Prova 2 de cálculo 1

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CDI0001(ELE141-01U) PROVA I 16/09/2015
Prof. Helder G. G. de Lima
1
Nome do(a) aluno(a):
ˆ Identifique-se em todas as folhas.
ˆ Mantenha o celular e os demais equipamentos eletrônicos desligados durante a prova.
ˆ Justifique cada resposta com cálculos ou argumentos baseados na teoria estudada.
ˆ Escolha uma das 6 questões para não fazer (ela não será corrigida):
1. Seja 𝑔 : 𝐷 → R a função dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥√𝑥2 + ln |𝑥+ 1| − ln |𝑥− 1|. Explique:
(a) (0,5) Qual é o domínio 𝐷 em que 𝑔 está definida?
(b) (0,5) A função 𝑔 é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas?
(c) (0,5) A função 𝑔 é contínua nos pontos em que está definida? Por quê?
(d) (0,5) Quanto é lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥)?
2. Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥− 2
3𝑥− 6 e considere 𝜀 > 0.
(a) (1,5) Obtenha 𝛿 > 0 (em função de 𝜀) tal que “se 0 < |𝑥− 2| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)− 1| <
𝜀”.
(b) (0,5) Interprete isso em termos de limites.
3. (2,0) Determine um intervalo [𝑛, 𝑛 + 1] contendo (pelo menos) uma solução positiva da
equação 𝑥5 − 200𝑥 = 100. O que garante que há realmente uma solução no intervalo
encontrado?
4. Seja 𝑓 : R→ R a função definida por
𝑓(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
√
6− 𝑥− 2√
3− 𝑥− 1 , se 𝑥 < 2
1/2, se 𝑥 = 2
sen (𝑥− 2)
sen (𝑥− 2) + 𝑥− 2 , se 𝑥 > 2.
(a) (1,5) Calcule, se existirem, lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥).
(b) (0,5) Explique se 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2.
5. Determine, se existirem:
(a) (1,0) lim
𝑥→1
ln(𝑥)
𝑥− 1 (b) (1,0) lim𝑥→+∞
sen (𝑥2)√
𝑥
6. Calcule, se existirem:
(a) (1,0) lim
𝑥→0
𝑒3𝑥 − 1
𝑒7𝑥 − 1
(b) (1,0) lim
𝑥→+∞
𝑥(
√
𝑥2 + 𝜋 − 𝑥)
1
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Respostas e observações
1. Seja 𝑔 : 𝐷 → R a função dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥√𝑥2 + ln |𝑥+ 1| − ln |𝑥− 1|. Explique:
(a) Qual é o domínio 𝐷 em que 𝑔 está definida?
𝐷 = Dom(𝑔)
=
{︀
𝑥 ∈ R|𝑥2 ≥ 0 e |𝑥+ 1| > 0 e |𝑥− 1| > 0}︀
= {𝑥 ∈ R| |𝑥+ 1| ≠ 0 e |𝑥− 1| ≠ 0}
= {𝑥 ∈ R|𝑥+ 1 ̸= 0 e 𝑥− 1 ̸= 0}
= {𝑥 ∈ R|𝑥 ̸= −1 e 𝑥 ̸= 1}
= R ∖ {−1, 1}
= (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞)
(b) A função 𝑔 é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas?
Tem-se
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)
√︀
(−𝑥)2 + ln |(−𝑥) + 1| − ln |(−𝑥)− 1|
= −𝑥
√
𝑥2 + ln |−(𝑥− 1)| − ln |−(𝑥+ 1)|
= −𝑥
√
𝑥2 + ln |(𝑥− 1)| − ln |(𝑥+ 1)|
= −(𝑥
√
𝑥2 − ln |(𝑥− 1)|+ ln |(𝑥+ 1)|)
= −𝑔(𝑥).
Isso significa que 𝑔 é uma função ímpar.
Os cálculos também poderiam ser feitos depois de escrever que 𝑔(𝑥) = 𝑥 |𝑥|+ln |𝑥+1||𝑥−1| .
(c) A função 𝑔 é contínua nos pontos em que está definida? Por quê?
Uma vez que raízes quadradas, polinômios e logaritmos são funções contínuas, e
que a soma, subtração, multiplicação e composição de funções contínuas resulta em
funções contínuas, pode-se concluir que a função 𝑔 também é contínua (pois é uma
soma/composição de funções contínuas).
(d) Quanto é lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥)?
