Relatório Procedimento X Constante elástica - Molas

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INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
ADRIANO MENEZES DE LIMA 
ANGELO XAVIER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO 10 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (SISTEMA 
MASSA-MOLA) 
 
 
 
 
 
TELÊMACO BORBA 
2019 
2 
 
Sumário 
RESUMO ............................................................................................................ 3 
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 4 
1. OBJETIVOS ................................................................................................ 5 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................. 5 
3. METODOLOGIA .......................................................................................... 8 
3.1. Materiais utilizados ............................................................................. 8 
3.2. Procedimento experimental ............................................................... 8 
3.4. Dados obtidos experimentalmente .................................................... 9 
4. DISCUSSÕES DOS RESULTADOS ......................................................... 16 
5. CONCLUSÕES FINAIS ............................................................................. 18 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 19 
 
 
3 
 
RESUMO 
 
Este trabalho tem por finalidade visualizar as oscilações do movimento 
harmônico simples em um sistema massa-mola através de uma atividade prática 
que possibilita a coleta de dados para verificação e interpretação do fenômeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
 
O sistema massa-mola está amplamente inserido no campo de engenharia e 
ciências, sendo bastante aplicado à interpretação de fenômenos reais no que diz 
respeito a sistemas mecânicos. O modelo mencionado é importante à medida 
que se trabalha com movimentos vibratórios ou oscilatórios, proporcionando 
eficiência na obtenção das equações que regem o problema em estudo e das 
corretas interpretações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1. Objetivos 
 
 Determinar a constante elástica de uma mola por meio dos métodos 
estático e dinâmico; 
 Verificar a influência dos fatores massa e constante elástica da mola no 
período de oscilação do sistema massa mola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Fundamentação Teórica 
Antes de mais nada vamos introduzir fatos históricos e definições para que 
a compreensão do experimento fique clara. 
Quando escrevemos que iremos determinar a constante de Hooke de uma 
mola cometemos um erro, na realidade determinaremos a constante de Young 
característica de cada mola. 
…Robert Hooke (1635–1703) descobriu em 1676 a lei fundamental que 
existe entre a força e a distorção resultante num corpo elástico. Ele resumiu os 
resultados de suas experiências na forma de uma lei. “Ut tensio sic vis”, a qual, 
traduzida livremente, significa que “uma mudança de forma é proporcional à 
força deformadora”. 
Muitos anos depois, Thomas Young (1733–1829) deu á lei de Hooke uma 
formulação mais precisa, ao introduzir conceitos físicos definidos a serem 
associados com “uma mudança de forma” e “força deformadora”. 
Quando uma tensão (forças resultante na deformação de um sólido) é 
provocada no interior de um sólido pela aplicação de forças externas, uma 
variação física é produzida. 
Estas distorções relativas são chamadas deformações e podem ser de três 
tipos: 
1. Mudança no tamanho do corpo, mantendo a mesma forma. 
2. Mudança na forma mantendo o mesmo volume. 
3. Mudança de comprimento. 
6 
 
A lei de Hooke pode agora ser enunciada da seguinte forma: 
 
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Eq. 1 
nome este introduzido por Thomas Young. 
A constante é chamada de módulo volumétrico (K) se a tensão 
corresponde a 1; Módulo de rigidez ou cisalhamento (n) se a tensão é do tipo 2; 
e Módulo de Young (Y) se a tensão é de distensão ou compressão que 
corresponde a 3. (Ference,M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p236–237) 
Consideremos agora o estiramento de um fio por uma força F. A tensão 
corresponde a Força/unidade de área da secção reta. A deformação do tamanho 
original (l0) pode ser escrito como: 
 
 
 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 =
𝑙−𝑙0 
𝑙0
 Eq. 2 
O módulo de Young (Y) é definido como: Y = tensão / deformação longitudinal ou 
 𝑌 =
𝐹∗𝑙0 
𝐴∗ ∆𝑙
 Eq.3 
 
