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Geometria
Plana e Espacial
Um Estudo Axiomático
300 exercícios propostos
Mais de 400 ilustrações
150 exemplos
João Roberto Gerônimo
Valdeni Soliani Franco
Geometria Plana e
Espacial
Um Estudo Axiomático
João Roberto Gerônimo
Valdeni Soliani Franco
fevereiro de 2006
Maringá – PR
iv
 
Índice
Apresentação
Neste trabalho temos como objetivo apresentar um
estudo axiomático da geometria euclidiana plana e espacial.
Ele está escrito em termos de geometria clássica, mas
utilizando uma linguagem moderna e com um certo rigor
nas demonstrações.
Salientamos que na Geometria Espacial,
admitiremos todos os resultados obtidos na Geometria
Plana.
O texto está dividido em 16 capítulos sendo que o
primeiro capítulo é introdutório, os capítulos de 2 a 9
tratam da geometria plana e os capítulos de 10 a 16
tratam da geometria espacial. Mais especifica-mente, no
Capítulo 1, apresentamos uma introdução histórica onde
justificamos a abordagem escolhida para o texto. No
Capítulo 2, estuda-mos os primeiros axiomas e seus
principais resultados na geometria plana. No Capítulo 3,
apresentamos os axiomas sobre medidas de segmentos e
ângulos. No Capítulo 4, estudamos a congruência entre
triângulos. No Capítulo 5, tratamos do principal axioma da
Geometria Euclidiana, que por mais de dois mil anos
acreditaram que era conseqüência dos outros axiomas.
No Capítulo 6, tratamos de áreas de regiões
poligonais. No Capítulo 7, estudamos os casos de
semelhança em triângulos e como consequência o
Teorema de Tales. No Capítulo 8, estudamos as
propriedades da circunferência e do círculo. No Capítulo 9,
estudamos as relações métricas existentes nos triângulos.
No Capítulo 10, apresen-tamos os primeiros axiomas e
seus principais resultados relativos ao espaço euclidiano.
No Capítulo 11, estudamos as relações de paralelis-mo
entre retas e planos e entre planos e planos. No Capítulo
12, estudamos as relações de perpendicularismo entre
retas e planos e entre planos e planos. No Capítulo 13,
utilizamos as relações de perpendicularismo e paralelismo
para definir distâncias, ângulos, diedros e triedros. No
Capítulo 14, definimos poliedros e classificamos os
v
poliedros regulares e os de Platão. No Capítulo 15,
estudamos a esfera e suas propriedades. Para finalizar, no
Capítulo 16, estudamos áreas e volumes de figuras
geométricas espaciais.
No Apêndice A apresentamos um pequeno relato
sobre a obra “Os Elementos” de Euclides.
No Apêndice B indicamos uma página na internet
com a resolução dos exercícios propostos no livro em
formato PDF. Deixamos também disponibilizados as
figuras encontradas no texto. Para resolver estes
exercícios contamos com a colaboração inicial dos ex-
acadêmicos Ademir Pastor Ferreira, Vânia Batista Marinho
e Waldir Soares Júnior.
Neste texto empregamos uma linguagem
contemporânea onde falamos de conjuntos, relações e
funções, conceitos que, a priori, não precisam ser
compreendidos de forma mais aprofundada, mas
utilizando apenas o conhecimento do Ensino Médio. Estes
conceitos podem ser vistos com detalhes em [2].
Gostaríamos de registrar nossos agradecimentos
aos alunos das turmas de 1999, 2000, 2001, 2002, 2003,
2004 e 2005 do curso de matemática da UEM e ao
professor Marcelo Escudeiro Hernandes, pelas sugestões
apresentadas. Queremos agradecer também aos alunos
de Especialização em Matemática da UEMS – Dourados –
MS, pelas sugestões e correções feitas nos capítulos
relacionados a Geometria Plana.
Maringá, 15 de fevereiro de 2006
 
Índice
Índice
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO...........................................................1
CAPÍTULO 2: INCIDÊNCIA E ORDEM NO PLANO.....................4
2.1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA..............................................................4
2.2. AXIOMAS DE ORDEM....................................................................4
2.3. ORDENANDO UMA RETA...............................................................4
2.4. POLÍGONOS....................................................................................4
2.5. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 3: SEGMENTOS, ÂNGULOS E MEDIDAS.................4
3.1. MEDIDAS DE SEGMENTOS.............................................................4
3.2. MEDIDAS DE ÂNGULOS.................................................................4
3.3. CONGRUÊNCIA DE SEGMENTOS E ÂNGULOS.................................4
3.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 4: CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS......................4
4.1. O CASO LAL................................................................................4
4.2. O CASO ALA................................................................................4
4.3. O CASO LLL.................................................................................4
4.4. O CASO LAAO...............................................................................4
4.5. O CASO LLA..............................................................................4
4.6. EXISTÊNCIA DE PERPENDICULARES E PARALELAS.......................4
4.7. DISTÂNCIA DE PONTO A RETA E DESIGUALDADE TRIANGULAR. .4
4.8. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 5: AXIOMA DAS PARALELAS.....................................4
5.1. O AXIOMA DAS PARALELAS.........................................................4
5.2. TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS..................................................4
5.3. TEOREMA DAS PARALELAS...........................................................4
5.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 6: REGIÕES POLIGONAIS E ÁREAS........................4
6.1. REGIÕES POLIGONAIS...................................................................4
6.2. ÁREAS...........................................................................................4
6.3. TEOREMA DE PITÁGORAS..............................................................4
6.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 7: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E O 
TEOREMA DE TALES.........................................................................4
vii
7.1. SEQUÊNCIAS PROPORCIONAIS.......................................................4
7.2. TEOREMA DE TALES......................................................................4
7.3. SEMELHANÇA................................................................................4
7.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 8: CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO...........................4
8.1. TANGENTES...................................................................................4
8.2. ÂNGULO INSCRITO........................................................................4
8.3. PERÍMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA.........................................4
8.4. ÁREA DE UM CÍRCULO..................................................................4
8.5. EXERCÍCIOS...................................................................................4
CAPÍTULO 9: TRIGONOMETRIA...................................................4
9.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.......................................................4
9.2. RELAÇÃO FUNDAMENTAL.............................................................4
9.3. AMPLIANDO O DOMÍNIO...............................................................4
9.4. LEI DOS COSSENOS.......................................................................4
9.5. LEI DOS SENOS..............................................................................4
9.6. EXERCÍCIOS...................................................................................4CAPÍTULO 10: INCIDÊNCIA E ORDEM NO ESPAÇO.................4
10.1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA............................................................4
10.2. DETERMINAÇÃO DE PLANOS.......................................................4
10.3. AXIOMA DE ORDEM....................................................................4
10.4. ÂNGULOS ENTRE RETAS..............................................................4
10.5. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 11: PARALELISMO NO ESPAÇO E SUAS 
CONSEQÜÊNCIAS...............................................................................4
11.1. PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS......................................4
11.2. PARALELISMO ENTRE PLANOS....................................................4
11.3. TEOREMA DE TALES....................................................................4
11.4. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 12: PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO E SUAS 
CONSEQÜÊNCIAS................................................................................4
12.1. PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLANOS..........................4
12.2. PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS........................................4
12.3. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 13: PROJEÇÕES, DISTÂNCIAS, ÂNGULOS, 
DIEDROS E TRIEDROS......................................................................4
13.1. DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO..................................................4
13.2. DISTÂNCIA ENTRE RETAS REVERSAS..........................................4
 
Índice
13.3. ÂNGULO ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO......................4
13.4. DIEDROS......................................................................................4
13.5. TRIEDROS....................................................................................4
13.6. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 14: POLIEDROS..............................................................4
14.1. FIGURAS POLIÉDRICAS................................................................4
14.2. SUPERFÍCIES POLIÉDRICAS..........................................................4
14.3. POLIEDROS..................................................................................4
14.4. FÓRMULA DE EULER...................................................................4
14.5. POLIEDROS DE PLATÃO...............................................................4
14.6. POLIEDROS REGULARES..............................................................4
14.7. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 15: SUPERFÍCIE ESFÉRICA E ESFERA...................4
15.1. CONCEITO E PROPRIEDADES.......................................................4
15.2. DETERMINAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA........................4
15.3. POSIÇÕES RELATIVAS..................................................................4
15.4. SUPERFÍCIE ESFÉRICA E SUAS PARTES........................................4
15.5. EXERCÍCIOS.................................................................................4
CAPÍTULO 16: ÁREAS E VOLUMES...............................................4
16.1. AXIOMAS.....................................................................................4
16.2. PRISMA........................................................................................4
16.3. PIRÂMIDE....................................................................................4
16.4. CILINDRO....................................................................................4
16.5. CONE...........................................................................................4
16.6. ESFERA........................................................................................4
16.7. EXERCÍCIOS.................................................................................4
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................4
APÊNDICE A: O LIVRO “OS ELEMENTOS” DE EUCLIDES.....4
APÊNDICE B: RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS..........................4
ix
Capítulo 1: Introdução 
A geometria1 surgiu há aproximadamente 4.000
anos no Egito e na Babilônia, de uma maneira intuitiva,
não sistemática, com uma série de regras práticas
sugeridas pela experiência, objetivando principalmente
aplicações às medições. De fato, as relações desta
sociedade, baseadas na propriedade, impuseram a
necessidade de medir.
Por outro lado, a geometria com um caráter
dedutivo, apoiado em proposições gerais, teve seu início
na antiga Grécia, com Tales de Mileto2 e Pitágoras3. 
Mas foi Euclides4, na sua famosa obra Os Elementos
(Ver Apêndice A), o primeiro a apresentar um sistema
axiomático para a geometria, ou seja, um sistema
formado por noções primitivas, definições, axiomas e
teoremas. Os axiomas são o começo dessa cadeia
dedutiva e são as afirmações não demonstradas, que
Euclides chamou de postulado (aquilo que não se pode).
Euclides procurou escolher como postulados e afirmações
que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer
pessoa de bom senso e que eram, em um certo sentido,
evidentes por si mesmas. 
1 Palavra de origem grega: “geo” significa “terra” e “metria” significa
“medida”.
2 Tales de Mileto nasceu por volta de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor
(atualmente Turquia) e morreu por volta de 547 a.C. em Mileto. Tales de Mileto
foi o primeiro filósofo grego, cientista e matemático conhecido. A ele é creditado
cinco teoremas da geometria elementar [0]. 
3 Pitágoras de Samos nasceu por volta de 569 a.C. em Samos, Ionia e
morreu por volta de 475 a.C. Pitágoras foi um filósofo grego que fez importantes
descobertas na matemática, astronomia e na teoria musical. O teorema hoje
conhecido como Teorema de Pitágoras era conhecido pelos Babilônios 1000 anos
atrás mas ele foi o primeiro a demonstrá-lo [0]. 
4 Euclides de Alexandria nasceu por volta de 325 a.C. e morreu por
volta de 265 a.C. em Alexandria, Egito. Euclides é o mais notável matemático da
antigüidade. Foi mais conhecido pelo tratado sobre geometria denominado Os
Elementos [0]. 
Acontece que os quatro primeiros postulados de
Euclides, enunciados a seguir satisfazem essas condições
de simplicidade e evidência, mas o quinto nem tanto,
como vocês poderão perceber. 
1. Dois pontos determinam uma reta.
2. A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível
marcar um segmento de comprimento arbitrário.
3. É possível obter uma circunferência com qualquer
centro e qualquer raio.
4. Todos os ângulos retos são
iguais.
5. Se uma reta r corta duas outras
retas5 s e t (no mesmo plano) de
modo que a soma dos ângulos
interiores ( e ) de um mesmo
lado de r é menor que dois retos,
então s e t , quando prolongadas
suficientemente, se cortam
daquele lado de r.
s
t
r 


