56380224-Calculo-e-Dimensionamento-de-Vigas-em-Estruturas-Metalicas1

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1
 
Dimensionamento de estruturas Metálicas 
 
Dimensionamento de Vigas 
 
1 – Introdução 
 
O dimensionamento de vigas metálicas cujo banzo comprimido não possui um 
contraventamento lateral contínuo, requer a verificação da segurança à instabilidade 
lateral. 
Este modo de colapso é designado na regulamentação portuguesa por bambeamento e no 
EC3 por “lateral torsional buckling of beams”. Trata-se de um fenómeno de instabilidade 
lateral da viga por flexão-torção, que adquire relevância especial em vigas de secção aberta 
com pequena rigidez de torção. 
 
O dimensionamento de vigas metálicas constituídas por perfis de aço laminados a quente 
(secções das classes 1 e 2 no EC3) requer a verificação: 
- da resistência das secções transversais da viga 
- da estabilidade lateral da viga 
- da deformabilidade da viga 
 
A verificação das condições de resistência pode ser feita em termos de tensões normais e 
tangenciais nas secções, com base no critério de cedência plástica de Mises-Hencky e 
constitui a base de dimensionamento elástico. No caso das secções da Classe 1 e 2 na 
designação do EC3, admite-se o dimensionamento plástico da secção. 
 
A verificação das condições de deformabilidade da viga requer, em geral, o cálculo das 
flechas elásticas, e a comparação dessas flechas, obtidas para determinadas combinações de 
cargas associadas a estados limites de utilização, com os valores admissíveis recomendados 
no Capítulo 4 do EC3. 
 
 2
Finalmente, quanto à verificação da estabilidade lateral da viga (bambeamento), refere-se 
em primeiro lugar que se trata de um problema clássico da teoria da Estabilidade de 
Estruturas à semelhança do que acontece com o problema da encurvadura de colunas. Na 
figura seguinte estabelece-se a analogia entre os problemas de estabilidade de colunas e 
vigas. 
 
 
No problema da estabilidade lateral de vigas, o fenômeno de torção introduz o efeito 
de torção não uniforme, o que leva à necessidade de introduzir o conceito de rigidez de 
empenamento da secção EIw, conforme se pode observar na fórmula do momento crítico 
da viga (Mcr) indicada na figura 1. Por essa razão começa-se por apresentar, na secção 
seguinte, uma introdução ao problema da torção não uniforme em peças de secção aberta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coluna Viga 
 
Modelo 
 
Secção 
 
 
 
Modo de Encurvadura 
 
Carga Crítica Elástica 
 
Esbelteza 
Normalizada 
 
Carga de Colapso 
y y 
z 
z 
EIy y y 
z 
z 
EIz; GIt; EIw 
N N 
L 
M M 
L 
w 
φ 
v 
w 
2
y
2
cr L
EI
N
pi
= 
z
t
2
2
z
w
2
z
2
cr EI
GI
*
L
I
I
L
EIM
pi
+
pi
=
 
cr
pl
N
N
=λ
 
cr
pl
LT M
M
=λ
 
plr N*N χ= plLTr M*M χ= 
Com χ = χ (λ) Com χLT = χ (λLT) 
 3
Analogia entre os problemas de estabilidade de colunas e vigas 
 
2- Torção Não-Uniforme de Secções Abertas 
 
 
 0 problema da torção não-uniforme, por vezes também designado por torção com 
empenamento ("warping torsion"), não é em geral tão bem conhecido como o da torção 
uniforme (torção de Saint-Venant) estudado na Resistência de Materiais. Por ser de 
importância fundamental para os assuntos seguintes, far-se-á aqui uma breve revisão sobre 
torção não-uniforme. Esta ocorre em peças solicitadas por um momento torsor variável ou 
em peças em que o empenamento das secções transversais não é livre. 
 
 Para introduzir o assunto, considerar-se-á o problema clássico da barra com secção Ι 
encastrada numa extremidade e solicitada por um momento torsor T na extremidade livre . 
 
 
 
 
 Torção não uniforme de secções em Ι. 
 
