APS Algebra Linear 2019 1

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Centro Universitário Carioca – Unicarioca
Álgebra Linear - Atividade Prática Supervisionada 2019.1
Lista de Exercícios de Fixação 1
	Turma:
	252 2019.1
	Unidade:
	Meier 1
	Nomes dos Integrantes:
	Ademar Miguel de Melo Junior
	Matrículas:
	2016201310
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
O que é vetor? Qual a outra denominação para ele?
R: Um segmento de reta orientada, com o objetivo de definir a medida que ela representa. 
 Na física pode ter outras definições, como: ‘’ Uma grandeza vetorial fica perfeitamente definida quando ela possui valor numérico, unidade, direção e sentido.”.
Quando dois vetores são iguais?
R: Serão iguais somente se suas componentes correspondentes forem iguais , ou seja, quando eles possuem a mesma direção, mesmo módulo e o mesmo sentido. 
Como é realizada a soma entre dois vetores?
 R: Pode ser realizada de duas formas, pela Regra Poligonal, onde, o módulo do vetor Resultante é dado pela fórmula V1+V2=V3, No caso de vetores em mesma direção mas sentidos opostos pela fórmula V1-V2=V3.
 Ou pela Regra do Paralelogramo representada por . Se o ângulo  for reto, aplicamos o Teorema de Pitágoras. Mas se o ângulo  não for reto, usamos a seguinte regra:
Em que consiste a obtenção do múltiplo escalar de um vetor com um número real ? 
R: Na obtenção do múltiplo escalar de vetor cv, onde c irá múltiplicar o vetor v.
Como pode ser feita a descrição geométrica de vetores no plano cartesiano?
R: Poderão aparecer como pontos no plano cartesiano, ou como setas partindo da mesma origem (0, 0).
Explique a regra do paralelogramo para soma de vetores.
R: Se 𝐮 e 𝐯 em ℝ² forem representados como pontos no plano, então 𝐮 + 𝐯 corresponderá ao quarto vértice do paralelogramo cujos outros vértices serão 𝐮, 𝟎 e v. 
Defina: vetores em .
R: . é a coleção de todas as listas ( ou – duplas ordenadas) de n números Reais, na forma n x 1
Quais são as propriedades algébricas de vetores em ?
 R: 1) u + v = v + u 5) c(v + w) = cv + cw 
 2) (u + v) + w = u + (v + w) 6) (c + d)v = cv + dv
 3) u + 0 = 0 + u = u 7) c(dv) = (cd)v
 4) u + (-u) = -u + u = 0 onde -u = (-1)u 8) 1v = v
Em que consiste uma matriz 𝐴 ? Detalhe sua explicação.
 R: Em uma matriz com m linas e n colunas.
Explique a notação de matriz exemplificando uma matriz com linhas e colunas.
 R: então o elemento i-ésima linha e j-ésima coluna será aij e chamado elemento (i,j) de 
 A.Cada coluna de 𝐴 é uma lista de 𝒎 números, identificada com um vetor em 
Explique e exemplifique como é realizada a soma de matrizes.
 R: Se as matrizes forem definidas e de tamanhos iguais basta somar os valores das colunas e linhas equivalentes das matrizes.
Explique e exemplifique como é realizada a multiplicação de matrizes.
R: Multiplicação por escala, onde se pega a matriz A e multiplica por cada coluna da matriz B, de modo que os elementos pivôs se multipliquem. Colunas = Linhas 
O que são:
Matriz Transposta
R: Dada uma matriz 𝐴 m X n, a transposta de 𝐴 é a matriz At = n X m
Matriz Quadrada
R: Quando o nº de linhas é igual ao de colunas 
Matriz Identidade
R: Matriz quadrada com os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais nulos 
Matriz Inversa
R: Sendo P e F dois números reais, P será inverso de F, se somente se, P . F ou F . P for igual a 1.
Matriz Singular
R: Uma matriz que não é invertível 
Matriz não singular
 R: Uma matriz invertivel 
Matriz Elementar
 R: Matriz elementar é uma matriz obtida a partir da matriz identidade por uma (e somente uma) operação elementar em suas linhas 
Matriz Triangular
 R: Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos 
Matriz Diagonal
 R: Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos 
Quando uma matriz será invertível?
 R: Uma matriz A n X m é invertível se existir uma matriz C n X n tal que CA = I e AC = I
 Em que I = In é a matriz identidade de n X n
Dizemos que C é a inversa de A
Explique e exemplifique são os métodos vistos na disciplina para a obtenção de uma matriz inversa.
 R: se o determinante não for igual a zero enta a Matriz será invertível
 
