Introdução à trigonometria aula 1

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DESCRIÇÃO
Apresentação das linhas trigonométricas no triângulo retângulo, sua generalização no círculo trigonométrico e principais aplicações.
PROPÓSITO
Compreender e utilizar as definições e propriedades das linhas trigonométricas na resolução de problemas de deslocamento circular,
bem como na medição de distâncias e de ângulos em figuras em um plano.
PREPARAÇÃO
É útil dispor de papel, lápis, borracha e uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir linhas trigonométricas básicas no triângulo retângulo
MÓDULO 2
Calcular linhas trigonométricas de ângulos notáveis
MÓDULO 3
Definir linhas trigonométricas adicionais no triângulo retângulo
MÓDULO 4
Definir o conceito geral de arcos e ângulos
TRIGONOMETRIA – CONCEITOS INICIAIS
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos
e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Definir linhas trigonométricas básicas no triângulo retângulo
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
javascript:void(0)
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Foto: stock.adobe.com
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS EM UM TRIÂNGULO
RETÂNGULO
UMA FORMA INTUITIVA DE INICIAR O ESTUDO DAS CHAMADAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS É PARTIR DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
TRABALHANDO COM SEUS ÂNGULOS INTERNOS.
É essa a estratégia que seguiremos. Vamos a ela!
A seguir, temos três triângulos retângulos encaixados, cujo ângulo comum possui medida
α
.
É fácil perceber, intuitivamente, que esses triângulos possuem a mesma forma, ou seja, são triângulos semelhantes. Na verdade, o
conhecido teorema da intersecção de Tales nos garante que, quando retas paralelas (
p1
,
p2
e
p3
) são cortadas por transversais (
t1
e
t2
), ficam determinados segmentos correspondentes proporcionais.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então, “desencaixando” os triângulos retângulos, obtemos a seguir as igualdades que retratam as proporções iguais entre os lados
correspondentes dos três triângulos:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo
α
e a medida da hipotenusa:
b
a
=
b ′
a ′
=
b ′′
a ′′
(1)
Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo
α
, e a hipotenusa:
b
a
=
b ′
a ′
=
b ′′
a ′′
(2)
Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo
α
, e o cateto adjacente a ele:
c
a
=
c ′
a ′
=
c ′′
b ′′
(3)
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
É INTERESSANTE PERCEBER QUE AS TRÊS PROPORÇÕES (1), (2) E (3) DEPENDEM
APENAS DO ÂNGULO
Α
. ENTÃO, FAZ SENTIDO IMAGINÁ-LAS COMO PROPRIEDADES ASSOCIADAS AO
ÂNGULO
Α
E, É CLARO, DAR NOMES A TAIS RAZÕES!
Naturalmente há, ao todo, seis possíveis razões envolvendo os três lados de um triângulo retângulo (pense a respeito), mas as três
razões adicionais, que são o inverso das apresentadas, serão abordadas no módulo 3. Veja a terminologia utilizada:
Razão entre... que chamamos de... Notação
...o cateto oposto ao ângulo
α
e a hipotenusa
seno de
α
sen α
...o cateto adjacente ao ângulo
α
e a hipotenusa
cosseno de
α
cos α
...o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo
α
tangente de
α
tg α
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Um triângulo retângulo possui um cateto e a hipotenusa com medidas 7 e 25 respectivamente. Determine o seno, o cosseno e a
tangente de seu menor ângulo agudo
SOLUÇÃO
Uma primeira solução é calcular o outro cateto e usar as definições. Para isso, entretanto, teremos que lançar mão do famoso
teorema de Pitágoras, que é a receita perfeita, pois ele assegura que:
O quadrado (da medida) da hipotenusa é igual à soma dos quadrados (das medidas) dos catetos!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, fazendo
a
=25 e
b
=7, podemos calcular a medida do cateto
c
.
a2 = b2 + c2 ⇒ 252 = 72 + c2 ⇒ c2 = 252 – 72
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há uma forma de calcular
c2
sem precisar calcular os quadrados ou usar uma calculadora: como
c2
é a diferença entre dois quadrados, podemos usar o produto notável. Lembra disso?
x2 − y2 = (x − y)(x + y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O produto notável assegura que:
A diferença entre os quadrados de dois números, x e y, é igual ao produto de sua soma pela sua diferença.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se você efetuar o produto, comprovará a relação.
Então, usando essa propriedade, obtemos:
c2 = 252 – 72 = (25 + 7)(25 – 7)
c2 = 32 ⋅ 18 = 64 ⋅ 9 = 82 ⋅ 32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
c = 8 ⋅ 3 = 24
e podemos, então, calcular o seno e o cosseno de qualquer um dos ângulos agudos do triângulo retângulo dado.
Mas qual é o menor ângulo agudo?
Pense um pouco, analisando as figuras anteriores. Perceba que o menor ângulo agudo é o que se opõe ao menor lado (no caso
de um triângulo retângulo, um cateto, naturalmente). Assim, chamando o menor ângulo de α, obtemos:
sen α =
7
25
cosα =
24
25
e
tg α =
7
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INICIAIS
 SAIBA MAIS
Como as linhas trigonométricas tratam de razões entre os lados de um triângulo retângulo, é possível estabelecer várias relações
algébricas entre elas!
Estudaremos a seguir duas dessas relações, chamadas de relações ou identidades trigonométricas. Vejamos:
As igualdades (4) e (5) a seguir são obtidas diretamente das definições de seno e cosseno:
sen α =
b
a
 ⇒ b = a ⋅ sen α
(4)
cosα =
c
a
 ⇒ c = a ⋅ cosα
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Desse modo, parece natural relacionar os catetos
b
e
c
com a hipotenusa
a
, utilizando o teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, sucessivamente, obtemos:
a2 = b2 + c2
a2 = [ a ⋅ sen α ]2 + [ a ⋅ cos α ]2
a2 = a2 (sen α )2 + ( cos α )2
de (4) e (5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas como
a ≠ 0
[ ]
, chegamos à primeira das relações trigonométricas de interesse, que relaciona o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.
sen2 α + cos2 α = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
É importante perceber que essa relação não tem absolutamente nada de extraordinário, pois é simplesmente o teorema de Pitágoras
disfarçado, quando você escolhe a hipotenusa do triângulo retângulo medindo uma unidade! Percebeu? Quem seria o seno e o
cosseno, nesse caso, caso a hipotenusa do triângulo medisse 1 (uma unidade)? Naturalmente, os próprios catetos, certo?
Indo em frente e usando a definição de tangente, obtemos a segunda relação trigonométrica de interesse, que relaciona as três
razões estudadas, ou seja, o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo.
tg a =
b
c
 ⇒ tg a =
a ⋅ sen a
a ⋅ cos a
 
de (4) e (5)
TG Α =
SEN Α
COS Α 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
No quadriculado, são marcados os ângulos agudos
α
,
β
e
δ
(respectivamente, alfa, beta e delta).
Calcule o seno, cosseno e tangente desses ângulos.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
SOLUÇÃO
Podemos supor que o segmento
u
indicado é a unidade de comprimento a ser utilizada.
• Linhas trigonométricas de
α
e
β
Nesse caso, os catetos do triângulo da figura valem 3 e 6 unidades, mas é necessário calcular a hipotenusa.
Então, se
x
é a medida da hipotenusa desse triângulo,temos, pelo velho Pitágoras:
x2 = 32 + 62 = 45
x2 = 9 ⋅ 5 ⇒ x = √9√5 = 3√5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, pela definição de seno, cosseno e tangente, obtemos:
sen α = 
cateto oposto
hipotenusa
=
6
3√5
=
6
3√5
⋅
√5
√5
=
6√5
3 ⋅ 5
=
2
5√5
cos α = 
cateto adjacente
hipotenusa
=
3
3√5
=
1
5√5
tg α = 
cateto oposto
cateto adjacente
=
6
3
= 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE
Δ
Como os catetos são iguais, esse triângulo é a metade de um quadrado cuja diagonal é a hipotenusa!
Então,
δ = 45°
e, pelo teorema de Pitágoras, o valor da hipotenusa vale
3√2
. Na verdade, de maneira geral, vale a seguinte propriedade decorrente de imediato do Pitágoras:
 ATENÇÃO
Note que o cateto oposto ao ângulo
β
 é o cateto adjacente ao ângulo
α
, e essa relação é recíproca. Como consequência, perceba a interessante propriedade: se dois ângulos são complementares (soma
de suas medidas igual a um ângulo reto — ), o seno de um dos ângulos é o cosseno do outro e vice-versa; além disso, a tangente
de um é o inverso da tangente do outro.
Daí decorre que:
cos β = sen α = 
2
5√5
sen β = cos α = 
1
5√5
tg β = 
1
tg α
=
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
Em qualquer quadrado, a medida de sua diagonal vale
√2
vezes a medida de seu lado.
Logo, temos:
tg δ = tg 45° = 1
(pois os catetos são iguais)
sen δ = cos δ = 
3
3√2
=
3
3√2
⋅
√2
√2
=
√2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
A figura indica uma situação típica do estudo da Física no ensino médio, quando analisamos, na mecânica, as forças que agem
sobre um bloco em cima de um plano inclinado.
É usual, nesses problemas, o enunciado fornecer como dado o seno do ângulo
α
, ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal. E curiosamente, em mais de 70% dos casos, o valor usado é 0,6! Por que
será?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então, vamos em frente com uma pergunta: sabendo que
sen α = 0, 6
, o que lhe parece mais simples?
Calcular
cosα
a partir da relação fundamental
sen2
α + cos2 α = 1
?
ou
Calcular
cosα
a partir dos lados de um triângulo retângulo, sendo
α
um dos ângulos?
Pois é. O velho Pitágoras parece ser o caminho mais rápido, pois bastaria dividir o cateto adjacente pela hipotenusa, certo?
SOLUÇÃO 1
Primeiro vamos à solução via Pitágoras, mas de um jeito bem diferente!
Como
sen α = 0, 6 =
6
10
=
3
5
, podemos imaginar que
α
é o ângulo agudo de um triângulo retângulo em que o cateto oposto vale 3 e a hipotenusa vale 5. Claro, podíamos escolher outros
valores desde que numerador (cateto oposto) dividido pelo denominador (a hipotenusa) valesse
3
5
.
Nesse caso, se escolhemos cateto oposto igual a 3 e hipotenusa igual a 5, sequer é necessário o teorema de Pitágoras para calcular
o outro cateto, pois o triângulo retângulo “3, 4, 5” é conhecidíssimo, ou seja, todos nós sabemos que a medida do outro cateto vale 4.
Portanto, se você se deparar com o seno ou cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo valendo 0,6 ou 0,8, lembre-se
de que tal triângulo só pode ser um múltiplo do manjado triângulo pitagórico “3, 4, 5”.
Concluindo: dividindo o cateto adjacente pela hipotenusa, obtemos
cosα =
4
5
= 0, 8
, e dividindo
cateto oposto pelo cateto adjacente, obtemos
tg α =
3
4
.
