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­ Movimento Circular Uniforme 
­ Movimento Circular Não­Uniforme 
­ Movimento de Satélites Artificiais 
­ Efeito da Rotação da Terra em g 
­ Leis de Kepler 
­ Tipos de Forças na Natureza 
­ Exemplos
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  4­1 Movimento Circular Uniforme
            Nos movimentos circulares a direção do vetor velocidade varia continuamente. Nós consideraremos aqui os
movimentos circulares cuja velocidade tem magnitude constante. Vimos anteriormente que no caso de movimento em uma
dimensão, os corpos não têm aceleração quando a velocidade é constante. Contudo, se o movimento ocorre em mais de uma
dimensão a afirmação nem sempre é verdadeira. Neste caso podemos ter um objeto acelerado mesmo que a sua velocidade seja
constante.
            Nos movimentos circulares uniformes, a velocidade não muda de intensidade mas muda a direção continuamente como
um objeto faz ao mover­se em torno de um círculo, Fig.4­1. Em resumo temos que;
­ os vetores velocidades são diferentes na direção e sentido   
­ mas têm módulos iguais 
 
Fig.4­1 
Veja aqui simulação de um movimento circular
Nestes movimentos o vetor velocidade é sempre ortogonal ao vetor posição do objeto. Isto significa que, em um movimento
circular, o vetor velocidade será sempre tangente à trajetória (círculo) percorrida pelo objeto. A aceleração é definida como
                                                                                                            (1)
onde  v é a variação na velocidade durante um pequeno intervalo de tempo  t. Eventualmente considerar a situação quando 
t se aproxima de zero significa obter a aceleração instantânea. Para tornar claro esta discussão vamos considerar graficamente
um movimento circular, veja a figura 4­2.
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Fig. 4­2
Os vetores v1 e v2 representam as velocidades nos pontos A e B. O vetor variação de velocidade, v, é traçado na Fig.4­2b. O
objeto se move de A até B no tempo t. Os triângulos OAB e oab, nas Figs.4­2 são semelhantes, pois são isósceles, com seus
lados maiores mutuamente perpendiculares. Então,
 .                                                                                          (2)
O módulo da aceleração normal média é, portanto,
                                                                                                            (3)
A aceleração instantânea no ponto é o valor limite desta expressão quando B tende para A. 
 
 .                                                                                               (4)
Mas o valor limite de s/t é a velocidade v1 no ponto P e, como este é um ponto qualquer na trajetória, pode­se suprimir o
índice de v1 e representar por v a velocidade em ponto genérico. Então,
 .                                                                                                                (5)
O módulo da aceleração normal instantânea e, portanto, igual ao quadrado da velocidade divido pelo raio. O sentido de a é
para o centro ao longo do raio. Por este motivo, é chamada aceleração central ou centrípeta. O termo centrípeta significa busca
ao centro.
            Na discussão anterior, a velocidade da partícula foi supostamente constante. Mesmo que ela varie ainda fornece a
componente normal da aceleração, mas, neste caso, também haverá uma componente tangencial da aceleração, a|| , igual à taxa
de variação do módulo da velocidade:
 .                                                                                                            (6)
Se o módulo do vetor velocidade for constante, não haverá componente tangencial da aceleração e está será puramente normal,
resultante da variação contínua na direção do vetor velocidade.
            De acordo com a segunda lei de Newton (eq.3­2) , um objeto que está acelerado deve estar necessariamente sobre a
ação de uma força. Um objeto movendo­se em círculo, tal como uma bola amarrada em uma corda, deve estar sobre a ação de
uma força centrípeta de forma a mante­lo em movimento circular. A magnitude da força requerida pode ser calculada usando a
Segunda lei de Newton para a componente radial. Isto é,
 .                                                                                                   (7)
            Como a aceleração aponta para o centro, a todo instante, a força também deve ser dirigida ao centro do círculo. Se a
força centrípeta não existisse o objeto não moveria em círculo mas em linha reta, como estabelecido pela a primeira lei de
Newton. Para tirar um objeto fora do movimento em linha reta é necessário aplicar­lhe uma força. Isto é o que ocorre como o
movimento circular.
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            O movimento circular é freqüentemente descrito em termos da freqüência f, como sendo o número de revoluções por
segundo. O período T de um objeto se movimento em círculo é o tempo requerido para se completar uma revolução. O período
e a freqüência estão relacionados por;
                                                                                                                 (8)
Por exemplo, se um objeto gira a uma freqüência de 4 revoluções/segundo, então cada revolução (volta) ¼ do segundo. Para
objetos girando em um movimento circular com velocidade constante, nós podemos escrever
                                                                                                                  (9)
Isto significa que após uma revolução (volta) o objeto percorreu um circunferência equivalente a 2 r.
            Um exemplo comum de aceleração centrípeta ocorre quando um automóvel faz uma curva Fig.4­3. Em tal situação, o
passageiro sente que está sendo jogado para fora do carro e da curva. Então, onde esta força centrípeta tão misteriosa ? O que
acontece é que o passageiro tende a continuar se movendo em linha reta enquanto o carro continua fazendo a curva. Para fazer
com que o passageiro percorra o caminho curvo, junto com o carro, o atrito do seu corpo com o banco assim como a porta do
carro (contato direto) exercerão uma força centrípeta sobre o passageiro puxando para dentro da curva. No caso do carro, a
força de atrito dos pneus com o asfalto (força centrípeta) se oporá a força centrífuga, mantendo­o na pista. Em dias de chuva ou
na presença de neve a força de atrito pode diminuir fazendo com que a força de centrífuga, agindo sobre o carro, jogue­o para
fora da pista.
 
