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Semelhança e Diagonalização de Matrizes: · Definição – Matrizes Semelhantes: se e foram matrizes quadradas, dizemos que é semelhante a se existir alguma matriz invertível tal que . · Definição – Matrizes Diagonalizáveis: uma matriz quadrada é dita diagonalizável se existir alguma matriz investível tal que , onde é uma matriz diagonal. · Propriedades de matrizes semelhantes: se e são matrizes semelhantes, · e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto, · é invertível se, e somente se, é invertível. Sejam e matrizes semelhantes, então , de tal forma que é invertível é invertível é invertível é invertível · e têm o mesmo posto. Sabemos que se e , de tamanho , são matrizes semelhantes, então , isto é, . Como e Temos que, como , . · e têm a mesma nulidade. Sejam e matrizes semelhantes, de tamanho . Queremos mostrar que , onde: Uma vez que é invertível, define uma transformação linear injetora de em , portanto . Uma vez que é invertível, define uma transformação linear injetora de em , portanto . Como e , temos que . Assim, e têm a mesma nulidade · e têm o mesmo traço. e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto: · Se e são matrizes semelhantes, então e têm o mesmo polinômio característico. e são matrizes semelhantes, se, e somente se, existe alguma matriz invertível tal que . Portanto: · Diagonalização: Para verificar se uma matriz quadrada é semelhante a uma matriz diagonal é preciso primeiramente identificar certos escalares a ela associados, chamados de autovalores. Os autovalores estão associados a vetores, chamados de autovetores. · Definição – Autovalor e Autovetor: Se for uma matriz de tamanho , então um vetor não nulo é denominado autovetor de se for um múltiplo escalar de , isto é, se para algum escalar . O escalar é denominado autovalor de e dizemos que é um autovetor associado a . · Teorema 1: Se for uma matriz , então é um autovalor de se, e somente se, satisfaz a equação Essa equação é chamada de equação característica de . PROVA: Se é um autovalor de uma matriz de tamanho existe não nulo tal que O sistema homogêneo tem uma solução não trivial matriz não é invertível . Se A matriz não é invertível O sistema homogêneo tem uma solução não trivial existe não nulo tal que existe não nulo tal que existe não nulo tal que é um autovalor de . · Encontrando autovalores e autovetores: 1- Encontrar as raízes do polinômio característico (autovalores). 2- Para cada autovalor de , procurar os vetores tais que . · Teorema 2: Uma matriz quadrada de dimensão é diagonalizável se, e só se, tem autovetores linearmente independentes. Uma matriz , cujas colunas correspondem a autovetores linearmente independentes de , é tal que , em que é diagonal. · Teorema 3: Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. Demonstração: Sejam autovalores distintos de e sejam autovetores de associados, respectivamente, a esses autovalores distintos. Admita, por contradição, que no máximo autovetores sejam linearmente independentes, onde . Sem perda de generalidade, admita que são autovetores linearmente independentes. Nesse caso, existem escalares , nem todos nulos, tais que: Isso implica que ao menos 2 desses escalares são diferentes de zero. Pré multiplicando ambos os lados de por temos: Logo: E multiplicando ambos os lados de por temos: Calculando , temos: Uma vez que, por hipótese, tem autovalores distintos e, não são todos nulos, isso implica que seriam autovetores linearmente dependentes. Com isso chegamos a uma contradição e demonstramos o teorema (3). · Teorema 4: dos teoremas 2 e 3, se tem autovalores distintos, então é diagonalizável. · Teorema 5: a matriz é diagonalizável se, e só se, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual a sua multiplicidade algébrica. · Multiplicidade geométrica: A multiplicidade geométrica de λ é igual a dimensão do autoespaço associado a λ. · Multiplicidade algébrica: A multiplicidade algébrica de λ é igual ao número de vezes que λ aparece como um fator no polinômio característico de A. A multiplicidade geométrica de λ é maior que zero e é menor ou igual à sua multiplicidade algébrica.
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