Relatorio_SM1_Numeros_Adimensionais

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FATEC - SP - Faculdade de Tecnologia São Paulo
 
 Departamento de Mecânica
Disciplina: Sistemas Mecânicos I - Laboratório
 Modalidade: Processos de Produção
RELATÓRIO de ATIVIDADES de LABORATÓRIO
Título da Atividade: Números Adimensionais
Turma: 204 Quarta- Feira das 7h40 às 9h25.
	Número
	Nome
	Assinatura
	18206687
	Guilherme P. de J. Nascimento
	
	17208248
	Matheus Afonso da Gama Lima
	
	18107455
	Juan Carlos Y. Valencia
	
	18114881
	Isaque F. da S. Santos
	
	18107428
	Thiago Lima de Oliveira
	
	18107553
	Thomas Dos S. da Silva Alves
	
Área de Concentração:
Tecnologia Mecânica
Orientador:
 Prof.: Antonio Santoro / Aux.Docente: Gustavo Roncani
São Paulo
2ª Semestre de 2019
Sumário
Objetivo Geral
Objetivo Funcional
Embasamento Teórico
Número de Euler
Número de Cauchy
Numero de Reynolds
Número de Froude
Número de Mach
Número de Strouhal
Número de Weber
Número de Arquimedes
Relacionando Weber com Thedore Von Karman
Teorema de Buckingham ou Teorema dos Pis
Procedimentos e Analises
Cálculos
Exercício de Classe
Conclusão 
Bibliografia
Objetivo Geral
Solucionar problemas da Mecânica dos Fluídos puramente por métodos analíticos é, em geral, difícil e trabalhoso. Por isso, desenvolvem-se métodos experimentais que permitem produzir modelos matemáticos condizentes com realidade, permitindo tirar maior proveito dos resultados experimentais, assim como diminuir custos e perda de tempo. 
A análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise além de ser útil também para estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno. 
 
Objetivo Funcional
Demonstrar que a análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise; utilizando as três grandezas independentes da Mecânica (força, comprimento e tempo) conhecidas como FLT ou MLT.
 
Embasamento Teorico
Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias. Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão.
Número de Euler
O número de Euler (Eu) é um número adimensional utilizado em mecânica dos fluidos. Ele corresponde à descrição das forças de pressão e das forças de inércia e serve para descrever as perdas em um fluido em movimento.
Seu nome deve-se a Leonhard Euler, um matemático e físico suiço.
É definido como:
Eu = ∆p ÷ ρ.v², onde:
Δp - diferença de pressão
ρ - densidade
v - velocidade
Número de Cauchy
O número de Cauchy é um número sem dimensão na dinâmica de fluidos usado no estudo de fluxos compressíveis. É nomeado em homenagem ao matemático Augustin Louis Cauchy. A compressão é importante, porque as forças elásticas devem ser consideradas juntamente com as forças inerciais de similaridade. 
Assim o número de cauchy é definido como a relação entre a inercia e força de compressão (força elástica) em um fluxo. É definida por: 
 