O próprio Euclides deve ter considerado o quinto
postulado pouco evidente, tanto que ele retardou o
quanto possível o uso deste postulado. Já na Antigüidade,
Proclus6 não aceitava o quinto postulado, pois achava que
este poderia ser demonstrado a partir dos conceitos
básicos da obra euclidiana, sendo, portanto, na realidade
um teorema. Mas a maior parte das tentativas de
demonstração do quinto postulado admitiam fatos que ou
eram equivalentes a ele, ou não podiam ser demonstrados
usando unicamente os outros quatro postulados. Grandes
nomes na matemática tentaram sem sucesso a
demonstração do quinto postulado.
5 No início do capítulo 2 apresentaremos as notações para pontos,
retas, ángulos, etc. Os desenhos também farão parte do texto como forma de
fixar melhor as idéias e resultados apresentados .
6 Proclus Diadochus nasceu em 8 de fevereiro de 411 em
Constantinopla(atualmente Istambul), Byzantium (atualmente Turquia) e morreu
em 17 de Abril de 485 em Atenas, Grécia. Proclus não foi um matemático
criativo; mas foi um expositor crítico e detalhista, com um bom conhecimento
dos métodos matemáticos e um conhecimento detalhado de milhares de anos
da Matemática Grega de Tales até os seus dias [0]. 
 
1. Introdução
A negação do quinto postulado, e assim sua
independência em relação aos outros quatro, levaram a
criação de outras geometrias. A primeira geometria não
Euclidiana foi publicada de maneira independente e quase
simultânea pelo matemático russo N. I. Lobachewsky7 em
1829 e pelo matemático J. Bolyai8 em 1832. Tal geometria
é hoje chamada geometria hiperbólica.
Durante muito tempo distinguiu-se axioma de
postulado. Os axiomas eram proposições evidentes por si
mesmas e postulados eram proposições que se pediam
fossem aceitas sem demonstração. Hoje, axiomas e
postulados são designações das proposições admitidas
sem demonstração, na verdade, atualmente emprega-se
sempre a palavra axioma em lugar de postulado. 
Existem outras versões para os postulados da
geometria plana que são encontrados nos Os Elementos
de Euclides. David Hilbert9 construiu um sistema de
axiomas para a geometria Euclidiana [0] consistindo de
cinco grupos, a saber:
I - Axiomas de incidência: Neste grupo são apresentados
oito axiomas dos quais três são relacionados ao plano e
cinco são relacionados ao espaço. Estes axiomas
estabelecem as relações mútuas entre ponto e reta.
II - Axiomas de ordem: Neste grupo são apresentados
quatro axiomas e com eles é possível fazer a ordenação
dos pontos sobre uma reta, um plano e no espaço.
7 Nikolai Ivanovich Lobachewsky nasceu em 1 de dezembro de 1792 em
Nizhny Novgorod, Rússia e morreu em 24 de fevereiro de 1856 em Kazan,
Rússia. Em 1829 Lobachevsky, publicou sua geometria não-euclidiana, o
primeiro tratado deste tema a ser impresso [0]. 
8 Jãnos Bolyai nasceu em 15 de dezembro de 1802 em Kolozsvár,
Império Austríaco (atualmente, Cluj, Romênia) e morreu em 27 de janeiro 1860
em Marosvásárhely, Império Austríaco (atualmente, Tirgu-Mures, Romênia).
Entre 1820 e 1823 Bolyai preparou um tratado sobre um sistema completo de
geometria não-euclidiana [0]. 
9 David Hilbert nasceu em 23 de janeiro de 1862 em Königsberg,
Prussia (atualmente Kaliningrad, Rússia) e morreu em 14 de fevereiro de 1943
em Göttingen, Alemanha. A publicação de Hilbert em geometria foi um dos
trabalhos com mais influência nesta área depois de Euclides. Um estudo
sistemático dos axiomas da geometria euclidiana levou Hilbert a propor 21
axiomas e suas conseqüências. Ele fez contribuições em muitas áreas da
matemática e física [0]. 
3
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
III - Axiomas de congruência: Neste grupo são
apresentados cinco axiomas dos quais três são
relacionados a congruência de segmentos, um relacionado
a congruência de ângulos e um relacionado a congruência
de triângulos.
IV - Axioma das paralelas: Este axioma estabele a
unicidade de uma reta paralela a uma reta dada passando
por um ponto. Neste grupo temos apenas um mas é o
mais importante pois é ele que caracteriza a geometria
euclidiana.
V - Axiomas de continuidade: Este grupo é constituído de
dois axiomas a saber: axioma de Arquimedes10 e axioma
de Dedekind11.
Apresentar a Geometria Euclidiana de forma
dedutiva utilizando o sistema apresentado por Euclides ou
Hilbert é mais complicado. Aleksei Vasil’evich Pogorelov12,
com o objetivo de tornar o texto [0] mais simples dividiu
os axiomas em seis grupos13:
I. Axiomas de incidência: Este grupo é constituído de
quatro axiomas, sendo dois relacionados ao plano e dois
relacionados ao espaço.
II. Axiomas de ordem: Este grupo é constituído de três
axiomas, sendo dois relacionados ao plano e um
relacionado ao espaço.
III. Axiomas de medidas: Este grupo é constituído de doze
axiomas, sendo dois relacionados a segmentos, dois
relacionados a ângulos, quatro relacionados a áreas e
quatro relacionados a volumes.
10 Arquimedes de Siracusa nasceu em 287 a.C. e morreu em 212 a. C.
em Siracusa, Sicília. A maior contribuição de Arquimedes foi em Geometira. Seu
método antecipou o cálculo integral 2.000 antes de Newton e Leibniz[0]. 
11 Julius Wihelm Richard Dedekind nasceu em 06/10/1831 e morreu em
12/02/1916 em Braunschweig, atual Alemanha. A maior contribuição de
Dedekind foi a definição de números irracionais em termos de cortes. Ele
introduziu a noção de ideal que é fundamental para a teoria de anéis[0]. 
12 Aleksei Vasil’evich Pogorelov nasceu em 3 de março de 1919 na
Rússia e morreu em 2002. Sua área de pesquisa é caracterizada por uma rara
combinação de talento para a a matemática e engenharia. É autor de mais de
200 publicações incluindo 40 monografias e livro-textos [8].
13 Estes grupos foram apresentados separadamente para o plano
(estudo que chamou de planimetria) e o espaço (estudo que chamou de
estereometria).
4
 