Ou seja, a variação entre força e deformação é linear. 
…A melhor aproximação do caso de elasticidade perfeita na qual a lei de 
Hooke vale para limites muito amplos de tensões é obtida quando um fio, de aço 
ou bronze fosforoso é enrolado na forma de uma hélice, fazendo uma espiral ou 
uma mola helicoidal. (Ference, M. - Curso de Física: Mecânica, 1968, p246). 
Desta forma podemos estabelecer a constante de Young estaticamente 
através da primeira parte deste experimento. 
Outra maneira de estabelecer a constante de Young, só que desta vez 
dinamicamente, é utilizando o principio da conservação de energia em um 
oscilador harmônico simples. 
7 
 
Um oscilador harmônico simples consiste de uma massa M ligada a uma 
mola sem massa de constante elástica K. 
Provocando um desequilíbrio neste sistema em equilíbrio, obtemos a 
oscilação harmônica amortecida do sistema devido a presença de atrito com o 
ar (Kittel.C., Curso de Física de Berkeley: Mecânica - vol. 1, p201). 
Porém em pequenas oscilações e variando os pesos obtemos um período 
que não varia e revela a constante de Young (Y). 
…O desvio do ponto de equilíbrio vezes a constante de Young (Y) é igual 
a força restauradora do movimento. Isto identifica, em termos do sistema, uma 
idéia particularmente simples, a dois conceitos essenciais para o 
estabelecimento do movimento oscilatório: 
1. Um componente inercial, capaz de carregar energia cinética. 
2. Uma componente elástica, capaz de armazenar energia potencial. 
(French. A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, 
1970, p42) 
Desenvolvendo esta relação, chegamos à conclusão de que o período 
varia da seguinte forma em relação à força e a constante de Young(Y) 
 
 𝑇 = 2𝜋√
𝑀
𝑌
 Eq. 4 
Em que: T = período, M = massa pendurada, Y = constante Young. 
Desta maneira ficam resumidamente introduzidos os conceitos que 
fundamentam este experimento. 
 
 
 
 
 
 
8 
 
3. Metodologia 
 
 
3.1 Materiais necessários 
 
 Duas molas com diferentes constantes elásticas (ka e kb), 
 Régua, 
 Pesos, 
 Suporte (lastro), 
 Tripé 
 Cronômetro. 
 
 
3.2 Procedimento experimental 
 
Procedimento para o método estático: 
 
Foi colocada a mola (A) suspensa no lastro, marcada a posição de 
equilíbrio e considerando-a como y0. Então seguir foram sendo acrescentados 
vários pesos aos poucos, por exemplo: 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100 g; tendo 
cuidado para não ultrapassar o limite de peso suportado pela mola. A cada 
massa foi anotado a elongação observada na régua e realizado o registre os 
dados na Tabela 1, usando g = 9, 81 m/s2 para calcular a Força (em N). 
 
Procedimento para o método dinâmico 
 
Primeiramentefoi realizado medida dos pesos da mola, suportes e dos 
pesos, observando as unidades (kg e m). Depois de presa a mola no tripé, foi 
cuidadosamente pendurado um peso e distendida a mola suavemente cerca de 
1 cm. Após zerado o cronometro, solto o peso iniciando a contagem registrando 
o tempo de 10 oscilações. Foi anotado o valor médio do período para cada peso 
na Tabela 5; 
Após a primeira leitura foi realizado o aumento o peso, e obtido o período 
médio da mesma forma que anteriormente. O procedimento foi repetido para 
mais 4 pesos completando a terceira linha da tabela 5. 
9 
 
3.4 Resultados obtidos 
 
3.4.1 Método estático 
No método estático, o coeficiente angular da equação da reta dos gráficos força 
versus deslocamento representa a constante elástica das molas. 
Dados para a determinação da constante elástica da mola (A). 
Comprimento inicial da mola (m) 0,11 
 
N° da medida 1 2 3 
massa (kg) 0,003 0,053 0,076 
F(N) 0,2943 0,51993 0,74556 
Y (m) 0,125 0,142 0,155 
∆y (m) 0,015 0,032 0,045 
 Tabela 1 
 
 
Gráfico 1 
 
Equação da reta: y = 14,953x + 0,0614 
Coeficiente angular = constante elástica: 14,953 
Coeficiente linear: 0,0614 
y = 14,953x + 0,0614
R² = 0,9941
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
F(
N
)
∆y(m)
F versus Y mola A
Série1
Linear (Série1)
10 
 
Dados para a determinação da constante elástica da mola (B). 
Comprimento inicial da mola (m) 0,058 
 