SOLUÇÃO 2
Utilizando a relação trigonométrica desenvolvida, a solução exigiria continhas mais trabalhosas (porque estaríamos aplicando, em
essência, o mesmo Pitágoras, mas usando números decimais ou frações). Veja:
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ 0, 62 + cos2 α = 1
⇒ cos2 α = 1 − 0, 36
⇒ cos2 α = 0, 64 =
64
100
⇒ cosα =
64
100
=
8
10
= 0, 8
⇒ tg α =
6
10
8
10
=
3
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√
MÃO NA MASSA
1. NO TRIÂNGULO INDICADO, OS VALORES DOS SENOS DE
Α
E
Β
VALEM, RESPECTIVAMENTE
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
√3
2
e
√37
2
B)
√2
2
e
√37
2
C)
√2
2
e
6
√37
37
D)
√2
e
2
√37
37
E)
√3
2
e
1
√37
2. SE A E B SÃO ÂNGULOS AGUDOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO, TAIS QUE
3 ⋅ SEN A − 2 ⋅ SEN B = 0
, PODEMOS CONCLUIR QUE
A)
tg a = 3
B)
tg a =
1
3
C)
tg a =
2
3
D)
tg a =
3
2
E)
tg a = 1
3. SE A TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO VALE 2, ENTÃO OS VALORES DE SEU SENO E DE SEU
COSSENO VALEM, RESPECTIVAMENTE
A)
√5
2
e
√5
3
B)
2
√5
3
e
√5
3
C)
√5
5
e
2√5
5
D)
√5
3
e
√5
4
E)
2√5
5
e
√5
5
4. A FIGURA ILUSTRA UM OCTÓGONO REGULAR NO QUAL É POSSÍVEL MOSTRAR (TENTE) QUE O
ÂNGULO Α VALE 22,5°. CALCULANDO A TANGENTE DE 22,5°, OBTEMOS:
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
2
B)
√2
C)
√5
D)
√2 + 1
E)
√2 − 1
5. SABENDO-SE QUE
Α
,
Β
E
Γ
SÃO ÂNGULOS AGUDOS E QUE
SEN Α =
5
13, COS Β =
2
3
E
SEN Γ =
7
13
, ASSINALE A OPÇÃO EM QUE OS ÂNGULOS ESTÃO EM ORDEM CRESCENTE.
A) α < β < γ
B) α < γ < β
C) β < α < γ
D) β < γ < α
E) γ < β < α
6. NO RETICULADO DA FIGURA, SÃO REPRESENTADOS OS ÂNGULOS
Α
,
Β
E
Γ
. ANALISE AS AFIRMATIVAS:
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
(I)
Β = 2Α
(II)
Α + Β > Γ
(III)
Α + Β < Γ
(IV)
Α + Β = Γ
QUANTAS SÃO VERDADEIRAS?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
GABARITO
1. No triângulo indicado, os valores dos senos de
α
e
β
valem, respectivamente
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "C " está correta.
Traçando a altura relativa ao vértice A, fica claro que formamos dois triângulos retângulos cujas hipotenusas
x = AB
e
y = AC
podem ser facilmente calculadas por Pitágoras:
x2 = 62 + 62 então, x = 6√2
y2 = 12 + 62 então, y = √37
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, o cálculo dos senos dos ângulos
α
e
β
é imediato:
sen α = 
cateto oposto
hipotenusa = x =
6
6√2
=
√2
2
sen β =
6
√37
=
6√37
37
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Se a e b são ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que
3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0
, podemos concluir que
A alternativa "C " está correta.
Se a e b são ângulos agudos de um triângulo retângulo, então
sen a = cos b
e
cos a = sen b
.
Assim, a partir da igualdade
3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0
, temos
3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0
⇒
sen a
cosa
=
2
3
⇒ tg a =
2
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Se a tangente de um ângulo agudo vale 2, então os valores de seu seno e de seu cosseno valem, respectivamente
A alternativa "E " está correta.
Uma primeira solução, atenta à geometria, é imaginar tal ângulo como um ângulo agudo de um triângulo retângulo com cateto oposto
= 2, e cateto adjacente = 1 (ora, afinal, o que é tangente?).
Então, a hipotenusa de tal triângulo, por Pitágoras, vale naturalmente
√5
. Como consequência, o seno desse ângulo vale
2
√5
e o cosseno
1
√5
(justifique).
É possível uma segunda solução, usando simplesmente as relações trigonométricas conhecidas:
SEN2 Α + COS2Α = 1
(I)
TG Α =
SEN Α
COS Α
(II)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como tg α = 2 então, de (II), obtemos: sen α = 2 · cos α.
Mas se elevarmos ao quadrado essa igualdade, poderemos facilmente usar a relação fundamental (I) e concluir a solução.
4. A figura ilustra um octógono regular no qual é possível mostrar (tente) que o ângulo α vale 22,5°. Calculando a tangente
de 22,5°, obtemos:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "E " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
5. Sabendo-se que
α
,
β
e
γ
são ângulos agudos e que
sen α =
5
13, cos β =
2
3
e
sen γ =
7
13
, assinale a opção em que os ângulos estão em ordem crescente.
A alternativa "B " está correta.
Já observamos que ao menor ângulo agudo, corresponde ao menor seno. Calculemos, então, o seno de
β
:
sen2β + cos2β = 1 
sen2β +
2
3
2
=1 ⇒ sen2β = 1 - 
22
32
=
5
9
sen β =
√5
3 ≅ 0, 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como sen α =
5
13 ≅ 0, 4; sen β ≅ 0, 8; e sen γ ≅
7
13 = 0, 5, a resposta correta é a alternativa B.
6. No reticulado da figura, são representados os ângulos
α
,
β
e
γ
. Analise as afirmativas:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
(I)
β = 2α
(II)
α + β > γ
( )
(III)
α + β < γ
(IV)
α + β = γ
Quantas são verdadeiras?
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Determine o valor da soma
S =
α = 89 ∘
∑
α = 1 ∘
(sen α − cos β)
, ou seja
S = (sen 1° − cos 1°) + (sen 2° − cos 2°) + ⋯ + (sen89° − cos 89°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ASSINALE A AFIRMATIVA VERDADEIRA:
A) O seno de 43° é igual ao cosseno de 57°.
B) O seno de 41° é igual ao cosseno de 49°.
C) Em ângulos agudos, quanto maior o seno, menor o ângulo.
D) Em ângulos agudos, quanto maior o ângulo, maior o cosseno.
E) A tangente de 85° é maior do que 2.
2. SABENDO-SE QUE O COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO VALE 
1
100 , DETERMINE O SENO DESSE
ÂNGULO.
A) 
99
100
B) 
√99
100
C) 
1
√99
D) 
√99
100
E) 
3√1111
100
GABARITO
1. Assinale a afirmativa verdadeira:
A alternativa "B " está correta.
Note que os ângulos 41° e 49° somam 90°. Então, são ângulos agudos de um triângulo retângulo. Logo, pela própria definição de
seno e cosseno, o seno de um é o cosseno do outro!
2. Sabendo-se que o cosseno de um ângulo agudo vale 
1
100 , determine o seno desse ângulo.
A alternativa "E " está correta.
Uma solução é a utilização da relação trigonométrica básica sen2 α + cos2 α = 1
sen2 α + 
1
100
2
= 1 
sen2 α = 1 -
1
10000 =
9999
10000 
( )
sen α =
√9√1111
100 =
3√1111
100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra solução é pensar em um triângulo retângulo com um cateto igual a 1 e hipotenusa igual a 100. Nesse caso, Pitágoras e a
definição de seno conduzem a outra possível solução.
MÓDULO 2
 Calcular linhas trigonométricas de ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA – DOIS TRIÂNGULOS ESPECIAIS
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Foto: stock.adobe.com
A GEOMETRIA DO QUADRADO E DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
VAMOS DAR ÊNFASE À GEOMETRIA DO QUADRADO E DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO,
EMBORA JÁ A TENHAMOS ABORDADO, SUPERFICIALMENTE, EM EXEMPLOS
ANTERIORES. ENFATIZAREMOS AS CARACTERÍSTICAS DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO.
EXEMPLO
No triangulado, são indicados os ângulos agudos
φ
e
θ
(phi e teta). Calcule o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Como o triângulo dado é equilátero, seus três lados são iguais! Então, seus ângulos internos valem 60°, pois a soma dos três vale
180°, lembra? Como consequência,
φ = 60°
e
θ = 30°
.
Note, pelo triangulado, que a hipotenusa do triângulo retângulo vale 6 unidades e, naturalmente, o cateto menor vale 3 unidades.
Calcularemos o outro cateto, tentando fazê-lo de uma maneira simples e mais geral: ou seja, não vamos nos prender aos dados do
triangulado, mas vamos chamar a medida do cateto menor de
x
e, como consequência, a hipotenusa vale
2x
. Se designarmos a medida do outro cateto por
y
, por Pitágoras, obtemos:
(2x)2 = x2 + y2 ⇒ y2 = 3x2 ⇒ y = x√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, chegamos a uma propriedade de imensa utilidade, que permite, dentre outras facilidades, o cálculo do seno e do cosseno de
30° e de 60°, ou seja:
 SAIBA MAIS
Em um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60°, a medida do cateto maior é sempre
√3
vezes a medida do cateto menor, e a medida da hipotenusa é o dobro da medida do cateto menor.
Assim, calcular as linhas trigonométricas de 30° e 60° fica banal. Veja:
sen30 ∘ = cos60 ∘ =
x
2x
=
1
2
cos30 ∘ = sen30 ∘ =
x√3
2x
=
√3
2
tg30 ∘ =
x
x√3
=
√3
3
tg60 ∘ =
1
tg30 ∘
=
x√3
x
= √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS NOTÁVEIS
DESDE O ENSINO FUNDAMENTAL, NOS DEPARAMOS COM OS ÂNGULOS 30°, 60° E 45°
QUE, COMO ANALISAMOS, FAZEM PARTE DO MUNDO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO —
CUJA METADE É UM TRIÂNGULO RETÂNGULO DE
30°
60°
(TRIÂNGULO RETÂNGULO COM ÂNGULOS DE 30°, 60° E 90°) — E DO MUNDO DO
QUADRADO — CUJA METADE É UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES (VEJA
MÓDULO ANTERIOR).
Claro que, com o prosseguimento do estudo de trigonometria, outros ângulos importantes também serão abordados, como 15°; 75°;
22,5° (metade de 45°, cuja tangente já calculamos anteriormente, lembra?); 18°; 36°; 54°, e assim por diante.
Mas convém fazer uma tabela, embora banal, sobre o que já descobrimos:
30° 45° 60°
Seno √1
2
√2
2
√3
2
Cosseno √3
2
√2
2
√1
2
Tangente
1
√3
1 √3
1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 VOCÊ SABIA
Se você dominar a geometria das figuras a seguir, não precisará decorar nada... ou quase nada! Mas basta conhecer as definições
de seno, cosseno e tangente e os manjados valores em função de
x
das medidas da hipotenusa e dos catetos desses triângulos.
