5 modulo calor

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1
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO 
Conceitos Fundamentais 
 
Problema básico de transmissão de calor por convecção: 
 
 
 
v,T
oo
Asup, Tsup
q"
 
 
Fluxo térmico local: ( )∞−=′′ TThq sup 
 
h = coeficiente local de transferência de calor por convecção 
 
Como as condições do escoamento variam ponto a ponto na superfície, q” e h variam de ponto a ponto. 
 
 
 
 
 
 2
Taxa total de fluxo de calor: 
 
 
( ) ∫∫ ∞−=′′=
supsup A
supsup
A
sup hdATTdAqq 
 
 
Coeficiente médio de transferência de calor por convecção: 
 
( )∞−= TTAhq supsup 
 
∫=
supA
sup
sup
hdA
A
1
h 
 
Caso especial: escoamento sobre placa plana 
 
wdxdALwA supsup =⇒×= 
 
∫=
L
0
hdx
L
1
h 
 
 
 
 
 
 
 
 3
Problema: 
 
O escoamento do ar atmosférico paralelo à superfície de uma placa plana com comprimento L=3m é 
perturbado por uma série de bastões estacionários posicionados na sua trajetória. Medidas do coeficiente local 
de transferência de calor por convecção na superfície da placa foram efetuadas em laboratório para um dado 
valor de V, com ∞> TTsup . Os resultados são correlacionados por uma expressão na forma hx=0,7+13,6x-
3,4x
2
, onde hx possui unidades de W/m
2
K e x está em metros. Avalie o coeficiente médio de transferência de 
calor por convecção sobre toda a placa ( Lh ), bem como a razão LL h/h na aresta traseira (x=L) da placa 
 
 4
Problema da convecção: determinação do coeficiente convectivo 
 
 
As Camadas Limites da Convecção 
 
 
 
Fluidodinâmica 
δ(x)
U
oo
U
oo
 
 
δ = espessura da camada limite 
δ = valor de y para o qual u=0,99 ∞U 
 
 
 
 
 5
Térmica 
δ
t
(x)
U
oo
, T
oo Too
T
sup 
 
δt = espessura da camada limite térmica 
δ = valor de y para o qual 99,0
TT
TT
sup
sup =
−
−
∞
 
 
Como isto pode ser correlacionado com o coeficiente convectivo? 
 
( )∞
=
−=
∂
∂
−=′′ TTh
y
T
kq sup
0y
fsup 
 
a velocidade do fluido é zero em y=0!!!! 
 
∞
=
−
∂
∂
−=
TT
y
T
k
h
sup
0y
f
 
 
Logo, para conhecer o valor de h eu preciso saber como a temperatura varia dentro da camada limite!!! 
 
 
 6
Regime estacionário, camada limite térmica bidimensional 
 
q
y
v
x
u
3
2
y
v
x
u
2
x
v
y
u
y
T
k
yx
T
k
xy
T
v
x
T
uc
2222
p
&+














∂
∂
+
∂
∂
−














∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
µ
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
ρ
 
 
Para calcular a variação de temperatura, preciso conhecer a variação do perfil de velocidade na camada limite 
 
Princípio da conservação da massa (continuidade): 
 
( ) ( )
0
y
v
x
u
=
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
 
 
Princípio da conservação da quantidade de movimento: 
 
Direção x: 
 
X
x
v
y
u
yy
v
x
u
3
2
x
u
2
xx
P
y
u
v
x
u
u +











∂
∂
+
∂
∂
µ
∂
∂
+


















∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
µ
∂
∂
+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
ρ 
 
 
 
 
 
 
 7
Direção y: 
 
Y
x
v
y
u
xy
v
x
u
3
2
y
v
2
yy
P
y
v
v
x
v
u +











∂
∂
+
∂
∂
µ
∂
∂
+


















∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
µ
∂
∂
+
∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
ρ 
 
Aproximações e condições especiais: 
 
Incompressível, propriedades físicas constantes, forças de corpo desprezíveis, sem geração de energia. 
 
Simplificações das camadas limites 
 
Fluidodinâmica 
 
x
v
,
y
v
,
x
u
y
u
vu
∂
∂
∂
∂
∂
∂
>>
∂
∂
>>
 
 
Térmica 
x
T
y
T
∂
∂
>>
∂
∂
 
 
 
 8
Equações simplificadas: 
0
y
v
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
 
2
2
y
u
x
P1
y
u
v
x
u
u
∂
∂
ν+
∂
∂
ρ
−=
∂
∂
+
∂
∂ 
0
y
P
=
∂
∂ 
2
p
2
2
y
u
cy
T
y
T
v
x
T
u 





∂
∂ν
+
∂
∂
α=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
Adimensionalização das equações: 
 
sup
sup***
TT
TT
T
U
v
v
U
u
u
−
−
===
∞∞∞
 
 
0
y
v
x
u
*
*
*
*
=
∂
∂
+
∂
∂
 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
Re
1
dx
dP
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂ 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
y
T
PrRe
1
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 
 
