Equações trigonométricas Parte 2: Equações Clássicas

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Matemática 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: EQUAÇÕES 
CLÁSSICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Equações trigonométricas Parte 2: Equações Clássicas ..................................................... 2 
1.1. Equações Clássicas ........................................................................................................... 2 
1.2. Operações com Arcos ....................................................................................................... 3 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Equações Trigonométricas: Fundamentos e Soluções em 
Intervalos vimos que as equações trigonométricas são igualdades que apresentam, 
pelo menos, uma razão trigonométrica cuja incógnita seja um ângulo dado em 
radianos e que seja desconhecido. Sobre as soluções com intervalos aprendemos 
que quando desejamos obter as soluções de equações pertencentes a um certo 
intervalo, seguimos a seguinte sequência: 
1º) resolvemos normalmente a equações, não tomamos conhecimento do 
intervalo até obtermos a solução geral; 
2º) obtida a solução geral, onde necessariamente aparece a variável k inteira, 
atribuímos a k todos os valores inteiros que acarretam x є R. 
Nesta apostila vamos continuar estudando as equações trigonométricas, 
porém serão estudadas as equações clássicas. Serão apresentadas algumas 
equações tradicionais em Trigonometria, sugerindo métodos para fazê-las recair nas 
equações fundamentais, bem como operações com arcos. 
Objetivo 
• Apresentar métodos para resolução de equações tradicionais. 
• Apresentar operações com os arcos (adição, subtração e duplicação). 
 
1. Equações trigonométricas Parte 2: Equações Clássicas 
1.1. Equações Clássicas 
Vamos iniciar apresentando algumas equações clássicas tradicionais em 
Trigonometria, sugerindo métodos para fazê-las recair nas equações fundamentais. 
Temos: a.sen x + b.cos x = c (a,b,c є R*) 
Aplicando o Método 1 
Neste método fizemos a mudança e variável sen x = u e cos x = v e resolvemos 
o sistema: 
{
𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑐
𝑢2 + 𝑣2 = 1
 
Tendo calculado u e v, determinamos os possíveis valores de x. 
 
Aplicando o Método 2 
 
3 
 
Fazendo b/a = tg θ, temos: 
a.sen x + b.cos x = c 
sen x + b/a.cos x = c/a 
sen x + tg θ.cos x = c/a 
sen x + sen θ/cos θ. cos x = c/a 
sen x.cos θ + sen θ. cos x = c/a.cos θ 
se(x + θ) = c/a.cos θ 
e assim, calculamos x + θ. 
 
Aplicando o Método 3 
Fazendo tg x/2 = t, temos: 
sen x = 2t / 1 + t² e cos x = 1 – t² / 1 + t², então: 
a . sen x + b . cos x = c 
a.2t/1+t² + b.1-t²/1+t² = c 
2at + b – bt² = c + ct² 
(c + b)t² - 2at + (c – b) = 0 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
1.2. Operações com Arcos 
Agora vamos falar sobre as operações com arcos: fórmulas de adição, 
subtração e duplicação de arcos e ao final deste tópico serão abordados cálculos 
sobre diversos tipos de triângulos, não apenas o triângulo retângulo como estamos 
aprendendo no decorrer das aulas, pois estes assuntos são importantes para a 
construção do conhecimento sobre a Trigonometria. 
Temos o seno da soma e da diferença de dois arcos a e b: 
Utilizando estes métodos podemos perceber que 
recaímos em uma equação do 2º grau em t. Observamos 
que este método todo fala se π + 2kπ for solução da 
equação, caso em que a substituição tg π/2 = t não tem 
sentido. 
 
 
4 
 
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
Para o cosseno da soma e da diferença de dois arcos a e b, temos: 
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b 
cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
Agora vamos utilizar a = b nas fórmulas anteriores para que possamos fazer a 
duplicação de arcos: 
Seno da soma e da diferença de dois arcos a e b 
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a 
sen 2a = 2 sen a. cos a 
 
Cosseno da soma e da diferença de dois arcos a e b 
cos 2a = cos (a + a) = cos a . cos a - sen a . sen a 
cos 2a = cos²a – sen²a 
 
Tangente da soma e da diferença de dois arcos a e b 
tg 2a = tg (a + a) = 
𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑎
1−𝑡𝑔𝑎.𝑡𝑔𝑎
 
tg2a = 
2 𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔2𝑎
 
Agora vamos estudar arcos metade, vamos partir das seguintes equações: 
cos 2a = 2cos²a – 1 e cos 2a = 1 - 2sen²a 
 
Portanto, se fizermos 2a = x teremos: 
Tangente da soma e da diferença de dois arcos a e b 
tg (a + b) = 
𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑏
1−𝑡𝑔𝑎.𝑡𝑔𝑏
 
tg (a - b) = 
𝑡𝑔𝑎−𝑡𝑔𝑏
1+𝑡𝑔𝑎.𝑡𝑔𝑏
 
 
 
 
5 
 
cos x = 2cos² x/2-1 
 cos 
𝑥
2
= ±√
1+𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
 
 
cos x =1- 2sen² x/2 
 sen 
𝑥
2
= ±√
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
 
 
 tg 
𝑥
2
 = sen 
𝑥
2
 / cos 
𝑥
2
 
 tg 
𝑥
2
 = ±√
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
1+cos 𝑥
 
 
Agora vamos entender sobre alguns conceitos importantes aplicados em 
vários tipos de triângulos: a Lei dos Senos, Lei dos Cossenos, Natureza de um 
Triângulo, Área de um Triângulo Qualquer. 
Lei dos Senos 
No triângulo ABC da figura, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo ABC 
 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴 
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 
= 2𝑅 
 