Veremos, ao longo de exemplos, outras geometrias interessantes, que possibilitam o cálculo de linhas trigonométricas de outros
ângulos importantes.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
EXEMPLO
O quadrado e o triângulo equilátero da figura possuem um lado em comum.
Determine o seno e cosseno do ângulo
α
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
SOLUÇÃO
Observe que o triângulo ADE é isósceles, pois possui dois lados iguais.
Como o ângulo D mede 150° (90°+ 60°), o ângulo
α
vale 15° (justifique).
Note, também, que o triângulo DFE é o triângulo retângulo clássico de
30°
60°
ou seja:
Se a é a medida de seu lado,
FE = 
a
2
e
DF = 
a√3
2
. Pitágoras nos fornece a hipotenusa AE:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
AE2 = AF2 + FE2
AE2 = a +
a√3
2
2
+
a
2
2
AE = a√2 + √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em determinadas situações, expressões com radicais duplos, como a do exemplo, podem ser reescritas usando apenas radicais
simples.
EXPERIMENTE ELEVAR AO QUADRADO AS EXPRESSÕES
√2 + √3 E
√6 + √2
2
E VOCÊ VERÁ QUE AS EXPRESSÕES SÃO IGUAIS.
ENTÃO,
AE = a√2 + √3 = a
√6 + √2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LOGO,
( ) ( )
( )
sen15 ∘ =
EF
AE
=
1/2
√6 +√2
2
=
√6 − √2
4
e
cos15 ∘ =
AF
AE
=
2 +√3
4
√6 +√2
2
=
√6 + √2
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Quando nos deparamos com uma expressão do tipo
√7 + 4√3
, a pergunta natural é: será que
7 + 4√3
é quadrado de alguém? A “adivinhação” não é tão complicada assim, pois uma soma
a + b
ao quadrado resulta em
(a2 + b2) + 2ab
. Então, se
7 + 4√3
tem pretensão de ser quadrado, provavelmente o
4√3
é o dobro do primeiro pelo segundo, ou seja, o “2ab”.
Logo, sempre experimentam possibilidades meio óbvias: será que
a = 2
e
b = √3
ou então
a = 1eb = 2√3
funcionam? Experimente!
De fato,
(2 + √3)2
vale
7 + 4√3
, logo:
√(7 + 4√3) = 2 + √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Evidente que sempre é possível realizar uma “quase adivinhação” dessa forma. Mas claro, há uma maneira sistemática de descobrir
uma possível solução, sem adivinhações, por meio de uma “formuleta”.
FORMULETA
Veja que a igualdade
√A ± √B =
A + C
2
±
A − C
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, se
A2 – B = C2
, é sempre válida. Eleve ao quadrado para confirmar.
Então, se
A2– B
é um quadrado, as expressões
A + C
2
e
A − C
2
só possuem radicais simples.
 EXEMPLO
Veja:
√7 + 4√3 = √A + √B
para
A = 7
e
B = 48
.
√ √
√
√
Logo,
A2 – B = 49– 48 = 1
e, então,
C = 1
.
Substituindo na “fórmula mágica”,obtemos:
A + C
2
+
A − C
2
=
7 + 1
2
+
7 − 1
2
= 2 + √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Para fixar esses artifícios algébricos, pratique com os radicais indicados:
a)
√3 + 2√2 = √3 + √8
b)
√7 − 4√3
c)
√3 + 2√2
d)
1 + 3 + √13 + 4√3
UTILIZAÇÃO DA TRIGONOMETRIA
AQUI VAMOS INVESTIGAR AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS 36° E 54°.
PARA ISSO, INVESTIGAREMOS MAIS UM POLÍGONO: O PENTÁGONO REGULAR!
Começaremos observando que há dois triângulos isósceles que possuem um ângulo interno igual a 36°, ou seja, os triângulos cujos
ângulos internos são 36°/36°/108°, e os triângulos cujos ângulos internos são 36°/72°/72°. Como veremos, ambos são identificáveis
“no interior” de um pentágono. Mas uma propriedade surpreendente dessas duas famílias de triângulos é que a razão entre o maior
e o menor de seus lados é a famosa razão áurea, representada pela letra grega
ϕ
(Phi maiúsculo, chamado de “phizão”), cujo valor é:
ϕ =
√5 + 1
2
≅ 1, 618
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√ √ √ √
√ √
Claro, há um “phizinho”, o inverso de Phi, indicado pela letra grega
φ
(phi minúscula), razão entre o menor e o maior dos lados dos mencionados triângulos, cujo valor é:
ϕ =
√5 − 1
2
≅ 0, 6118
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E AÍ, PERCEBEU? NÃO?
VEJA!
Φ − Φ = 1
Então, a partir das próximas figuras, vamos desenvolver uma sequência de argumentos para provarmos as afirmações
anteriores. Você está convidado — sutilmente convidado —, a se certificar que compreende cada um dos passos que se
seguem.
O ângulo central do pentágono vale
72°
360°
5
= 72°
.
Logo, os ângulos inscritos assinalados possuem medida igual à metade, ou seja, 36°.
( )
O triângulo isósceles em rosa possui ângulos 36°/72°/72°, e o triângulo isósceles em amarelo, 36°/36°/108°.
Observe que no interior do pentágono identificam-se três “tamanhos” de triângulos de 36°/72°/72°.
Mas há apenas dois tamanhos diferentes de triângulos de 108°/36°/36°.
Agora, vamos aos “finalmentes”:
• Os triângulos ABD e BDC possuem ângulos internos de 36°/72°/72°. Logo, são semelhantes.
• Então, podemos afirmar que seus lados maiores são k vezes seus lados menores, ou seja, se
EC = CD = x
, então
AC = BC = BD = k ⋅ x
. Claro, não sabemos qual o valor de k! Justamente desejamos provar que é o famoso “phizão”!
• Mas o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BDC. Então, se
y = AB = AD = k ⋅ x + x = k ⋅ BD = k2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, segue-se que
k ⋅ x + x = k2x
e, então, como
x ≠ 0
, obtemos a famosa equação:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
k2 − k − 1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cuja raiz positiva é exatamente o “phizão”:
ϕ =
√5 + 1
2
≅ 1, 618
.
Ou seja, nos triângulos 36°/36°/108° e 36°/72°/72°, o lado maior é
ϕ
vezes o lado menor. Olhe a figura outra vez, lembrando que k é o
ϕ
. Agora sim, o objetivo do nosso exemplo. Calcule seno e cosseno de 36° e de 54°:
SOLUÇÃO
Veja a figura que explicita a relação entre os catetos do triângulo retângulo azul, metade de um triângulo 36°/36°/108°.
Perceba então que agora podemos calcular as linhas trigonométricas de 36° e 54°:
cos 36° =
cateto adjacente
hipotenusa
cos 36° =
x ϕ
2
x
=
ϕ
2
=
√5 − 1
4
= sen 54°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Usando, por exemplo, a relação fundamental
sen236° + cos236° = 1
, obtemos:
cos36 ∘ =
√10 − 2√5
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o outro triângulo, 36°/72°/72°, obtemos o seno e o cosseno de 18° e de 72°.
Veja o caminho das pedras:
sen18 ∘ = cos72 ∘ =
x
2
xϕ
=
1
2ϕ
=
φ
2
=
√5 − 1
4
cos18 ∘ = sen72 ∘ = 1 −
φ
2
2
=
√10 + 2√5
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
√ ( )
AMPLIANDO A TABELA DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE
ÂNGULOS NOTÁVEISO
É interessante observar que as linhas trigonométricas dos diversos ângulos ditos notáveis podem simplesmente ser memorizadas ou,
se você não consegue memorizar nada e prefere entender como os valores podem ser calculados, aí vai:
Triângulo sen Valor Cos
45°
x
x√2
=
√2
2
45°
30°
x
2x
=
1
2
60°
60°
x√3
2x
=
√3
2
30°
54°
xϕ
2
x
=
ϕ
2
=
√5 + 1
4
36°
36°
Cateto menor
⇒
Pitágoras...
√10 − 2√5
4
54°
18°
x
2
xϕ
=
1
2ϕ
=
φ
2
=
√5 − 1
4
72°
72°
Cateto maior
⇒
Pitágoras...
√10 + 2√5
4
18°
tg 15° =
x
2x + x√3
= 2 - √3
tg 75° =
1
2 -√3
= 2 + √3
1/2
quadrado
+ 1/2
triângulo
equilátero
Hipotenusa
⇒
Pitágoras
sen 15° =
√6 -√2
4 = cos 75°
cos 15° =
√6 +√2
4 = sen 75°
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SABENDO-SE QUE A E B SÃO ÂNGULOS AGUDOS TAIS QUE
SEN A =
4
5
E
SEN B =
8
17
, DETERMINE O VALOR DA EXPRESSÃO:
TG A + TG A
1 - TG A · TG B
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
15
14
B) 
17
16
C) 
17
32
D) 
13
42
E) 
84
13
2. A “ALTURA” DO HEXÁGONO REGULAR DA FIGURA VALE 6 UNIDADES DE COMPRIMENTO. QUAL O
VALOR DE SUA “LARGURA”?
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
4
B)
3√2
C)
4√3
D)
3√3
E)
9
2
3. A FIGURA SUGERE QUE VOCÊ “OLHE” UMA BARRA VERTICAL SEGUNDO OS ÂNGULOS DE
VISADA DE 30° E 45°. SE OS PONTOS DE VISADA DISTAM 10M, QUAL A ALTURA
H
DA BARRA VERTICAL?
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
10m
B)
10√3m
C)
5m
D)
5(√3 − 1)m
E)
5(√3 + 1)m
4. DADA A FIGURA, DETERMINE A TANGENTE DO ÂNGULO
Α
, ENTRE A DIAGONAL AG DO CUBO E A DIAGONAL EG, DA FACE EFGH.
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
√2
3
B)
√2
2
C)
√2
4
D)
√3
4
E)
√3
3
5. DADO O CUBO INDICADO, DETERMINE A TANGENTE DE
Α
, ÂNGULO ENTRE PLANO DEFINIDO PELOS PONTOS D, E E G E PELA FACE EFGH.
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A)
√2
3
B)
√3
3
C)
√2
D)
√2
4
E)
√3
6
6. NA FIGURA, ABCD É UM RETÂNGULO E OS ÂNGULOS
Α
E
Β
SÃO MARCADOS COMO INDICADO:
Α = ∠ABEEΒ = ∠EBF
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
SUPONHA QUE A UNIDADE DE MEDIDA SEJA O SEGMENTO BF (OU SEJA, BF = 1).