 
 4
 
 
 
A secção empena, devido à falta de simetria radial. Como o empenamento não é 
livre, devido aos encastramentos, os banzos flectem. Geram-se assim tensões normais de 
flexão, estaticamente equivalentes a um momento flector Mb no plano de cada um dos 
banzos. Estes momentos Mb variam ao longo da peça, sendo nulos na secção livre. A 
variação de Mb é equivalente a um esforço transverso. 
dx
dMV bb = 
gerando-se um momento torsor adicional na secção 
 
h*VT bw = 
designado por momento torsor de empenamento. Deste modo o momento torsor total 
numa secção é igual a 
wu TTT += 
em que Tu representa a parcela do momento interno associada ao regime de torção 
uniforme. 
Põe-se agora o problema de relacionar o momento torsor com o ângulo de torção φ. Quanto 
a Tu, é conhecido da teoria elementar da torção uniforme que: 
dx
d
*GIT tu
φ
= 
em que: 
G – módulo de distorção do material ( )




υ+
=
1*2
EG 
It – constante de torção 
E é dada por : 
∑=
i
3
iit b*t*3
1I 
em que ti e bi representam respectivamente a largura e o comprimento dum dos 
rectângulos que constituem a secção. 
 5
 
 
 
Quanto ao momento Tw, começa-se por notar que pela teoria elementar da flexão o 
momento Mb no banzo é dado por: 
2
y
2
bb dx
ud
EIM −= 
em que: 
Ib – momento de inércia dum banzo relativamente ao eixo dos zz 
uy – deslocamento lateral (segundo Y) do eixo do banzo 
Como 




φ=
2
h
*uy , a equação pode-se escrever na forma 
2
2
bb dx
d
2
hEIM φ−= 
Das equações anteriores obtém-se para o momento torsor de empenamento 
3
32
bw dx
d
2
hEIT φ−= 
Introduzindo a constante da secção 
2
hII
2
bw = vem 
3
3
ww dx
dEIT φ−= 
 Esta equação para o momento torsor de empenamento, deduzido aqui por 
simplicidade para uma secção Ι, mostra-se ser válida no caso geral. A constante de 
empenamento (Iw) encontra-se tabelada para várias secções (figura 3). 
 
 6
 
 
 Constantes de empenamento e posição do centro de corte de secções correntes. 
 
 A expressão geral que relaciona o momento torsor T numa secção genérica com a 
rotação de torção φ da secção, obtém-se introduzindo as equações 4 e 9 na equação 3: 
 
 T = 
3
3
wt
dx
d
IE
dx
d
IG
φ
××−
φ
×× 
 
 A resolução dum problema de torção em regime não uniforme requer a integração 
da equação . Quando se trata dum momento torsor distribuido ao longo da peça, t=
dx
dT
, a 
equação transforma-se em: 
 
 
4
4
w2
2
t
dx
d
IE
dx
d
IG
φ
××−
φ
×× = t 
 
Para integrar a equação 11 são necessárias duas condições por cada extremidade da barra. 
Note-se que se o empenamento numa extremidade é livre, o momento flector no banzo é 
nulo (Mb=0), pelo que da equação 7 se pode concluir que 
2
2
dx
d φ
=0. Deste modo tem-se: 
 
a) Extremidade encastrada (torção e empenamento impedidos) 
 
φ= 0 ; 
dx
dφ
=0 
 
b) Extremidade em que se impede a torção, mas não o empenamento 
 
 
 
 
 7
φ= 0 ; 
2
2
dx
d φ
=0 
 
 Na figura mostram-se dois tipos de ligações com consequências diferentes na torção 
e empenamento de vigas Ι. A ligação (d) impede praticamente a torção no apoio, mas 
introduz tensões normais de empenamento com a distribuição indicada na figura . Tal não 
acontece na ligação (c), a qual, no entanto, apresenta pouca rigidez à torção. A figura 4.ii 
representa o caso da secção Z. 
 Não será considerado aqui o problema do cálculo das tensões normais de empenamento 
(figura ), por não ser fundamental para os assuntos que se seguem. Nota-se que as referidas 
tensões atingem por vezes valores extremamente elevados, pelo que nem sempre deverão 
ser consideradas como de efeitos secundários na verificação da segurança de secções 
abertas. 0 cálculo destas tensõesfaz-se, em geral, com base nos conceitos de Bimomento e 
de coordenadas sectoriais. 
 
