Física Teórica II - Aula 04 - Ondas

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11/11/2016
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Aula 06: Ondas.
Prof. Dr. Otacilio Leandro de M. Neto
CCE0848 - FÍSICA TEÓRICA EXPERIMENTAL II
Tipos de Ondas
Ondas Mecânicas: Existem apenas em meios materiais e são governadas pelas Leis de 
Newton. Ex: Ondas no mar, Ondas sonoras, etc.
Ondas Eletromagnéticas: São ondas onde o campo elétrico e o campo magnético 
estão variando. Viajam a velocidade da luz 𝑐 = 299.792.458 𝑚/𝑠. Ex: Luz, Sinal de 
Rádio, Sinal de TV, Celular, etc.
Ondas na Matéria: São ondas associadas a elétrons e prótons. Estudadas pela 
mecânica quântica.
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Onda Transversal e Longitudinal
Quando uma corda esticada é sacudida cria 
um pulso. Se for sacudida repetidas vezes 
criará uma onda senoidal.
O deslocamento de um ponto da corda é 
para cima e para baixo, ou seja, 
perpendicular à direção de propagação da 
onda. Por isso recebe o nome de Onda 
Transversal.
Pulso
Onda 
Senoidal
Onda Transversal e Longitudinal
Quando o êmbolo da figura é oscilado para 
frente e para trás, cria um onda 
descompressão e compressão do ar dentro 
do tubo.
A onda que se forma é paralela à direção 
de propagação desta onda, chamada de 
Onda Longitudinal.
Onda 
Senoidal
Ar
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Equação da Onda
A altura de um dado ponto da corda irá
depender da sua posição 𝑥 e do tempo 𝑡:
𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑡
Um função seno pode descrever 𝑦 como:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Pulso
Onda 
Senoidal Deslocamento
Amplitude Termo 
Oscilatório
Fase
Número de 
Onda
Posição
Tempo
Frequência 
Angular
Amplitude e Fase
Considere cinco “fotos” de uma onda. A onda 
se propaga para a direita, mas note que o 
ponto em laranja não se desloca.
A amplitude é o módulo do deslocamento 
máximo sofrido.
A fase é o argumento da função seno 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Observe o ponto 
laranja em cinco 
instantes diferentes.
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Comprimento de Onda
e Número de Onda
O comprimento de onda 𝜆 é a distância (paralela 
à direção de propagação da onda) entre 
repetições da forma da onda.
Vamos considerar a equação de onda para 𝑡 = 0
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑦 𝑥, 0 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
Por definição o deslocamento 𝑦 é o mesmo em 𝑥
e em 𝑥 + 𝜆:
𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛[𝑘 𝑥 + 𝜆 ]
Observe o ponto 
laranja em cinco 
instantes diferentes.
Comprimento de Onda
e Número de Onda
𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛[𝑘 𝑥 + 𝜆 ]
𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘𝜆
Os senos serão iguais somente se 𝑘𝜆 = 2𝜋, ou 
seja, o seno só se repete após 2𝜋.
𝑘 =
2𝜋
𝜆
O parâmetro 𝑘 é chamado de número de onda, 
com unidade de 𝑟𝑎𝑑/𝑚.
Observe o ponto 
laranja em cinco 
instantes diferentes.
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Período, Frequência e 
Frequência Angular
Mesmas definições do MHS.
Período é o tempo de uma oscilação.
Frequência é o inverso do período ou quantas 
oscilações ocorrem em um segundo. 𝑓 =
1
𝑇
A Frequência Angular é dada por 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓
Observe o ponto 
laranja em cinco 
instantes diferentes.
Constante de Fase
A forma completa da equação de onda é:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙)
A constante de fase da figura a) é 𝜙 = 0.
A constante de fase da figura b) é 𝜙 =
𝜋
5
.
O efeito da 
constante de fase 𝜙
é deslocar a forma 
da onda.
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Velocidade de uma Onda Progressiva
Considere dois instantes diferentes de uma 
onda. A onda Verde tem 𝑡 = 0 e a mesma 
onda em Amarelo tem 𝑡 = Δ𝑡.
A velocidade de propagação da onda é 
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Como a forma da onda se conserva, 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑦 𝑥, 0 = 𝑦(𝑥, Δ𝑡)
Isso ocorre quando a fase for constante.
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Onda em 𝑡 = 0
Onda em 𝑡 = Δ𝑡
Velocidade de uma Onda Progressiva
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Derivando em relação a 𝑡:
𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝜔 = 0
𝑣 =
𝜔
𝑘
Usando as equações: 𝑘 =
2𝜋
𝜆
e 𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝑣 =
𝜆
𝑇
= 𝜆𝑓
Onda em 𝑡 = 0
Onda em 𝑡 = Δ𝑡
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Sentido de Propagação
Sentido positivo de 𝑥:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Sentido negativo de 𝑥:
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝜔 = 0
𝑣 =
−𝜔
𝑘
= −
𝜆
𝑇
= −𝜆𝑓 Onda em 𝑡 = 0
Onda em 𝑡 = Δ𝑡