AGORA, ANALISANDO A FIGURA, PERCEBA, SUCESSIVAMENTE QUE:
∠DEF = Α
∠BFC = Α + Β
BE = COS Β
EC = SEN Α
AE = BE SEN Α = SEN Α ⋅ COS Β
ED = EF COS Α = SEN Β ⋅ COS Α
BC = SEN (Α + Β)
AD = SEN Α ⋅ COS Β
ED = SEN Α ⋅ Β + SEN Β ⋅ COS Α
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
PERCEBA QUE AD=ED E, ENTÃO, A ESTRATÉGIA DESENVOLVIDA PERMITE QUE CALCULEMOS O
VALOR DO SENO DE
Α + Β
EM FUNÇÃO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Α
E
Β
, OU SEJA,
SEN (Α + Β) = SEN Α · COS Β + SEN Β · COS Α
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
OBSERVE QUE ESSA EXPRESSÃO SUGERE QUE O SENO DA SOMA,
SEN (Α + Β)
, NÃO É IGUAL À SOMA DOS SENOS,
SEN Α + SEN Β
.
PARA PERCEBER ISSO, BASTA NOTAR, POR EXEMPLO, QUE:
SEN (30° + 30°) = SEN 60°, MAS
SEN 30° + SEN 30° =
1
2 +
1
2 = 1.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
PORÉM, SABEMOS TAMBÉM DE OUTROS ERROS USUAIS, POR EXEMPLO:
(A + B)2 ≠ A2 + B2 E
√A + B ≠ √A + √B
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
FINALMENTE, O PROPÓSITO DO EXERCÍCIO: QUAL O VALOR DE
SEN 75°
?
A) 
√2 +√3
2
B) 
√2 +√3
4
C) 
1 +√3
2
D) 
1 +√2
2
E) 
√6 +√2
4
GABARITO
1. Sabendo-se que a e b são ângulos agudos tais que
sen a =
4
5
e
sen b =
8
17
, determine o valor da expressão:
tg a + tg a
1 - tg a · tg b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
É interessante observar que os pares de números 4 & 5 e 8 & 17 são bem conhecidos para quem é maníaco por triângulos
retângulos, cujas medidas são números inteiros.
No primeiro caso, é imediato, pois o triângulo3/4/5 é o mais conhecido de todos.
Então, tg a =
4
3
No segundo caso, usando Pitágoras, se um dos catetos for 8 e a hipotenusa for 17, o outro cateto vale 15. Logo, tg b =
8
15 . Daí,
fazendo os cálculos solicitados, obtemos:
4
3 +
8
15
1 -
4
3 ·
8
15
=
84
13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa resposta é muito legal, pois
84
13
é também a tangente de um ângulo de um triângulo retângulo de medidas inteiras: 13, 84 e 85.
2. A “altura” do hexágono regular da figura vale 6 unidades de comprimento. Qual o valor de sua “largura”?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "C " está correta.
Em um problema que envolve um hexágono regular, é um pecado capital não traçar suas diagonais que passam por seu centro.
Como o hexágono se decompõe em seis triângulos equiláteros iguais, devemos tirar partido da figura clássica já abordada, em que
dividimos um triângulo equilátero ao meio.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Analisando o triângulo retângulo em destaque, percebe-se imediatamente que sua altura é a metade da altura do hexágono. Daí,
x√3 = 3
, ou seja,
x = √3
. Logo, a “largura” do hexágono corresponde ao dobro do lado do triângulo equilátero, ou seja,
4√3
.
Perceba que essa solução sequer utilizou as linhas trigonométricas desenvolvidas, muito embora tenhamos usado uma figura aqui
repetida e utilizada para calcular os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de 30° e 60° (e 45°)!
Seria, portanto, um pouco fora de propósito usar as linhas trigonométricas neste problema, uma vez que elas foram calculadas
exatamente a partir desses triângulos! Logo, fomos à fonte!
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
3. A figura sugere que você “olhe” uma barra vertical segundo os ângulos de visada de 30° e 45°. Se os pontos de visada
distam 10m, qual a altura
h
da barra vertical?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "E " está correta.
Da definição de tangente, podemos escrever:
h
x = tg 45° = 1 ⇒ h = x
h
10 + x = tg 30° =
√3
3 ⇒
x
10 + x = √3/3
3x - x√3 = 10√3 x = 
10√3
3 -√3
x = 
10√3
3 -√3
·
3 +√3
3 +√3
= 5 √3 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
4. Dada a figura, determine a tangente do ângulo
α
, entre a diagonal AG do cubo e a diagonal EG, da face EFGH.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "B " está correta.
Observando o triângulo retângulo AEG, a tangente do ângulo
α
é, naturalmente,
tg α =
AE
EG
.
( )
Ora, o cateto EG é a diagonal do quadrado EFGH. Portanto,
EG = a√2
. E o cateto AE é a própria aresta do cubo: a. Então, por Pitágoras, podemos calcular a diagonal do cubo AG.
Assim tg α =
AE
EG =
a
a√2
=
√2
2
5. Dado o cubo indicado, determine a tangente de
α
, ângulo entre plano definido pelos pontos D, E e G e pela face EFGH.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
6. Na figura, ABCD é um retângulo e os ângulos
α
e
β
são marcados como indicado:
α = ∠ABEeβ = ∠EBF
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Suponha que a unidade de medida seja o segmento BF (ou seja, BF = 1).
Agora, analisando a figura, perceba, sucessivamente que:
∠DEF = α
∠BFC = α + β
BE = cos β
EC = sen α
AE = BE sen α = sen α ⋅ cos β
ED = EF cos α = sen β ⋅ cos α
BC = sen (α + β)
AD = sen α ⋅ cos β
ED = sen α ⋅ β + sen β ⋅ cos α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que AD=ED e, então, a estratégia desenvolvida permite que calculemos o valor do seno de
α + β
em função das linhas trigonométricas
α
e
β
, ou seja,
sen (α + β) = sen α · cos β + sen β · cos α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que essa expressão sugere que o seno da soma,
sen (α + β)
, não é igual à soma dos senos,
sen α + sen β
.
Para perceber isso, basta notar, por exemplo, que:
sen (30° + 30°) = sen 60°, mas
sen 30° + sen 30° =
1
2 +
1
2 = 1.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, sabemos também de outros erros usuais, por exemplo:
(a + b)2 ≠ a2 + b2 e
√a + b ≠ √a + √b
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, o propósito do exercício: qual o valor de
sen 75°
?
A alternativa "E " está correta.
sen 75 ∘ = sen 45 ∘ + 30 ∘ = sen 45 ∘ cos 30 ∘ + sen 30 ∘ cos 45 ∘ =
=
√2
2
⋅
√3
2
=
1
2
⋅
√2
2
=
(√6 + √2)
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
1. A figura indica um triângulo equilátero e um quadrado com um lado em comum. Determine a medida do ângulo
∠AEC
, bem como suas linhas trigonométricas seno, cosseno e tangente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A FIGURA MOSTRA UM HEXÁGONO REGULAR E UM QUADRADO COM UM LADO EM COMUM.
ENTÃO, A TANGENTE DO ÂNGULO
Α
VALE
FONTE: SHUTTERSTOCK
A) √3
B) 2√3
C) 3√2
D) √3 - 1
E) √3 + 1
2. NA FIGURA, TRAÇAMOS AS DIAGONAIS DE UM PENTÁGONO REGULAR DE LADO IGUAL A 1,
CRIANDO OUTRO PENTÁGONO REGULAR. SE
Φ
É A RAZÃO ÁUREA, QUAL A MEDIDA DE CD?
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) 
1
Φ
B) Φ - 1
C) Φ2
D) 
1
Φ2
E) Φ2 - 1
GABARITO
1. A figura mostra um hexágono regular e um quadrado com um lado em comum. Então, a tangente do ângulo
α
vale
Fonte: ShutterStock
A alternativa "E " está correta.
Como é solicitada a tangente de um ângulo, não importa a medida do lado do quadrado. Você pode trabalhar literalmente (se quiser
chamar a medida do lado de x), ou atribuir qualquer valor, por exemplo 2 (porque se houver necessidade de dividir por 2, isso evita
frações).
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Veja, na figura, o tradicional triângulo de 30°/60° (justifique as informações da figura) e, como consequência:
tg α = 
cateto oposto
cateto adjacente =
2 +√3 +√3
2 = √3 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Na figura, traçamos as diagonais de um pentágono regular de lado igual a 1, criando outro pentágono regular. Se
Φ
é a razão áurea, qual a medida de CD?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "D " está correta.
AB é Phi vezes AC, e AC é Phi vezes DC, pois nos triângulos ABC e ADC (que possuem ângulo de 36°), o maior lado é Phi vezes o
menor. Logo, DC =
1
Φ2
.
MÓDULO 3
 Definir linhas trigonométricas adicionais no triângulo retângulo
DEMAIS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
MAIS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Foto: stock.adobe.com
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS ADICIONAIS: SECANTE, COSSECANTE
E COTANGENTE
AS DEFINIÇÕES DE SENO, COSSENO E TANGENTE, CONFORME ESTUDAMOS, SE
BASEARAM EM TRÊS DAS RAZÕES ENVOLVENDO OS LADOS DE UM TRIÂNGULO
RETÂNGULO, DO QUAL O ÂNGULO
Α
É ÂNGULO AGUDO.
No entanto, há seis possíveis razões envolvendo os dois catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo, três das quais são
exatamente o inverso das três linhas trigonométricas já estudadas, ou seja, o inverso do seno, do cosseno e da tangente. A figura a
seguir ilustra as três razões já estudadas e as três novas razões e seus nomes:
a cossecante de
α =
a
b
, o inverso do seno de
α =
b
a
a secante de
α =
a
c
, o inverso do cosseno de
α =
c
a
( )
( )
( )
( )
a cotangente de
α =
c
b
, o inverso da tangente de
α =
b
c
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Linhas básicas Linhas adicionais
sen α =
b
a
a
b
=
cossecante
cossec α = 
1
sen α
cos α =
c
a
a
c
=
secante
sec α = 
1
cos α
tg α =
b
c
c
b
=
cotangente
cot α = 
1
tg α
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO:
Calcule a secante, cossecante e cotangente de 45°, 30° e 60°.
SOLUÇÃO
Pela definição das linhas trigonométricas secante, cossecante e cotangente, obtemos:
cossec45 ∘ =
1
sen45 ∘
=
1
√2
2
=
2
√2
= √2 = sec45 ∘
(por quê?)
cot45 ∘ =
1
tg45 ∘
=
1
1= 1
cossec30 ∘ =
1
sen30 ∘
=
1
1
2
= 2 = sec60 ∘
( )
( )
(por quê?)
sec30 ∘ =
1
cos30 ∘
=
1
√3
2
=
2√3
3
= cossec60 ∘
(por quê?)
cot30 ∘ =
1
tg30 ∘
=
1
√3
3
= √3 = tg60 ∘
(por quê?)
cot60 ∘ =
1
tg60 ∘
=
1
√3
=
√3
3
= tg30 ∘
(por quê?)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DO ESTUDO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS — SENO, COSSENO E
TANGENTE —, DESENVOLVEMOS DUAS RELAÇÕES ALGÉBRICAS INICIAIS:
SEN2 Α + COS2 Α = 1
E
TG Α = 
SEN Α
COS Α
.