Fig.4­3
  4­2 Movimento Circular Não­Uniforme
            Um movimento circular uniforme ou a velocidade constante ocorre quando a força resultante sobre o objeto age no
sentido do círculo. Se a força resultante não está diretamente dirigida ao centro, mas forma um ângulo diferente de zero com o
raio do círculo, então a aceleração terá uma componente tangencial. Esta força tangencial mudará não só o módulo como
também a direção do vetor velocidade. Ela poderá provocar também, mudança de trajetória do objeto passando­o para um
órbita de raio diferente. Então, em um movimento circular, quando a velocidade de um objeto está mudando significa que a
força (ou a aceleração) tem uma componente tangencial.
A componente tangencial da aceleração, atan, é igual a taxa de variação da magnitude da velocidade do objeto:
 .                                                                                                            (10)
A aceleração radial (centrípeta) surge a partir da mudança de direção da velocidade, e ela foi definida por
 .                                                                                                              (11)
            A aceleração tangencial sempre aponta na direção da tangente do círculo e consequentemente tem a mesma direção dovetor velocidade do objeto. Se a velocidade está diminuindo com o tempo significa que os vetores aceleração radial e
velocidade são antiparalelos. A aceleração tangencial é sempre ortogonal a radial e são elas as responsáveis pelas mudanças
contínua da direção durante o movimento circular do objeto. Nestes casos, o vetor aceleração total, a, é igual a soma dessas
duas acelerações:
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                                                                                                             (12)
Desde que atan e aR são sempre ortogonais uma a outra a magnitude de a, em qualquer instante é
 .                                                                                                       (13)
  4­3 Movimento de Satélites Artificiais 
  
 
            Uma outra aplicação importante do movimento circular é a determinação das órbitas estacionárias de satélites
artificiais. Este problema envolve conhecimentos da lei da gravitação de Newton assim como da teoria dos movimentos
circulares, estudada nas seções anteriores.
            Ao discutir o lançamento de projétil, em seções anteriores, consideramos que a força gravitacional aplicada ao projétil
(seu peso P) tinha a mesma direção e a mesma intensidade em todos os pontos da trajetória. Estas condições são
aproximadamente satisfeitas se o projétil permanecer próximo à superfície da Terra e se a trajetória for pequena em
comparação com o raio da Terra. Nestas condições a trajetória será uma elipse.
            Na realidade, a força gravitacional é dirigida para o centro da Terra e inversamente proporcional ao quadrado da
distância ao seu centro, de modo que ela não é constante, seja em intensidade ou direção. Pode­se mostrar que, na presença de
uma força que varia com o inverso do quadrado da distância e dirigida para um ponto fixo, a trajetória é uma cônica (elipse,
círculo, parábola ou hipérbole).
Veja aqui simulação do movimento de satélites.
            Suponha que pudesse ser construída uma torre muito alta, Fig4­4, e que um projétil fosse lançado do ponto A, no topo
da torre, na direção horizontal AB. Se a velocidade inicial não for muito grande, a trajetória será semelhante à de cor verde, na
Fig.4­4, que é um arco de uma elipse com o centro da Terra em um dos focos. Se a trajetória for tão pequena que as variações
do peso do projétil em intensidade possam ser desprezadas, a elipse aproxima­se de uma parábola.
            As trajetórias de 1 à 6 ilustram este efeito de crescimento da velocidade inicial. As trajetórias 1 e 2 ainda são arcos de
elipses. Nos outros casos, já temos trajetórias completas e o projétil torna­se um satélite terrestre. Quando o satélite passar de
volta ao ponto A terá a mesma velocidade de partida. Em todos estas órbitas, se não houver forças de retardamento, o satélite
ficará orbitando indefinidamente. No caso particular da órbita I, ele terá uma órbita infinita. No caso real, a rotação da Terra
deslocará a torre para um ponto diferente durante o tempo que o satélite retorna ao ponto A, mas a órbita não será afetada.
 
