Lugares Geométricos I

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Matemática 
 
 
 
 
LUGARES GEOMÉTRICOS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Lugares geométricos ............................................................................................................ 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Determinando um lugar geométrico ............................................................................... 3 
1.3. Equação de um lugar geométrico .................................................................................... 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior sobre Cônicas II, aprendemos o reconhecimento de uma 
cônica, a intersecção de cônicas e as tangentes a uma cônica, finalizando assim os 
estudos de cônicas. 
Agora continuando nossos estudos matemáticos, vamos estudar também em 
duas etapas, o conteúdo sobre lugar geométrico, conhecendo sua equação e 
interpretação. 
Objetivo 
• Apresentar o conceito de lugar geométrico; 
• Determinar um lugar geométrico e sua equação. 
 
1. Lugares geométricos 
1.1. Conceito 
Chamamos de lugar geométrico (L.G) a qualquer conjunto de pontos, 
obedecendo a propriedade p (veremos posteriormente) e esse conjunto pode até 
mesmo se vazio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Determinando um lugar geométrico 
Para que possamos determinar um L.G. utilizamos uma propriedade p se, e 
somente se: 
• Devem satisfazer a propriedade p, todos os pontos do lugar 
geométrico; 
• Somente os pontos do lugar geométrico satisfazem a propriedade p. 
No exemplo abaixo temos o L.G. dos pontos de um plano ß que equidistam de 
dois pontos distintos A e B de ß é a mediatriz r do segmento AB 
 
r
A B
M
O planeta Terra é demarcado por linhas 
imaginárias que chamamos de meridianos e paralelos. Os 
paralelos estão em planos perpendiculares ao eixo de 
rotação da Terra e os meridianos estão em planos que 
contêm esse eixo. Na geometria, estas linhas são 
estudadas como lugares geométricos. Os astrônomos 
também estabelecem lugares geométricos no céu. 
Imagine que o planeta Terra, seja uma pequena esfera, 
cujo centro coincide com o centro de uma enorme esfera, 
na qual os astrônomos chamam de esfera celeste. A esfera 
celeste também possui superfície dividida por linhas 
imaginárias, os paralelos celestes, que estão 
perpendiculares ao eixo de rotação da Terra; e os 
meridianos celestes, que estão em planos que contêm 
esse eixo. Essas linhas são usadas para localizar as 
estrelas; o que é latitude na Terra, na esfera celeste recebe 
o nome de declinação; e o que é longitude na Terra, na 
esfera celeste é ascensão reta. 
 
 
 
 
4 
 
Representação de L.G. 
Podemos notar que todos os pontos de r equidistam de A e B e nenhum outro 
ponto do plano ß equidista de A e B. 
Vejamos outro exemplo em que dado um lugar geométrico e plano ß que 
distam 5 cm de um ponto O, O є ß, é uma circunferência λ de centro O e raio R igual a 
5 cm. 
 
Circunferência λ com L.G. 
 
Observando, notamos que todos os pontos de λ distam 5 cm do ponto O e 
nenhum outro ponto do plano ß dista 5 cm do ponto O. 
Em um plano ß, o lugar geométrico dos pontos deste plano, equidistam de uma 
reta r de ß e de um ponto F de ß, F є r, é uma parábola P . 
 
Representação da parábola P 
Assim todos os pontos de P distam igualmente de F e r e nenhum outro ponto 
do plano ß equidista de F e r. 
 
λ
O 5 cm
 
5 
 
1.3. Equação de um lugar geométrico 
Como falamos anteriormente, um lugar geométrico do plano cartesiano é 
determinado por uma propriedade p que indica uma igualdade, então a equação 
desse L.G, será obtida da seguinte maneira: 
• Vamos considerar um ponto genérico Q(x,y) de coordenadas variáveis x 
e y; 
• Impomos ao ponto Q(x,y) a condição p, e obteremos a equação do L.G. 
Feitas as considerações, vamos obter uma equação do lugar geométrico dos 
pontos do plano cartesiano que equidistam dos pontos A(2,4) e B(0,1). 
Resolvendo, temos que Q(x,y) um ponto genérico no plano cartesiano e para 
que esse ponto pertença ao L.G., devemos impor a situação em que QA = QB e então 
teremos: 
QA = QB 
2 2 2 2( 2) ( 4) ( 0) ( 1)x y x y− + − = − + −
 
Vamos agora quadrar os membros dessa igualdade e teremos: 
 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 1)2 
x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = x2 + y2 – 2y + 1 
-4x – 6y – 19 = 0 
Em uma reta também é possível determinar o lugar geométrico, vamos a um 
exemplo em que dada a equação da reta y = 2x -1, vamos determinar L.G. dessa 
equação no plano cartesiano. 
 
 
Representação da equação y = 2x -1 
x y y = 2x -1
0 -1 y = 2.0 - 1 = -1
1 1 y = 2.1 -1 = 1
y
1
-1 1 x
 
6 
 
 
Assim, na representação acima, a reta verde é o lugar geométrico dado pela 
equação y = 2x – 1. 
Vamos agora, obter a equação do lugar geométrico dos pontos A(3,5) e B(7,1), 
ponto este que define uma reta no plano cartesiano. 
Inicialmente vamos marcar os pontos no plano cartesiano e marcar a reta que 
representa o lugar geométrico. 
Na figura abaixo, podemos ver a reta em azul é o L.G. destes pontos A e B e 
agora vamos determinar a equação desta reta. 
 