1. Introdução
IV. Axioma de existência de um segmento de comprimento
dado: Este axioma e garante a construção de segmentos a
partir de um número real dado.
V. Axioma de Congruência: Este axioma garante a
congruência de triângulos e permite obter áreas e
volumes de figuras congruentes.
VI. Axioma das paralelas: Por último temos o axioma que
caracteriza a geometria euclidiana.
Se, por um lado, Pogorelov não apresenta o grupo
“axiomas de continuidade”, ele acrescenta mais dois
grupos relacionados a medidas que de certa forma
garantem a validade deste grupo. Nestas notas,
utilizaremos uma versão simplificada de Pogorelov que
possui a vantagem adicional de poder ser utilizada no
ensino básico da geometria. Faremos algumas
adaptações, entre elas estão:
 Para o estudo de áreas e volumes
acrescentamos o axioma do completamento.
 Acrescentamos ao grupo de medidas axiomas
relacionados a área e volumes.
No decorrer do texto faremos a construção das
principais figuras geométricas planas e espaciais sem, no
entanto, fazer o estudo da construção com régua e
compasso.
Apesar de fazermos este estudo através da
apresentação axiomática, não nos preocuparemos com as
questões relacionadas a consistência, independência e
completude dos axiomas apresentados. Esta análise está
fora do escopo deste livro e pode ser vista nos livros de
Hilbert [0] e Pogorelov [0].
Nosso estudo será formado por
 Noções primitivas: são os conceitos aceitos sem
definição.
 Axiomas: são os resultados aceitos sem
demonstração.
 Definições: são os conceitos apresentados para
simplificar a linguagem matemática ou para
identificar um novo objeto matemático.
5
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
 Teoremas: são os resultados que são
demonstrados a partir de uma cadeia dedutiva
de afirmações.
 Proposições: são o mesmo que os teoremas mas
que no sistema como um todo não apresenta
tanta importância quanto o teorema.
 Lemas: são pequenos resultados que também
devem ser demonstrados e que simplificam a
demonstração de um teorema.
 Corolários: são conseqüências imediatas de um
teorema e que merece ser evidenciado.
Cada uma dessas noções ficará clara no decorrer do
estudo.
As primeiras noções primitivas que adotaremos são
as seguintes:
Noção Primitiva 1: Ponto. 
Noção Primitiva 2: Reta. 
Noção Primitiva 3: Plano14.
Estas noções primitivas nos dizem quem serão os
objetos básicos da geometria euclidiana. Desta forma, a
geometria euclidiana estudará as relações entre esses três
objetos.
As notações que utilizaremos para pontos, retas e
planos serão as seguintes:
Pontos: Letras latinas maiúsculas: A, B, C, X, Y,...Retas: Letras latinas minúsculas: a, b, c, x, y,...
14 Das noções primitivas temos um conhecimento intuitivo pela
experiência, sensibilidade e observação. Por exemplo, a marca de um toque de
grafite num papel, dá a idéia da noção não definida de ponto, apesar que isso é
uma representação de ponto, pois ponto não tem dimensão, e a marca no papel
tem. É interessante observarmos que Euclides no Livro I de “Elementos” definiu
de maneira equivocada estas três noções, por exemplo, ele escreve que “ponto
é aquilo que não tem partes” e deixa sem significado o termo “ter partes”.
6
 
1. Introdução
Planos: As seguintes letras gregas maiúsculas15: , , ,
, , , , .
Nos capítulos de 2 a 9 trabalharemos somente num
plano fixado e, portanto, não haverá necessidade da
notação de plano. Esta necessidade somente ocorrerá a
partir do Capítulo 10. 
As notações gráficas que utilizaremos para pontos,
retas e planos serão as seguintes:
Ponto:  
Reta: 
Plano: 
É importante observarmos que estas notações
gráficas são apenas uma maneira de fixar as idéias com
relação a cada um dos objetos trabalhados e que isto, de
forma alguma, representa os objetos da teoria
apresentada. Em todo o texto serão apresentados
desenhos que servirão para fixar as idéias no
desenvolvimento de determinado conceito ou resultado.
Por outro lado, devemos esclarecer que são apenas
ilustrativos e não podem servir para justificar qualquer
uma das propriedades geométricas.
No texto falaremos de figuras geométricas
(planas ou espaciais), ou simplesmente, figuras
planas ou figuras espaciais, que são subconjuntos do
plano ou do espaço e estaremos apresentando uma
classificação das principais figuras.
15 O alfabeto grego maiúsculo é dado por:  (alfa),  (beta),  (gama), 
(delta),  (epsílon ou epsilo),  (zeta ou dzeta),  (eta),  (teta),  (iota), 
(capa),  (lambda),  (mi ou mu),  (ni), (xi), (ômicron),  (pi),  (rô), 
(sigma), (tau), (upsilon),  (fi),  (chi), (psi) e. (ômega).
7
Capítulo 2: Incidência e Ordem no
Plano
Neste capítulo apresentaremos axiomas de
incidência e ordem no plano. Os axiomas de incidência
estabelecem as relações mútuas entre ponto e reta e os
axiomas de ordem estabelecem uma ordenação dos
pontos na reta e no plano.
2.1. Axiomas de Incidência
Neste primeiro grupo estudaremos a incidência
entre pontos e retas que terá o mesmo significado de
interceptar, passar por, estar sobre. Começaremos pelo
axioma de existência.
Axioma I.1: (de existência) 
a) Existe ponto.
b) Existe reta e qualquer que seja a reta, existem pontos
que pertencem à reta e pontos que não pertencem à
reta.
O mais interessante deste axioma é que ele nos
garante a existência dos objetos básicos, ou seja, a
geometria não constitui-se de um conjunto vazio e,
portanto, fará sentido o estudo da relação entre esses
objetos.
Axioma I.2: (de determinação): Dados dois pontos
distintos existe uma única reta que contém estes pontos.
Observações: 
 2.
Incidência e Ordem no Plano
1. Como dois pontos determinam uma reta, quando
falarmos de uma reta que passa por dois pontos distintos
A e B, a denotaremos por rAB.
2. Este axioma constitui um bom teste de qualidade das
réguas que utilizamos, ou seja, se você conseguir
desenhar duas retas distintas passando por dois pontos
distintos significa que esta régua não é adequada para
esta geometria.
3. Dada uma reta r, que existe pelo Axioma I.1.b,
tomamos um ponto P qualquer fora de r e um ponto Q em
r, que existem pelo mesmo axioma; unindo P com Q,
teremos uma nova reta s que é univocamente
determinada pelos pontos P e Q de acordo com o Axioma
I.2a. O ponto Q na reta r, é o que chamaremos de
interseção de r e s, cuja notação será r  s. Fazendo um
abuso de notação, escreveremos r  s = Q ao invés de r  s
= {Q}. Isto será feito com o objetivo de simplificá-la.
4. Quando duas retas possuírem um
ponto de interseção, diremos que as
duas retas se inter-ceptam. Como
estamos estudando geome-tria,
vamos visualizar geometricamente o
con-teúdo das observações 3 e 4. No
desenho ao lado temos as retas r e s
se interceptando no ponto Q e o
ponto P não pertencente a reta r.
r
s
P
Q
Definição 2.3: Se três (ou mais) pontos estão sobre uma 
mesma reta, diremos que eles são colineares.
9
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Exemplo
2.1. No desenho ao lado, os pontos
A, B e C são colineares pertencendo
a reta r, os pontos D, E e F são não
colineares, onde D e E pertencem a
reta s, D e F pertencem a reta t, e E
e F pertencem a reta q.
A
B
C
F
E
D
r
s t
q
Proposição 2.3: Dadas duas retas distintas, elas
possuem no máximo um ponto de intersecção. 
Demonstração: Se a interseção de duas retas contiver
pelo menos dois pontos distintos, então pelo Axioma I.2 as
retas não podem ser distintas, o que é uma contradição.
Logo, as duas retas se interceptam no máximo em um
ponto. 

