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21/08/2019 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Os estudos que fizemos anteriormente diz respeito ao agrupamento de dados
coletados e à representação gráfica de alguns deles. Cumpre agora estudarmos as
medidas estatísticas. Estes valores nos darão a imagem sintetizada do
comportamento de uma amostra, permitindo que com relativamente poucas
informações possamos chegar a conclusões sobre esta amostra estudada.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas estatísticas. O primeiro
grupo é formado pelas Medidas de Tendência Central, também chamadas de
Medidas de Posição, que informam a magnitude da amostra estudada. Essas
medidas nos dão uma visão global da amostra sem se ater às características
individuais de seus elementos. Estudaremos estas medidas aqui neste módulo 4 e
no modulo 5.
No entanto, como é necessário que tenhamos idéia das variações dos elementos
da amostra em torno de suas medidas centrais iremos estudar nos módulos 6 e 7,
o segundo grupo de medidas estatísticas: as Medidas de Dispersão, também
chamadas de Medidas de Variabilidade.
 
Medidas de Posição (1ª parte)
 
Objetivos do módulo
 
As medidas de posição ou medidas de tendência central, como o próprio nome
indica, preocupam-se em definir uma posição central da amostra, ou seja, um
valor que seja representativo do que é típico da amostra. Iremos trabalhar com as
três principais medidas deste tipo: a média (neste módulo) e a mediana e a moda
( no módulo 5).
 
 
Média
De todas as medidas de posição a média é seguramente a mais usada. São
chamadas de médias simples quando a freqüência dos diversos valores é igual a
1, ou seja cada valor aparece uma única vez na amostra ou de médias
ponderadas quando os dados são dotados de certa freqüência.
Existem vários métodos diferentes para se calcular as médias. Iremos nos
preocupar com a principal delas, a Média Aritmética. As demais (Geométrica,
Quadrática e Harmônica) além de serem muito menos utilizadas seguem os
mesmos princípios da média aritmética, apenas com a utilização de operações
matemáticas diferentes.
A média aritmética é o resultado da soma dos valores de todos os elementos
dividida pelo número total de elementos, ou seja, pela freqüência total. Em outras
palavras se tivermos um conjunto de valores S ={ x1, x2, x3,………xn} a média
aritmética deste conjunto será calculada através das fórmulas:
 
 
 
Onde: 
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 é a média aritmética
x1, x2, etc. os diversos valores e,
N a quantidade total de elementos da amostra.
 
Exemplo 1: Calcular a média aritmética dos valores relacionados a seguir:
S={2;5;7;9;10;12;16;18} 
 
Observe que são 8 elementos de diferentes valores, portanto:
 
 
 
 
 
No exemplo anterior cada valor aparecia apenas uma única vez, caso os valores se
repitamna amostra, ou seja, se eles tiverem uma freqüência diferente de um ( x1
com f1; x2 com f2 e assim por diante) então a fórmula para o cálculo da média
aritmética será:
 
Este último conceito define a média ponderada, sendo que eventualmente as
freqüências podem ser substituídas por “pesos” que conferem a importância
diferenciada de cada valor.
O exemplo a seguir mostra o cálculo para dados não agrupados em classe:
 
Exemplo 2: Calcular a média aritmética dos valores abaixo relacionados:
 
 
Como no exemplo anterior o cálculo da média aritmética consiste na soma de
todos os valores dividida pela quantidade total de elementos. Note, porém, que
cada um dos valores da tabela aparece certo número de vezes, diferente de um;
por exemplo o valor 25 aparece 37 vezes, portanto precisamos somar 25 com ele
mesmo 37 vezes ou em maneira mais direta precisamos multiplicar 25 por 37. A
coluna C, na tabela abaixo, mostra todos os cálculos deste tipo.
 
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Quando somamos essa coluna obtemos o valor 9491 que corresponde à soma de
todos os elementos da amostra (193 elementos). Assim a média é:
 
 
 
Quando os dados são apresentados agrupados em classes o processo de
cálculo será idêntico ao anterior com a diferença que o valor a ser usado é o ponto
médio de classe (lembre-se que já definimos esse valor nos módulos anteriores):
O exemplo a seguir mostra-nos, passo a passo o cálculo da média aritmética
ponderada para dados agrupados por classes.
Exemplo 3: Dada a tabela de freqüências abaixo, calcular a média aritmética:
 
A tabela a seguir apresenta os valores e cálculos necessários para se determinar a
média aritmética para uma amostra que estivermos descrevendo.
 
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As colunas E e F da tabela bem como os somatórios mostram os cálculos
necessários para a obtenção da média aritmética.
 
O uso de uma tabela para estes cálculos facilita as operações de cálculo bem
como são mais facilmente trabalhadas em computador.
 
Note que acima nós somamos os valores de todos os elementos da amostra,
ficando na seguinte situação: O valor da soma dos 225 elementos da amostra é
369136,5, portanto a média aritmética será de:
 
 
Por ultimo é importante observar as seguintes propriedades das médias
aritméticas:
· A soma algébrica dos afastamentos (ou desvios ou resíduos) de um conjunto
de números tomados em relação à média é nula.
· Se multiplicarmos ou dividirmos todas as informações por uma constante, a
média aritmética ficará multiplicada ou dividida por essa constante.
· Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de um
conjunto de informações, a média aritmética ficará somada ou subtraída
dessa constante.
· A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação a media aritmética é
mínima.
 