Ca= ρv²/K
Onde 
ρ = Densidade do fluido
v=velocidade do fluido local
K= modulo da compressão 
Número de Reynolds
O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões.
O conceito foi introduzido por George Gabriel Stokes em 1851, mas o número de Reynolds tem seu nome descendente de Osborne Reynolds, um físico e engenheiro hidráulico irlandês, quem primeiro popularizou seu uso em 1883.
O seu significado físico é um quociente de forças: forças de inércia (vp) por forças de viscosidade (mi/D). É expressado como Re=vp.D/mi, sendo:
v - velocidade média do fluido
D - Longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo
mi - viscosidade dinâmica do fluido
p - massa específica do fluido
A significância fundamental do número de Reynolds é que o mesmo permite avaliar o tipo do escoamento (a estabilidade do fluxo) e pode indicar se flui de forma laminar ou turbulenta. Para o caso de um fluxo de água num tubo cilíndrico, admite-se os valores de 2.000 e 2.400 como limites. Desta forma, para valores menores que 2.000 o fluxo será laminar, e para valores maiores que 2.400 o fluxo será turbulento. E para valores entre eles o fluxo será transitório.
O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos físicos reduzidos.
Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta natureza em modelos de asas de aviões, automóveis, edificações. Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds for o mesmo para ambos. D refere-se em geral, a qualquer dimensão do sistema, por exemplo a corda de asa de um avião, o comprimento de um navio, a altura de um edifício. Geralmente, nos túneis aerodinâmicos a semelhança mais utilizada é a de Mach. Tipicamente, por valores experimentais, costuma-se caracterizar um fluido com escoamento laminar com Re < 2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.
Número de Froude
Em mecânica de meios contínuos, o número de Froude (Fr) é um número adimensional, utilizado na hidráulica de condutos abertos que representa a razão entre a inércia do escoamento e o campo externo (este último em muitas aplicações simplesmente devido a gravidade). Nomeado após William Froude, o número de Froude é baseado na relação velocidade / comprimento, definido como: 
Fr = u0÷√g0.l0
onde u0 é uma velocidade de fluxo característica, g0 é em geral um campo externo característico, e l0 é um comprimento característico. O número de Froude tem alguma analogia com o número de Mach. Na fluidodinâmica teórica, o número de Froude não é freqüentemente considerado, pois geralmente as equações são consideradas no limite alto de Froude do campo externo desprezível, levando a equações homogêneas que preservam os aspectos matemáticos. Por exemplo, equações de Euler homogêneas são equações de conservação.
É um conceito muito importante na determinação da velocidade de um navio para o cálculo da resistência por formação de ondas, sendo um Fr (ou Fn) menor que 0,1 baixo e um Fn maior que 0,3 considerado alto para navios com casco de deslocamento.
Número de Mach
É um valor adimensional útil para analisar problemas de dinâmica de fluxo de fluidos em que a compressibilidade é um fator significativo.
O número Mach pode ser expresso como:
M = v / c (1)
Onde
M = número Mach
v = velocidade do fluxo de fluido (m / s, pés / s)
c = velocidade do som (m / s, pés / s)
Alternativamente, o número Mach pode ser expresso com a densidade e o módulo de massa para elasticidade como
M = v (ρ / E) 1/2 (2)
Onde
ρ = densidade do fluido (kg / m 3, lb / ft ³)
E = elasticidade do módulo a granel (N / m 2 (Pa), lb f / in 2 (psi))
A elasticidade do módulo a granel possui a dimensão pressão e é comumente usada para caracterizar a compressibilidade do fluido.
O quadrado do número Mach é o número de Cauchy .
M2 = C (3)
Onde
C = Número de Cauchy
Velocidade subsônica e supersônica
Se o número de mach for <1 , a velocidade do fluxo é menor que a velocidade do som - e a velocidade é subsônica .
Se o número do mach for ~ 1 , a velocidade do fluxo é aproximadamente igual à velocidade do som - e a velocidade é transônica .
Se o número do mach for > 1 , a velocidade do fluxo será maior que a velocidade do som - e a velocidade será supersônica .
Se o número do mach for >> 1 , a velocidade do fluxo é muito maior que a velocidade do som - e a velocidade é hipersônica .
Exemplo - Cálculode um número de Mach de aeronave
Uma aeronave voa a uma velocidade de 500 mph a uma altitude de 35000 ft . A temperatura ambiente é de -60 o F.
A velocidade do som nessa altitude e temperatura pode ser calculada
c = [ k RT] 1/2
= [1,4 (1716 ft lb / lesma R) ((-60 o F) + (460 o R))] 1/2
= 980 pés / s
Onde
k = 1,4
R = 1716 (ft lb / lesma o R)
A velocidade da aeronave pode ser calculada como
v = (500 milhas / h) (5280 pés / milhas) / (3600 seg / h)
= 733 pés / s
O número Mach pode ser calculado como
M = (733 pés / s) / (980 pés / s)
= 0,75 - a aeronave está voando em velocidade subsônica
Número de Strouhal
Na análise dimensional o número de Strouhal é um número adimensional que descreve o mecanismo de fluxo oscilante. Ele foi nomeado em homenagem a Vinvenc Strouhal, um físico, que realizou experiencias sobre este número em 1878 com arames experimentando vórtices e com isto produzia sons com o vento. A formula para o numero de Strouhal se da por: 