Fig.4­4
            A órbita número 3 é uma órbita especial, pois ela circular. A trajetória número (4) é novamente uma elipse, (5) uma
parábola e (6) uma hipérbole. As trajetórias além do número (5) e (6) não são órbitas fechadas e, por isso, esses satélites nunca
retornarão ao ponto de origem.
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            Para calcular as propriedades de uma órbita do tipo circular, podemos fazer uso da lei da gravitação de Newton
combinada com o movimento circular. Então,
 ,                                                                                           (14)
daí tiramos que,
                                                                                       (15)
            Esta relação mostra que, uma vez especificado o raio da órbita, a velocidade do satélite não pode ser escolhida
arbitrariamente. O raio da órbita também pode ser ajustado para se ter controle sobre o tempo de um revolução completa,
chamado de período T do satélite. Lembramos que o período é o inverso da freqüência, T = 1/f . A velocidade é igual à
distância percorrida em uma volta (a circunferência 2r) divida pelo tempo para uma revolução, Assim,
                                                                                                    (16)
De onde tiramos a seguinte expressão para o período, 
 
 .                                                                              (17)
Estas grandezas também podem ser expressas em termos do raio (R) da Terra e a aceleração da gravidade na superfície. Isto é;
                                                                                                             (18)
e
                                                                                       (19)
Estas relações mostram que órbitas maiores correspondem a períodos mais longos e a velocidades menores.  A aceleração
dada, pode ser escrita também em função da aceleração da gravidade para um raio r, como
                                                                                                        (20)
Podemos observar que um satélite é um corpo em queda livre.
            Um satélite geo­síncrono é um tal que permanece fixo um mesmo ponto de um órbita paralela ao equador da Terra. Este
tipo de satélite é usado freqüentemente nas transmissões de TV a cabo. O raio da órbita destes satélites podem ser determinada
usando a lei da gravitação de Newton, como a seguir.
            A única força agindo sobre o satélite é a força gravitacional, assim podemos aplicar a equação (14), assumindo que a
órbita é circular :
 ,                                                                                               (21)
            A equação tem duas variáveis desconhecidas, r e v. Mas, nós sabemos que a velocidade v é deve ser tal que tem o
mesmo período de rotação da Terra, em torno do seu eixo, isto é 24 horas. Então, a velocidade do satélite será dada por 
 
onde T = 1dia = 86.400 s. Substituindo este resultado na equação (21) e fazendo as devidas simplificações obtemos: 
 
de onde podemos tirar o valor do raio da órbita. 
 
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 ,
ou r = 4,23 x 107m, ou 42.300 km do centro da Terra. Subtraindo o raio médio terrestre a distância do satélite à superfície, que
é igual a 36.000 km, ou aproximadamente 6 vezes o raio da Terra. Consequentemente, podemos calcular a velocidade do
satélite, a qual é igual a v = 3070 m/s. 
  
 
  4­4 Efeito da Rotação da Terra em g 
 
            Por causa de sua rotação, a Terra não é precisamente um sistema inercial de referência, e o peso aparente de um objeto
na superfície terrestre não é precisamente igual à atração gravitacional da Terra. Supondo que a Terra seja esfericamente
simétrica, a sua atração gravitacional, isto é, o peso verdadeiro Po, tem o mesmo módulo Fg = GmmT/R2 em todos os pontos da
sua superfície. Suponha­se também que o centro da Terra possa ser escolhido como a origem de um sistema inercial de
coordenadas, ignorando o movimento orbital da Terra, que é um efeito muito menor do que a sua rotação em torno do próprio
eixo. Assim, o corpo no pólo norte estará em equilíbrio em relação ao sistema inercial e então, o peso real será igual ao peso
aparente. Mas, no equador, o corpo se move em um círculo de raio r, com velocidade v e para que isto ocorra deve haver uma
força resultante para o centro da Terra igual à massa vezes a aceleração centrípeta: 
  
 
 .                                                                                               (21)
Neste caso, o módulo do peso aparente (igual a P) será igual a: 
  
 
 .(22)
            É importante notar que se não considerássemos a Terra rodando, o corpo abandonado à superfície teria uma aceleração
de queda livre go = Po/m, acrescida de sua revolução real em relação ao observador no equador será dada por g = P/m, isto é, 
 
 .                                                                                               (23)
onde v2/R = 0,0337 m/s2, R e v são o raio da Terra e sua velocidade de rotação em torno do seu eixo. 
 
