Teste de conhecimento Aula 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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1. 
 
 
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor 
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t 
= ππ (segundos) 
 
 
 
(0,0,-1) 
 
 
(2,0,4) 
 
 
(2,0,-4) 
 
 
NDA 
 
 
(2,-1,0) 
 
 
 
Explicação: 
 →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t)) ¨→r
=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)). 
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i 
+ (sen 2t)j 
 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
 
(1, 1, -1) 
 
 
(2, 1, -1) 
 
 
(0, 2, -1) 
 
 
(0, -1, 1) 
 
 
(-1, 0, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes 
dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(c) 
 
 
(b) 
 
 
(d) 
 
 
(a) 
 
 
(e) 
 
 
 
Explicação: 
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas são 
idêbnticas. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com 
o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da 
função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(
sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k] 
 
 
 
jj 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
i+ki+k 
 
 
i+ji+j 
 
 
kk 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção 
especial deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função 
quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈4,0,10〉 
 
 
〈2,4,12〉 
 
 
〈6,8,12〉 
 
 
〈4,8,7〉 
 
 
〈2,3,11〉 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
sent i - t2 k + C 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
 
 
Explicação: 
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por componente. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira 
ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0
) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos 
obter: 
 
 
( 4, π/6) 
 
 
( 6, π/6) 
 
 
( 2, π/2) 
 
 
( 2, π/6) 
 
 
( 6, π/2) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2 
 
 
 
tg t - sen t 
 
 
tg t 
 
 
cos t 
 
 
sen t + cos t 
 
 
sen t 
 
 
 
Explicação: 
Curvatura (k) = (y''x'-y'x'') / (x'²+y'²)3/2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] 
é: 
 
 
〈2,2/3,6 〉 
 
 
〈4,6,5 〉 
 
 
〈6,8,4 〉 
 
 
〈 2/3,6,4 〉 
 
 
〈 4/3,4,5 〉 
 
 
 
Explicação: 
(t³ - t)i + (t² +2t)j + (t4 / 4)k para t [0,2] = (6, 8, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = 
(cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com 
o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da 
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)
=(1+t³)i+te−tj+senttk 
 
 
 
i+2j+3ki+2j+3k 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
i−ki−k 
 
 
i+ki+k 
 
 
2i+j2i+j 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se 
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para 
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t 
= 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 
1)j + 2tk 
 
 
i/2 + j/2 
 
 
2j 
 
 
2i + 2j 
 
 
2i + j 
 
 
2i 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta 
correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em,emt = 1. 
 
 
 
r′(t)=v(t)=13i - 2j 
 
 
r′(t)=v(t)=12i - j 
 
 
r′(t)=v(t)=15i - 3j 
 
 
r′(t)=v(t)=14i + j 
 
 
r′(t)=v(t)=32i - j 
 
 
 
Explicação: 
Derivadas de funções a valores vetoriais com cálculo de v(t)v(t) em um dado 
valor. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual 
a única resposta correta? 
 
 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
 
(sent)i + t³j 
 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
(cost)i + 3tj 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
 
 
5 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
2 
 
 
6 
 
 
 
Explicação: 
Comy=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o 
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c. 
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma 
equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x + 6 
 
 
y = 2x - 4 
 
 
y = x - 4 
 
 
y = x + 1 
 
 
y = x 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: 
r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1 
 
 
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t 
 
 
 
Explicação: 
Calculando as equações paramétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
 
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 
 
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 
 
fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 
 
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
 
 
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com 
o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da 
função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(
sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k] 
 
 
 
jj 
 
 
i+ji+j 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
i+ki+k 
 
 
kk 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção 
especial deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor 
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração 
(m/s2) para t = ππ (segundos) 
 
 
 
NDA 
 
 
(2,0,4) 
 
 
(2,-1,0) 
 
 
(2,0,-4) 
 
 
(0,0,-1) 
 
 
 
Explicação: 
 →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t)) ¨→r
=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)). 
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
sent i - t2 k + C 
 
 
 
Explicação: 
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por componente. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i 
+ (sen 2t)j 
 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)