 
 
 
6 
 
Lei dos Cossenos 
No triângulo ABC a seguir, temos: 
 
 
 
 
 
Triângulo ABC 
 
a² = b²+c² - 2.b.c cos A 
b² = a²+c² - 2.a.c cos B 
c² = a²+b² - 2.a.b cos C 
 
Natureza de um Triângulo 
Seja “a” a maior medida do triângulo ABC. Então: 
a²<b²+c² → Triângulo ABC é acutângulo 
a²=b²+c²→ Triângulo ABC é retângulo 
a²>b² +c²→ Triângulo ABC é obtusângulo 
 
Área de um triângulo qualquer 
Dado um triângulo qualquer, dois lados (conhecidos a e b) e o ângulo α entre 
eles, temos que: 
 
 
 
 
Triângulo ABC 
 
Área do triângulo= 
𝑎.𝑏
2
 .senα 
 
7 
 
Exercícios 
 
1. (Autor, 2019) Explique com suas palavras, em que situações do cotidiano 
posso aplicar as equações clássicas de trigonometria? 
 
2. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 m de altura, no alto de 
uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de 
vaivém uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados a base B, 
conforme demostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Se o ponto B dista 20 m de C e 150 m de D, a medida do ângulo CAD 
corresponde a: 
a) 60º 
b) 45º 
c) 30º 
d) 15º 
 
3. (UNIFESP) Em um triângulo com lados de comprimentos a,b,c tem-se 
(a + b + c).(a +b – c) = 3ab. A medida do ângulo oposto ao lado de 
comprimento c é: 
a) 30º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 90º 
e) 120º 
 
8 
 
Gabarito 
1. Utilizamos a trigonometria em escadas e rampas, através do cálculo dotamanho dessa escada/rampa, se pensarmos que a escada é a hipotenusa 
de um triângulo retângulo, podemos utilizar uma das relações 
trigonométricas (seno ou cosseno) para encontrá-la. Aviões, quando se 
deseja obter a altura de um avião ou a distância que ele percorreu, 
podemos usar o seno, o cosseno ou a tangente, dependendo da situação. 
Prédios, torres ou morros, para o cálculo da altura se assemelha ao 
cálculo simples de uma pirâmide, basta utilizar o ângulo e tamanho da 
sombra no solo e utilizar a tangente do ângulo. 
 
2. De acordo com as informações do problema teremos: 
 
 
Ângulo externo: β = λ + α. Então: λ = β - α. 
Logo tg λ = tg (β - α), e daí calculamos: 
tg β = 
30
20
 = 
3
2
3 e tgα =
30
150
 = 
1
5
. 
tg λ = tg (β - α) = 
3
2
−
1
5
1+
1
5
.
3
2
=
13/10 
13/10
= 1 
tg λ = 1, então λ = 45º 
Resposta letra b. 
 
3. Solução: 
(a+b+c).(a+b-c) = a²+b²+2ab-c² = 3ab 
Portanto c² = a²+b²-ab (I) 
Pelo Teorema dos Cossenos, teremos que: 
c²=a²+b²-2.a.b.cos c (II) 
Comparando (I) e (II) teremos que: 
a²+b²- ab = a²+b² - 2ab.cosC 
Portanto cos c = 
𝑎𝑏
2𝑎𝑏
 = 
1
2
 
Logo c = 60º e resposta letra c. 
A
 λ
30
 20 ß 130 α
B C D
 
9 
 
Resumo 
Nesta apostila aprendemos sobre algumas equações clássicas tradicionais da 
trigonometria e sugerimos métodos para fazê-las recair nas equações fundamentais. 
Com a utilização e percebemos que com estes métodos podemos recair em uma 
equação do 2º grau em t. 
É importante perceber que o método sempre nos diz que se π + 2kπ for 
solução das equações, caso em que a substituição tg π/2 = t não tem sentido. 
Aprendemos sobre as operações com arcos: fórmulas de adição, subtração e 
duplicação de arcos e cálculos sobre diversos tipos de triângulos. 
Temos que o seno da soma e da diferença de dois arcos a e b: 
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b .cos a e sen (a - b) = sen a . cos b - sen b .cos a. 
Para o cosseno da soma e da diferença de dois arcos a e b: 
cos (a + b) = cos a.cos b - sen a. sen b e cos(a - b) = cos a.cos b - sen a .sen b. 
Para aangente da soma e da diferença de dois arcos a e b: 
tg (a + b) = 
𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑏
1−𝑡𝑔𝑎.𝑡𝑔𝑏
 e tg (a - b) = 
𝑡𝑔𝑎−𝑡𝑔𝑏
1+𝑡𝑔𝑎.𝑡𝑔𝑏
. 
Finalizando aprendemos sobre a área do triângulo, que é igual a 
𝑎.𝑏
2
 .senα. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
Referências imagéticas 
Guia do Estudante. Soma e Subtração de Arcos: Trigonometria. Disponível em: 
https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/soma-e-subtracao-de-arcos-trigonometria/. Acessado em: 
17/03/2019 às 16h40.