Lugares Geométricos II

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Matemática 
 
 
 
 
LUGARES GEOMÉTRICOS II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Lugares geométricos II ......................................................................................................... 2 
1.1. Relembrando o conceito .................................................................................................. 2 
1.2. Circunferência .................................................................................................................. 3 
1.3. Elipse ................................................................................................................................. 3 
1.4. Hipérbole .......................................................................................................................... 6 
1.5. Parábola ............................................................................................................................ 6 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior Lugares Geométricos I, aprendemos a definição de lugar 
geométrico, conhecemos sua equação e interpretação. 
Agora continuando nossos estudos matemáticos, com a segunda parte de 
lugares geométricos, veremos que considerando a propriedade aplicada a L.G. 
também poderemos ver sua presença nas circunferências, elipses, hipérboles e 
parábolas. 
Objetivo 
• Aprofundar o conhecimento de lugar geométrico; 
• Aplicar o lugar geométrico na circunferência, elipse, hipérbole e parábola. 
 
1. Lugares geométricos II 
1.1. Relembrando o conceito 
Já sabemos que, uma figura será considerada lugar geométrico quando todos 
os pontos da figura possuem a mesma propriedade p e apenas os pontos dessa figura 
possuem essa propriedade. 
Se considerarmos um segmento de reta AB com uma reta r perpendicular a 
esse segmento pelo ponto médio, a reta r será a mediatriz do segmento e todos os 
pontos de r são equidistantes de A e B. 
 
 
Representação da mediatriz do segmento 
P2
P1
A M B
P3
P4
 
3 
 
Então tendo por base esta propriedade comum, onde apenas os pontos de r 
têm, é possível definir a mediatriz do segmento AB como sendo o lugar geométrico 
dos pontos equidistantes de A e B. 
 
1.2. Circunferência 
Dada uma circunferência λ, em que o centro é C e o raio r, podemos defini-la 
como lugar geométrico dos pontos que distam r de C, de acordo com o conceito aqui 
aprendido. 
Não podemos esquecer que, se um lugar geométrico é representado por uma 
figura ou por um conjunto de pontos, ele também pode ser representado por uma 
equação obtida pela propriedade p que será comum aos pontos. 
 
 
Representação de Circunferência λ 
 
1.3. Elipse 
O astrônomo Apolônio se dedicou a investigar os movimentos celestes, 
baseado nas ideias egípcias, e propôs que os planetas conhecidos naquela época 
giravam em torno do sol, obedecendo trajetórias circulares. Por volta do ano de 1609, 
Johan Kepler concluiu que os planetas descreviam em torno do sol, trajetórias 
elípticas. 
A curva estudada por Apolônio e obtida pela secção de um cone, na verdade 
descreveu as órbitas dos planetas no sistema solar, porém isto só foi descoberto 
dezoito séculos depois. 
Sabemos que uma superfície cônica de revolução é gerada pela rotação da 
geratriz em torno do eixo formando um mesmo ângulo até completar uma revolução, 
ou seja, uma volta completa. 
P
λ r
C
 
4 
 
Assim podemos dizer que uma elipse pode ser obtida pela secção de uma 
superfície cônica de revolução por um plano α oblíquo ao eixo de rotação α. 
 
Representação de superfície cônica de revolução 
 
Se considerarmos dois pontos F1 e F2 no plano α, determinando um 
comprimento F1F2 = 2c, podemos definir a elipse como o lugar geométrico dos pontos 
de α cuja soma das distâncias F1 e F2 é constante e igual a um valor 2a > 2c. 
 
Representação de comprimento F1F2 = 2c 
 
F2 F1
 
5 
 
Vamos a um exemplo onde a elipse é o lugar geométrico e queremos obter a 
equação de focos F1(1,0) e F2(0,1) e o eixo maior mede 2. 
Para resolver este problema, devemos usar o que aprendemos e impor que dPF1 
+ dPF2 = 2a. Lembre-se que 2a = 2 
2 2 2 2
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2
( 1) 2 ( 1)
x y x y
x y x y
− + + + − =
− + = − + −
 
 
Vamos elevar os dois membros ao quadrado para obter: 
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2– 2 1 4 4 – 2 1
4 (y-1) 2 2 4
2 ( 1) 2
(2 ( 1) ) ( 2)
4 – 2 1 4 – 2 4 – 4
( 1)xx x y x y y
x x y
x y x y
x y x y
x y y x y xy x
y
y
+ + = − + + +
+ = − +
+ − = − +
+ − = − +
+ + = + + +
+ −
 
 
Assim, temos a equação 
2 23 3 2 – 4 – 4 0x y xy x y+ + =
 e demonstramos 
na figura a seguir: 
 
Representação da equação 
2 23 3 2 – 4 – 4 0x y xy x y+ + =
 
 
 
y
F2
F1 x
O
P(x,y)
 
6 
 
1.4. Hipérbole 
Assim como a elipse, a hipérbole também pode ser obtida pela secção de uma 
superfície cônica de revolução por um plano ɣ paralelo ao eixo de rotação. 
A hipérbole também pode ser definida como um lugar geométrico, onde ao 
considerarmos dois pontos F1 e F2 no plano ɣ, e determinando um comprimento F1F2 
= 2c, vamos definir a hipérbole como o lugar geométrico dos pontos de ɣ, de forma 
que a diferença, em módulo, entre as distâncias, ou seja, de cada ponto F1 e F2 seja 
constante e igual a um valor 2a > 2c. 
Podemos observar nesta figura, uma hipérbole com alguns de seus pontos, 
sendo que para qualquer ponto P da hipérbole, teremos a relação |PF1–PF2|=2a > 2c. 
 