Mas as linhas trigonométricas secante, cossecante e cotangente, pela sua própria definição, já estabelecem mais três relações
banais:
cossec α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cot α =
1
tg α
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Entretanto, a partir da relação fundamental
sen2 α + cos2 α = 1
(teorema de Pitágoras disfarçado), podemos obter mais duas relações interessantes, dividindo-a por
cos2 α
e
sen2 α
:
Veja:
sen2 α + cos2 α
cos2 α
=
1
cos2 α
sen2 α
cos2 α
+
cos2 α
cos2 α
=
1
cos2 α
sen α
cos α
2
+ 1 =
1
cos α
2
tg2 α + 1 = sec2 α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, dividindo por
sen2 α
, obtemos a relação
cot2 α + 1 = cossec2 α
.
Então, consolidando as seis relações trigonométricas desenvolvidas, temos:
sen2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α cot2 α + 1 = cossec2 α
cotα = 
1
tg α
secα = 
1
cos α
cossec α = 
1
sen α
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
PRIMEIRAS IDENTIDADES
Imagem: stock.adobe.com
O estudo das linhas trigonométricas exigem, frequentemente, certo domínio de manipulação algébrica básica. Por exemplo,
fatoração de expressões, inclusive fracionárias e, em especial, os produtos notáveis básicos.
Então, vamos rever alguns procedimentos para recuperar a capacidade de trabalhar com expressões algébricas mais elaboradas.
( ) ( )
ALGEBRISMO BÁSICO: UMA NECESSIDADE NA TRIGONOMETRIA!
AS PROPRIEDADES DA COMUTATIVIDADE E ASSOCIATIVIDADE DAS OPERAÇÕES DE
ADIÇÃO E DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS REAIS, BEM COMO A PROPRIEDADE DA
DISTRIBUTIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO COM RELAÇÃO À ADIÇÃO SÃO ESSENCIAIS
PARA O DESENVOLVIMENTO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS, ESSENCIAIS PARA
ADQUIRIRMOS UM MÍNIMO DE DOMÍNIO ALGÉBRICO.
Vejamos um resumo dessas propriedades, envolvendo as operações usuais entre números reais:
COMUTATIVIDADE
Da soma:
a + b = b + a
Do produto:
a ⋅ b = b ⋅ a
ASSOCIATIVIDADE
Da soma:
a + (b + c)
= (a + b) + c
= a + b + c
Do produto:
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c = abc
DISTRIBUTIVIDADE
(do produto com relação à soma)
Esquerda:
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
Direita:
(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
Sem dúvida, a distributividade é peça chave no desenvolvimento dos produtos notáveis, pois tudo começa na propriedade:
(p + q) ⋅ (r + s) = (p + q) ⋅ r + (p + q) ⋅ s = (p ⋅ r + q ⋅ s) + (q ⋅ r + q ⋅ s)
 = p ⋅ r + p ⋅ s + q ⋅ r + q ⋅ s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Ou seja, para multiplicar duas somas:
(p + q)
e
(r + s)
, simplesmente multiplicamos “todo mundo do lado esquerdo” por “todo mundo do lado direito”, e sequer interessa a ordem final das
parcelas, pois, felizmente, vale a comutatividade e, além disso, a associatividade, que permite não usar parênteses para especificar a
ordem em que as adições (ou multiplicações) são realizadas.
Essa simplíssima propriedade gera inúmeros produtos notáveis fundamentais para o desenvolvimento de “algebrismos” diversos.
Veja a seguir alguns produtos notáveis básicos. Procure justificar, no desenvolvimento de cada um deles, a cada passagem, qual
dentre as propriedades de comutatividade, associatividade ou distributividade estão sendo utilizadas.
Produto de duas somas
Multiplica todo mundo por todo mundo
(p + q)(r + s) = (p + q) ⋅ r + (p + q) ⋅ s 
= (pr + qs) + (qr + qs) 
= pr + ps + qr + qs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Quadrado de uma soma
Soma dos quadrados mais o duplo
produto
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ab + b2 + ba
= a2 + b2 + 2ab
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Quadrado de uma diferença
Soma dos quadrados menos o duplo
produto
(a – b)2 = (a – b)(a – b)
= a2 – ab – ba − b2
= a2 + b2 – 2ab
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Produto de soma por diferença
Diferença entre os quadrados
(a + b)(a – b) = (a + b)(a – b)
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Soma de cubos
(a + b) (a2 – ab + b2) =
= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3
= a3 + b3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
Diferença entre cubos
(a – b)(a2 + ab + b2) =
= a3 + a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3
= a3 – b3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem
horizontal
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Naturalmente, as primeiras identidades que relacionam as seis linhas trigonométricas são as seis relações já estudadas, aqui
repetidas:
sen2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α cot2 α + 1 = cossec2 α
cotα = 
1
tg α
secα = 
1
cos α
cossec α = 
1
sen α
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
A seguir, vamos analisar outras relações.
EXEMPLO 1
Mostre que:
a)
sec a + cossec a
sen a + cos a
= tg a + cot a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b)
sen a + cos a
sen a − cos a
=
tg a + 1
tg a − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
a)
sec a + cossec a
sen a + cos a
=
1
cos a +
1
sen a
sen a + cos a
=
sen a + cos a
sen a ⋅ cos a
sen a + cos a
=
1
sen a ⋅ cos a
=
sen2a + cos2a
sen a ⋅ cos a
=
sen a
cos a
+
cos a
sen a
= tg a + cot a 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b)
sen a + cos a
sen a − cos a
=
sen a + cos a
sen a ⋅ cos a
sen a − cos a 
sen a ⋅ cos a
=
tg a + 1
tg a − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Mostre que:
sec3a + tg3a = sec a ⋅ tg a ⋅ (sec a + tg a) + (sec a − tg a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Parece ser mais simples iniciar o desenvolvimento pelo lado direito, visto que a expressão do lado esquerdo é compacta.
seca ⋅ tga ⋅ (seca + tga) + (seca − tga) =
= sec2α ⋅ tgα + seca ⋅ tg2a + seca − tga =
= sec2a ⋅ tga − tga + seca ⋅ tg2a + seca =
= tga sec2a − 1 + seca tg2a + 1 =
= tga tg2a + seca sec2α =
= tg3α + sec3α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SE A É UM ÂNGULO AGUDO E SEN
A = 1/10
, O VALOR DE
(SEC A + TG A)2 − (SEC A − TG A)2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É:
A)
1
100
B)
3
100
C)
1
250
( ) ( )
( ) ( )
D)
4
999
E)
99
250
2. SE A É UM ÂNGULO AGUDO CUJA TANGENTE VALE 2, QUAL O VALOR DE
SEN A + COS A + TG A + COT A + SEC A + COSSEC A?
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
21√5
10 +
5
2
B) 
21√5
5 +
5
2
C) 
3√5
10 +
1
2
D) 
√5
10 +
5
2
E) 
√5
10 1 +
√5
2
3. A EXPRESSÃO SEN 6A + COS6 A A É IDÊNTICA A:
A) 1 – 2 (sen a · cos a)2
B) 1 + 2 (sen a · cos a)2
C) 1 – 3 (sen a · cos a)2
D) 1 + 3 (sen a · cos a)2
E) 2 – (sen a · cos a)2
4. SE A É UM ÂNGULO AGUDO, ENTRE QUAIS VALORES DEVE VARIAR O NÚMERO REAL B PARA QUE
SEJA POSSÍVEL A IGUALDADE SEN A + COS A = B PARA ALGUM ÂNGULO
Α
?
USE A SEGUINTE PROPRIEDADE:
DADOS DOIS NÚMEROS REAIS X E Y, SABE-SE QUE SUA MÉDIA ARITMÉTICA É MAIOROU IGUAL A
SUA MÉDIA GEOMÉTRICA E A IGUALDADE APENAS SE VERIFICA SE X = Y.
( )
A)
−1 e + 1
B)
−2 e + 2
C) -
1
2 e +
1
2
D)
−2 e + 2
E) -√2 e √2
5. MAIS UMA GEOMETRIA ÚTIL! NA FIGURA, O RAIO DO CÍRCULO VALE 1 E ESTÃO MARCADOS OS
ÂNGULOS
Α
E
2Α
(POR QUE
∠COD
É O DOBRO DE
∠BAD
?)
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO ACD, OBTEMOS:
AD2 = AC2 + CD2
, OU SEJA:
(2COS Α)2 = (1 + COS 2Α)2 + SEN 2Α2( )
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
DESENVOLVENDO ESSA EXPRESSÃO, OBTEMOS:
1 + COS 2Α = 2COS2Α
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
TAL EXPRESSÃO PERMITE QUE CALCULEMOS O COSSENO DE
Α
CASO O COSSENO DE 2
Α
SEJA CONHECIDO! ISSO É PARTICULARMENTE ÚTIL, POR EXEMPLO, PARA CALCULAR O COSSENO
DE 15° A PARTIR DO COSSENO DE 30°, E O COSSENO DE 22,5° A PARTIR DO COSSENO DE 45°, E
ASSIM POR DIANTE.
ASSIM, CALCULANDO O COSSENO DE 15°, OBTEMOS:
A) 
1
4
B) 
√2
4
C) 
√3 + 1
2
D) 
√6 +√2
4
E) 
√6 + 2
4
6. SABENDO-SE QUE A É UM ÂNGULO AGUDO E QUE COS A = 
M2 - 1
M2 + 1
 EM QUE
M
É UM NÚMERO REAL, PODEMOS CONCLUIR QUE O VALOR DE
TG Α
É
A) 
2m
m2 – 1
B) 
m2
m2 + 1
C) 
1
m2 + 1
D) 
m2
m2 + 1
E) 
m2 - 1
m2 + 1
GABARITO
1. Se a é um ângulo agudo e sen
a = 1/10
, o valor de
(sec a + tg a)2 − (sec a − tg a)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é:
A alternativa "E " está correta.
Usando o produto notável
X2 – Y2 = (X + Y)(X– Y)
, obtemos:
(sec a + tg a) 2– sec a – tg a)2 =
[(sec a + tg a) + (sec a – tg a)]. [(sec a + tg a) - (sec a – tg a)] =
2sec a. 2tg a = 4sec a . tg a = 
4sen a
cos2 a
Ora, cos2 a = 1 - sen2a = 1 -
1
100 =
99
100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a expressão dada vale 4
1
10
99
100 =
99
250
2. Se a é um ângulo agudo cuja tangente vale 2, qual o valor de
sen a + cos a + tg a + cot a + sec a + cossec a?
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Podemos calcular todas as linhas trigonométrica de a ou, alternativamente, tentar desenvolver a expressão dada e verificar se nos
conduz a uma expressão mais compacta.
Assim, se tg a=2, pense em um triângulo retângulo de catetos 1 e 2. A hipotenusa valerá
√5
. Logo, sen a =
2
√5
=
2√5
5 e cos a =
1
√5 
=
√5
5 .
