Banco de questões Calculo numerico

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Banco de questões de Calculo Numérico
		1.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,142
	
	
	3,1415
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	
	V(x) = 55    
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	-3
	
	
	-5
	
	
	-11
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	- 3/4
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
	
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função afim.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		
	
	
	
	-7
	
	
	2
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
	
	
	
	 7      
	
	
	10      
	
	
	 9      
	
	
	14
	
	
	  6    
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
		8.
		Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
	
	
	
	1,08%
	
	
	8%
	
	
	0,35%
	
	
	0,08%
	
	
	0,23%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
		1.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,992
	
	
	0,2%
	
	
	1,008 m2
	
Explicação:
25 - 24,8 = 0,2m²
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	18
	
	
	9
	
	
	5
	
	
	10
	
	
	2
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	1
	
	
	0, 375
	
	
	0,4
	
	
	0.25
	
	
	0.765625
	
	
	 
		
	
		4.
		Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo?
	
	
	
	(1,5; 2)
	
	
	(4, 5)
	
	
	(2,5; 3)
	
	
	(3; 4)
	
	
	(0; 1)
	
Explicação:
Teorema de Bolzano:
P(0) = 018 - 3.06 + 1 = 1
P(1) = 118 - 3.16 + 1 = -1
P(0) x P(1) < 0, então pelo teorema de Bolzano existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo, ou seja, ao menos uma.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
	
	
	
	(1, 1.5)
	
	
	(0, 0.5)
	
	
	(1.5, 2)
	
	
	(0.5, 1)
	
	
	(-0.5, 0)
	
Explicação:
Utilizar o teorema de Bolzano, testando qual das opções  resulta f(a). f(b < 0 .
f(x) = x3-8x+1   
para  x=0  resulta  f(0) =  +1  positivo
para x=0,5  resulta f(0,5) =  0,53 - 8.x0,5  +1 =  - 2,875 negativo  
Então o produto deses valores negativo e há pelo menos uma raiz nesse intervalo ou um número ímpar de raizes.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	Bisseção
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Gauss Jordan
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:não tem raízes reais
	
	
	tem três raízes
	
	
	nada pode ser afirmado
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	tem uma raiz
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
		1.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	De truncamento
	
	
	Percentual
	
	
	De modelo
	
	
	Absoluto
	
	
	Relativo
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	 
		
	
		4.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	
	 
		
	
		5.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	
	
	
	[-2,-1]  
	
	
	[-1,0]
	
	
	[2,3] 
	
	
	 [0,1]  
	
	
	[1,2]  
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Método da Bisseção.
	
Explicação:
O método da biseção é utilizado para determinar raizes de polinomio
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	x5  
	
	
	x3      
	
	
	 x4             
	
	
	 x2      
	
	
	x1    
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
		1.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	1,243
	
	
	2,143
	
	
	2,443
	
	
	3,243
	
	
	1,143
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	3,254
	
	
	2,354
	
	
	2.154
	
	
	3,104
	
	
	2,854
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(0, 1)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(2, 3)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Newton Raphson  
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Ponto fixo      
	
	
	Bisseção      
	
	
	Gauss Jordan        
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
	
	
	
	Método de Pégasus
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método das secantes
	
	
	Método do ponto fixo
	
	
	Método de Newton-Raphson
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
		1.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	
	1.0800
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Bisseção 
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	1.75
	
	
	2Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
	
	
	
	1,87
	
	
	1,70
	
	
	1,17
	
	
	1,67
	
	
	1,77
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(2, 3)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(-1, 0)
		1.
		Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
	
	
	
	x=2, y=4, z=6.
	
	
	x=3, y=1, z=2.
	
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
Explicação:
Matriz Aumentada
1   1  2  ]  9          já tem pivô (1) na 1ª linha  ;                              
2   4 -3  ]  1          zerar  1ª coluna  : 1ª linha x(-2)  + 2ª linha  
3   6  -5  ] 0                                       1ª linha x(-3)  + 3ª linha  
1   1   2  ]  9             
0   2  -7  ]  -17
0   3  -11 ] -27                colocar  pivô (1) na 2ª linha  :  3ª linha + 2ª linha x (-1)
1   1   2  ]  9              
0   1  -4  ]  -10              zerar  2ª coluna  : 2ª linha x(-3)  + 3ª linha   ..já surge o pivô (1) na 3ª linha
0   3  -11 ] -27                                            2ª linha x(-1)  + 1ª linha  
1   0   6  ]  19              
0   1  -4  ]  -10              zerar  3ª coluna  :  3ª linha x(-6)  + 1ª linha  
0   0    1 ]    3                                              3ª linha x(+4)  + 2ª linha   
1   0   0  ]   1      ...    x =1
0   1   0  ]   2      ...     y=2
0   0   1  ]   3      ...     z=3                                
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
	