N° da medida 1 2 3 4 
massa (kg) 0,02 0,053 0,035 0,058 
F(N) 0,2943 0,51993 0,34335 0,5689 
Y (m) 0,168 0,247 0,181 0,262 
∆y (m) 0,11 0,189 0,123 0,204 
Tabela 2 
 
 
 Gráfico 2 
 
Equação da reta: 2,8397x - 0,0128 
Coeficiente angular = constante elástica: 2,8397 
Coeficiente linear: - 0,0128 
 
 
 
 
y = 2,8397x - 0,0128
R² = 0,9982
0,08
0,18
0,28
0,38
0,48
0,58
0,68
0,08 0,13 0,18 0,23
F(
N
)
∆y(m)
F versus y mola B
Série1
Linear (Série1)
11 
 
Dados para a determinação da constante elástica das molas A e B em paralelo. 
N° da medida 1 2 3 4 5 
massa (kg) 0,065 0,088 0,111 0,134 0,162 
F(N) 0,64415 0,86328 1,08891 1,31454 1,58922 
Y (m) 0,128 0,136 0,142 0,158 0,157 
Tabela 3 
 
 
Gráfico 3 
 
Equação da reta: 23,092x - 2,2725 
Constante elástica: 23,092 
 
Dados para a determinação da constante elástica das molas A e B em série. 
N° da medida 1 2 3 4 5 
massa (kg) 0,007 0,014 0,021 0,027 0,035 
F(N) 0,06867 0,13734 0,20601 0,26487 0,34335 
Y (m) 0,227 0,253 0,283 0,309 0,339 
Tabela 4 
y = 23,092x - 2,2725
R² = 0,9608
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17
F(
N
)
∆y(m)
F verus y dasmolas A em paralelo
Série1
Linear (Série1)
12 
 
 
Gráfico 4 
 
Equação da reta: 2,3804x - 0,4687 
Constante elástica: 2,3804 
 
3.4.2 Método dinâmico 
No método dinâmico, a constante elástica é calculada através da fórmula 
𝑇 = 2𝜋√
𝑀
𝐾
 
Como em cada situação foi cronometrado o período de massas diferentes 
acopladas as molas, foi feita uma média das constantes calculadas. 
 
 
 
y = 2,3804x - 0,4687
R² = 0,9987
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,2 0,25 0,3 0,35
F(
N
)
∆y(m)
F versus y molas A e B em série
Série1
Linear (Série1)
13 
 
Dados para a determinação da constante elástica da mola (A), pelo método 
dinâmico. 
N° da medida 1 2 3 
massa (kg) 0,076 0,099 0,122 
T(s) 4,63 5,23 5,88 
T² (s²) 21,4369 27,3529 34,5744 
Tabela 5 
 
 
Gráfico 5 
Constante elástica: 14,06 (média 3 valores) 
 
Dados para a determinação da constante elástica das molas (A) em paralelo, 
pelo método dinâmico. 
 
N° da medida 1 2 3 
massa (kg) 0,111 0,134 0,162 
T(s) 5,46 5,75 5,96 
T² (s²) 29,8116 33,0625 35,5216 
Tabela 6 
15
20
25
30
35
40
0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13
P
er
io
d
o
 T
²(
s)
massa (Kg)
T² versus m mola A
Série1
Linear (Série1)
14 
 
 
Gráfico 6 
 
Constante elástica: 16,22 (média 3 valores) 
 
Dados para a determinação da constante elástica das molas A e B em série, pelo 
método dinâmico. 
 
N° da medida 1 2 3 
massa (kg) 0,014 0,021 0,028 
T(s) 6,15 6,6 7,52 
T² (s²) 37,8225 43,56 56,5504 
Tabela 7 
 
y = 111,1x + 17,726
R² = 0,9815
29
30
31
32
33
34
35
36
37
0,1 0,12 0,14 0,16 0,18
P
er
ío
d
o
 T
² 
(s
)
massa (Kg)
T² versus moças A em paralelo
Série1
Linear (Série1)
15 
 
 
Figura 1 Gráfico 7 
Constante elástica: 1,80 (média 3 valores) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = 1337,7x + 17,886
R² = 0,9524
33
38
43
48
53
58
0,012 0,017 0,022 0,027 0,032
P
er
ío
d
o
 T
² 
(s
)
massa (Kg)
T² versus m molas A e B em série
Série1
Linear (Série1)
16 
 