Desse modo, somar todas as linhas trigonométricas é uma solução razoável, pois cot a =
1
tg a =
1
2 , sec a =
 1
cos a = √5 e
cossec a =
1
sen a =
√5
2
Então:
sen a + cos a + tg a + cot a + sec a + cossec a =
2√5 
5 + 
√5 
5 + 2 + 
1
2 + √5 + 
√5
2 =
5
2 + 21
√5
10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se desenvolvemos a expressão original, no entanto, não observamos grande vantagem nesse caso. Veja:
Soma = sen a + cos a + 
sen a
cos a + 
cos a
sen a + 
1
cos a + 
1
sen a =
(
( )( )
Soma =
sen2a · cosa + cos2a · sen a + sen2a + cos2a + sen a + cos a
sen a · cos a
=
sen a · cos a · ( sen a + cos a ) + 1 + ( sen a + cos a )
sen a · cos a
=
( sen a · cos a + 1 ) ( sen a + cos a ) + 1
sen a · cos a =
2√5
5 · 
√5
5 + 1
2√5
5 +
√5
5 + 1
2√5
5 · 
√5
5
=
7
5
3√5
5 + 1
2
5
=
5
2
21√5
25 + 1 =
21√5
10 +
5
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A expressão sen 6a + cos6 a a é idêntica a:
A alternativa "C " está correta.
Fazendo x = sen2a e y = cos2a, a expressão fornecida se torna x3 + y3, que é um conhecido produto notável!
x3 + y3 = x + y x2 – xy + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas podemos escrever x2 – xy + y2 em função de (x + y)2!
Confira: x2 – xy + y2 = (x + y)2 - 3xy
Logo,
x3 + y3 = x + y x2 – xy + y2 = x + y x + y)2– 3xy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
sen2 a + cos2 a sen2a + cos2a 2 – 3 · sen a · cos a = 1 – 3 · sen x · cos x)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Se a é um ângulo agudo, entre quais valores deve variar o número real b para que seja possível a igualdade
sen a + cos a = b para algum ângulo
α
?
Use a seguinte propriedade:
Dados dois números reais x e y, sabe-se que sua média aritmética é maior ou igual a sua média geométrica e a igualdade
apenas se verifica se x = y.
A alternativa "E " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[( ]
( )[ ( ) ( )] (
5. Mais uma geometria útil! Na figura, o raio do círculo vale 1 e estão marcados os ângulos
α
e
2α
(por que
∠COD
é o dobro de
∠BAD
?)
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ACD, obtemos:
AD2 = AC2 + CD2
, ou seja:
(2cos α)2 = (1 + cos 2α)2 + sen 2α2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desenvolvendo essa expressão, obtemos:
1 + cos 2α = 2cos2α
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal expressão permite que calculemos o cosseno de
α
( )
caso o cosseno de 2
α
seja conhecido! Isso é particularmente útil, por exemplo, para calcular o cosseno de 15° a partir do cosseno de 30°, e o
cosseno de 22,5° a partir do cosseno de 45°, e assim por diante.
Assim, calculando o cosseno de 15°, obtemos:
A alternativa "D " está correta.
Pela sugestão no enunciado, fazendo α = 15°, obtemos 2cos2 15° = 1 + cos30°
Logo, 2cos2 15° = 1 + 3/2, ou seja, cos 15° =
√2 +√3
2 . Note, entretanto, que esse radical é igual a 
√6 +√2
4 (eleve ao quadrado para
verificar a igualdade!).
6. Sabendo-se que a é um ângulo agudo e que cos a = 
m2 - 1
m2 + 1
 em que
m
é um número real, podemos concluir que o valor de
tg α
é
A alternativa "A " está correta.
Naturalmente, a já conhecida solução geométrica é a mais interessante. Supomos que a é um ângulo interno de um triângulo
retângulo em que o cateto adjacente vale m2 – 1 e hipotenusa igual a m2 - 1. Usando Pitágoras, calculamos o outro cateto x.
m2 + 1 2 = m2 – 1)2 + x2 ⇒ x = 2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
tg a = 
cateto oposto
cateto adjacente
 =
2m
m2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas podemos ir pelo caminho mais trabalhoso das “formuletas”:
cos a =
m2 - 1
m2 + 1
⇒ sec a =
m2 + 1
m2 - 1
⇒ tg2a = sec2a - 1 =
m2 + 1
m2 - 1
2
- 1 =
m2 + 1
2
- m2 - 1
2
m2 - 1
2
=
2m2 · 2
m2 - 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
sec a
não é negativa, a alternativa correta é a letra A.
GABARITO
( ) (
( ) ( ) ( )( ) ( )
TEORIA NA PRÁTICA
Mais uma geometria sinistra, no eneágono regular, útil na solução de problemas envolvendo os ângulos 20°, 40° e 80°, bem como
seus complementares 70°, 50° e 10°.
Mostre que
sen 20° + sen 40° = sen 80
°
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SENDO A E B NÚMEROS REAIS E X UM ÂNGULO AGUDO, SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO
A · COS X – B · SEN X)2 + A · SEN X – B · COS X)2 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ENCONTRAMOS:
( (
A) a · b
B) a2 + b2
C) a + b
D) ab · (a + b)
E) 
a
b +
b
a
2. CALCULANDO
COS 22, 5°
, ENCONTRAMOS:
A) 
√2
4
B) 
√2 -√2
2
C) 
√2 + 1
4
D) 
√2 +√2
2
E) 
√1 +√2
2
GABARITO
1. Sendo a e b números reais e x um ângulo agudo, simplificando a expressão
a · cos x – b · sen x)2 + a · sen x – b · cos x)2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
encontramos:
A alternativa "B " está correta.
Usando os produtos notáveis X – Y 2e (X + Y)2
(a · cos x - b · sen x)2 + (a · sen x - b · cos x)2 =
a2 · cos2x - 2ab · cos x sen x + b2 · sen2 x +
a2 · sen2x + 2ab · sen x cos x + b2 · sen2 x =
a2 sen2x + cos2x + b2 sen2x + cos2x = a2 + b2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Calculando
cos 22, 5°
, encontramos:
A alternativa "D " está correta.
( (
( )
( ) ( )
O exercício Mão na Massa 5 sugere uma expressão extremamente útil: 1 + cos 2α = 2 · cos2 α, que possibilita o cálculo do cosseno
de um ângulo caso seja conhecido o cosseno de seu dobro.
Então
1 + cos 45° = 2 · cos2 22, 5°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo
1 +
√2
2 = 2 · cos
2 22, 5° ⇒ cos 22, 5° =
√2 +√2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Definir o conceito geral de arcos e ângulos
TRAJETÓRIAS EM PISTAS CIRCULARES
ARCOS E ÂNGULOS – AMPLIANDO CONCEITOS
Foto: stock.adobe.com
Antes de iniciar este módulo, fica aqui um desafio: descubra o que é e qual o funcionamento básico de um teodolito e de um
sextante, instrumentos relacionados, basicamente, à medição de ângulos.
PISTA CIRCULAR – UMA METÁFORA
Nos contatos iniciais com ângulos (e com arcos), aprendemos, primeiramente, ângulos agudos e, posteriormente, ângulos cuja
medida era no máximo uma volta, 360°! No entanto, é extremamente útil ampliarmos o conceito de ângulo e/ou arco, como mostra a
situação que se segue:
 EXEMPLO
Dois corredores estão percorrendo uma pista circular, mas um deles deu uma volta completa, e o outro, duas voltas completas
(no mesmo sentido). Embora a origem e extremidade dessas duas trajetórias sejam as mesmas, certamente, são duas trajetórias
diferentes.
Assim, os dois arcos e/ou ângulos que estão associados às duas trajetórias deveriam ter medidas diferentes! Claro, gostaríamos de
dizer que um percorreu um arco ou ângulo de setecentos e vinte graus (720°), e o outro, de apenas trezentos e sessenta graus
(360°).
ESSE EXEMPLO JUSTIFICA A CONVENIÊNCIA DE SE GENERALIZAR OS CONCEITOS
DE ARCOS E DE ÂNGULOS PARA ALÉM DE UMA VOLTA, PARA ALÉM DE 360°. E MAIS:
SE VOCÊ TAMBÉM DESEJA DISTINGUIR O SENTIDO DO PERCURSO DE CADA
CORREDOR, É ÚTIL CONVENCIONAR UM SINAL PARA IDENTIFICAR O SENTIDO.
Na figura a seguir, em ambos os casos, os dois arcos AOB possuem mesma origem e extremidade e, embora sejam arcos diferentes,
pois refletem trajetórias diferentes, são chamados de arcos côngruos.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Curiosamente, a origem dessa palavra é latina — congruere: con (significa idem) + gruere (significa correr). Parece que há milênios
já estavam pensando em dois sujeitos correndo em volta de uma pista.
E se escolhermos as orientações de percurso indicadas na figura, convencionaremos que as medidas dos dois arcos valem + 270° e
-90°, você concorda?
 SAIBA MAIS
Observação sobre notações
É comum usar notações diferentes para arcos, ângulos e para suas medidas. Assim, por exemplo:
• O “arco AOB” pode ser representado por
^
AOB
(com uma curva em cima ou um grande circunflexo)
• O “ângulo AOB” como
AÔB
(com um circunflexo no vértice do ângulo) ou
∠AOB
• A medida de um arco ou ângulo como
m(
^
AOB)
,
m(AÔB)
ou
m(∠AOB)
.
Na prática, entretanto, essa notação fica tão maçante e pesada, que é comum identificarmos um ângulo ou arco com sua medida. Do
tipo: “considere o” ângulo A = 90°, o que sem dúvida pode ser inadequado tecnicamente, pois 90° não é um ângulo, mas sua
medida. Pela simplicidade, contudo, é o que usaremos livremente.
EXEMPLO 1
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Na figura, dividimos a circunferência em oito partes iguais. Determine a medida do menor arco (menor trajetória) em cada sentido,
que se inicia no ponto A e termina em cada ponto subsequente: B, C, D...
Na figura, como exemplo, já explicitamos
AÔB
(ou
∠AOB
, cuja medida é
360° ÷ 8 = 45°
).
SOLUÇÃO
Como os arcos com as mesmas extremidades podem representar trajetórias diferentes, e em cada um dos dois sentidos, é simples
observar as medidas desejadas. Veja!
Extremidade do arco
→
B C D E F G H A
Sentido positivo 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Sentido negativo -315° -270° -225° -180° -135° -90° -45° 0°
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
O ângulo/arco de medida +90° possui extremidade no ponto B, conforme mostra a figura. Entretanto, naturalmente há infinitos arcos/
ângulos com origem em A e extremidade em B.
Depende, é claro, de quantas voltas foram dadas pela extremidade do arco antes de “parar” em B.
A pergunta é: como se poderia criar uma expressão que representasse as medidas de todos esses arcos?
SOLUÇÃO
Podemos imaginar que a “viagem” de A até “parar” em B pode ter sido direta ou após um número qualquer de voltas — por exemplo,
k
voltas, sendo
k
um inteiro qualquer negativo ou positivo.