 
 
 8
3 – Encurvadura Lateral de Vigas por Flexão - Torção 
 
3.1 – Conceitos Básicos 
 Uma viga solicitada à flexão em torno do eixo de maior inércia, pode instabilizar 
lateralmente caso o banzo comprimido não esteja devidamente contraventado. É 
conveniente distinguir os casos de: 
a) Vigas com contraventamento contínuo 
b) Vigas contraventadas em pontos intermédios ao longo do vão 
c) Vigas sem contraventamento 
 
Nos casos b) e c) há que dimensionar tendo em conta a possibilidade de instabilidade 
lateral por flexão–torção. 
Para compreender o problema da instabilidade lateral de vigas, considere-se o caso clássico 
da próxima figura. O banzo comprimido, que não é mais do que uma coluna sobre 
“fundação elástica”, tende a encurvar lateralmente. Essa tendência é contrariada pela parte 
restante (estável) da secção. 
No domínio pré-crítico o deslocamento w aumenta linearmente com M e os deslocamentos 
ν e φ mantêm-se nulos. 
 
Para M = Mcr atinge-se uma bifurcação do equilíbrio. No domínio de pós-encurvadura, as 
secções transversais apresentam um translação definida por ν e w e uma rotação de torção, 
em torno do centro de corte, definida por φ. 
No estado de pós-encurvadura, as secções transversais estão solicitadas por momentos 
flectores My e Mz e por um momento torsor T, em equilíbrio com o momento aplicado M. 
O momento crítico elástico de vigas da secção bissimétrica à flexão pura, em torno do eixo 
de maior inércia y, é dado por: 
 







 pi
+
pi
= 2
e
2
wtz
e
cr L
EIGIEI
L
M 
 
 9
em que Le – comprimento de encurvadura 
Deve-se notar que a equação se pode escrever na forma: 
Ez
t
z
w
Ezcr P
GI
I
IPM += 
em que PEz – carga de Euler para a flexão de z 2
e
z
2
Ez L
EIP pi= 
Se o momento flector não for constante mas variável, a equação pode escrever-se na forma 
geral: 







 pi
+
pi
= 2
e
2
wtz
e
1cr L
EIGIEI
L
CM 
em que C1 – constante dependente do carregamento e das condições de apoio 
 
x
L
z
w(x)
v
My
M
T
v
My Mz
M
φ
y
z
w
 
 
 
 10
 
 
v, φ
w
M
Mcr ε = 0
ε ≠ 0
 
 
No caso de cargas concentradas ou distribuidas, o momento crítico é dependente do 
modo de aplicação das cargas na secção. Assim, uma carga aplicada no banzo superior 
tende a agravar a instabilidade relativamente ao caso da carga aplicada no centro de 
gravidade. Pelo contrário, se a carga for aplicada ao banzo inferior o seu efeito é 
estabilizante . Na secção seguinte apresentar-se-á uma fórmula mais geral do que a 
equação , a qual tem em conta o modo de aplicação da carga. 
 
 A equação , ou equivalentemente a equação , é apenas válida para secções 
bissimétricas. Este ponto tem dado lugar a algumas confusões na literatura. Efectivamente 
para secções monossimétricas, como por exemplo secções Ι de banzos desiguais, que no 
caso extremo conduzem às secções em T, aparece o chamado efeito de Wagner. Este efeito 
consiste na influência das tensões normais de empenamento na rigidez de torção. 
 
 Uma peça comprimida apresenta menor rigidez à torção do que a mesma peça 
quando traccionada. A instabilidade em torção pura duma peça comprimida pode ser 
explicada unicamente com base no efeito de Wagner. 
 
 As imperfeições a considerar no problema da instabilidade lateral de vigas são 
essencialmente imperfeições geométricas (deslocamentos iniciais v0, φ0 e excentricidades do 
plano de aplicação da carga relativamente ao plano da alma) e tensões residuais. As 
primeiras dão origem ao comportamento indicado a tracejado na figura 5.b. Assim, os 
 11
deslocamentos laterais v e de torção φ aumentam de urna forma contínua desde o início do 
carregamento, ao contrário do que acontece na viga perfeita (ε=0). Quanto às tensões 
residuais, estas originam que vigas de esbelteza média encurvem lateralmente em regime 
inelástico. 
 
