ANALISE COMBINATÓRIA

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Análise Combinatória Fatorial de um número (!) = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1 Ex: 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 Princípio Fundamental da contagem (PFC) = a . b . c . ... . z Permutação simples: n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1 Obs: anagramas são exemplos de permutação. Permutar significa reordenar, trocar a ordem. Arranjo (quando a ORDEM IMPORTA) = ௡!(௡ି௣)!, onde n é o número de ELEMENTOS e p é o número de posições. Combinação (quando a ORDEM NÃO IMPORTA) = ௡!(௡ି௣)!.௣! Exercícios: 11. Admita que certa cidade brasileira tenha 8 canais de TV aberta, todos com transmissões diárias. Se uma pessoa pretende assistir três dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer isso de x maneiras diferentes sem levar em consideração a ordem em que assiste os canais, e pode fazer de y maneiras diferentes levando em consideração a ordem em que assiste os canais. Sendo assim, y-x é igual a a) 112 b) 280 c) 224 d) 56 e) 140 Resolução Combinação é quando a ordem não importa (situação x) ݊!
(݊ − ݌)!. ݌! 
C8,3 = ଼ .଻. ଺ . ହ . ସ . ଷ . ଶ . ଵଷ.ଶ.ଵ! ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵ! 
C8,3 = ସ଴.ଷଶ଴଺ . ଵଶ଴ 
C8,3 = ସ଴.ଷଶ଴଻ଶ଴ C8,3 = 56 Aranjo é quando a ordem importa (situação y) 
 
 
݊!
(݊ − ݌)! 
A8,3 = ଼!(଼ିଷ)! 
A8,3 = ଼ .଻.଺.ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵହ! 
A8,3 = ସ଴.ଷଶ଴ଵଶ଴ A8,3 = 336 Sendo assim, y – x é igual a 336 – 56 = 280 (Alternativa B) 12. LOTOGOL é um jogo de loteria em que o apostador marca seu palpite de placar em 5 jogos de futebol de uma rodada. Ganha premiação aquele que acerta 3, 4 ou 5 dos palpites. Estas são as instruções do jogo: Como jogar: Acerte a quantidade de gols feitos pelos times de futebol na rodada e concorra a uma bolada. Para apostar, basta marcar no volante o número de gols de cada time de futebol participante dos 5 jogos do concurso. Você pode assinalar 0, 1, 2, 3 ou mais gols (esta opção está representada pelo sinal +). Os clubes participantes estão impressos nos bilhetes emitidos pelo terminal. 
 
 
 
O número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é igual a a) 56 
b) 510 - 5 105 5 c) 55 d) 510 e) 55 - 5 Resolução Times: 10 Jogos: 5 Opção 1: marcar 0 gols Opção 2: marcar 1 gol Opção 3: marcar 2 gols Opção 4: marcar 3 gols Opção 5: marcar 4 ou mais gols Para cada time, há 5 opções de resultados. Logo: 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 Então, vamos repetir a base e somar os expoentes 51 . 51 . 51 . 51 . 51 . 51 . 51 . 51 . 51 . 51 = 510 O número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é 510 
(Alternativa D) 13. Um aluno do Instituto Federal de Alagoas (IFAL), deseja praticar dois esportes, durante o ano letivo de 2017. Sabendo que o IFAL oferece os esportes: futebol de campo, futsal, voleibol de quadra, voleibol de praia, handebol, basquete e judô, de quantas maneiras esse aluno pode fazer sua escolha? a) 14 b) 21 c) 42 d) 49 e) 128 Resolução Combinação é quando a ordem não importa ݊!
(݊ − ݌)!. ݌! 
C7,2 = ଻!ଶ!(଻ିଶ)! 
C7,2 =଻.଺.ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵଶ!ହ! 
 
 
C7,2 = ଻.଺.ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵଶ.ଵ ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵ 
C7,2 = ହ.଴ସ଴ ଶ . ଵଶ଴ 
C7,2 = ହ.଴ସ଴ଶସ଴ C7,2 = 21 Esse aluno pode fazer sua escolha de 21 maneiras. (Alternativa B) 14. O coordenador de Matemática do campus Recife conta com 7 professores para lecionar aulas em um programa do PROIFPE. São aulas semanais e a cada semana um novo trio de professores é selecionado para ministrá-las. Considerando um mês equivalente a 4 semanas, em quanto tempo esse programa estará finalizado a) 6 meses. b) 4 meses e 1 semana. c) 1 ano, 8 meses e 2 semanas. d) 2 anos e 3 meses. e) 8 meses e 3 semanas. Resolução Combinação é quando a ordem não importa ݊!
(݊ − ݌)!. ݌! 
C7,3 = ଻!ଷ!(଻ିଷ)! 
C7,3 = ଻!ଷ! ସ! 
C7,3 = ଻.଺.ହ.ସ.ଷ.ଶ.ଵଷ.ଶ.ଵ ସ.ଷ.ଶ.ଵ 
C7,3 = ହ଴ସ଴଺ . ଶସ 
C7,3 =ହ଴ସ଴ଵସସ 
 
