Funções trigonométricas: secante e cossecante

Prévia do material em texto

Matemática 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SECANTE E 
COSSECANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Funções trigonométricas: secante e cossecante ................................................................ 2 
1.1. Função secante ................................................................................................................. 2 
1.2. Função cossecante ........................................................................................................... 4 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior, estudamos com mais riqueza de detalhes as funções 
trigonométricas: tangente e cotangente, onde foi possível conhecer o 
comportamento delas, bem como suas respectivas representações gráficas. 
Nesta apostila continuaremos estudando as funções trigonométricas, que são 
funções angulares, caracteriza uma grande importância no estudo dos triângulos e 
na modelação de fenômenos periódicos. Assim aprenderemos mais sobre a função 
secante e cossecante. Por definição secante e cossecante são razões inversas das 
razões trigonométricas seno e cosseno, respectivamente, as quais estudamos 
anteriormente. 
Objetivo 
• Ler, identificar e representar a função secante; 
• Ler, identificar e representar a função cossecante. 
 
1. Funções trigonométricas: secante e cossecante 
1.1. Função secante 
A secante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o cateto 
adjacente a esse ângulo, sendo representada como sec =
1
cos 𝑥 
. 
Conclui-se que a função: 
y = f(x) = sec x, x ≠ π/2 + kπ. 
Vejamos o seguinte desenho ilustrativo para facilitar o entendimento: 
 
 
Representação dos catetos e hipotenusa 
 
Utilizando a figura anterior e a definição de secante podemos obter a 
seguinte relação levando em consideração ângulo α: 
sec (α) = 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 α
 
 
3 
 
sec (α) = 
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
𝑎
𝑏
 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
 
A função secante tem os sinais da função cosseno iguais, em cada um dos 
quadrantes, vejamos a figura seguinte. 
 
 
 
 
 - + 
 
 
 - + 
 
 
Representação dos sinais da função secante. 
 
A função y = sec x é par. Temos: sec (-x) = sec x. 
Agora vamos ver um pouco sobre a secante dos ângulos notáveis, existem 
alguns, que chamamos de notáveis, onde o valor da secante é facilmente calculável, 
são eles 30º, 45º e 60º. Vamos verificar a tabela a seguir. 
 
 
 
 
Domínio e imagem de uma função secante 
• Domínio: 
D(f) = R – {π/2 + n. π, n є Z} 
• Imagem: 
Im (f) = { y є R | y ≤ -1 ou y ≥ 1} 
• Período: 
2 π 
 
 
4 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
Temos os gráficos da figura seguinte da função secante e para isso vamos 
fazer uma tabela para representá-los. 
 
 
 
 
 
 
Representação dos gráficos da função secante. 
1.2. Função cossecante 
A cossecante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o 
cateto oposto a esse. 
Sendo representada como: 
cossec x =
1
sen 𝑥 
 
X 0 π/2 π 3π/2 2 π 
f(x) = sec (α) 1 ∄ -1 ∄ 1 
 
Α 30º 45º 60º 
sec (α) = 1/cos (α) 2√3/3 √2 2 
 
 
5 
 
Conclui-se que a função: 
y = f(x) = cossec x, x ≠ kπ e k є Z. 
Vejamos o desenho ilustrativo a seguir para facilitar o entendimento: 
 
 
 
Representação dos catetos e hipotenusa. 
 
Utilizando a figura anterior e a definição de secante podemos obter a 
seguinte relação levando em consideração ângulo α: 
cossec (α) = 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 α
 
cossec (α) = 
𝐵𝐶
𝐴𝐵
=
𝑎
𝑐
 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
A função cossecante tem os sinais da função seno iguais, em cada um dos 
quadrantes, vejamos a Figura seguinte: 
 
 
 
Domínio e imagem de uma função cossecante 
• Domínio: 
D(f) = R – {n. π, n є Z} 
• Imagem: 
Im (f) = { y є R | y ≤ -1 ou y ≥ 1} 
• Período: 
2 π 
 
 
6 
 
 
 
 + + 
 
 
 - - 
 
Representação dos sinais da função secante. 
 