 -1
 A = 1/ad – bc . | d -b |
 | -c a |
 Se for igual a zero a matriz não será invertível
O que é o determinante de uma matriz ? Quais as notações usadas?
 R: Determinando de uma matriz 2x2 = ad – bc
 
 
Como calcular o determinante de uma matriz ?
 R: pela fórmula det A = a11 detA11 - a12detA12 + a13detA13
O que é expansão em cofatores e como usá-la para o cálculo do determinante de uma matriz ?
 R: É a alternância de sinais reescrita da seguinte mandeira 
 i + j
 Cij = (-1) detAij Onde Cij é a expansão cofatores
Como pode ser calculado o determinante de uma matriz triangular?
R: det 𝐴 será igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A
Quais são as propriedades dos determinantes? Dentre elas, quais são relacionadas às operações elementares em matrizes?
R: Propriedades dos determinantes com operações elementares
A operação elementar de somar o múltiplo de uma linha á outra não altera o determinantes
Ou seja, se um múltiplo de uma linha de A for somado à outra linha formando a matriz B, det A = det B
 A operação elementar “trocar duas linhas de lugar” alterar o sinal do determinante
Se duas linhas de 𝐴 forem trocadas entre si formando 𝐵, 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 A
Se uma liinha de A for multiplicada por k formando B, então det B = k. det A
Outras propriedades:
 Uma matriz quadrada A é invetível se e somente se det A = 0
 T
Se A for uma matriz n x n, então det A = det A
Se A e B forem matrizes n x n , então detAB = (detA)(detB)
O que é o produto interno de um vetor? Qual é a sua notação?
R: Sejam u e v vetores em . Podemos considerá-la matrizes n x 1
 T
O produto matricial u v é chamado produto interno de u e v, é uma matrix 1 x1
Quais são as propriedades do produto interno?
R: a) u . v = v . u
 b) (u + v) . w = u . w + v . w
 c) (cv) . W = c (v . w) = v . (cW)
 d) u . u ≥ 0 e u . u = 0 se e somente se u = 0
O que é e como é calculado o comprimento de um vetor?
R: O comprimento ( ou norma) de v é a obtenção do ESCALAR não negativo ||v|| definido por: ||v||² = v . v
O que é vetor unitário? 
R: É um vetor de comprimento 1
Como é o processo de obter um vetor unitário 𝐮 a partir de um vetor 𝐯? Como esse processo pode também ser chamado?
R: Se um vetor não nulo for multiplicado por 1/||v||, será obtido um ventor unitário u. Também pode ser chamado de normalização de v
Como obter um vetor 𝐮 com a mesma direção e sentido de 𝐯?
R: Utilizando a fórmula ||v||² = v. v e aplicando seu resultado na fórmula u = 1/||v||. v
Como pode ser obtida a distância entre 𝐮 e 𝐯, quando 𝐮 e 𝐯 pertencerem a ? Faça a demonstração.
R: Distância entre u e v, dist(u, v) será o comprimento do vetor u – v
dist(u, v) = ||u - v||
Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) então
dist(u, v) = ||u – v|| = √ (u – v) . (u – v) = √ (u1 – v1)² + (u2 – v2)² + (u3 – v3)²
Quando dois vetores 𝐮 e 𝐯 são ortogonais entre si?
R: Quando os vetores são identificados com pontos geométricos, as retas unindo os pontos e a origem são perpendiculares se e somente se u . v = 0
Qual é a conexão entre o produto interno e o ângulo 𝜗, entre os dois segmentos de reta da origem
aos pontos identificados com 𝐮 e 𝐯?
R: Se 𝐮 e 𝐯 forem vetores não nulos em ℝ²e ℝ³, existirá uma conexão entre o produto interno e o ângulo 𝜗 (teta), entre os dois segmentos de reta da origem aos pontos identificados com 𝐮 e v
u . v = ||u||² ||v||² cos𝜗