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
Explicação:
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema apresentará discussão:
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução)
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções)
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinação de raízes.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,-2,3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Consistemem uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		1.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
Explicação:
Multiplicando a segunda  por ( -2 ) e somando com a  primeira elimina-se o x2  e resulta :
-3x1 = -60   ..donde  x1 = 20 .
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 :
5.20 + 4 x2  = 180  ...  4  x2  = 180 -100  = 80   ... x2  = 20. 
 
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=x3+1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	não apresenta solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
	
	
	
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	x=2, y=4, z=6.
	
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	
	x=3, y=1, z=2.
	
Explicação:
Matriz Aumentada
1   1  2  ]  9          já tem pivô (1) na 1ª linha  ;                              
2   4 -3  ]  1          zerar  1ª coluna  : 1ª linha x(-2)  + 2ª linha  
3   6  -5  ] 0                                       1ª linha x(-3)  + 3ª linha  
1   1   2  ]  9             
0   2  -7  ]  -17
0   3  -11 ] -27                colocar  pivô (1) na 2ª linha  :  3ª linha + 2ª linha x (-1)
1   1   2  ]  9              
0   1  -4  ]  -10              zerar  2ª coluna  : 2ª linha x(-3)  + 3ª linha   ..já surge o pivô (1) na 3ª linha
0   3  -11 ] -27                                            2ª linha x(-1)  + 1ª linha  
1   0   6  ]  19              
0   1  -4  ]  -10              zerar  3ª coluna  :  3ª linha x(-6)  + 1ª linha  
0   0    1 ]    3                                              3ª linha x(+4)  + 2ª linha   
1   0   0  ]   1      ...    x =1
0   1   0  ]   2      ...     y=2
0   0   1  ]   3      ...     z=3                                
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
	
	
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
		1.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	grau 30
	
	
	grau 20
	
	
	grau 31
	
	
	grau 15
	
	
	grau 32
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = ax + 2
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeitodeste polinômio é verdade que:
	
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Derivação.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Integração.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro fundamental
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
		1.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o seguinte sistema linear:
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Dividindo a primeira equação por 5: x + y = 3
Multiplicando-se a nova primeira equação por 2 e subtraindo a terceira dessa, 2y - z = 4 
Multiplicando-se a nova primeira equação por 3 e subtraindo a segunda dessa, y = 2
Multiplicando-se a nova segunda equação e diminuindo da nova 3 equação, z = 0
Diminuindo-se x + y = 3 de y = 2, a nova primeira linha será x = 1
Rearrumando
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y +  0Z = 2
0x + 0 y + 0z = 0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função exponencial.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	2,-1,3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		1.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	Y = abx+c
	
	
	Y = ax + b
	
	
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função?
	
	
	
	Nenhuma das anteriores.
	
	
	Semelhança de retângulos.
	
	
	Semelhança de triângulos.
	
	
	Semelhança de quadrados.
	
	
	Semelhança de círculos.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	(11,14,17)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esseconjunto de instruções ser executado.
	
	
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	
	0
	
	
	5
	
	
	20
	
	
	Indefinido
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
	
	
	
	3,985
	
	
	2,395
	
	
	5,125
	
	
	4,785
	
	
	7,970
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,857
	
	
	 13,017
	
	
	 13,500
	
	
	 13,900
	
	
	 13,000
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
		1.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos.
	