Vejamos agora a quarta noção primitiva da
geometria euclidiana que permitirá apresentar a noção de
segmento de reta.
Noção Primitiva 4: Um ponto C
estar entre dois pontos A e B de
uma reta r, onde A, B e C são
distintos. 
Observemos que dizer “C está
entre A e B” é o mesmo que dizer “C
está entre B e A”. No desenho ao
lado, os pontos A, B e C pertencem a
reta r e o ponto C está entre A e B.
A
C
B r
Definição 2.3: Sejam A e B dois pontos de uma reta r. O
conjunto constituído pelos dois pontos A e B e pelos
pontos que estão entre A e B é chamado de segmento
de reta, cuja notação será AB. Os pontos que estão entre
A e B são chamados pontos interiores, ou simplesmente
pontos do segmento AB; os pontos A e B, são
10
 2.
Incidência e Ordem no Plano
denominados extremos do segmento AB. A reta r é
denominada reta suporte do segmento AB e será
denotada por rAB.16
Exemplos
2.2. No desenho ao lado
indicamos o seg-mento AB, o
interior do segmento AB e os
extremos A e B na reta suporte r.
Obser-vemos que o segmento AB é
formado pela união dos pontos
extremos com os pontos interiores.
A
B r
Segmento AB
Interiores
Extremos
2.3. A noção de segmento permitirá
a construção de várias figuras
planas conheci-das. Com os
conceitos e resultados que temos já
podemos construir os triângulos,
que são figuras formadas por três
pontos não colineares A, B e C e
pelos segmentos de reta
determinados por estes três pontos.
No desenho ao lado, temos um
triângulo construído sobre as retas
r, s e t
r
s
B
C
A
t
que, duas a duas, se interceptam nos pontos A, B e C,
formando os segmentos AB, AC e BC. Os pontos A, B e C
são chamados vértices do triângulo e os três segmentos
de lados do triângulo. Denotaremos esse triângulo por
ABC. Um triângulo é bem determinado pelos seus três
pontos pois os segmentos são bem determinados por dois
pontos.
16 Não há diferença entre o segmento AB e o segmento BA. Existirá a
diferença quando temos um segmento orientado. A notação é a mesma da
reta que passa por dois pontos e é razoável que seja assim pois existe uma
única reta suporte do segmento e que contém os extremos do segmento.
11
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Até o momento
apresentamos qua-tro classes17 de
figuras geométricas planas: pontos,
retas, segmentos e triângulos. No
diagrama ao lado visualizamos
estas classes que, conforme se
observa, são disjuntas, ou seja, um
ponto não pertence a classe dos
segmentos, um segmento não
pertence a classe dos triângulos,
etc.
Figuras 
pontos retas
segmentostriângulos
O diagrama apresentado não se preocupa com
questões relativas ao tamanho de cada classe mas sim
com a questão de conjunto propriamente dita, ou seja,
consideramos o conjunto de todas as figuras planas e
vamos visualizar este conjunto que está particionado em
classes que poderão ser disjuntas ou não.
2.2. Axiomas de Ordem
O próximo grupo estabelecerá as relações mútuas
entre os pontos numa reta e no plano e pertencem ao
segundo grupo de axiomas denominado axiomas de
ordem. 
Axioma II.1: Dados três pontos colineares, um e apenas
um deles localiza-se entre os outros dois.
Axioma II.2: Dados dois pontos A
e B numa reta, sempre existem um
ponto C entre A e B e um ponto D,
tal que A está entre D e B.
A
B
C
D
Definição 2.3: Seja r uma reta e fixemos um ponto O em r.
Consideremos os pontos A e B em r, distintos de O. Se A =
B, diremos que A e B estão do mesmo lado em relação
ao ponto O. Caso contrário, pelo Axioma II.1, O está entre
17 O sentido que estamos dando para a classe é o usual, ou seja, um
conjunto de objetos que possuem uma propriedade em comum.
12
 2.
Incidência e Ordem no Plano
A e B, ou não. Se O não está entre A e B diremos que A e
B estão no mesmo lado em relação ao ponto O. Se O
está entre A e B, diremos que A e B estão em lados
diferentes em relação ao ponto O.
Exemplos
2.4. No desenho ao lado temos as
seis possibilidades que podem
ocorrer com três pontos sobre uma
reta dada. Deixamos subentendida
uma ordem que será vista na
próxima seção. De fato, até o
momento não há diferença entre o
primeiro e o sexto caso, segundo e
quarto caso, terceiro e quinto caso.
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
2.5. Nos desenhos ao lado
ilustramos todas as possíveis
situações entre dois pontos em
relação a um ponto O. No desenho
onde A e B estão do mesmo lado,
observemos que ainda não
sabemos a diferença entre o
segundo e o quarto caso. Da
mesma forma com o terceiro e
quarto caso. Isto também se nota
quando A e B estão em lados
diferentes em relação a O. Na
realidade, está faltando
estabelecer uma ordem nesta reta
pois é a ordem que permitirá
diferenciar estes casos. O mesmo
ocorre com o segundo desenho.
O
A
B
O
B
A
B
A
O
A
B
O
A e B estão do mesmo lado em 
relação a O
O
A=B
A
O
B
B
O
A
A e B estão em lados
diferentes em relação a O
A relação entre os pontos, dada pelo ponto O, nos
permite particionar a reta:
13
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Teorema 2.3: Um ponto numa reta fornece uma
partição18 da mesma.
Demonstração: Dado uma reta r e
um pon-to O pertencente a r,
escolhamos um um ponto arbitrário
A em r distinto de O, que existe pelo
item b) do Axioma I.1. Vamos
denotar por S o conjunto de todos
os pon-tos que se encontram do
mesmo lado que A em relação a O,
e por S’ o conjunto de todos os
pontos que se encontram em lados
diferen-
O
A
r
S’
S
tes de A em relação a O. Considere a família de conjuntos 
={S, S’,{O}}. Vamos mostrar que  é uma partição de r,
ou seja:
1. S   e S’  ;
2. S  {O} = , S’  {O} =  e S  S’ = ;
3. S  S’  {O} = r.
De fato, vamos demonstrar cada um dos itens de 1 a 3:
1. Pela Definição 2.3, temos que o ponto A está do mesmo
lado que A em relação ao ponto O. Logo, A  S e, então,
S  . Para demonstrar a segunda parte temos, pelo
Axioma II.2, que existe um ponto D tal que O está entre
A e D. Logo, pela Definição 2.3, D  S’ e, então, S’  .
2. Pela Definição 2.3, temos que qualquer ponto de S ou
S’ é diferente do ponto O. Logo, S  {O} =  e S’ 
{O} = . Para demonstrar a terceira parte, seja B  S
 S’, ou seja, B está do mesmo lado que A em relação
a O e B está em lado diferente de A em relação a O, o
que pela Definição 2.3 contradiz o Axioma II.1.
3. É claro que S  S’  {O}  r. Para mostrar que r  S 
S’  {O} considere um ponto B  r diferente do ponto O.
18 Dado um conjunto A, dizemos que uma família  de conjuntos é uma
partição do conjunto A se todos os elementos de  são subconjuntos não
vazios de A, quaisquer dois elementos de  são disjuntos e a união de todos os
elementos de  fornece o conjunto A.
14
 2.
Incidência e Ordem no Plano
Se B = A então B  S, pela Definição 2.3. Se B  A, pelo
Axioma II.1 temos B entre O e A, ou A entre O e B, ou O
entre A e B. Nos primeiro e segundo casos temos, pela
Definição 2.3, temos B  S. No terceiro caso, também
pela Definição 2.3 temos B  S’. Logo, r  S  S’  {O}
e, portanto 
r = S  S’  {O}.

Este teorema garante a existência de uma relação
de equivalência em r. Deixamos como exercício a
demonstração desta afirmação (Exercício 2.6).
Definição 2.3: O conjunto S da demonstração do
Teorema 2.3, juntamente com o ponto O é chamado semi-
reta. Analogamente, o conjunto S’ unido com {O}
também é chamado semi-reta. O ponto O, é chamado
origem da semi-reta. 
Se um ponto A  S, vamos
denotar a semi-reta que contém A
por SOA. Analogamente, se um
ponto A’  S’, a notação da semi-
reta que contém A’ será SOA’.
Geometricamente, a semi-reta SOA
será representada como no desenho
ao lado. Dizemos que SOA’ é a semi-
reta oposta a SOA e vice-versa.
O
A
Proposição 2.3: Se B está entre A e C, e C está entre B e
D, então B e C estão entre A e D.
Demonstração: Consideremos as semi-retas SBA e SBC.
Como B está entre A e C, temos
15
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
SBA  SBC = r e SBA  SBC = B.
É claro que A  SBA e C  SBC. Se D
 SBA então, pela Definição 2.3 e
Definição 2.3, temos que B está
entre C e D, o que é uma
contradição. Logo, D  SBC e,
portanto, B está entre A e D.
Consideremos, agora as semi-retas
SCD e SCB. Como C está entre B e D,
temos SCD  SCB = r e SCD  SCB = C.
É claro que D  SCD e B  SCB. Se A
 SCD então, pela Definição 2.3 e
Definição 2.3, temos que C está
entre A e B, o que é uma
contradição. Logo, A  SCB e,
portanto, C está entre A e D.
B
D
C
A
B
A
C
D

Concluímos até agora que o ponto O, determina
exatamente duas semi-retas distintas, cuja interseção é o
ponto O. A seguir, vamos dividir os pontos de um plano
também em duas classes. Para isso necessitamos da
seguinte definição:
Definição 2.3: Consideremos uma reta r e dois pontos A
e B que não pertencem a esta reta. Se A = B, diremos que
A e B estão em um mesmo lado em relação a reta r.
Se A  B, temos duas possibilidades, o segmento AB
intercepta ou não a reta r. Se intercepta, diremos que A e
B estão em lados contrários em relação a reta r, se
não intercepta, A e B estão em um mesmo lado em
relação a reta r.
16
 2.
Incidência e Ordem no Plano
Exemplos
2.6. No desenho ao lado temos que
os pontos C e D estão em lados
contrários em relação a reta r e os
pontos A e B estão do mesmo lado
em relação a reta r. Por outro lado,
C e D estão do mesmo lado em
relação a reta s e os pontos A e B
estão em lados contrários em
relação a reta s.
B
A
C
D
r
s
Teorema 2.3: Uma reta fornece uma partição do plano.
Demonstração: Seja r uma reta do plano, a
demonstração deste teorema é análoga a do Teorema 2.3.
Neste caso, tomamos um ponto A não pertencente a r,
que existe pelo Axioma I.1.b. Denotamos por  o conjunto
de todos os pontos que se encontram do mesmo lado que
A em relação a r, e por ’ o conjunto de todos os pontos
que se encontram em lados diferentes de A em relação a
reta r. Considere a família  = { , ’ ,r}. Devemos
mostrar que 
1.    e ’  ;
2.   r = , ’  r =  e   ’ = ;
3.   ’  r é igual ao plano.
De fato, vamosdemonstrar cada um dos itens de 1 a 3.
1. Pela Definição 2.3, temos que o ponto A está do mesmo
lado que A em relação a reta r, e assim, A  , donde  
. Para a segunda parte, tomamos um ponto O qualquer
em r (que existe pelo do Axioma I.2.b); os pontos O e A,
fornece uma reta s pelo Axioma I.2.a, cuja interseção com
r é o ponto O. Pelo Axioma II.2, existe um ponto B em s, tal
que O está entre A e B. Assim O pertence ao segmento AB
e pela Definição 2.3, A e B estão em lados diferentes em
relação a reta r. Logo B  ’, donde ’  ;
17
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
2. Pela Definição 2.3, temos que qualquer ponto de  ou
de ’ não está em r. Assim,   r =  e ’  r = . Para
mostrar que a terceira interseção é vazia, observamos que
se B    ’, então B está do mesmo lado que A em
relação a r e B está em lado diferente em relação a r,
assim, pela Definição 2.3, temos uma contradição;
3. É claro que   ’  r está contido no plano. Vamos
mostrar que todos os pontos do plano estão contidos em
  ’  r. Seja B um ponto qualquer do plano, se B  r,
temos o desejado. Se B  r, podemos ter B = A, neste caso
pela Definição 2.3, B  , e novamente teremos o resultado.
Se B  A, consideremos a reta s = rAB. Pela Proposição 2.3, r
e s tem no máximo um ponto de interseção. Se r  s é o
conjunto vazio, então o segmento AB não intercepta r e
assim, pela Definição 2.3, B está do mesmo lado que A em
relação a r, ou seja, B  . Se r  s = {O}, então pelo
Axioma II.1, ou O está entre A e B, ou não. No primeiro
caso, B  ’ e no segundo caso, B  . Assim, esgotamos
todas as possibilidades, e em todas elas, temos B  r, ou B 
 ou B  ’, donde segue o resultado.

