Semelhança e Diagonalização de Matrizes

Prévia do material em texto

Semelhança e Diagonalização de Matrizes:
· Definição – Matrizes Semelhantes: se e foram matrizes quadradas, dizemos que é semelhante a se existir alguma matriz invertível tal que .
· Definição – Matrizes Diagonalizáveis: uma matriz quadrada é dita diagonalizável se existir alguma matriz investível tal que , onde é uma matriz diagonal.
· Propriedades de matrizes semelhantes: se e são matrizes semelhantes,
· 
 e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto,
· é invertível se, e somente se, é invertível.
Sejam e matrizes semelhantes, então , de tal forma que
 é invertível é invertível
 é invertível é invertível
· e têm o mesmo posto.
Sabemos que se e , de tamanho , são matrizes semelhantes, então , isto é, . Como
 e
 
Temos que, como , .
· e têm a mesma nulidade.
Sejam e matrizes semelhantes, de tamanho . Queremos mostrar que , onde:
Uma vez que é invertível, define uma transformação linear injetora de em , portanto .
Uma vez que é invertível, define uma transformação linear injetora de em , portanto .
Como e , temos que . Assim, e têm a mesma nulidade
· e têm o mesmo traço.
 e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto:
· Se e são matrizes semelhantes, então e têm o mesmo polinômio característico.
 e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto:
· Diagonalização: Para verificar se uma matriz quadrada é semelhante a uma matriz diagonal é preciso primeiramente identificar certos escalares a ela associados, chamados de autovalores. Os autovalores estão associados a vetores, chamados de autovetores.
· Definição – Autovalor e Autovetor: Se for uma matriz de tamanho , então um vetor não nulo é denominado autovetor de se for um múltiplo escalar de , isto é, se
para algum escalar . O escalar é denominado autovalor de e dizemos que é um autovetor associado a .
· Teorema 1: Se for uma matriz , então é um autovalor de se, e somente se, satisfaz a equação
Essa equação é chamada de equação característica de .
PROVA: Se é um autovalor de uma matriz de tamanho existe não nulo tal que O sistema homogêneo tem uma solução não trivial matriz não é invertível .
Se A matriz não é invertível O sistema homogêneo tem uma solução não trivial existe não nulo tal que existe não nulo tal que existe não nulo tal que é um autovalor de .
· Encontrando autovalores e autovetores:
1- Encontrar as raízes do polinômio característico (autovalores).
2- Para cada autovalor de , procurar os vetores tais que .
· Teorema 2: Uma matriz quadrada de dimensão é diagonalizável se, e só se, tem autovetores linearmente independentes. Uma matriz , cujas colunas correspondem a autovetores linearmente independentes de , é tal que , em que é diagonal.
· Teorema 3: Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes.
Demonstração: Sejam autovalores distintos de e sejam autovetores de associados, respectivamente, a esses autovalores distintos. Admita, por contradição, que no máximo autovetores sejam linearmente independentes, onde . Sem perda de generalidade, admita que são autovetores linearmente independentes. Nesse caso, existem escalares , nem todos nulos, tais que:
Isso implica que ao menos 2 desses escalares são diferentes de zero.
Pré multiplicando ambos os lados de por temos: 
Logo: 
E multiplicando ambos os lados de por temos: 
 Calculando , temos:
Uma vez que, por hipótese, tem autovalores distintos e, não são todos nulos, isso implica que seriam autovetores linearmente dependentes. Com isso chegamos a uma contradição e demonstramos o teorema (3).
· Teorema 4: dos teoremas 2 e 3, se tem autovalores distintos, então é diagonalizável.
· Teorema 5: a matriz é diagonalizável se, e só se, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual a sua multiplicidade algébrica. 
· Multiplicidade geométrica: A multiplicidade geométrica de λ é igual a dimensão do autoespaço associado a λ.
· Multiplicidade algébrica: A multiplicidade algébrica de λ é igual ao número de vezes que λ aparece como um fator no polinômio característico de A.
A multiplicidade geométrica de λ é maior que zero e é menor ou igual à sua multiplicidade algébrica.