 No projecto duma viga sem contraventamentos laterais poderão utilizar-se várias 
soluções para aumentar a estabilidade lateral. Uma solução será utilizar uma viga em 
caixão , a qual apresenta uma grande rigidez de torção lt. Neste caso a instabilidade lateral 
não controla, em geral, o dimensionainento, o qual é então condicionado pela cedência 
plástica e pela instabilidade local das paredes (placas) da secção. Uma outra solução 
possível é aumentar a rigidez de torção por utilização de banzos em caixão. 
 
 
 
 Influência do modo de aplicação da carga na instabilidade lateral de vigas. 
 
 12
 
 
Secções em caixão ou com banzos em caixão 
 
 
Finalmente refere-se aqui o problema dos contraventamentos laterais. O 
contraventamento contínuo é em geral originado pela ligação do banzo comprimido da 
viga a um tabuleiro, cobertura, etc. Nesta situação não se põe o problema da estabilidade 
lateral. Quando o banzo comprimido da viga á contraventado duma forma descontínua ao 
longo do vão considera-se, para efeitos de dimensionamento, o problema da encurvadura 
para os troços da viga entre apoios laterais. A rigidez e resistência destes apoios laterais 
devem ser adequadas. Efectivamente, a presença de imperfeições geométricas na viga faz 
com que os contraventamentos sejam solicitados desde o início do carregamento. É usual 
dimensionar os contraventamentos laterais para cerca de 2% da força (resultante das 
tensões normais) no banzo comprimido da viga. 
 
 
 
 
 
 
 13
 
3.2 – Regime Elástico 
Considerar-se-á agora a determinação dos momentos críticos elásticos para a encurvadura 
por flexão-torção de vigas com quaisquer condições de carregamento e de apoio. Admite-se 
que as cargas actuam num plano principal de flexão contendo os centros de gravidade e de 
corte e que as secções se mantêm rígidas e sem encurvadura local. Efeitos de imperfeições 
geométricas ou materiais (tensões residuais) não serão considerados nesta secção. Trata-se 
portanto de instabilidades bifurcacionais, não sendo excedida em nenhum ponto da secção 
a tensão limite de proporcionalidade. 
 
a) Secções Bissimétricas 
O momento crítico elástico é dado no Anexo F do EC3, tendo-se: 
 
( )
( ) ( )








−+
pi
+




pi
= g2
2
g2
z
2
t
2
z
w
2
w
2
z
2
1cr zCzCEI
GIkL
I
I
k
k
kL
EICM 
 
em que: 
 C1 e C2 – coeficientes dependentes da distribuição de cargas e das condições 
de apoio 
 k e kw – factores associados aos comprimentos de encurvadura 
 
L
Lk e= - refere-se às condições de apoio relativas à rotação no plano 
e 
kw - refere-se às condições de empenamento nas extremidades da viga, deve-se tomar por 
segurança kw = 1,0. 
 
Nesta equação, zg representa a coordenada z do ponto de aplicação das cargas, pelo 
que zg = 0 sempre que as cargas se considerem a actuar no centro de gravidade da secção. 
 14
Nesses casos, os termos que envolvem C2zg anulam-se, obtendo-se uma equação 
anteriormente referida. 
 
 
 
 
 
 
Valores numéricos do coeficiente C1 para diagramas de momentos lineares entre 
travamentos transversais. 
 
 
 15
 
 
 
 
 
 
 
Se existirem cargas distribuídas ao longo do vão é necessário considerar os termos 
C2zg na equação, devendo-se considerar zg como positivo sempre que o efeito do modo de 
aplicação da carga na secção for instabilizante. Isto acontece quando as cargas actuam no 
sentido do seu ponto de aplicação na secção para o centro de corte (coincidente com o 
centro de gravidade no caso das secções bissimétricas). 
 
Apresentam-se nafigura os valores da constantes C1 e C2 para o caso das cargas ao 
longo do vão conforme constam do Anexo F do EC3. 
 
w
F
F
w
F F
a a a a
Loading and support 
conditions
Bending moment 
diagram
Values of 
k
Values of factors
C1 C2
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,132
0,972
0,459
0,304
1,285
0,712
1,562
0,652
1,365
1,070
0,553
0,432
1,565
0,938
1,267
0,715
1,046
1,010
0,430
0,410
 
Valores numéricos do coeficiente C1 e C2 para o caso de cargas distribuidas ao longo do vão 
 
 
b) Secções Monossimétricas 
 
 No Anexo F do EC3 define-se uma expressão geral para o caso da determinação do Mcr em 
vigas de secção monossimétríca. 
 
