Unidade II - Aula 4

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula - 2o Estágio
Cálculo Numérico
Noções de E.D.O.
Aula EDO
1 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que
ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando
a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por
exemplo:
Ay3+By2+Cy1+Dy0 = 0
Exemplos:
1. y"+3y ′+6y = sen(x) tem ordem 2 e grau 1
2. (y")3+3y ′+6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3
3. y"+3y y ′ = ex tem ordem 2 e grau 1
4. y ′ = f (x, y) tem ordem 1 e grau 1
5. M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 tem ordem 1 e grau 1
2 Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Uma solução para uma Equação Diferencial é uma função que satisfaz identicamente a
equação. A solução mais geral possível que admite uma Equação Diferencial é denominada so-
lução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.
Exemplos:
1. y(x)= e−x é uma solução particular de y ′+ y = 0.
2. y(x)=Ce−x é a solução geral de y ′+ y = 0.
3. y(x)= sen (x) é uma solução particular de y"+ y = 0.
4. y(x)= Asen (x)+Bcos(x) é a solução geral de y"+ y = 0
5. y(x)= 777 é uma solução particular de y ′′+3y y ′ = 0.
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3 Existência e unicidade de solução de uma EDO
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
2. Se tiver solução, será que esta solução é única?
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que
nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas característi-
cas.
Alertamos que obter uma solução para uma Equação Diferencial é "similar"a calcular uma
integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das
integrais elípticas, dessa forma não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam
soluções.
Teorema de Existência e Unicidade de solução de um PVI
O teorema de existência e unicidade de solução garante que a equação diferencial linear de
primeira ordem com uma condição adicional
a0(x)y
′+a1(x)y = d(x), y(x0)= y0
possui uma única solução se, as funções a0 = a0(x), a1 = a1(x) e d = d(x) são contínuas e
a0 = a0(x) não é identicamente nula em um intervalo aberto real contendo o ponto x0.
4 Problema de Valor Inicial (PVI)
Um problema com uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é
denominado Problema de Valor Inicial (PVI). Se são conhecidas condições adicionais, podemos
obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicio-
nais poderemos obter a solução geral.
Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominado Pro-
blema de Valor Inicial (PVI).
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Exemplo:
 e
x y ′+2y = arc tg (x)
y(0) = pi
Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equa-
ção diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.
5 ModelosMatemáticos e Equações Diferenc. Ordinárias
Muitos problemas aplicados que envolvem a Matemática, normalmente podem ser mode-
lados de acordo com as quatro situações (não muito bem definidos) como:
1. Construir um modelo matemático para descrever o fenômeno físico;
2. Estabelecer um procedimento matemático adequado ao modelo físico;
3. Realizar cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático preestabele-
cida;
4. Comparar as quantidades numéricas obtidas através do Modelo Matemático com aquelas
que se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver o problema.
Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação de que os mesmos es-
tão adequados, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, ge-
ralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os controles
sobre as variáveis que não mostraram importância.
6 Método de resolução
Para resolver uma EDO da forma Mdx+Ndy = 0 ,devemos verificar se esta EDO é exata e
em caso positivo, garantir que existe uma função F= F(x, y) tal que:
∂F
∂x
=M(x, y) e ∂F
∂y
=N(x, y)
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Na sequência, tomamos a relação Fx =M(x, y) e integramos em relação à variável x para
obter:
F(x, y)=
∫
M(x, y)dx+ g (y)
onde g = g (y) é uma função apenas da variável y
Agora, derivamos parcialmente esta última função F= F(x, y) em relação à variável y
∂F
∂y
= ∂
∂y
∫
M(x, y)dx+ g ′(y)
e identificamos esta derivada com a função N = N(x, y) para obter a expressão de g = g (y). A
solução da EDO exata será dada por
F(x, y)=C
Exemplo:
1. Para resolver a EDO (3x2+2y)dx+ (2x+2y)dy = 0, devemos mostrar que esta EDO é exata.
Identificamos então
M(x, y)= 3x2+2y e N(x, y)= 2x+2y
e mostramos que My = 2y =Nx , para garantir que existe F= F(x, y) tal que
∂F
∂x
= 3x2+2y e ∂F
∂y
= 2x+2y
Integramos a primeira relação com respeito à variável x para obter
F(x, y)=
∫
(3x2 = 2y)dx = x3+2xy + g ′(y)
Identificamos agora esta derivada com N=N(x, y):
2x+ g ′(y)= 2x+2y
Temos então que g ′(y)= 2y , donde segue que g (y)= y2+K. Assim,
F(x, y)= x3+2xy + y2+K
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e a solução da EDO exata será dada por
x3+2xy + y2 =C
Resolvendo no wxMáxima
(%i10) eqdif5:(2*x+2*y)*’diff(y,x)+(3*x^2+2*y);
(%o10)
(
2 y +2x) ( d
d x
y
)
+2 y +3x2
(%i11) resoleq5:ode2(eqdif5,y,x);
(%o11) y2+2x y +x3 =%c
2. Resolver a Equação Diferencial Ordinária
y ′ = −(2x+ y
2)
(2x+1)y .
Temos:
(2x+ y2)+ (2xy + y)y ′ = 0,
onde
M= (2x+ y2) e N= (2xy + y).
Logo,
∂M
∂y
= 2y = ∂N
∂x
é exata.
Pelo corolário acima, F(x, y), então:
∂F
∂x
=M= 2x+ y2.
Integrando em relação a x: F(x, y)= x2+xy2+d(y), em que d(y) é uma função de y.
Além disso,
∂F
∂y
=N= 2xy +d ′(y)= 2xy + y . Então d ′(y)= y .
Integrando em relação a y , emos:
g (y)= y
2
2
+ c
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,onde c é uma constante.
Logo, pelo corolário, a solução da EDO é:
F(x, y)= x2+xy2+ y
2
2
+ c
As razões do nome “exatas” são as seguintes:
A equação ”pode não ser exata”,então teremos que fazer-lhe uma alteração para obtermos
uma ” equação exata” que lhe seja equivalente. Esta será uma das seções do texto, mais a frente.
Isto também pode não ser possível, ou seja, podemos mostrar que a equação não é exata, e
esta é a forma mais fácil do problema!
A equação pode ser exata, quer dizer, existe, claramente,uma função
w = F(z1, . . . ,zn) ; dw = dF
e resolver a equação consiste em descobrir F por “n integrações parciais” para escrever
F(z1, . . . ,zn)=C
em que C é uma constante e portanto a solução é ”uma variedade de nível da função primitiva
encontrada”.
A existência clara de uma função cuja diferencial exata se encontra expresso pela equação,podemos mostrar que isto é verdade sem ter meios de descobrir esta função. Neste caso, que é
o mais comum, nem tudo está perdido porque é possível encontrar-se uma solução aproximada
para equação.
Resolvendo no wxMáxima:
(%i1) eqdif4:(2*x+y^2)+(2*x*y+y)*’diff(y,x);
(%o1)
(
2x y + y) ( d
d x
y
)
+ y2+2x
(%i2) resoleq4:ode2(eqdif4,y,x);
(%o2)
(2x+1) y2+2x2
2
=%c
(%i3) expand(((2*x+1)*y^2+2*x^2)/2=%c);
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(%o3) x y2+ y
2
2
+x2 =%c
Referências
[1] ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur. Cálculo Numérico: aprendizagem com apoio de soft-
ware. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
[2] AYRES, Frank. Equações diferenciais: resumo e teoria. São Paulo: Makron Books, 2014.
[3] BARROSO, L. e outros. Cálculo Numérico com Aplicações São Paulo: Habra, 2006
[4] BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange. MOREIRA, José Vicente. Notas
de Aulas de Cálculo Numérico João Pessoa: UNIPÊ, 2014.
[5] BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR, Annibal. Cálculo Numérico
Fundamentos de Informática Rio de Janeiro: LTC, 2012.
[6] CUNHA, M. Cristina. Métodos Numéricos São Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
[7] FRANCO, Neide Bertoldi Cálculo Numérico São Paulo: Pearson, 2006.
[8] GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Uma
introdução com aplicações usando o MATLAB Porto Alegre: Bookman, 2013.
[9] SANTOS, V. R. Curso de Cálculo Numérico São Paulo; Livro Técnicos e Científicos, 2005.
[10] MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais São Paulo: Prentice, Hall, 2001.
[11] SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e Cálculo Numérico:
Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos São Paulo: McGraw-
Hill, 2007.
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