Então, a medida de tal arco/ângulo pode assumir os valores que se seguem (expressos em graus):
k = 0 0 ⋅ 360° + 90° = 90°
k = ± 1 1 ⋅ 360° + 90° = 450° ( − 1) ⋅ 360° + 90° = − 270°
k = ± 2 2 ⋅ 360° + 90° = 810° ( − 2) ⋅ 360° + 90° = − 630°
k = ± 3 3 ⋅ 360° + 90° = 1170° ( − 3) ⋅ 360° + 90° = − 990°
... ... ...
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Representando tais valores – medidas destes ângulos, sob a fora de conjunto — podemos escrever:
[α | α = k ⋅ 360° + 90°
,
k inteiro
].
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas é usual, para a representação ficar mais leve, escrevermos simplesmente a expressão
k ⋅ 360° + 90°
,
k inteiro
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
A figura indicada mostra oito pontos igualmente espaçados. Em cada item, estabeleça uma expressão que represente a totalidade
das medidas dos arcos e/ou ângulos que possuam extremidade(s) no(s) ponto(s) indicado(s):
a. A ou A'
b. B
c. B ou B'
d. A, B, B' ou A'
e. C1 ou C2 (use o item b)
f. C1 ou C3 (use o item a)
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
SOLUÇÃO
A forma mais adequada de criar “intuição” nesse tipo de problema é começar sempre com pequenos exemplos numéricos para que,
a seguir, seja possível determinar um padrão, uma “lei de formação.
Como veremos, há várias possíveis soluções para cada item e, naturalmente, algumas bem criativas e interessantes.
PONTOS A OU A’
Se a extremidade do arco “parar” no próprio ponto A, significa que foi dada certa quantidade de voltas completas. Então, uma
expressão das medidas dos arcos apenas para o ponto A é imediata:
k ⋅ 360°
ou
360° ⋅ k
, k inteiro.
Mas para atingir o ponto A’, é necessário dar uma “esticada” de mais 180°, concorda? Então, uma das soluções poderia ser expressa
como:
k ⋅ 360°
ou
k ⋅ 360° + 180°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas essa expressão contém um “ou”, isolando as respostas do caso A e do caso A’. Seria possível, pensando um pouco mais, obter
uma expressão mais compacta, que inclua tanto as medidas dos arcos com extremidade em A quanto em A’?
Eis a forma maliciosa de raciocinar: pense que a extremidade do arco “para” a cada meia-volta percorrida.
Se a quantidade de meias-voltas for par, onde a extremidade “parou”? Em A ou em A’?
E se a quantidade de meias-voltas for ímpar?
Ou seja, para “parar” em A, existe uma quantidade par de meias-voltas. Para parar em A’, uma meia-volta a mais, portanto, um
número ímpar de meias-voltas. Então, uma resposta maliciosa é, por exemplo:
m ⋅ 180°, m inteiro
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO B
Nesse caso, basta imaginar que a extremidade dá uma quantidade qualquer de voltas e, depois, uma “esticada” até B, ou seja, se
desloca mais 90°. Como consequência, uma possível resposta é
k ⋅ 360° + 90°
, k inteiro.
PONTOS B OU B'
Nesse caso, fica a seu cargo compreender as trêssoluções indicadas. Vá dando valores às variáveis inteiras que você chega lá!
1ª solução:
k ⋅ 360° ± 90°
, k inteiro
2ª solução:
m ⋅ 180° + 90°
, m inteiro
3ª solução:
p ⋅ 90°
, p inteiro e ímpar
PONTOS A, B, B' OU A'
Você concorda que esses pontos estão espaçados de 90°? Pois é.
Analise a solução
k ⋅ 90°
,k inteiro e diga se não é uma bela resposta!
Outra ótima solução é
k ⋅ 180° + 90°
, k inteiro, concorda?
Agora, é claro, os demais itens e) e f) ficam de presente para você.
A UNIDADE DE MEDIDA RADIANO
Foto: stock.adobe.com
O PROCESSO DE MEDIR UMA GRANDEZA PRESSUPÕE A ESCOLHA DE UMA UNIDADE
COM A QUAL A GRANDEZA POSSA SER COMPARADA, POIS MEDIR É COMPARAR!
Assim, aprendemos diversas unidades de medidas lineares: além do metro e seus múltiplos e submúltiplos, já ouvimos falar ou
usamos unidades como polegada, pé, milha, légua e assim por diante. Da mesma forma, a unidade mais usada para medir ângulos
e/ou arcos é, como sabemos desde cedo, o grau, que se origina na divisão do ângulo de uma volta em 360 partes iguais. Porém, é
importante conhecermos uma outra unidade de medida de arcos e ângulos: o radiano.
MAS, ENTÃO, EM QUANTAS PARTE DIVIDIMOS O ÂNGULO DE UMA VOLTA PARA
OBTERMOS UM ÂNGULO DE UM RADIANO?
Pois é, muito esquisito! Em aproximadamente 6,3 partes... E se fizermos isso, vamos obter um ângulo de aproximadamente 57°
(quase 60°)! Mas essa é apenas parte da história, pois este tal de “aproximadamente 6,3 partes” não veio do nada. Na verdade,
dividimos o ângulo de uma volta em exatamente
2π
partes (duas Pi partes) — isso mesmo, o famoso
π
, que como sabemos, vale aproximadamente 3,14159.
 SAIBA MAIS
O comprimento de uma circunferência é aproximadamente o triplo de seu diâmetro. Na verdade, é um pouco mais: 3,14... vezes
seu diâmetro. Claro, o 3,14 é uma aproximação para o tal do Pi (
π
).
Como consequência, há até uma “formuleta” bem conhecida: o comprimento de uma circunferência vale
2 ⋅ π ⋅ r
(ou como eu prefiro escrever,
2 ⋅ r ⋅ π
, pois, assim, o 2r é o diâmetro e o
π
é o tal do “aproximadamente 3 (o triplo)...”. Fica mais natural de se lembrar, não é mesmo? Então, um ângulo de uma volta, se
medido em graus, possui 360°, e se medido em radianos, possui
2π ≈ 6, 3
radianos. Desse modo, 1 radiano (abreviamos 1rd) é um ângulo subentendido por um arco de aproximadamente 57°, cujo
comprimento é exatamente igual ao raio.
EXEMPLO 4
A figura exibe uma circunferência de raio
r
, um ângulo
α
e um arco de comprimento
ℓ
. Mostre que quando o comprimento do arco
ℓ
for igual ao raio r, então o ângulo
α
mede, exatamente, um radiano.
Lembre-se de que, por definição, um ângulo de um radiano é o ângulo obtido quando dividimos a circunferência em
2π
partes.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
SOLUÇÃO
Ora, é sabido (e mais do que razoável) que o comprimento de um arco é proporcional à medida de seu ângulo
α
! Por exemplo, se você dobrar o ângulo, dobra o comprimento do arco.
Então, como o comprimento da circunferência é dado por
2 ⋅ π ⋅ r
, podemos escrever a proporção:
l
2πr
=
α(em radianos)
2π radianos
⇒
r
2πr
=
α radianos
2π radianos
 ⇒ α = 1rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Converta os ângulos cuja medida está indicada na unidade radiano em grau e os que estão expressos em grau, em radiano.
a. 30°,45°,60°,75°,90° e 720°
b.
2π
3
 rd,
3π
4
 rd,
π
12
 rd
e
π
15
 rd
SOLUÇÃO
Uma estratégia interessante para qualquer conversão de unidades pode ser exemplificada na conversão de
9km /h
para
m /s
(ou seja, uma velocidade dada em quilômetros por hora sendo convertida para metros por segundo). Funciona assim:
Se desejamos que
km
seja substituído por
m
, escrevemos a igualdade que liga as duas unidades, ou seja:
1km = 1000m
; mas também desejamos substituir a unidade de tempo hora por segundo:
1h = 60min = 60 (60s) = 3600s
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seguir, simplesmente escrevemos a informação a ser convertida —
9km /h
substituindo cada unidade original em suas equivalentes. Assim:
9
km
h
= 9
1000m
3600s
=
9 ⋅ 1000
3600
⋅
m
s
= 2, 5m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para a conversão de radiano para grau e vice-versa, basta ter em mente que:
360° = 2πrd ⇒ 360° ⋅ 1° = 2π ⋅ 1rd ⇒ 1° =
2π
360
rd ⇒ 1° =
π
180
rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, vamos à solução do item a.
a. 30°,45°,60°,75°,90° e 720°
30° = 30 ⋅ 1° = 30 ⋅
π
180
rd =
30π
180
rd =
π
6
rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Você percebe, então, que tudo se passa como se substituíssemos 1° por (
π
180
) rd
, certo?
Então, fica simples obter os demais resultados:
45 ∘ = 45 ⋅
π
180 =
π
4 rd 60
∘ = 60 ⋅
π
180 =
π
3 rd
75 ∘ = 75 ⋅
π
180 =
5π
12 rd 90
∘ = 90 ⋅
π
180 =
π
2 rd
720 ∘ = 720 ⋅
π
180 = 4πrd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b.
2π
3
 rd,
3π
4
 rd,
π
12
 rd
e
π
15
 rd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente
2π
3
rd =
2π
3
⋅ 1rd =
2π
3
⋅
180
π
rd = 120°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, tudo se passa como se estivéssemos substituindo
1rd
por
180°
π
graus! Logo, obtemos:
3π
4
rd =
3π
4
⋅
180
π
= 135 ∘
π
12
rd =
π
12
⋅
180
π
= 15 ∘
π
15
rd =
π
15
⋅
180
π
= 18 ∘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
( )
1. SOMANDO-SE AS ABSCISSAS DAS EXTREMIDADES DOS ARCOS 315°, 480° E -300°, EM UMA
CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 1, OBTEMOS:
A)
1
B)
2√3
3
C)
−1
D)
0
E)
√2
2
2. A PARTIR DA FIGURA INDICADA, UM DODECÁGONO, REGULAR, ANALISE AS SEGUINTES
ALTERNATIVAS:
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
(I) ORDENADA DE
P1
= ABSCISSA DE
P6
(II) ABSCISSA DE
P4
= ORDENADA DE
P7
(III) ORDENADA DE
P1
= ORDENADA DE
P4
= ABSCISSA DE
P7
(IV) ABSCISSA DE
P6
+ ABSCISSA DE
P7
= 0
PODEMOS AFIRMAR QUE NÚMERO DE ALTERNATIVAS VERDADEIRAS É IGUAL A
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3. NA FIGURA, OS PONTOS
P1
A
P12
FORMAM UM DODECÁGONO REGULAR. ANALISE AS AFIRMATIVAS DE (I) A (IV).
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
AS MEDIDAS, EM RADIANOS, DOS ARCOS COM EXTREMIDADE EM
(I)
P1
OU EM
P10
PODEM SER EXPRESSAS POR
KΠ +
Π
2
, K INTEIRO.
(II)
P1
,
P4
,
P7
OU
P10
PODEM SER EXPRESSAS POR
KΠ
2
, K INTEIRO.
(III)
P3
,
P6
,
P9
OU
P12
PODEM SER EXPRESSAS POR
K
Π
2 +
PI
4
, K INTEIRO.