Este teorema garante a existência de uma relação
de equivalência no plano. Deixamos como exercício a
demonstração desta afirmação (Exercício 2.7).
Definição 2.3: Sejam r uma reta e
A um ponto que não pertence a r. O
conjunto  da demonstração do
Teorema 2.3, juntamente com r é
chamado de semiplano
determinado por r contendo A, e
será representado por r,A. r
A
18
 2.
Incidência e Ordem no Plano
Exemplos
2.7. Uma reta r divide o plano em
dois semiplanos distintos, a saber:
os semipla-nos r,A e r,B, cuja
interseção é a reta r. Aqui, o ponto
B está do lado contrário de A em
relação a reta r. No desenho ao
lado, visualizamos estes dois
semiplanos.
2.8. Com estes resultados podemos
construir os quadriláteros, que
são figuras formadas por quatro
pontos A, B, C e D (três a três não
colineares) e pelos segmentos de
reta AB, BC, CD e DA tais que os
segmentos podem se interceptar
somente em seus extremos. Os
pontos A, B, C e D são chama-
dos vértices do quadrilátero e os
quatro segmentos são chamados de
lados do quadrilátero. Denotaremos
o quadrilátero por ABCD. Para
construir um quadrilátero, considere
uma reta r e pontos A, B e C tais
que A, C  r e B  r. A existência
destes pontos está garantida pelo
Axioma I.1.b. 
Considere um ponto E  r, que podemos supor entre A e
C. Na reta rBE considere a semi-reta oposta SEB e um ponto
D pertencente a ela. Afirmamos que os pontos A, B, C e D
junto com os segmentos AB, BC, CD e DA formam um
quadrilátero. De fato, temos que os pares de segmentos
AB e BC, BC e CD, CD e DA, DA e AB se interceptam
somente em um dos extremos, pois caso contrário eles
seriam iguais pela Proposição 2.3. Resta mostrar que os
pares de segmentos AB e CD, AD e BC não se
interceptam. Temos que os segmentos AB e BC estão no
19
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
semiplano r,B, CD e AD estão no semiplano r,D. Logo, AB
e CD estão em semiplanos opostos determinado por r.
Como A, C  r e são distintos temos que AB e CD não se
interceptam. Deixamos como exercício a verificação de
que AD e BC não se interceptam (Exercício 2.10).
2.9. Dados quatro pontos três a três não colineares,
sempre é possível 
construir um quadrilátero. De fato,
sejam A, B, C e D estes pontos e
escolhamos dois pontos quaisquer,
digamos A e B. Temos duas opções:
1. C e D estão em semiplanos
opostos determinados por rAB:
Neste caso, basta considerar os
segmentos AC, CB, BD e DA.
2. C e D estão no mesmo
semiplano determinado por rAB:
Neste caso, escolhamos um dos
pontos A ou B e um dos pontos C e
D, digamos A e C. Temos duas
opções:
a) B e D estão no mesmo
semiplano determinado por AC:
Neste caso, basta considerar os
segmentos AC, CD, DB e BA.
20
 2.
Incidência e Ordem no Plano
b) B e D estão em semiplanos
opostos determinados por rAC:
Neste caso, basta considerar os
segmentos AB, BC, CD e DA.
Com estes resultados o diagrama apresentado
anteriormente passa a ter a visualização no diagrama
abaixo. Observamos que agora temos sete classes
distintas de figuras planas, todas disjuntas: pontos, retas,
segmentos, semi-retas, triângulos, semiplanos e
quadriláteros.
Figuras 
pontos retas
segmentos
triângulos
semi-retas
semiplanos
quadriláteros
2.3. Ordenando uma Reta
Nosso objetivo agora será utilizar os axiomas
anteriores para construir uma relação de ordem sobre
uma reta.
21
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Definição 2.3: Seja r uma reta
arbitrária e O um ponto sobre r.
Consideremos uma das duas semi-
retas que tem origem comum em
O. Diremos que um ponto A desta
semi-reta precede um ponto B, se
A está entre O e B. 
Chamando uma das duas semi-
retas com origem O de primeira
semi-reta ou semi-reta negativa
e a outra de segunda semi-reta
ou semi-reta positiva, podemos
definir uma relação na reta r toda,
estabelecendo as seguintes
condições:
C
r
A
B
D
O
1. Sejam A e B dois pontos da semi-reta negativa. Então,
na reta r, A é menor do que B se B precede A.
2. Todos os pontos da semi-reta negativa são, na reta r,
menores do que o ponto O.
3. Todos os pontos da semi-reta negativa são, na reta r,
menores do que todos os pontos da semi-reta
positiva.
4. O ponto O, na reta r, é menor do que todos os pontos
da semi-reta positiva.
5. Sejam C e D dois pontos da semi-reta positiva. Então,
na reta r, C é menor do que D se C precede D. 
Notação: Se A é menor do que B, escreveremos “A < B”
e se A é menor do que ou igual a B, escreveremos “A  B”.
Proposição 2.3: A relação “menor do que ou igual a” ()
é uma relação de ordem total na reta. A relação “menor
do que” (<) é uma relação de ordem estrita na reta19.
19 Uma relação R num conjunto A é denominada relação de ordem se
satisfizer as propriedades reflexiva (P(x): (x  A)(x R x), anti-simétrica (P(x,y):
(x,y  A)(x R y e y R x  x = y) e transitiva (P(x,y,z): (x,y,z  A)(x R y e y R
z  x R z). Se além disto tivermos (x,y)  R ou (y,x)  R para quaisquer x, y  A a
ordem será total. Para ser uma ordem estrita a relação deverá satisfazer a
propriedade transitiva e a propriedade P(x): (x  A)(x R/ x), denominada
irreflexiva. 
22
 2.
Incidência e Ordem no Plano
Demonstração: Demonstraremos a primeira parte e
deixaremos como exercício a demonstração da segunda
parte (Exercício 2.11). Devemos mostrar que esta relação
é reflexiva, anti-simétrica, transitiva, e que dados quaisquer
dois pontos A e B em r, ou A  B, ou B  A.
i) Reflexiva: A  A, pois A = A.
ii) Anti-simétrica: Sejam A e B pontos da reta tais que A 
B e B  A. Suponhamos que A e B estejam na semi-reta
negativa e que sejam distintos. Temos A < B e, por (1), B
precede A na semi-reta negativa, ou seja, B está entre O e
A. Mas também temos que B < A e, por(1), A precede B
na semi-reta negativa, ou seja, A está entre O e B, o que é
uma contradição, pelo Axioma II.1. Analogamente,
obtemos os outros casos.
iii) Transitiva: Sejam A, B e C pontos de uma reta tais que A
 B e B  C. Podemos supor que os pontos sejam dois a
dois distintos pois, caso contrário, o resultado é imediato.
Suponhamos que A, B e C estejam na semi-reta positiva.
Existem seis possibilidades para A, B e C na semi-reta
positiva, como mostra o desenho ao
lado. Como A < B e B < C, por
hipótese, só nos resta a primeira
possibilidade que nos fornece B
entre A e C. Além disso, temos A
entre O e B. Logo, pela Proposição
2.3 temos A entre O e C. Portanto, A
 C. O caso em que A, B e C estão
na semi-reta negativa é análogo.
Suponhamos agora que o ponto A
B CO A
C BO A
A CO B
C AO B
A BO C
B AO C
esteja na semi-reta negativa e o ponto C esteja na semi-
reta positiva. Neste caso, o resultado é imediato pela
Definição 2.3. Se o ponto A está na semi-reta positiva e o
ponto C está na semi-reta negativa temos que o ponto B
está na semi-reta positiva pois A < B. Logo, C < B, o que
contradiz a hipótese. Em todos os casos concluimos que A
< C e, portanto A  C.
23
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
iv) Dados dois pontos A e B quaisquer em r, é imediato
das cinco condições que A é menor do que ou igual a B ou
B é menor do que ou igual a A.

Diante do exposto acima vemos o porquê dos
Axiomas II.1 e II.2 serem classificados nos grupos dos
axiomas de ordem, pois por meio deles ordenamos todos
os pontos de uma reta.
Teorema 2.3: Entre dois pontos quaisquer de uma reta,
existem infinitos pontos desta.
Demonstração: Suponhamos que entre dois pontos A e
B de uma reta existam n pontos distintos, digamos { P1,
P2, ,Pn }. Com a relação de ordem “” podemos
considerar P1 < P2 < < Pn, a menos de uma reordenação
de índices. Como P1  P2, pelo Axioma II.2, existe um ponto
P tal que P1 < P < P2. Assim, P é distinto P3, ,Pn, o que é
absurdo, pois entre os dois pontos supusemos existir
exatamente n pontos. Portanto, existem infinitos pontos
entre dois pontos quaisquer de uma reta.

Corolário 2.3: Existem infinitos pontos numa reta.
Demonstração: Imediata, pois todo conjunto que
contém um conjunto infinito é infinito.