	
	
	n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
		1.
		Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
	
	
	
	0,30
	
	
	0,6667
	
	
	0,2667
	
	
	0,1667
	
	
	0,1266
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	0,77%
	
	
	8,3%      
	
	
	7,7%    
	
	
	0,077%
	
	
	0,83%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações:
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas;
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo.
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo.
É correto afirmar que:
	
	
	
	apenas I é verdadeira
	
	
	apenas III é verdadeira
	
	
	todas são verdadeiras
	
	
	apenas II é verdadeira
	
	
	todas são falsas
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	30
	
	
	Indefinido
	
	
	0,3
	
	
	3
	
	
	0,5
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro conceitual
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
	
	
	
	10%
	
	
	8,1 %        
	
	
	0,88 %
	
	
	8,8 %
	
	
	0,81 %        
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente,
 
 
	
	
	
	Nenhum dos itens anteriores
	
	
	50 , 0.0003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.003 , 0.003%
	
	
	50 , 0.003 , 0.3%
	
	
	500 , 0.003 , 0.3%
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	0,14
	
	
	0.0015926536
	
	
	0,1415926536
	
	
	3,1416
	
	
	3,14
		1.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 135 cm, mas o valor correto era 125 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	7,4 %
	
	
	8 %      
	
	
	7%           
	
	
	0,08 %     
	
	
	0,074 %
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (135 - 125) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 125 = 0,08 = 8%
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
	
	
	
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação.
	
	
	
	0,25 e 0,30
	
	
	0,50 e o,30
	
	
	0,025 e 0,03
	
	
	0,25 e 0,03
	
	
	0,03 e 0,25
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Trunque paraquatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,1415
	
	
	3,142
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,3% . Qual o valor do erro absoluto?  
 
	
	
	
	0,3 cm
	
	
	97 cm
	
	
	0,03 cm
	
	
	99,7 cm    
	
	
	3 cm      
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,3%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,3% . 100 =  0.3/100 . 100 = 0,3 cm
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	3
	
	
	indeterminado
	
	
	2
	
	
	2,5
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
	
	
	
	99,5 cm   
	
	
	5 cm     
	
	
	 0,5 cm
	
	
	 95 cm
	
	
	0,05 cm.
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	0,1415926536
	
	
	0.0015926536
	
	
	3,14
	
	
	3,1416
	
	
	0,14
	1a Questão
	
	
	
	A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
		
	
	nunca é exata
	
	segundo
	 
	primeiro
	
	quarto
	
	terceiro
	Respondido em 10/11/2019 20:57:02
	
Explicação:
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
		
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	Respondido em 10/11/2019 20:57:10
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
		
	
	0
	
	1/4
	
	1/3
	 
	1/2
	
	1/5
	Respondido em 10/11/2019 20:57:27
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
		
	
	0,3225
	
	0,2500
	
	0,2750
	 
	0,3125
	
	0,3000
	Respondido em 10/11/2019 20:57:36
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
		
	
	1,0
	 
	0,4
	
	0,6
	
	0,8
	
	1,2
	Respondido em 10/11/2019 20:57:44
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
		
	
	Método do Trapézio.
	
	Regra de Simpson.
	
	Extrapolação de Richardson.
	 
	Método de Romberg.
	
	Método da Bisseção.
	Respondido em 10/11/2019 20:57:50
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
		
	 
	[2,3]
	
	[3,4]
	
	[5,6]
	
	[4,6]
	
	[4,5]
	Respondido em 10/11/2019 20:57:59
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
		
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	 
		
	
		1.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	É um método cuja precisão é dadapelos limites de integração
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	 
		
	
		1.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
	
	
	
	-7
	
	
	-11
	
	
	-8
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	1,00
	
	
	2,50
	
	
	1,34
	
	
	3,00
	
	
	2,54
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
	
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	-3
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro relativo
	
	
	erro booleano
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro de arredondamento
		1.
		
	
	
	
	Método de Euler
	
	
	Newton-Raphson
	
	
	Método de Lagrange
	
	
	Polinômio de Newton
	
	
	Método dos Trapézios Repetidos
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
	
	
	
	X20 + 7X - 9
	
	
	X30 + 8X + 9
	
	
	X20 + 2X + 9
	
	
	X21 + 3X + 4
	
	
	X19 + 5X + 9
		1.
		As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
	
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
	
	todas estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
 
	
	
	
	a = b = c = d= e - 1
 
	
	
	b = a + 1, c = d= e = 4
	
	
	b - a = c - d
 
	
	
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	2.10-2 e 1,9%
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	0,030 e 1,9%
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Uso de dados de tabelas
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativainicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	1,008 m2
	
	
	99,8%
	
	
	0,992
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,8%
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Newton-Raphson.