Levando em conta que
lim
𝑥→1+
𝑥
√
𝑥2 + ln |𝑥+ 1| = 1
√
12 + ln |1 + 1| = 1 + ln 2 ∈ R
e que
lim
𝑥→1+
− ln |𝑥− 1| = lim
𝑢→0+
− ln |𝑢| = lim
𝑢→0+
− ln𝑢 = +∞,
conclui-se que
lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥) = +∞.
2. Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥− 2
3𝑥− 6 e considere 𝜀 > 0.
(a) Obtenha 𝛿 > 0 (em função de 𝜀) tal que “se 0 < |𝑥− 2| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)− 1| < 𝜀”.
Observe que
|𝑓(𝑥)− 1| < 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 𝑥− 2
3𝑥− 6 − 1
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
(𝑥2 − 𝑥− 2)− (3𝑥− 6)
3𝑥− 6
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀
⇔
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 4𝑥+ 4
3(𝑥− 2)
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
(𝑥− 2)2
𝑥− 2
⃒⃒⃒⃒
< 3𝜀⇔ |𝑥− 2| < 3𝜀.
2
Portanto, para um 𝜀 > 0 dado, basta escolher qualquer 𝛿 ≤ 3𝜀 e será verdade que
“se 0 < |𝑥− 2| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)− 1| < 𝜀”.
(b) Interprete isso em termos de limites.
O significado da propriedade anterior é que a função 𝑓(𝑥) se aproxima de 1 quando
𝑥 tende a 2, isto é, lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 1.
3. Determine um intervalo [𝑛, 𝑛+1] contendo (pelo menos) uma solução positiva da equação
𝑥5 − 200𝑥 = 100. O que garante que há realmente uma solução no intervalo encontrado?
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 200𝑥. Atribuindo alguns valores à variável 𝑥 (positivos, já que o
enunciado não pede soluções negativas), observa-se que
𝑓(1) = 15 − 200 · 1 = 1− 200 = −199 < 100
𝑓(2) = 25 − 200 · 2 = 32− 400 = −368 < 100
f(3) = 35 − 200 · 3 = 243− 600 = −357< 100
f(4) = 45 − 200 · 4 = 1024− 800 = 224> 100
Como 𝑓 é uma função contínua (é um polinômio) e 𝑓(3) < 100 < 𝑓(4), o teorema do
valor intermediário garante que existe algum 𝑐 ∈ (3, 4) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑐5 − 200 · 𝑐 = 100,
isto é, 𝑐 é uma solução da equação indicada.
Um raciocínio similar poderia ser feito com a função contínua 𝑔(𝑥) = 𝑥5 − 200𝑥− 100, à
qual seria aplicado o Teorema de Bolzano.
4. Seja 𝑓 : R→ R a função definida por
𝑓(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
√
6− 𝑥− 2√
3− 𝑥− 1 , se 𝑥 < 2
1/2, se 𝑥 = 2
sen (𝑥− 2)
sen (𝑥− 2) + 𝑥− 2 , se 𝑥 > 2.
(a) Calcule, se existirem, lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥). Para o primeiro limite, temos:
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
√
6− 𝑥− 2√
3− 𝑥− 1 = lim𝑥→2−
(
√
6− 𝑥− 2)(√6− 𝑥+ 2)
(
√
3− 𝑥− 1)(√6− 𝑥+ 2)
= lim
𝑥→2−
((6− 𝑥)− 4)
(
√
3− 𝑥− 1)(√6− 𝑥+ 2)
(
√
3− 𝑥+ 1)
(
√
3− 𝑥+ 1)
= lim
𝑥→2−
(2− 𝑥)(√3− 𝑥+ 1)
((3− 𝑥)− 1)(√6− 𝑥+ 2) = lim𝑥→2−
(2− 𝑥)(√3− 𝑥+ 1)
(2− 𝑥)(√6− 𝑥+ 2)
= lim
𝑥→2−
√
3− 𝑥+ 1√
6− 𝑥+ 2 =
√
3− 2 + 1√
6− 2 + 2 =
√
1 + 1√
4 + 2
=
1
2
Para o segundo, temos
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
sen (𝑥− 2)
sen (𝑥− 2) + 𝑥− 2 = lim𝑢→0+
sen𝑢
sen𝑢+ 𝑢
= lim
𝑢→0+
sen𝑢
𝑢
sen𝑢
𝑢
+ 𝑢
𝑢
=
1
1 + 1
=
1
2
.