2.4. Polígonos
Estudamos nas seções anteriores as defnições e
construções de triângulos e quadriláteros. Nesta seção
vamos definir uma classe de figuras denominada
polígonos que inclui os triângulos e quadriláteros. 
24
 2.
Incidência e Ordem no Plano
Definição 2.3: Dois segmentos são
ditos consecutivos se possuirem
exatamente um extremo em
comum. Dado n  IN, n  3, uma n-
poligonal é uma figura formada por
uma seqüência de n pontos A1, A2, ...,
An e pelos segmentos consecutivos
A1A2, A2A3, A3A4, A5A6,...,An-1An. Os
pontos são chamados verti-ces da
poligonal e os segmentos são
chama- 
A1
A2
A3
A4
A5
A6An-1
An
dos lados da poligonal. Denotaremos a n-poligonal por
A1A2...An.
Estamos interessados em poligonais com certas
propriedades:
Definição 2.3: Uma n-poligonal A1A2...An é denominada
polígono de n lados ou n-ágono, se as seguintes
condições são satisfeitas:
a) A1 = An;
b) Os pontos A1, A2, ..., An-1 são dois a dois distintos;
c) Os lados não consecutivos não se interceptam;
d) Dois lados consecutivos não são colineares.
Os segmentos AiAi+1 (i=1,,n–2) e An-1A1 são denominados
lados, os pontos A1, A2, ...An-1 são denominados vértices.
Os segmentos determinados pelos vértices que não são
lados do polígono são chamados diagonais do polígono.
Observe que todo polígono é uma poligonal mas
nem toda poligonal é um polígono.
25
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Exemplos
2.10. Os desenhos a seguir ilustram alguns polígonos. O
polígono (1) é um quadrilátero, o polígono (2) é um 5-
ágono, os polígonos (3) e (5) são 8-ágonos, o polígono (4) é
um triângulo, o polígono (6) é um 6-ágono.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
 
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.11. Os desenhos a seguir não representam polígonos.
O desenho (1), apesar de satisfazer os itens b), c) e d),
não satisfaz o item a). O desenho (2) não satisfaz o item
c). O desenho (3) não satisfaz os itens a) e b). O desenho
(4) não satisfaz os itens b), c) e d). O desenho (5) não
satisfaz os iten b), c) e d).20
(1) (2)
(3) (4) (5)
 
(1) (2)
(3) (4) (5)
2.12. O desenho ao lado ilustra um
polígono apesar de termos dois
lados contidos numa mesma reta. O
que ocorre é que estes lados não
possuem extremos em comum.
2.13. Os polígonos recebem nomes especiais para alguns
valores de n. Veja na tabela a seguir alguns deles:
Número de
lados
Nome do
polígono
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
20 Observamos a diferença entre os desenhos (2) e (4), enquanto em (2)
ocorre a interseção de dois segmentos, em (4) temos quatro segmentos com um
vértice em comum. Os desenhos que serão feitos a partir de agora não
apresentarão mais os pontos de forma explícita e ficará subentendido os
vértices.
26
 2.
Incidência e Ordem no Plano
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 nonágono
10 decágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
Para encerrar este capítulo apresentamos um
diagrama das principais figuras geométricas obtidas até o
momento. Dentro da classe dos polígonos estão aqueles
mencionados no exemplo anterior e as poligonais são uma
classe não apresentada no desenho mas que contém a
classe dos polígonos.
Figuras 
pontos
retas
segmentos
triângulos
semi-retas semiplanos
quadriláteros
polígonos
2.5. Exercícios
2.1. Pela Proposição 2.3 duas retas distintas possuem no
máximo um ponto em comum, o que podemos dizer de
um conjunto de três retas distintas do plano? E um
conjunto de quatro retas distintas do plano? E um
conjunto de 5 retas distintas do plano? Obtenha um
resultado para o caso de n retas distintas, justificando sua
resposta.
27
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
2.2. Mostre que três pontos não colineares determinam
três retas. Quantas retas são determinadas por quatro
pontos, sendo que quaisquer três deles são não
colineares? E para o caso de 6 pontos? Generalize para o
caso de n pontos.
2.3. Sejam P = {a,b,c}, r1 = {a,b}, r2 = {a,c} e r3 =
{b,c}. Chame P de plano e, r1 , r2 e r3 de retas. Mostre que
nessa “geometria” vale o Axioma I.2. Idem para o plano P
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e as retas como r1 ={1,2,3}, r2 =
{4,5,6}, r3 = {7,8,9}, r4 = {1,4,7}, r5 = {2,5,8}, r6 =
{3,6,9}, r7 = {1,5,9}, r8 = {2,6,7}, r9 = {3,4,8}, r10 =
{3,5,7}, r11 = {2,4,9} e r12 = {1,6,8}.
2.4. O desenho ao lado representa
um “plano”, o símbolo  representa
um “ponto” e as linhas unindo os
pontos representam uma “reta”.
Observe que há 7 “retas” e 7
“pontos” no desenho. Verifique se
neste modelo de geometria valem
os axiomas de existência e de
determinação.
2.5. Com base nos exercícios anteriores mostre que não
existe exemplo de uma geometria com exatamente seis
pontos, em que sejam válidos o Axioma I.1 e o Axioma I.2
e na qual, todas as retas tenham exatamente 3 pontos.
2.6. Seja r uma reta qualquer e O um ponto de r. Mostre
que a relação “estar do mesmo lado em relação ao ponto
O” é uma relação de equiva-lência em r. 
2.7. Seja r uma reta qualquer. Mostre que a relação “estar
do mesmo lado em relação à reta r” é uma relação de
equivalência no plano.
28
 2.
Incidência e Ordem no Plano
2.8. Mostre que, se uma reta intercepta um lado de um
triângulo e não passa por nenhum de seus vértices, entãoela intercepta também um dos outros dois lados.21
2.9. Mostre que se C está entre A e D e B está entre A e C,
então B se encontra entre A e D, e C se encontra entre B e
D.
2.10. No Exemplo 2.8 (construção do quadrilátero),
verifique que AD e BC não se interceptam.
2.11. Complete a demonstração da Proposição 2.3.
2.12. Considere a seguinte construção de quadrilátero: 
Para construir o quadrilátero, considere uma reta r e os
pontos A, D e E tais que A, D  r e E  r. A existência está
garantida pelo Axioma I.1.b. Construa o triângulo ADE.
Utilizando o Axioma II.2, considere um ponto B entre A e E
e um ponto C entre D e E. O quadrilátero é dado pelos
pontos A, B, C, D e pelos segmentos AB, BC, CD e DA.
a) Mostre que esta construção nos fornece um
quadrilátero.
b) Qualquer quadrilátero pode ser construído desta
forma? Justifique sua resposta.
2.13. Podem existir dois segmentos distintos que têm
exatamente dois pontos em comum ?
2.14. Utilizando semiplanos defina interior de um
triângulo. 
2.15. Demonstre que existem infinitas retas no plano.
21 Este resultado é também conhecido como Axioma de Pasch devido
ao matemático Moritz Pasch que nasceu 8/11/1843 em Breslau na Alemanha
(atualmente, Wroclaw na Polônia) e morreu em 20/09/1930 em Bad Homburg,
Alemanha. Pasch trabalhou nos fundamentos da geometria e encontrou algumas
hipóteses nos Elementos que ninguém havia notado antes. D. Hilbert, em [0],
admite este resultado como axioma e demonstra o Axioma II.2. 
29
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
2.16. Demonstre que por um ponto P passam infinitas
retas.
2.17. Desenhe as diagonais de um quadrilátero, de um
pentágono e de um hexágono. Conte quantas diagonais
têm cada um deles. Quantas diagonais têm um polígono
de n lados ?
2.18. Um subconjunto do plano é dito convexo se o
segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está
totalmente contido nele. 
a) Mostre que o próprio plano e qualquer semiplano são
convexos.
b) Nos desenhos abaixo quais representam conjuntos
convexos?
c) Mostre que a interseção de n conjuntos convexos é um
conjunto convexo.
d) Mostre que a interseção de n semiplanos é um conjunto
convexo.
e) A união de dois conjuntos convexos é um conjunto
convexo? Mostre ou dê um contra-exemplo.
2.19. Mostre que um triângulo separa o plano em duas
regiões, uma convexa e a outra não.
2.20. Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F)
justificando sua resposta.
a) Ponto é o que não tem dimensão.
b) Reta é o que tem uma única dimensão.
c) Dois pontos determinam uma reta.
30
 2.
Incidência e Ordem no Plano
d) Três pontos não colineares são distintos.
e) Duas retas que têm um ponto em comum são
concorrentes.
31
Capítulo 3: Segmentos, Ângulos e
Medidas
Medir um ente geométrico é antes de qualquer
coisa compará-lo com outro e foi através da comparação
de áreas de terras que a geometria iniciou. Neste capítulo,
trabalharemos com o terceiro e quarto grupos de axiomas.
Intercalaremos os dois grupos por serem recíprocos um do
outro. Estes grupos fazem a conexão da geometria com os
números reais.
3.1. Medidas de Segmentos
O primeiro passo para esbelecer medidas de
segmentos é ga-rantir que podemos associar um número
a um segmento. Isto é dado pelo próximo axioma:
Axioma III.1: A todo segmento de reta corresponde um
número maior ou igual a zero. Este número é zero se, e
somente se, os extremos do segmento são coincidentes. 
Ao introduzir este axioma, estamos supondo que
podemos fazer esta medida através de algum instrumento
conhecido, por exemplo, por meio de uma régua com
escala e ao fazermos isto estamos definindo uma
unidade de medida. 
Definição 3.4: O número a que se refere este axioma é
chamado comprimento do segmento, ou distância entre
os pontos A e B, extremos do segmento. Denotaremos o
comprimento de um segmento AB, por AB.
Axioma III.2: Se um ponto C está entre dois pontos A e B,
então o comprimento do segmento AB é igual a soma do
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
comprimento do segmento AC com o comprimento do
segmento CB, ou seja,
CBACAB  .
Estes dois axiomas fazem parte do grupo III dos
axiomas de medidas (estes são de medida de segmentos).
Após definirmos ângulos, daremos mais dois axiomas de
medidas (de ângulos). Nos Capítulos 6 e 16,
necessitaremos dos axiomas de medidas de áreas e
volumes, respectivamente.
Uma das conseqüências do Axioma III.2 é saber a
posição de dois pontos através da medida dos segmentos
formados com o ponto O.
Proposição 3.4: Em uma semi-reta
SOA, se considerarmos o ponto B  O
tal que OAOB , então o ponto B
estará entre O e A.
Demonstração: A origem O
certamente não está entre A e B, pela
própria definição de semi-reta. Se o
ponto A estivesse entre O e B, pelo
Axioma III.2, teríamos que
ABOAOB  e
A
O
B
como AB tem comprimento maior ou igual a zero teríamos
OAOB , o que é um absurdo. Só resta a alternativa que
B está entre O e A.