  4­5 Leis de Kepler
            Aproximadamente meio século antes de Newton propor as suas três leis do movimento e a lei da gravitação universal, o
astrônomo alemão Johannes Kepler (1571­1630) escreveu vários trabalhos nos quais o movimento dos planetas do sistema
solar foram escritos de forma detalhada. Os trabalhos de Kepler foram baseados nos resultados obtidos por Tycho Brahe (1546­
1601) referentes ao movimento do sistema planetário solar. Kepler organizou os resultados conhecidos até a época em três leis
conhecidas hoje, por leis de Kepler para o movimento planetário. Veja Fig.4­5. Elas podem ser resumidas como a seguir;
  (i) Primeira Lei de Kepler : Todos os planetas movem­se em órbita elíptica tendo o Sol em um dos focos. Veja Fig.4­5(a).
  (ii) Segunda Lei de Kepler : Uma reta unindo o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Veja Fig.4­5(b).
  (iii) Terceira
            Lei de Kepler : A razão entre os quadrados de qualquer par de planetas girando em torno do Sol é igual a razão entre os
cubos dos raios médios de cada órbita. Esta lei é equacionada por 
                                                                          (24)
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Isto significa que a razão r3/T2 é a mesma para qualquer planeta.
Fig. 4­5
A Tab.4­1 mostra algumas dessas grandezas para diferentes planetas do sistema solar, calculadas através das teorias presentes
até o presente momento. 
  
  
  
 
Planeta Distância média até Sol, 
raio(106km)
Período, T 
(anos da Terra)
r3/T3 
(1024
km3/ano2)
Mercúrio 57,9 0,241 3,34
Vênus 108,2 0,615 3,35
Terra 149,6 1,000 3,35
Marte 227,9 1,880 3,35
Júpiter 778,3 11,860 3,35
Saturno 1427,0 29,500 3,34
Urano 2870,0 84,000 3,35
Netuno 4497,0 165,000 3,35
Plutão 5900,0 248,000 3,35
       
Tab.4­1 Dados planetários obtidos usando a terceira lei de Kepler.
Veja aqui simulação das Leis de Kepler
23/05/2016 Aula­4
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            Newton foi o primeiro a mostrar que as leis de Kepler poderiam ser derivadas matematicamente a partir da lei universal
da gravitação e das lei de movimento. Ele mostrou também apesar de existir várias possibilidade para definir a força
gravitacional, apenas a força que varia com o inverso do quadrado da distância está completamente de acordo com todas as três
leis de Kepler. Newton usou as leis de Kepler como evidências da sua lei da gravitação universal.
A terceira lei de Kepler pode ser derivada facilmente usando o movimento em órbitas circulares. Usando a segunda lei Newton
temos que: 
 
                                                                                       (25)
            Onde m1 e r1 são a massa e o raio de um dado planeta, v1 a sua velocidade média e Ms é a massa do Sol. Temos usado
também a relação v1 = 2 r/T1. A equação acima pode ser reescrita por
                                                                                                (26)
Podemos obter uma equação equivalente para qualquer planeta. Vamos imaginar que o primeiro seja a Terra e o segundo Marte.
Então, 
  
 
                                                                                                  (27)
Podemos notar que as duas últimas equações têm os lados direitos iguais. Dessa forma podemos igualar também os seus lados
esquerdos,
                                                                          (28)
Esta equação é exatamente a terceira lei de Kepler. 
  
 
  4­6 Tipos de Forças na Natureza 
 
            Neste capítulo estudamos, mais detalhadamente, a lei da gravitação de Newton, a qual descreve a interação entre
objetos com massa. Por outro lado, a segunda lei Newton diz­nos como um dado corpo será acelerado sob a ação de uma força.
Então, quais são as forças existentes na natureza além da gravidade ?
            Os físicos, até o momento, reconhecem quatro tipos de forças fundamentais: (1) a força gravitacional; (2) a força
eletromagnética; (3) as forças nucleares fortes; e (4) as forças nucleares fracas. Nos próximos capítulos trataremos mais
detalhadamente as forças elétricas e nucleares. As forças nucleares se manifestam a nível dos núcleos atômicos e estão de certa
forma ligadas as radiações nucleares.
            Os físicos têm trabalhado na construção de uma teoria que venha unificar estas quatro forças, isto é, considerar algumas
ou todas as forças como manifestações da mesma força básica. A tentativa de unificar estas forças, tal como na GUT (grand
unified theories), é um dos assuntos de pesquisa mais modernos e quentes atualmente. 
 
 
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