 
O texto acima resume os principais pontos desse módulo, mas sugere-se que você
complemente os estudos e se aprofunde nos conceitos. Recomendamos os
seguintes textos:
· O livro Estatística Aplicada à Gestão Empresarial de Adriano Leal Bruni.
· Resumo nomeado MEDIDAS DE POSIÇÃO disponível no site
www.aulalivre.com . Pesquisar pelo nome do professor Mauricio do Fanno,
na disciplina ESTATÍSTICA.
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Exercício 1:
Em determinada empresa os salários dos colaboradores de nível superior, sem nível de chefia, distribuem-
se conforme a tabela abaixo. 
Nessas circunstâncias podemos afirmar que o salário médio; mediano e modal (segundo King) são
respectivamente:
A)
R$ 2596; R$ 2475; R$ 2868
B)
$ 2965; R$ 2547; R$ 2686
C)
R$ 2965; R$ 2547; R$ 2868
D)
R$ 2596; R$ 2475; R$ 2686
E)
R$ 2596; R$ 2547; R$ 2868
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 2:
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O Departamento de Auditoria separou ao acaso uma amostra de 131 notas fiscais das emitidas pela
empresa chegando à seguinte distribuição de frequências:
A partir destes dados foram feitas as seguintes afirmativas:
I O valor médio das notas fiscais é de R$ 4844.
II O desvio padrão do valor das notas fiscais é de R$ 1547.
III A variância do valor das notas fiscais é de 2.411.861 reais ao quadrado.
IV O desvio padrão do valor das notas fiscais é de R$ 1553.
V Odesvio padrão da amostra é de R$ 4844.
Podemos dizer que estão corretas as afirmativas
A)
I, II, III, IV e V.
B)
I e II.
C)
I, II e III.
D)
I, III e IV.
E)
I, somente.
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Exercício 3:
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Na tabela abaixo são mostradas as variações de preços das cinco mais importantes despesas de uma
família e os gastos médios mensais da mesma antes do aumento ao aumento 
Baseados nesses dados podemos afirmar que as médias simples e ponderadas de aumentos das
despesas dessa família foram respectivamente de
A)
2,0% e 3,9%
B)
3,9% e 2,0%
C)
2,9% e 3,0%
D)
3,0% e 2,9%
E)
Ambas 3,0%
Comentários:
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Exercício 4:
O gráfico abaixo representa a distribuição dos salários de 450 funcionários de uma determinada empresa.
O menor salário é de $ 550 e o maior de $ 1830.
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Nessas condições podemos afirmar que a média salarial deste grupo de funcionários é
A)
$ 1022.
B)
$ 1190.
C)
$ 1000.
D)
$ 1520.
E)
$ 1380.
Comentários:
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Exercício 5:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados estão reunidos no quadro abaixo:
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Com base nesses dados podemos dizer que o rendimento médio dessas aplicações é de
A)
13%.
B)
12%.
C)
15%.
D)
18%.
E)
16%.
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 6:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados foram reunidos no quadro abaixo:
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Com base nesses dados podemos dizer que o rendimento mediano dessas aplicações é de
A)
18%.
B)
12%.
C)
15%.
D)
13%.
E)
16%.
Comentários:
Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários
Exercício 7:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados foram reunidos no quadro a seguir:
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Com base nesses dados podemos dizer que o rendimento modal dessas aplicações é de
A)
18%.
B)
13%.
C)
15%.
D)
12%.
E)
16%.
Comentários:
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Exercício 8:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias:
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Nessas condições o número médio de defeitos diários é de aproximadamente
A)
7,9.
B)
10,0.
C)
9,3.
D)
8,0.
E)
8,7.
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Exercício 9:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela abaixo estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias:
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Nessas condições o número mediano de defeitos diários é de aproximadamente 
A)
12,0.
B)
10,0.
C)
9,0.
D)
8,0.
E)
8,7.
Comentários:
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Exercício 10:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela abaixo estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias:
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Nessas condições o número modal de defeitos diários é de aproximadamente
A)
7,0.
B)
6,0.
C)
9,0.
D)
8,0.
E)
8,7.
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Exercício 11:
Uma pequena agência de publicidade relacionou no quadro abaixo o custo das suas 120 últimas
campanhas publicitárias:
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Nestas condições podemos afirmar que o custo mediano das campanhas publicitárias dessa agência é de
aproximadamente
A)
R$ 22.370.
B)
R$ 22.500.
C)
R$ 23.370.
D)
R$ 25.833.
E)
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R$ 20.833.
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Exercício 12:
Uma pequena agência de publicidade relacionou no quadro abaixo o custo das suas 120 últimas
campanhas publicitárias:
Nestas condições podemos afirmar que o custo modal (pelo método de King) das campanhas publicitárias
dessa agência é de aproximadamente
A)
R$ 27.500.
B)
R$ 30.000.
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C)
R$ 28.370.
D)
R$ 25.000.
E)
R$ 26.892.
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Exercício 13:
(Exame Nacional de Cursos - Provão 2000) O Administrador Financeiro da Empresa de Vidros
Transparentes determinou os vários custos de capital, de acordo com suas fontes e custos relativos, a
saber:
Em vista do Custo de Capital e supondo-se inalterado o nível de risco, a empresa deve aceitar todos os
projetos que obtenham um retorno maior ou igual a
A)
16,0%.
B)
19,4%.
C)
20,0%.
D)
21,0%.
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E)
22,0%.
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Exercício 14:
(Exame Nacional de Cursos - 2001) Considere o quadro abaixo, com a estrutura financeira existente da
Pousada Porto Seguro. O Valor do Capital Próprio da Pousada é de R$ 1.000.000,00.
O custo médio ponderado de capital da empresa é
A)
3,3%.
B)
15,5%.
C)
16,0%.
D)
16,6%.
E)
25,0%.
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