O axioma seguinte pode ser visto como o
“recíproco” do Axioma III.1. Mas ele é colocado num
quarto grupo que é constituído pelos axiomas de
existência de um segmento de um dado comprimento e
ângulos de uma dada medida. Na verdade, este grupo de
axiomas introduz a noção de continuidade na geometria.
33
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Axioma IV.1: Para qualquer número real d > 0, existe um
segmento de reta de comprimento d, que pode ser
construído a partir da origem de qualquer semi-reta dada.
Agora podemos estabelecer uma unidade de
medida de segmentos e construir um instrumento que
servirá para comparar comprimentos. Esta unidade é
denominada metro internacional e é a distância entre
dois traços em uma certa barra de metal conservada no
Bureau Internacional de Pesos e Medidas perto de Paris. (A
barra deve estar à temperatura do gelo fundente: 0ºC).
Este é o segmento cuja medida vale 1 metro.22
Para construir uma régua graduada, subdividimos o
metro em 1000 partes iguais, fornecendo assim o
milímetro. Cada 10 milímetros nos dá 1 centímetro. A foto
a seguir ilustra em tamanho natural parte de uma régua
graduada de 20 centímetros que corresponde a 200
milímetros, ou seja, 200 partes da divisão dada.
22 Historicamente, em 1790, a Assembléia Constituinte da França, criou
uma comissão de cientistas, integrada por Lagrange, Laplace e Monge, entre
outros, com o objetivo de analisar e propor soluções para o problema de criar
uma unidade de medida de comprimento. Como conseqüência dos trabalhos
dessa comissão, em 1795, criou-se uma lei que estabelecia o metro como
unidade padrão de comprimento e era definido como: "a décima milionésima
parte do quadrante de um meridiano terrestre". Para chegarem a essa relação,
dois astrônomos franceses, Méchain e Delambre, mediram o arco de meridiano
entre as cidades de Dunquerque, na França, e Barcelona, na Espanha, passando
por Paris, sendo então construído um metro de platina para ser utilizado como
padrão. 
34
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
Exemplos
3.1. Consideremos três pontos A, B e C tais que B esteja
entre A e C e AB = 2. Não importa qual seja o valor de
BC, o valor de AC é 2 + BC, pelo Axioma III.2. Por
exemplo, se BC = 5, teremos AC = 7.
3.2. Se considerarmos os números
reais 4 e 6, pelo Axioma IV.1,
existem segmentos de reta de
comprimento 4 e 6, que podem ser
construídos a partir de qualquer
ponto da reta. No desenho ao lado,
vemos que o segmento AB possui
comprimento 1 cm, o segmento
CD possui comprimento 0,9 cm 
e o segmento BCpossui comprimento 1,5. Observamos
que o segmento AD possui comprimento 3,4.
O próximo teorema, que utiliza estes axiomas,
permitirá introduzir a noção de coordenada.
Teorema 3.4: Sejam r uma reta e IR o conjunto dos
números reais. Existe uma função x: r  IR bijetora tal
que, se x(A) e x(B) são as imagens de dois pontos A e B, o
comprimento do segmento AB será igual a  x(B) – x(A)  .
Demonstração: Seja O  r um ponto qualquer, pelo
Teorema 2.3 e Definição 2.3, O divide r em duas semi-
retas. Escolhamos uma para ser a semi-reta negativa,
denotando-a por SO–, e a outra para ser a semi-reta
positiva, denotando-a por SO+. Definamos a relação
x = {(A,x(A))|Ar},
onde











.SAseOA
SAseOA
OAse0
)A(x
O
O
Temos que x é uma função pois Dom x = r, pelo Axioma
III.1. Além disso, se A = B temos x(A) = x(B), pois OA = OB
35
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
e então OBOA . Temos também que x é bijetora. De
fato, x é injetora pois considerando A e B distintos, temos
os seguintes casos:
1. A e B em SO–: OA  OB  – x(A)  – x(B)  x(A)  x(B).
2. A e B em SO+: OA  OB  x(A)  x(B).
3. A e B em semi-retas distintas: teremos x(A) e x(B) com
sinais distintos e portanto x(A)  x(B).
Quanto a sobrejetividade, seja d  IR, pelo Axioma IV.1,
existe um segmento de reta de comprimento |d|
construído a partir do ponto O. Se d> 0, contruímos o
segmento OD na semi-reta positiva SO+, se d<0,
construímos o segmento OD’ na semi-reta negativa SO– e
se d = 0, temos que x(O) = 0. Assim, x(D) = d se d > 0 e
x(D’) = d se d < 0. Logo, para qualquer d  IR, sempre
obtemos um ponto P em r tal que x(P) = d, onde 









.0dse'D
0dseO
0dseD
P
Para demonstrar a segunda parte, sejam A, B em r. Se A =
B então x(A) = x(B) e, assim, AB = 0 = |x(B) – x(A)|. Se
A  B temos os seguin-tes casos:
1. A entre O e B na semi-reta
positiva:
OAOBABABOAOB  = x(B) –
x(A).
2. B entre O e A na semi-reta
positiva:
OBOABAABBAOBOA  =
 = x(A)–x(B).
3. A entre O e B na semi-reta
negativa:
AOBOBAABAOBABO  =
 =–x(B) – (–x(A)) =x(A) –
x(B).
BO A
AO B
OB A
1
2
3
36
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
4. B entre O e A na semi-reta
negativa:
BOAOABBOABAO  = 
 = –x(A) – (–x(B)) = x(B) –
x(A)
5. A na semi-reta positiva e B na
negativa: 
OABOBA  = –x(B) + x(A) = x(A) –
x(B).
6. B na semi-reta positiva e A na
negativa:
OBAOAB  =–x(A)+x(B)= x(B)–
x(A).
OA B
AB O
BA O
4
5
6
Assim, em qualquer caso, obtemos AB =  x(B) – x(A) .

Definição 3.4: Sejam r uma reta, O  r e a função x: r 
IR, dada pelo Teorema 3.4. Dado A  r, o número x(A) é
chamado de coordenada do ponto A em relação a O e a
função x é denominada um sistema de coordenadas
em relação a O para a reta r.
Com a relação de ordem entre os pontos de uma
reta r, estabelecida no Capítulo 2, os axiomas III.1, III.2,
IV.1, e o Teorema 3.4 podemos garantir o seguinte
resultado:
Corolário 3.4: Dado um número real d e fixado um ponto
O de uma reta r, existe um único ponto de r tal que sua
coordenada com relação a O é d.
Demonstração: Segue diretamente do fato da função x,
dada pelo Teorema 3.4, ser bijetora. A existência segue da
sobrejetividade e a unicidade segue da injetividade da
função x construída no Teorema 3.4.

37
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
As coordenadas dos pontos caracterizam sua
posição na reta. Este é o resultado apresentado na
proposição a seguir:
Proposição 3.4: Sejam A, B e C pontos de uma mesma
reta, cujas coordenadas, são respectivamente a, b e c. O
ponto C está entre A e B se, e somente se, o número c
está entre os números a e b.
Demonstração: Primeiramente, suponhamos que o
ponto C esteja entre A e B, então pelo Axioma III.2, temos
CBACAB  . Pelo Teorema 3.4, temos 
AB = |b – a|, AC = |c – a| e CB = |b– c|.
Assim, |b – a| = |c – a| + |b – c|. 
Suponhamos que b>a, então |c – a| < b – a e |b – c| < b –
a. Logo, c – a < b – a e b – c < b – a. Portanto, c < b e a < c,
ou seja, a < c < b.
No caso em que a>b, temos |c – a| < –(b – a) e |b – c| < –(b
– a). Logo, c – a > b – a e b – c > b – a. Portanto, c > b e a
> c, ou seja, b < c < a. Assim, em ambos os casos o
número c está entre os números a e b.
Reciprocamente, se a < c < b ou b < c < a, temos |c – a|
+ |b – c| = |b – a|. Assim, pelo Teorema 3.4, segue que
ABCBAC  . Em particular, ABAC . Consideremos as
semi-retas determinadas pelo ponto A. Se B e C estão em
semi-retas opostas, pela definição de coordenadas de
pontos, as coordenadas a, b e c não poderiam satisfazer a
< c < b ou b < c < a, assim, B e C estão na mesma semi-
reta em relação a A e pela Proposição 3.4, temos que C
está entre A e B, como queríamos demonstrar.

Definição 3.4: Dado um segmento
AB, dizemos que um ponto C  AB é
o ponto médio de AB, se CBAC
.23.
A
C
B
23 Utilizaremos os símbolos /, //, ///, ////,  sobre os segmentos para
representar que estes possuem o mesmo comprimento. Aqui estamos utilizando
no desenho o símbolo “//”.
38
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
A existência e unicidade do ponto médio são
garantidas pela proposição a seguir.
Proposição 3.4: Qualquer segmento tem um único ponto
médio.
Demonstração: (Existência) Sejam a e b as coordenadas
das extremidades deste segmento. Considere o número
2
)ba(
c
 . Afirma-mos que o segmento de coordenada c
(que existe pelo Axioma IV.1) é o ponto médio desejado.
De fato: 
2
b
2
a
2
ba
acaAC 
2
b
2
a
b
2
ba
bcCB 
donde segue que CBAC , e como o número 
2
)ba( 
 está
entre a e b, segue da Proposição 3.4 que C está entre A e
B.
(Unicidade) Suponhamos que C e D sejam pontos médios
do segmento AB, então:
0
2
BDAD
2
)b)D(x())D(xa(
)D(x
2
ba
)D(x)C(xCD 
.
Portanto, x(C) = x(D), pela injetividade da função x dada
pelo Teorema 3.4, temos que C = D.