Representação de hipérbole com relação |PF1–PF2|=2a > 2c 
 
1.5. Parábola 
A obtenção de uma parábola, poderá ser feita, através da secção de uma 
superfície cônica de revolução por um plano ß paralelo à geratriz. Vejamos a figura 
que demonstra este conceito: 
 
7 
 
 
Representação de superfície cônica de revolução 
 
Uma parábola, também pode ser definida como lugar geométrico dos pontos 
ß que equidistam de um ponto F e de uma reta r desse plano. Podemos verificar na 
figura, uma parábola com alguns de seus pontos. 
 
Representação de pontos equidistantes 
Exercícios 
1. (Youssef, 2009) Obtenha a equação do lugar geométrico de uma parábola 
de foco F(0,01) e diretriz (r) y = x. 
 
2. (Youssef, 2009) Qual a equação reduzida do lugar geométrico da hipérbole 
de centro c(-3,7), eixo real paralelo a Ox com medida 12 e distância focal 16. 
 
3. (Youssef, 2009) Dada a equação do lugar geométrico de uma parábola 
expresso por
2 4 6 10 0x x y+ − + =
 , escreva a equação reduzida e 
determine o vértice, o parâmetro e o foco da parábola. 
 
8 
 
Gabarito 
1. Fazendo o esboço do gráfico dessa parábola, temos: 
 
 
É preciso impor a definiçãoPF rd d=
 
Sabemos que 
2 2( 1)PFd x y= + −
 ( I ) 
( ) – 0
2
PF
x y
r x y d
−
= → =
 ( II ) 
Para resolver, precisamos igualar I a II: I = II 
 
√𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 
|𝑥−𝑦|
√2
 
√2.√𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = |x – y| 
2(x2 + y2 – 2y + 1) = x2 – 2xy + y2 
x2 + y2 + 2xy – 4y + 2 = 0 
 
Assim 
2 2 2 – 4 2 0x y xy y+ + + =
 é a equação do lugar geométrico da 
parábola de foco F(0,01) e diretriz (r) y = x. 
 
2. 2a = 12 logo a = 6 
2c = 16 logo c = 8 
 
9 
 
2 2 2
2 2 2
2
2
 
 – 
 64 – 36
 28
c a b
b c a
b
b
= +
=
=
=
 
Desta forma, a equação da hipérbole será: 
2 2
2 2
2 2
2
2 2
( 0) (y 0)
1
( 3) (y 7)
1
6 28
( 3) (y 7)
1
36 28
x x y
a b
x
x
− −
− =
− +
− =
− +
− =
 
3. Inicialmente, vamos compor no primeiro membro da equação geral um 
binômio em x, elevado ao quadrado: 
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
2
 4 6 10 0 4 6 10 0
 2. .2 2 6 10 2
 2 6 – 6
 2 6 – 1
x x y x x y
x x y
x y
x y
+ − + = → + = − =
+ + = − +
+ =
+ =
 
que é a equação reduzida da parábola. 
Desta equação podemos extrair os seguintes elementos: 
• Vértice da parábola: V(-2,1) 
• O parâmetro da parábola: 2p = 6 → p = 3 
Com base nas coordenadas do vértice e no parâmetro, podemos determinar o 
foco: 
 
Observe na figura acima que o foco é 
5
( 2, )
2
F −
 . 
Resumo 
Na aula de hoje, terminamos a segunda parte sobre lugares geométricos. No 
quadro a seguir temos uma sinopse do conteúdo estudado sobre Lugares 
Geométricos II. 
p=3 V(-2,1)
+ 
 
2
-
 
2
 
10 
 
 
Lugar geométrico 
 
 
 
Todos os pontos da figura 
possuem a mesma 
propriedade p e apenas os 
pontos dessa figura possuem 
essa propriedade. 
Elipse 
 
 
 
Como o lugar geométrico dos 
pontos de α cuja soma das 
distâncias F1 e F2 é constante e 
igual a um valor 2a > 2c. 
Hipérbole 
 
 
 
Como o lugar geométrico dos 
pontos de ɣ, de forma que a 
diferença, em módulo, entre as 
distâncias, ou seja, de cada 
ponto F1 e F2 seja constante e 
igual a um valor 2a > 2c. 
Parábola 
 
 
 
Lugar geométrico dos pontos ß 
que equidistam deu m ponto F 
e de uma reta r desse plano. 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999 
YOUSSEF, A. Matemática: ensino médio, volume único.1.ed.São Paulo, Scipione, 2005. 
 
Referência de imagens 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999