Representação de L.G. dos pontos A e B 
 
Sabemos que a equação de uma reta é y= ax + b e como não tenho nem o a e 
nem o b, o nosso objetivo é encontrar esses valores. Vamos pegar os pontos e 
substituir neste modelo de reta. 
y = ax + b y = ax + b 
5 = a.3 + b 1 = a.7 + b 
3a + b = 5 7a + b = 1 
3 5
7 1
a b
a b
+ =

+ =
 vamos multiplicar por -1 3 5
7 1
4 4 1
a b
a b
a a
+ =

− − = −
− = → = −
 
 
3a + b = 5 
3.(-1) + b = 5 
y
5 A
1 B
 
1 3 7 x
 
 
7 
 
-3 + b = 5 →b = 8 
Assim concluímos que a equação desta reta é y = -x + 8 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Em um plano cartesiano, o lugar geométrico, está distante de 
um ponto A(3,2) e B(-1,0). A distância de L.G. ao ponto A é o triplo da 
distância ao ponto B. Faça uma descrição de L.G. 
2. (UFF-RJ) Identifique, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano 
definido pela equação
2 2– 4 8 12x y x y− + =
 . 
Sugestão: Agrupando os termos em x e os termos em y, obtém-se: 
( ) ( )2 2– 4 – 8 12x x y y− =
 . Adicionando ou subtraindo constantes a 
ambos os membros da equação, transforme cada um dos agrupamentos 
em trinômios quadrados perfeitos. 
3. (Paiva, 1999) Obter uma equação do lugar geométrico dos pontos 
equidistantes das retas r:2x + y -1 = 0 e s:x + 2y + 3 = 0. 
Gabarito 
1. FaçamosQ(x,y) como um ponto genérico do plano cartesiano e como 
devemos impor que o ponto Q(x,y) deve pertencer ao lugar geométrico, 
impomos que QA = 3QB. 
√ (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 3√ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 0)2 
Vamos agora quadrar os dois membros dessa igualdade: 
(√ (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 3√ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 0)2 )2 
 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 9[ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 0)2 ] 
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9(x2 + 2x + 1 + y2) 
x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9x2 + 18x + 9 + 9y2 
8x2 + 8y2 + 24x + 4y – 4 = 0 
Dividindo tudo por 8 temos: 
x2 + y2 + 3x + 
𝑦
2
−
1
2
 = 0 
x2 + 3x + (𝑦2 +
𝑦
2
) =
1
2
 
(x2 + 3x + 
9
4
)+ (𝑦2 +
𝑦
2
+
1
16
) =
1
2
+
9
4
+
1
16
 
(𝑥 +
3
2
 )2 + (𝑦 +
1
4
)2 = 
45
16
 
 
8 
 
Assim podemos concluir que o L.G. é uma circunferência de centro C(−
3
2
, −
1
4
) 
e raio R = 
3√5
4
. 
 
2. (x2 –4x) – (y2- 8y) = 12 
(x2 –4x + 4) – (y2- 8y + 16) = 12 + 4 – 16 
(x – 2)2 – (y – 4)2 = 0 
Fatorando o primeiro membro, temos um polinômio do tipo a2 – b2 e usamos o 
produto notável da soma pela diferença, ou seja a2 – b2 = (a +b).(a – b): 
(x – 2 + y – 4)(x – 2 – y + 4) = 0 
x + y – 6 = 0 ou x – y + 2 = 0 
Concluímos, então, que o L.G. é o par de retas r: x + y – 6 = 0 e s: x – y + 2 = 0. 
Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma 
pela diferença. 
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será: 
a2 - b2 = (a + b) . (a - b) 
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. 
Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença 
desses valores. 
 
3. Seja Q(x,y) um ponto genérico do plano cartesiano, 
Para que o ponto Q(x,y) pertença ao lugar geométrico, devemos impor: 
Qr = Qs 
|2x + y − 1|
√22+12
= 
|x + 2y + 3|
√12+22
 
|2x + y – 1| = |x + 2y + 3| 
É importante lembrar que o módulo ou valor absoluto de um número real, se 
ele for positivo, é o próprio número e se for negativo é o seu simétrico. 
Então, temos que: 
2x + y – 1 = x + 2y + 3 
x – y – 4 = 0 ou 
2x + y – 1 = -x – 2y – 3 
3x + 3y + 2 = 0 
Logo, o L.G. é constituído pelo para de retas t:x – y – 4 = 0 e u:3x + 3y + 2 = 0 
As retas t e u contêm as bissetrizes dos ângulos formados pelas retas r e s. 
 
9 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Resumo 
No conteúdo de hoje, vimos que um lugar geométrico é qualquer conjunto de 
pontos, podendo até mesmo ser o conjunto vazio. 
Um L.G. é determinado por uma propriedade p se, e somente se: 
• Todos os pontos L.G. satisfazem a propriedade p; 
• Somente os pontos do L.G. satisfazem a propriedade. 
A equação desse L.G. é obtida considerando um ponto genérico Q(x,y) de 
coordenadas variáveis x e y. Impõe-se ao ponto Q(x,y) a condição p, obtendo assim a 
equação do L.G. 
 
 
y
r
 
1 t
s
## ½
-3 4 x
 
-4
u
 
10 
 
Referências bibliográficas 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999