É importante observar que
apenas a condição C  AB não é
suficiente para que C seja ponto
médio. Se impormos apenas a
condição CBAC observe que
também não é suficiente pois
podemos ter algo como mostra o
desenho ao lado onde CBAC e C
A
C
B
39
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
 AB. Por outro lado, podemos supor
somente que C está na reta rAB e
teremos como
como conseqüência da condição CBAC que C está entre
A e B. De fato, se C  AB então temos B entre A e C ou A
entre B e C. No primeiro caso, CBBCABAC  e no
segundo caso temos ACABACCB  , o que torna
impossível C satisfazer a condição CBAC e, portanto, C
está entre A e B.
O conceito de distância
permite definir circunferência e
círculo. Seja O um ponto do plano e
r um número real positivo. A
circunferência de centro O e
raio r é o conjunto constituído por
todos os pontos C do plano tais que
rOC . O conjunto dos pontos C
que satisfazem a desigualdade
rOC é dito ser o círculo de
centro O e raio r (ou disco de
centro O e raio r). Se um ponto A
é tal que OA< r, dizemos que A
está no interior do círculo. Se um
ponto B é 
O
r
O
r
A
B
tal que OB> r, dizemos que B está no exterior do
círculo. As propriedades das circunferências e dos círculos
serão estudadas no Capítulo 8.24
A circunferência de centro O e raio r é uma figura
plana onde todos os pontos pertencentes a ela distam r de
O e qualquer ponto que dista r de O pertence à
circunferência. Estas duas propriedades nos levam ao
24 Em geral, os termos circunferencia e disco, em qualquertexto
matemático têm sentido bastante claro, ou seja, circunferencia é a linha e disco
é a região determinada pela circunferencia. Já para o termo círculo existe uma
ambiguidade em vários textos, significando hora circunferencia ou hora disco.
Neste texto, seremos rigorosos no uso desses termos, seguindo rigorosamente a
definição dada.
40
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
conceito de lugar geométrico segundo uma
propriedade , que é uma figura plana  tal que:
a) Todos os pontos pertencentes a  satisfazem a
propriedade .
b) Os únicos pontos do plano que satisfazem a
propriedade  pertencem a .
O círculo é também um lugar geométrico. No decorrer do
texto apresentaremos outros exemplos de lugares
geométricos. 
O conceito de distância permite definir ainda o
perímetro de um polígono.
Definição 3.4: A soma das medidas dos lados de um
polígono qualquer é chamada perímetro do polígono.
3.2. Medidas de Ângulos
Da mesma maneira que trabalhamos com
segmentos apresenta-remos os principais conceitos e
resultados relacionados a ângulos.
Definição 3.4: Num semiplano,
chamamos de ângulo a figura
formada por duas semi-retas com a
mesma origem, tal que uma das
semi-retas está sobre a reta que
determina o semiplano. As semi-
retas são chamadas de lados do
ângulo e a origem comum, de
vértice do ângulo. Um ângulo
formado por duas semi-retas
distintas de uma mesma reta é
chamado de ângulo raso.25
O
O
25 Alguns livros definem ângulo como a “região” determinada pelas
semi-retas. Não existe diferença entre estas escolhas mas devemos lembrar que
a cada ângulo determinado por uma definição está associado um ângulo
determinado pela outra definição.
41
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Existem várias maneiras
distintas de denotar um ângulo. É
muito usual denotar o ângulo da
Definição 3.4, por AÔB ou por BÔA.
Ao utilizar esta notação, a letra
indicativa do vértice deve sempre
aparecer com acento circunflexo
entre as outras duas letras que
representam os pontos das semi-
O
A
B
retas que formam o ângulo. Quando nenhum outro ângulo
exibido tem o mesmo vértice, pode-se denotar por Ô,
utilizando apenas a letra do vértice com acento
circunflexo para designar o ângulo. 26
Voltaremos agora para o grupo III de axiomas para
estabelecer medida de ângulos.
Axioma III.3: A todo ângulo corresponde um número
maior ou igual a zero e menor ou igual a 180. Este número
é zero se, e somente se, ele é constituído por duas semi-
retas coincidentes. Ao ângulo raso corresponderá o
número 180.
Definição 3.4: Dado um ângulo Â, o número a que se
refere este axioma é chamado medida em graus do
ângulo  e será denotado por m(Â).
Aqui também ao introduzir este axioma, estamos
admitindo que podemos fazer esta medida em graus
através de algum instrumento conhecido, que definirá
uma unidade de medida. Mais adiante veremos como
construir e utilizar este instrumento.
26 Note que não estamos diferenciando o ângulo AÔB do ângulo BÔA,
isto somente é feito quando se deseja trabalhar com ângulos orientados.
42
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
Quando não há a necessidade
de explicitar os elementos de um
ângulo, é bem usual a utilização de
letras gregas minúsculas27 para
denotar a medida do ângulo. Neste
caso é conveniente escrever a letra
grega em questão próxima do seu
vér-tice, conforme desenho ao lado.
Quando a medida é um número
conhecido escreve-se

o próprio número no lugar da letra.
Não se sabe exatamente quando o homem
começou a medir ângulos mas certamente eles já eram
medidos por volta de 2.800 a.C. na antiga Mesopotâmia.
Conjectura-se que a necessidade de medir ângulos surgiu
na Astronomia, sendo talvez o primeiro estudo a
incorporar a aplicação da matemática. Por exemplo, se
quisesse saber a distância que a Lua estava acima do
horizonte utilizava-se os seguintes métodos:
 Esticava-se o braço e se calculava quantos
dedos comportava o espaço entre a Lua e o
horizonte ou
 Segurava-se um fio entre as mãos afastadas
do corpo e se media a distância.
A medida era diferente de um comprimento comum
sendo considerado o primeiro passo para medir ângulo.
O análogo ao Axioma III.2 para ângulos é dado pelo
próximo axioma. Para isto apresentamos a seguinte
definição:
27 O alfabeto grego minúsculo é dado por:  (alfa),  (beta),  (gama), 
(delta),  (epsílon ou epsilo),  (zeta ou dzeta),  (eta),  (teta),  (iota),  (capa),
 (lambda),  (mi ou mu),  (ni),  (xi), (omicron),  (pi),  (rô),  (sigma), (tau),
(upsilon),  (fi),  (qui), (psi) e (omega). 
43
Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Definição 3.4: Sejam SOA, SOB e SOC
semi-retas com origem O. Se o
segmento AB interceptar SOC,
diremos que SOC divide o ângulo
AÔB. 
Pode-se mostrar que se o
segmento AB interceptar SOC, então
SOC intercepta qualquer segmento
com extremos nos lados
O
A
B
.
C
do ângulo. Deixamos como exercício a demonstração desta
afirmação (Exercício 3.12).
Axioma III.4: Se uma semi-reta SOC
divide um ângulo AÔB, então a
medida do ângulo AÔB é igual a
soma das medidas dos ângulos AÔC
e CÔB, ou seja, 
m(AÔB) = m(AÔC) + m(CÔB). 
O
A
B
C
Teorema 3.4: Considere um ângulo
AÔB e SOC uma semi-reta por O
onde C está no mesmo semiplano
de B com relação a reta rOA. Nestas
condições, temos que ou SOB divide
AÔC, ou SOC divide AÔB, e em
ambos os casos m(BÔC) =  m(AÔC)
– m(AÔB)  .
Demonstração: Seja A1 um ponto
na semi-
O
B
A
C
O
B
A
C
reta oposta a SOA. Consideremos o
triângulo AA1C. Então pelo Exercício
2.8, como a reta OB corta o lado A1A
do triângulo e não passa por
nenhum dos seus vértices, (as semi-
retas são distintas) temos que OB
corta AC ou A1C. Veja o desenho ao
lado. No primeiro caso AC intercepta
SOB, e, assim, pela Definição 3.4 SOB
r
O
A
B
C
A1
44
 3.
Segmentos, Ângulos e Medidas
divide o ângulo AÔC, portanto pelo
Axioma III.4, temos:
m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC) 
 m(BÔC) = m(AÔC) – m(AÔB) (1)
r
O
A
C
B
A1
D
No segundo caso, temos que OB intercepta A1C.
Chamamos de D esta interseção, e aplicamos novamente
o Exercício 2.8, agora no triângulo ADA1 e a reta OC.
Observamos que OC intercepta AD, pois caso a interseção
fosse em A1D teríamos que a interseção de OC e A1C
seriam dois pontos, o que é absurdo pela Proposição 2.3,
já que as retas A1D e OC são distintas. Assim pelo
Exercício 3.12, intercepta qualquer segmento com
extremos nos lados de AÔB inclusive o segmento AB.
Logo, SOC divide o ângulo AÔB e, portanto, pelo Axioma
III.4 , obtemos:
m(AÔB) = m(AÔC) + m(BÔC)  m(BÔC) = m(AÔB) – m(AÔC)
(2) 
Segue de (1) e (2) que:
m(BÔC) =  m(AÔB) – m(AÔC)  .

Proposição 3.4: Dado um número real 0 ≤  ≤ 180,
apenas um ângulo AÔB medindo , pode ser colocado em
um semiplano determinado pela reta que contém a semi-
reta SOA.
Demonstração: Suponhamos que dois ângulos AÔB e
AÔC têm medida  graus. Então, pelo Teorema 3.4, SOC
divide AÔB ou SOB divide AÔC e em ambos os casos
m(BÔC) =  m(AÔC) – m(AÔB)  = – =0. Assim, as semi-
retas SOC e SOB coincidem.

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Geometria Plana e Espacial J. R. 
Gerônimo/V. S. Franco
Vamos agora apresentar o recíproco do Axioma III.3:
Teorema 3.4: Para qualquer número real , tal que 0 < 
< 180, existe um, e somente um ângulo cuja medida em
graus é .
Demonstração: (Existência) Em primeiro lugar,
afirmamos que existem ângulos cuja