(b) Explique se 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2.
Uma vez que os limites laterais lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) existem e são iguais a 1/2,
resulta que o limite bilateral lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) também existe e é igual a 1/2. Além disso,
como lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 1/2 = 𝑓(2), conclui-se que 𝑓 é uma função contínua em 𝑥 = 2.
3
5. Determine, se existirem:
(a)
lim
𝑥→1
ln(𝑥)
𝑥− 1 = lim𝑢→0
ln(1 + 𝑢)
𝑢
= lim
𝑢→0
1
𝑢
ln(1 + 𝑢) = lim
𝑢→0
ln
(︁
(1 + 𝑢)
1
𝑢
)︁
= ln
(︁
lim
𝑢→0
(1 + 𝑢)
1
𝑢
)︁
= ln(𝑒) = 1.
Solução alternativa, considerando 𝑣 = ln(𝑥) e 𝑥 = 𝑒𝑣:
lim
𝑥→1
ln(𝑥)
𝑥− 1 = lim𝑣→0
𝑣
𝑒𝑣 − 1 = lim𝑣→0
(︂
𝑒𝑣 − 1
𝑣
)︂−1
=
(︂
lim
𝑣→0
𝑒𝑣 − 1
𝑣
)︂−1
= (ln(𝑒))−1 = 1.
(b) lim
𝑥→+∞
sen (𝑥2)√
𝑥
= lim
𝑥→+∞
1√
𝑥
· sen (𝑥2) = 0, pois lim
𝑥→+∞
1√
𝑥
= 0 e −1 ≤ sen (𝑥2) ≤ 1,
isto é, a função limitada sen (𝑥2) está sendo multiplicada por uma que tende a zero,
o que implica que o produto também tende a zero.
6. Calcule, se existirem:
(a)
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥 − 1
𝑒7𝑥 − 1 = lim𝑥→0
3𝑥 · 𝑒3𝑥−1
3𝑥
7𝑥 · 𝑒7𝑥−1
7𝑥
=
3
7
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥−1
3𝑥
𝑒7𝑥−1
7𝑥
=
3
7
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥−1
3𝑥
lim
𝑥→0
𝑒7𝑥−1
7𝑥
=
3
7
lim
𝑢→0
𝑒𝑢−1
𝑢
lim
𝑣→0
𝑒𝑣−1
𝑣
=
3
7
· 1
1
=
3
7
Solução alternativa:
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥 − 1
𝑒7𝑥 − 1 = lim𝑥→0
(𝑒3)𝑥 − 1
(𝑒7)𝑥 − 1 = lim𝑥→0
(𝑒3)𝑥−1
𝑥
(𝑒7)𝑥−1
𝑥
=
ln(𝑒3)
ln(𝑒7)
=
3 ln(𝑒)
7 ln(𝑒)
=
3
7
.
Outra solução, considerando 𝑢 = 𝑒𝑥:
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥 − 1
𝑒7𝑥 − 1 = lim𝑥→0
(𝑒𝑥)3 − 1
(𝑒𝑥)7 − 1 = lim𝑢→1
𝑢3 − 1
𝑢7 − 1
= lim
𝑢→1
(𝑢− 1)(𝑢2 + 𝑢+ 1)
(𝑢− 1)(𝑢6 + 𝑢5 + 𝑢4 + 𝑢3 + 𝑢2 + 𝑢+ 1)
= lim
𝑢→1
(𝑢2 + 𝑢+ 1)
(𝑢6 + 𝑢5 + 𝑢4 + 𝑢3 + 𝑢2 + 𝑢+ 1)
=
(12 + 1 + 1)
(16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 1 + 1)
=
3
7
.
(b)
lim
𝑥→+∞
𝑥(
√
𝑥2 + 𝜋 − 𝑥) = lim
𝑥→+∞
𝑥(
√
𝑥2 + 𝜋 − 𝑥) ·
√
𝑥2 + 𝜋 + 𝑥√
𝑥2 + 𝜋 + 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥((𝑥2 + 𝜋)− 𝑥2)√
𝑥2 + 𝜋 + 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝜋𝑥
|𝑥|√︀1 + 𝜋/𝑥2 + 𝑥= lim
𝑥→+∞
𝜋𝑥
𝑥(
√︀
1 + 𝜋/𝑥2 + 1)
=
𝜋√
1 + 0 + 1
=
𝜋
2
4