St=(f*L)/V
Onde St é o numero de Strouhal, f é a frequência de vórtices, L é o comprimento característico e V é a velocidade do Fluido.
Número de Weber
O numero de Weber (We) é um número adimensional que é usado na mecânica dos fluidos. Ele é frequentemente usado em analise de fluxos de fluidos, onde existe uma interface entre dois fluidos diferentes, especialmente para fluxos multifásicos com superfícies fortemente curvas. Este número é uma homenagem a Moritz Weber (1871 – 1951). Pode ser pensado como uma medida da importância relativa da inercia do fluido em comparação à sua tensão superficial. A quantidade é útil na análise de fluxos de filmes finos e na formação de gotículas e bolhas.
We= (ρ*v²*l)/ σ
Onde We é o número de Weber, ρ é a densidade do fluido, v é a velocidade do fluido, l é comprimento e σ é a tensão na superfície. 
Número de Arquimedes
É usado para determinar o movimento de fluidos de densidade diferentes, é um número adimensional definido como a razão de força gravitacional e força viscosa 
Ar= gL^3 pl(p - pl)/ u^2
Onde
g - Aceleração da gravidade 
pl - densidade do fluido 
p - densidade do corpo 
u - viscosidade dinâmica 
L - Comprimento do corpo
O número de Arquimedes geralmente é aplicado na confecção de de casacos de navios, barcos, mesmo usando aço na confecção do casco o barco consegue ter a densidade aparente menos do que do líquido por ser oco, e grande parte do casco é submerso e preenchida de ar
Relacionando Numero de Strouhal com Theodore Von Karman
Assim como um peixe pode aproveitar a energia dos vórtices formados por uma rocha em uma corredeira para economizar energia e produzir impulso, os vórtices de Von Karman também. Desprendidos de um corpo cilíndrico colocado em um escoamento contínuo e com movimentos livres na horizontal, pode vibrar e produzir movimentos rotacionais, e por fim, uma frequência, com o objetivo de se aproveitar esse movimento para geração de energia. Para tanto, utiliza-se um software para observar e quantificar os movimentos produzidos pela placa. Observou-se tambem, entre os três comprimentos de placa, com três velocidades diferentes, três números de Reynolds diferentes e com escoamentos laminar e turbulento, como as placas se comportam e qual delas produz movimento com a maior frequência. Buscou-se tambem verificar a eficiência do movimento para números de Strouhal menores e iguais a 0,21 
	Linha Cronológica
	Número
	Ano
	Número de Arquimedes
	287 a.C – 212 a.C
	Número de Euler
	1618
	Número de Cauchy
	1789 - 1857
	Número de Froude
	1810- 1875
	Número de Reynolds
	1833
	Número de Mach
	1877
	Número de Strouhal
	1878
	Número de Weber
	1871- 1951
Teorema de Buckinham ou Teorema dos Pis
É o teorema que permite determinar o s números adimensionais de um dado fenômeno físico, 
de um dado campo de estudo da Física, a partir do estudo dimensional. 
Seja uma dada função: 
f=(X1,X2,X3,..Xn)=0
Onde: 
x = grandeza da Física 
n = número de grandezas envolvidas no fenômeno físico 
Deve existir uma outra função rigorosamente equivalente à anterior, dada por: 
f1= (π1, π2, π3,... πn)=0
Onde: 
K= número adimensionais envolvidos no fenômeno físico
r = número de fundamentais envolvidos no fenômeno físico 
K=(N-r)
Procedimentos e Analises
Para este experimento, foram realizados os seguintes procedimentos: 
1.Identificação e seleção das grandezas físicas envolvi das no fenômeno físico; 
2.Descrição das equações dimensionais das grandezas envolvidas no fenômeno físico; 
3.Escolha da base; 
4.Construção da Equação Adimensional
Determinar os adimensionais, representativos, nos casos:
Bombas centrífugas, onde as grandezas envolvidas são:
Regime de escoamento, onde as grandezas envolvidas são:
Exercícios da classe
Thomas
Thiago
Guilherme
Juan
Matheus
Conclusão
Os problemas em Mecânica dos fluídos envolvem muitas variáveis com diferentes sentidos físicos. 
A análise adimensional permite a simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise. 
É importante escolher um sistema coerente de unidades, que defina somente as unidades das grandezas fundamentais. 
São sistemas coerentes de unidades das grandezas fundamentais FLT ou MKS Técnico e MLT temos o Sistema Internacional (SI) e o CGS, onde a força é uma grandeza derivada. 
Bibliografia
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_adimensional Acessado no dia 10 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Arquimedes Acessado no dia 11 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler_(f%C3%ADsica) Acessado no dia 08 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Reynolds Acessado no dia 10 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Mach Acessado no dia 15 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Weber Acessado no dia 13 de setembro de 2019
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Froude Acessado no dia 14 de setembro de 2019
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Cauchy Acessado no dia 12 de setembro de 2019