A função y = cossec x é ímpar. Temos: cossec (-x) = - cossec x. 
Agora vamos ver um pouco sobre a secante dos ângulos notáveis, existem 
alguns, que chamamos de notáveis, onde o valor da cossecante é facilmente 
calculável, são eles 30º, 45º e 60º. Vamos verificar a tabela a seguir. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
Temos os gráficos (figura seguinte) da função cossecante e para isso vamos 
fazer uma tabela para representá-los. 
 
 
 
 
 
x 0 π/2 π 3π/2 2 π 
f(x) = cossec (α) ∄ 1 ∄ -1 ∄ 
 
α 30º 45º 60º 
cossec (α) = 
1
𝑠𝑒𝑛 (α)
 2 √2 
2√3
3
 
 
 
7 
 
 
Representação dos gráficos da função secante. 
 
Vamos agora ver como a matemática, as vezes se parece complicada, mas é 
bem simples. 
Imagine que o preço de um produto é igual ao cos x . tg x . cossec x e daí você 
se pergunta, será possível calcular? 
Veja bem, vamos relembrar alguns conceitos que já aprendemos e resolver de 
uma maneira bem simplificada. 
Lembre-se que tg x = sen x / cos x e que cossec x = 1 / sen x. 
Agora basta substituir: 
cos x . tg x . cossec x = cos x . 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 .
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 = 
cos 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 1 
Exercícios 
1. (DA SILVA, 2014) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus 
catetos medem 6 e 8. A cossecante de α mede? 
 
 
 
 
8 
 
2. (DA SILVA, 2014) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus 
catetos medem 6 e 8. A secante de α mede? 
 
 
3. (FEI-SP) Sabe-se que x é tal que 0 < x < π/2. Determine o desenvolvimento do 
produto. 
 
P = (sen x)*(cos x)*(tg x)*(cotg x)*(sec x)*(cossec x) 
Gabarito 
1. Vamos a resolução: cossec (α)= hipotenusa/cateto oposto a α = 10/6 = 1,66. 
Temos que cossec (α) = 1,66 
 
2. Vamos a resolução: sec (α)= hipotenusa/cateto adjacente a α = 10/8 = 1,25. 
Temos que cossec (α) = 1,25 
 
3. Vamos a resolução: 
 
P = (sen x)*(cos x)*(tg x)*(cotg x)*(sec x)*(cossec x) 
P = (sen x)*(cos x)*(sen x/cos x)*(cos x/sen x)*(1/cos x)*(1/sen x) 
P = (sen2x* cos2x)/(cos2x * sen2 x) 
P = 1 
Resumo 
Nesta apostila aprendemos que a secante de um ângulo é definida como a 
razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente a esse ângulo sendo representada 
pela função: y = f(x) = sec x, x ≠ π/2 + kπ. A secante érepresentada por sec(α) = 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 α
. Tem como domínio D(f) = R – {π/2 + n. π, n є Z} e imagem Im (f) = { y 
є R | y ≤ -1 ou y ≥ 1} e tem como período 2 π. A função y = sec x é par. Temos: sec (-x) = 
sec x. A cossecante de um ângulo é definida como a razão entre a hipotenusa e o 
 
9 
 
cateto oposto a esse e tem como função: y = f(x) = cossec x, x ≠ kπ e k є Z. Tem como 
representação do Domínio: D(f) = R – {n. π, n є Z} e Imagem: Im (f) = { y є R | y ≤ -1 ou y 
≥ 1} e Período:2 π. A função y = cossec x é ímpar. Temos: cossec (-x) = - cossec x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
Referências imagéticas 
Infoescola. Cossecante. Disponível em: https://www.infoescola.com/trigonometria/cossecante/. Acessado em: 
16/03/2019 às 17h30. 
Infoescola. Secante. Disponível em: https://www.infoescola.com/trigonometria/secante/. Acessado em: 
16/03/2019 às 10h30.