(IV)
P1
,
P3
OU
P9
PODEM SER EXPRESSAS POR
2KΠ
3
, K INTEIRO.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
4. AS FIGURAS EXIBEM UMA “PISTA” CIRCULAR E AS DUAS SITUAÇÕES EM QUE DOIS ARCOS COM
MEDIDAS
Α
E
Β
POSSUEM EXTREMIDADES COM A MESMA ABSCISSA.
SITUAÇÃO 1: OS ARCOS POSSUEM MESMA EXTREMIDADE — SÃO CÔNGRUOS.
SITUAÇÃO 2: AS EXTREMIDADES DOS ARCOS SÃO SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO EIXO
HORIZONTAL.
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
SITUAÇÃO 1: NESTE CASO, O QUE DIFERENCIA OS ARCOS É APENAS QUANTAS VOLTAS
COMPLETAS CADA ARCO PERCORREU, OU SEJA, A DIFERENÇA ENTRE SUAS MEDIDAS DEVE SER
UM MÚLTIPLO DE UMA VOLTA:
 Α– Β = 360° · K
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
SITUAÇÃO 2: SE AS EXTREMIDADES SÃO SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL,
PODEMOS IMAGINAR QUE UM DOIS ARCOS PERCORREU CERTO NÚMERO DE VOLTAS E AINDA
“DEU UMA ESTICADA” DE UM ÂNGULO ; O OUTRO, NATURALMENTE, TAMBÉM PERCORREU
DETERMINADO NÚMERO DE VOLTAS, MAS ENTÃO VOLTOU, DE MARCHA À RÉ, O MESMO ÂNGULO
Α
. ENTÃO, AO SOMAR AS MEDIDAS DOS DOIS ARCOS, O ÂNGULO
Α
SE ANULA, E O RESULTADO É CERTA QUANTIDADE DE VOLTAS, ISTO É, A SOMA DOS ARCOS
TAMBÉM DEVE SER UM MÚLTIPLO DE UMA VOLTA:
 Α + Β = 360° · K
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
OU SEJA, A CONDIÇÃO PARA QUE DOIS ARCOS POSSUAM EXTREMIDADESCOM A MESMA
ABSCISSA É QUE SUAS MEDIDAS SATISFAÇAM À CONDIÇÃO Α ± Β = 360° · K PARA ALGUM INTEIRO
K
CONSIDERANDO A DISCUSSÃO ANTERIOR, CONSIDERE QUE DOIS ARCOS POSSUEM
EXTREMIDADES SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO CENTRO DA “PISTA”. ASSINALE A OPÇÃO QUE
CORRESPONDE À CONDIÇÃO QUE DEVE SER SATISFEITA POR SUAS MEDIDAS,
Α
E
Β
:
A) α - β = k · 180°, k inteiro par
B) α - β = k · 180°, k inteiro ímpar
C) α - β = k · 180°, k inteiro
D) α ± β = k · 180°, k inteiro
E) α ± β = k · 180°, k inteiro
5. UM COPINHO CÔNICO (COMO O USADO PARA BEBER CALDO DE CANA) É CONSTRUÍDO A PARTIR
DO SETOR CIRCULAR INDICADO DE ÂNGULO
Α
, GERANDO UM COPINHO DE 5CM DE RAIO E 12CM DE ALTURA.
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A MEDIDA DE
Α
EM RADIANOS É
A) 
5π
12
B) 
10π
13
C) 
2π
3
D) 
5π
13
E) 
13π
25
6. SEJA X A MEDIDA DE UM ARCO. DEFINIMOS S(X) = SOMA DA ABSCISSA COM A ORDENADA DA
EXTREMIDADE DO ARCO X.
ASSINALE O VALOR DA EXPRESSÃO:
∑K = 8K = 1S(KΠ /4)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) 1
C) -1
D) 2
E) -2
GABARITO
1. Somando-se as abscissas das extremidades dos arcos 315°, 480° e -300°, em uma circunferência de raio 1, obtemos:
A alternativa "E " está correta.
A figura é autoexplicativa. Os tradicionais triângulos 30°/60°/90° e 90°/45°/90° presentes permitem escrever de imediato que:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
315° ⇒
√2
2
480° ⇒ -
1
2
-300° ⇒
1
2
√2
2
+ -
1
2
+
1
2
=
√2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A partir da figura indicada, um dodecágono, regular, analise as seguintes alternativas:
( ) ( )
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
(I) Ordenada de
P1
= abscissa de
P6
(II) Abscissa de
P4
= ordenada de
P7
(III) Ordenada de
P1
= ordenada de
P4
= abscissa de
P7
(IV) Abscissa de
P6
+ abscissa de
P7
= 0
Podemos afirmar que número de alternativas verdadeiras é igual a
A alternativa "D " está correta.
(I) A ordenada de
P1
e a abscissa de
P6
são iguais em módulo, mas de sinal contrário. Logo, afirmativa incorreta.
(II) A abscissa de
P4
e a ordenada de
P7
são ambas negativas e em módulo iguais ao “cateto maior” dos triângulos retângulos; afirmativa correta.
(III) Afirmativa correta. Todos os valores positivos e, em módulo, iguais ao cateto menor.
(IV) Afirmativa correta, pois são valores simétricos.
3. Na figura, os pontos
P1
a
P12
formam um dodecágono regular. Analise as afirmativas de (I) a (IV).
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
As medidas, em radianos, dos arcos com extremidade em
(I)
P1
ou em
P10
podem ser expressas por
kπ +
π
2
, k inteiro.
(II)
P1
,
P4
,
P7
ou
P10
podem ser expressas por
kπ
2
, k inteiro.
(III)
P3
,
P6
,
P9
ou
P12
podem ser expressas por
k
π
2 +
pi
4
, k inteiro.
(IV)
P1
,
P3
ou
P9
podem ser expressas por
2kπ
3
, k inteiro.
A alternativa "E " está correta.
Todas as opções estão corretas:
(I) A expressão
kπ
“atinge” os pontos
P1
e
P7
, somando
π
2
.
(II) A expressão
kπ
2
representa um múltiplo de
π
2
rd
, ou seja, de 90°.
(III)Como a expressão
kπ
2
representa arcos com extremidade “no quadrado”
P1
,
P4
,
P9
e
P10
, qualquer expressão que some algum valor constante a essa expressão representará arcos com extremidades em um quadrado
“rodado” com relação ao quadrado anterior.
(IV) Note que
2π
3
rd
é, em graus, um múltiplo de 120°. Logo, as extremidades dos arcos formam um triângulo equilátero com vértices exatamente nos
pontos assinalados.
4. As figuras exibem uma “pista” circular e as duas situações em que dois arcos com medidas
α
e
β
possuem extremidades com a mesma abscissa.
Situação 1: Os arcos possuem mesma extremidade — são côngruos.
Situação 2: As extremidades dos arcos são simétricas com relação ao eixo horizontal.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Situação 1: Neste caso, o que diferencia os arcos é apenas quantas voltas completas cada arco percorreu, ou seja, a
diferença entre suas medidas deve ser um múltiplo de uma volta:
 α– β = 360° · k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Situação 2: Se as extremidades são simétricas com relação ao eixo horizontal, podemos imaginar que um dois arcos
percorreu certo número de voltas e ainda “deu uma esticada” de um ângulo ; o outro, naturalmente, também percorreu
determinado número de voltas, mas então voltou, de marcha à ré, o mesmo ângulo
α
. Então, ao somar as medidas dos dois arcos, o ângulo
α
se anula, e o resultado é certa quantidade de voltas, isto é, a soma dos arcos também deve ser um múltiplo de uma volta:
 α + β = 360° · k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a condição para que dois arcos possuam extremidades com a mesma abscissa é que suas medidas satisfaçam à
condição α ± β = 360° · k para algum inteiro k
Considerando a discussão anterior, considere que dois arcos possuem extremidades simétricas com relação ao centro da
“pista”. Assinale a opção que corresponde à condição que deve ser satisfeita por suas medidas,
α
e
β
:
A alternativa "B " está correta.
Perceba que se as extremidades dos arcos são simétricas com relação ao centro da “pista”, é porque um dos arcos, após ambos
“darem certo número de voltas” (não necessariamente iguais) ainda deu uma “esticada” de 180° com relação à posição final do outro.
Isto é, a diferença entre suas medidas deve ser uma quantidade ímpar de meias voltas.
5. Um copinho cônico (como o usado para beber caldo de cana) é construído a partir do setor circular indicado de ângulo
α
, gerando um copinho de 5cm de raio e 12cm de altura.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A medida de
α
em radianos é
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
6. Seja x a medida de um arco. Definimos S(x) = soma da abscissa com a ordenada da extremidade do arco x.
Assinale o valor da expressão:
∑k = 8k = 1S(kπ /4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Basta perceber que os oito arcos incluídos no somatório são, dois a dois, simétricos com relação ao centro do círculo. Mas se os
arcos
α
e
β
têm extremidades simétricas com relação ao centro do círculo, S(α) + S(β) = 0. Logo, a soma desejada vale 0.
A alternativa correta é a letra A
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Dois robôs se movem em torno de uma pista circular com velocidades angulares constantes de 18 radianos por minuto e de 24
radianos por minuto.
Admita que ambos os robôs partam de um mesmo ponto em um mesmo instante. Determine em quanto tempo eles se cruzam, pela
primeira vez:
a) Caso se desloquem no mesmo sentido.
b) Caso se desloquem em sentidos opostos.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O POLÍGONO REGULAR DETERMINADO PELAS EXTREMIDADES DOS ARCOS DE MESMA ORIGEM,
CUJAS MEDIDAS SÃO EXPRESSAS POR 
KΠ
4 +
3Π
12 , K INTEIRO, É UM
A) triângulo
B) hexágono
C) octógono
D) decágono
E) dodecágono
2. SUPONHA QUE A LINHA DO CARRETEL INDICADO, COMERCIALIZADO COM 100M DE LINHA, SEJA
ENROLADA DE FORMA QUE CADA VOLTA TENHA UM DIÂMETRO MÉDIO APROXIMADO DE 0,8CM.
QUANTAS VOLTAS, APROXIMADAMENTE, OS 100 METROS DE LINHA DARIAM NO CARRETEL?
A) 16
B) 32
C) 40
D) 48
E) 56
GABARITO
1. O polígono regular determinado pelas extremidades dos arcos de mesma origem, cujas medidas são expressas por
kπ
4 +
3π
12 , k inteiro, é um
A alternativa "C " está correta.
A expressão 
kπ
4 é um múltiplo inteiro de 
π
4 rd = 45° . Logo determina 8 pontos no círculo trigonométrico. Se adicionarmos 
3π
12 a
cada arco, apenas rodamos cada ponto extremo de 3π /12 rd (~54°), ou seja, continuaremos com um octógono “rodado”.
2. Suponha que a linha do carretel indicado, comercializado com 100m de linha, seja enrolada de forma que cada volta tenha
um diâmetro médio aproximado de 0,8cm.
Quantas voltas, aproximadamente,