 
 
𝑛 = (1,96 × 
5
1,10
)
2
= (8,91)2 ≅ 79 
 
9) Determine o tamanho de uma amostra, para um intervalo de confiança de 95%, com a 
margem de erro igual à 1,16 e desvio padrão 3. 
𝑛 = (𝑧𝑐 × 
𝜎
𝜀
)
2
 
 
𝑛 = (1,96 × 
5
1,16
)
2
= (8,4)2 ≅ 71 
 
 
10) Suponha que os salários dos trabalhadores numa certa região sejam descritos por uma 
variável populacional com média desconhecida e desvio padrão iguala a R$ 200,00. Para 
garantir, com 95% de probabilidade, que o valor da média amostral dos salários não 
diferirá do valor da média populacional por mais de R$ 10,00, a amostra aleatória 
simples deverá ter no mínimo, aproximadamente, que tamanho: 
 
𝑛 = (1,96 × 
200
10
)
2
≅ 1537 
 
 
 
 
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11) O tamanho de uma amostra aleatória simples para que o possamos garantir, com 92% 
de confiança, que o valor da média da amostra não se afastará do d a média 
populacional é, no mínimo, aproximadamente, igual a: 
 
𝑛 = (1,75 × 
𝑆
0,1. 𝑆
)
2
≅ 306 
 
12) Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros 
acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% 
de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no 
hexacampeonato é: 
�̂� = 0,64 �̂� = 0,36 
z47,5 = 1,96 
𝜀 = 1,96 × √
0,64 . 0,36
400
= 0,024 
Desta forma, temos: 
0,64 – 0,047 < 𝑝 < 0,64 + 0,047 
0,593 < 𝑝 < 0,687 
Com 95% de confiança, a proporção de torcedores do Brasil que acredita no 
hexacampeonato está entre 59,30% e 68,70% . 
 
13) Uma consulta feita entre 500 pessoas entre 30 e 40 anos da cidade X mostrou que 50 
pessoas possuíam nível superior. Determine a proporção da população que possui nível 
superior nesta cidade. Considerando o intervalo de 99% de confiança: 
�̂� = 0,10 �̂� = 0,90 
z49,5 = 2,57 
𝜀 = 2,57 × √
0,10 . 0,90
500
= 0,034 
Desta forma, temos: 
0,10 – 0,034 < 𝑝 < 0,10 + 0,034 
0,066 < 𝑝 < 0,134 
Com 99% de confiança, a proporção da população que possui nível superior está entre 
6,6% e 13,4%. 
 
14) Em um processo de produção foi extraída uma amostra com 1000 peças. Desta amostra 
2% apresentaram defeitos. Considerando 99% de confiança, determine a proporção da 
população que apresenta defeito: 
�̂� = 0,02 �̂� = 0,98 
z49,5 = 2,57 
 
 
 
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𝜀 = 2,57 × √
0,02 . 0,98
1000
= 0,011 
Desta forma, temos: 
0,02 – 0,004 < 𝑝 < 0,02 + 0,011 
0,009 < 𝑝 < 0,031 
Com 99% de confiança, a proporção da população que possui defeito está entre 0,9% e 
3,1%. 
 
15) Em uma instituição de ensino há 25 000 alunos no total. Trezentos e sessenta destes 
alunos foram selecionados aleatoriamente para participarem de uma pesquisa, esta 
pesquisa mostrou que 198 destes alunos passaram em todas as disciplinas que cursaram 
no semestre passado. Com uma confiança de 90%, qual o intervalo que faz referência 
ao número alunos da instituição que passaram em todas as disciplinas que cursaram no 
semestre anterior? 
�̂� =
198
360
= 0,55 �̂� = 0,45 
z45 = 2,57 
𝜀 = 1,64 × √
0,55 . 0,45
360
= 0,043 
Desta forma, temos: 
0,55 – 0,043 < 𝑝 < 0,55 + 0,043 
0,507 < 𝑝 < 0,593 
Limite inferior = 50,7% de 25.000 = 12.675 
Limite superior = 50,7% de 25.000 = 14.825 
Com 90% de confiança, o número de alunos que passou em todas as disciplinas que 
cursaram no semestre passado está entre 12.675 e 14.825. 
 
16) Em um processo de produção, 5% das suas peças são classificadascomo defeituosas. 
Determine o número n ideal de uma amostra para inferir dados sobre a população, com 
95% de confiança para um erro de 0,05. 
𝑛 = 𝑝 ̂. 𝑞 ̂ . (
𝑧
𝜀
)
2
 
�̂� = 0,05 𝑒 �̂� = 0,95 
z42,5 = 1,96 
𝜀 = ±0,05 
𝑛 = 0,05.0,95 . (
1,96
0,05
)
2
= 72,99 
Logo, n deve ser uma mostra de aproximadamente 73 elementos.