 16
c) Vigas de Secção Variável 
 
 A equação é válida apenas para o caso de vigas de secção constante bissimétríca. No caso 
de vigas de secção variável, contraventadas em pontos intermédios ao longo do vão, a 
verificação da estabilidade lateral faz-se em geral para cada um dos troços entre 
contraventarnentos admitindo-os de inércia constante. 
 
 
3.3 Regime Elasto-PIástico 
 
 Na figura representa-se o comportamento não linear de vigas devido aos efeitos da 
encurvadura lateral na presença de imperfeições. Enquanto nas vigas esbeltas a carga 
última é aproximadamente dada pela teoria da estabilidade elástica (conforme foi 
apresentado na secção 3.2), nas vigas de esbelteza média, o colapso dá-se em regime 
elasto-plástico. Não considerando o efeito geométricamente não linear (instabilidade lateral 
na presença de imperfeições) o momento de colapso plástico da viga é dado por: 
 
Mpl = Wpl × fy 
 
em que Wpl é o módulo plástico da secção, o qual se calcula com base na teoria elementar 
da flexão plástica. 
 
 Para vigas de esbelteza média o momento plástico (Mpl) não representa o 
verdadeiro momento de colapso. Efectivamente, há que considerar o efeito das 
encurvadura lateral e a presença de imperfeições. Para as secções laminadas a quente, a 
presença de tensões residuais devidas à larninagem, faz com que as tensões críticas (σcr= 
W
Mcr ) excedam frequentemente a tensão limite de proporcionalidade σp= σcr - σrc (σrc 
representa a tensão residual máxima de compressão). 
 
 Torna-se assim necessário definir um parâmetro de esbelteza para a viga, o qual no EC3 é a 
"esbelteza normalizada": 
 
λLT =
cr
pl
M
M
 
 
 No caso do dimensionamento elástico de secções, substitui-se Mpl na equação 19 
pelo momento de cedência (Mc=Wfy). 
 
Às vigas de pequena esbelteza correspondem valores de Mcr muito elevados em 
relação a Mpl, pelo que λLT toma valores baixos. Pelo contrário, às vigas esbeltas 
correspondem valores de Mcr muito menores do que Mpl, pelo que que λLT toma valores 
muito elevados. 
 
 
 
 17
 Na figura apresentam-se resultados experimentais para os momentos últimos de 
vigas, com vários tipos de secção, em função da esbelteza normalizada λ. Neste diagrama o 
momento Mu está normalizado em relação ao momento de cedência (Mc) e a esbelteza λ 
está definida por 
cr
C
M
M
. Os valores experimentais estão comparados com curvas de 
dimensíonamento de alguns códigos. 
 
 
 
 18
 
Influência de imperfeições geométricas (θ) no comportamento elasto-plástico de 
vigas sujeitas à instabilidade lateral. 
 
 
 
 
 
 
 
Comparação de resultados experimentais com curvas de dimensionamento de alguns códigos. 
 
 Para atender à redução da capacidade resistente da viga por efeito da instabilidade 
lateral na presença de imperfeições geométricas e de tensões residuais, o EC3 introduz à 
semelhança da colunas, o coeficiente de redução χLT o qual é função da esbelteza 
normalizada λLT. Deste modo χLT depende do momento plástico (Mpl) e do momento crítico 
(Mcr). 
 
A expressão de dimensionamento no EC3 é: 
 
Msd ≤ Mrd 
 
em que: 
 19
Mrd= 
1M
pl
LT
M
γ
×χ 
em que χLT é dado na figura 12 em função de λLT respectivamente para secções laminadas a 
quente (curva a) e secções soldadas (curva c). Note-se que as curvas a e c são precisamente 
as curvas já introduzidas no dimensionamento de colunas segundo o EC3. 
 
 
 
Curvas de dimensionamento para a encurvadura lateral de vigas no EC3