 
 C7,3 = 35 semanas Para descobrir os meses basta dividir o número de semanas que tem o mês, ou seja 4 semanas ଷହ
ସ = 8 meses e 3 semanas O programa estará finalizado em 8 meses e 3 semanas (Alternativa E) 15. No primeiro dia de aula de 2017.1 do Curso de Segurança do Trabalho, todos os estudantes se cumprimentaram apertando as mãos um a um. Sabendo que essa turma tinha 25 estudantes, quantos apertos de mãos houve ao todo? a) 50 b) 150 c) 300 d) 600 e) 625 Resolução Combinação é quando a ordem não importa ݊!
(݊ − ݌)!. ݌! Cada um aperta a mão de outra pessoa somente uma vez. Como um aperto de mão ocorre entre 2 pessoas, p = 2. 
C25,2 = ଶହ!(ଶହିଶ)! ଶ! 
C25,2 = ଶହ!ଶଷ! ଶ! 
C25,2 = 25.24.23!23! 2! 
C25,2 = ଶହ.ଶସଶ 
C25,2 = ଺଴଴ଶ C25,2 = 300 
 
 
Houve ao todo 300 apertos de mãos. (Alternativa C) 16. Cinco cursos do IFAL CAMPUS-MACEIÓ resolveram fazer um torneio de futebol, onde cada time de cada curso joga contra os demais times apenas uma vez. Quantos serão os jogos nesse torneio? a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 Resolução Combinação é quando a ordem não importa. Como cada partida ocorre entre 2 times, p = 2. ݊!
(݊ − ݌)!. ݌! 
C5,2 = ହ!ଶ!(ହିଷ)! 
C5,2 = ହ.ସ.ଷ!ଶ! ଷ! 
C5,2 = ଶ଴ଶ C5,2 = 10 Os jogos nesse torneio serão de 10 jogos. (Alternativa E) 17. Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de uma escola, há 8 candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola? a) 15 b) 27 c) 34 d) 56 e) 65 Resolução Aranjo é quando a ordem importa 
 
 
݊!
(݊ − ݌)! 
A8,2 = ଼!(଼ିଶ)! 
A8,2 = ଼.଻.଺!଺! A8,2 = 56 As possibilidades de ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola são 56. (Alternativa D) 18. Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o segundo mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa comissão poderá ser formada? a) 120 b) 60 c) 40 d) 20 e) 10 Resolução Aranjo é quando a ordem importa ݊!
(݊ − ݌)! 
A5,3 = ହ!(ହିଷ)! 
A5,3 = ହ.ସ.ଷ.ଶ!ଶ! 
A5,3 = ଵଶ଴ଶ A5,3 = 60 Essa comissão poderá ser formada em 60 formas possíveis. (Alternativa B) 
 
 
19. Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor essas 9 pessoas para a foto é a) 8 . 8! b) 9! c) 9 . 88 d) 89 Resolução Há 8 adultos e 8 cadeiras. n = p Permutação simples: 8! Entretanto, o bebê pode se sentar no colo de qualquer um desses adultos. Logo, há 8 opções de posições para o bebê. Portanto: 8 . 8! (Alternativa A) 20. Um pixel é o menor elemento de uma imagem digital e, em casos de imagens coloridas, é composto por um conjunto de 3 pontos: vermelho, verde e azul. Cada um desses pontos é capaz de exibir 256 tonalidades distintas. Combinando tonalidades desses três pontos, quantas cores diferentes podem ser exibidas? a) 3256 b) 3 . 256 c) 2563 d) 256 e) 27 . 256 Resolução São 3 pontos (vermelho, verde e azul). Cada ponto possui 256 tonalidades. 256 . 256 . 256 Em uma multiplicação de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. 256 . 256 . 256 = 256³ Podem ser exibidas 2563 diferentes cores. (Alternativa C)