4. Discussão dos resultados 
Ao medir o comprimento inicial das molas, sem os pesos, encontrou se 
0,11 m na mola a e 0,058 na mola B. 
No método estático, os comprimentos aferidos com as molas acopladas, 
assim como a força a qual estiveram sujeitas estão apresentados nas tabelas 1 
a 4. Nos gráficos, o eixo y correspondia à força elástica, enquanto o eixo x 
correspondia à deformação da mola. Através destes gráficos, verificou se que os 
pontos seguem uma linearidade tendendo a uma reta, sendo possível encontrar 
a equação da reta, ou equação de ajuste linear. O valor do coeficiente angular 
dessas retas pode ser interpretado como a constante elástica da mola, isto é, o 
valor que força N varia proporcionalmente em relação ao deslocamento, e o valor 
do coeficiente linear corresponderia ao deslocamento quando a mola estivesse 
sob ação de nenhuma força, que deveria ser zero. Assim percebe se que a lei 
de Hooke comporta se como uma equação de reta. 
Através das equações das retas dos gráficos 1 a 4, como citado acima, 
foi possível calcular as constantes elásticas das molas: 
A: 14,953 
B: 2,8397 
Duas molas A em paralelo: 23,092 
Molas A e B em série: 2,3804 
No método dinâmico, a constante elástica foi calculada com os dados de 
massa dos pesos acoplados a mola e do período cronometrado durante as 
oscilações da mola, o que mostrou se particularmente difícil devido ao curto 
tempo entre as oscilações. Foram encontrados os seguintes resultados para as 
constantes elásticas: 
A: 14,06 
Duas molas A em paralelo: 16,22 
Molas A e B em série: 1,80 
Pôde se constatar através da verificação das constantes elásticas 
encontradas, que para a mola A o valor foi muito parecido em ambos os métodos, 
17 
 
enquanto que para as molas A em série e para as molas A e B em paralelo, os 
valores foram significativamente diferentes. Esta diferença ocorreu 
principalmente devido ao valor da constante calculada através do modo dinâmico 
com as molas associadas que provavelmente apresentou um erro significativo 
devido a dificuldade de marcar o período exato da oscilação com o cronômetro. 
Tal fato evidencia que o método estático é mais eficaz na obtenção da constante 
elástica se comparado com o método dinâmico. 
Em relação da disposição das molas em série e paralelo, ficou perceptível 
que quando duas molas idênticas são colocadas em paralelo, a força 
restauradora é amplificada, como que se as duas molas tivessem a força de suas 
constantes elásticas somadas, fato verificado analisando os valores das 
constantes calculadas das molas em paralelo. Quando duas molas diferentessão posicionadas em série, percebe se que o comportamento da mola nesta 
associação é semelhante ao comportamento da mola com menor constante 
elástica, o que é evidenciado nos valores das constantes resultantes em ambos 
os métodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5. Conclusão 
Durante a execução do experimento, concluímos que a constante elástica da mola, 
é mais facilmente determinada pelo método estático devido à dificuldade na 
cronometragem do período no método dinâmico. Como a constante real das molas não 
era conhecida, não foi possível comparar valores para verificar a efetividade dos métodos 
na obtenção das constantes elásticas. Verificou se também o comportamento das molas 
associadas, chegando à conclusão que molas iguais em paralelo tem sua força 
restauradora amplificada e que molas diferentes em séries comportam se como a mola de 
menor constante. 
Como esperado, obteve se valores são diferentes para a constante da mola A e das 
molas associadas, diferença satisfatória considerando-se a montagem e execução do 
experimento, e também a dificuldade na leitura de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
6. Referências Bibliográficas 
FERENCE, M. JR., (Gondemberg, J.) et al, Curso de Física: Mecânica, ed. Edgard 
Blücher Ltda.,1968. 
FRENCH, A. P., The M.I.T. introductory physics series: Vibrations and Waves, ed. 
Norton & Company Inc, 1970. 
HALLIDAY, D., (Azevedo, J.P.S.) et al., Fundamentos de Física Vol. 1: Mecânica. 
LTC-Livros Técnicos Científicos S/A. 6o ed, 2001.