 9
Parâmetros Adimensionais: 
 
 
Número de Reynolds: 
µ
ρ
=
ν
= ∞∞
LULU
ReL 
 
 
ascosvisforças
inerciaisforças
L/V
L/VVL
Re
2
2
L =
µ
ρ
=
µ
ρ
= 
Número de Prandtl: 
k
c
Pr
pµ=
α
ν
= 
 
 
térmicadedifusivida
movimentodededifusivida
Pr =
α
ν
= 
 
(efetividade relativa dos transportes de quantidade de movimento e de energia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
E daí???? Eu não queria calcular o h???? 
 
 
sup
0yf
sup
0yf
TT
y/Tk
TT
y/Tk
h
−
∂∂
=
−
∂∂
−=
∞
=
∞
=
 
 
y
T
L
TT
y
T sup
*
*
∂
∂−
=
∂
∂ ∞
 
 
0y
*
*
f
*y
T
L
k
h
=∂
∂
= 
 
Número de Nusselt: 
f0y
*
*
k
hL
y
T
Nu
*
=
∂
∂
=
=
 
 
Gradiente adimensional de temperatura na primeira camada de fluido em contato com o sólido 
Não confundir com Biot!!!! 
 
itelimcamadanaconvecçãoàaresistênci
sólidonoconduçãoàaresistênci
k
hL
Bi == 
 
 
 
 11 
( )*TfNu = 
 
( )Pr,Re,y,x,v,ufT L***** = 
( )L***** Re,dx/dP,y,xfu = 
 
( )Pr,Re,xfNu L*= 
 
 
correlações empíricas... 
 
 
 
nm
xx
nm
L PrReCNuPrReCuN == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exercícios: 
 
1) Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de 
temperaturas na camada limite pode ser aproximada pela expressão 
 
 
onde y é a distância normal à superfície, e o no de Prandtl ( 7,0k/cPr p =µ= ) é uma propriedade adimensional do 
fluido. Se T∞ = 400K, Tsup = 300K e ν∞ /u = 5000 m
-1
, qual é o fluxo térmico na superfície? 
 
2) Um objeto, de forma irregular, possui um comprimento característico L1 = 1 m e é mantido a uma temperatura 
superficial uniforme Tsup = 400K. Quando colocado ao ar atmosférico, a uma temperatura T∞ = 300K e movendo-se 
a uma velocidade V = 100m/s, o fluxo térmico médio da superfície do objeto para o ar é de 20000 W/m
2
. Se um 
segundo objeto com a mesma forma e um comprimento característico L = 5 m for mantido a uma temperatura 
superficial Tsup = 400K e colocado ao ar atmosférico a uma temperatura T∞ = 300K , qual será o valor do 
coeficiente médio de transferência de calor por convecção se a velocidade do ar for V = 20m/s? (Resposta: 40 
W/m
2
K). 
 






ν
−−=
−
− ∞
∞
yu
Prexp1
TT
TT
sup
sup
 
 133 ) Medidas experimentais do coeficiente de transferência de calor por convecção em uma barra de seção quadrada em 
meio a um escoamento perpendicular forneceram os seguintes valores: 
Km/W50h 21 = quando s/m20v1 = 
Km/W40h 22 = quando s/m15v2 = 
L = 0,5 m
ar
 
Suponha que a forma funcional do número de Nusselt seja dada pela expressão Nu=CRe
m
Pr
n
, onde m e n são 
constantes. 
1) Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L=1m, quando V 
= 15 m/s? 
2) Qual será o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma barra similar com L=1m, quando V 
= 30 m/s? 
3) Seus resultados seriam os mesmos se o lado da barra fosse usado como o seu comprimento característico em 
lugar da sua diagonal? 
 
 14 
4) A cozinha de um restaurante possui uma chapa quente de 1,22m, que é utilizada no preparo de alimentos grelhados. 
Para resfriar o ambiente nas proximidades da chapa, foi instalado um ventilador em sua borda, soprando ar 
(k=0,03001 W/mK; ν=2,079x10-5m2/s e Pr=0,697) a 33oC e uma velocidade de 2 m/s. Considerando que a chapa se 
encontra a 120
o
C e apresenta 80cm de largura, calcule o total de calor dissipado. Considere que o escoamento de ar 
sobre a placa é laminar, e que a seguinte correlação é válida para o cálculo do número de Nusselt local: 
 
3/1
4/3
i3/12/1
xx
x
x
1PrRe332,0Nu
−













−= , em que xi se refere à porção não aquecida da superfície. Avalie a 
variação do valor do coeficiente convectivo ao final da placa se o ventilador for reposicionado a 1m da borda, em 
comparação com a situação anterior. 
 
 15 
Analogia de Reynolds: 
 
Equações da camada limite: 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
Re
1
dx
dP
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂ 
2*
*2
L
*
*
*
*
*
*
y
T
PrRe
1
y
T
v
x
T
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Para 0
dx
dP
*
*
= e 1Pr = as equações são equivalentes???? 
 
Portanto, as formas funcionais das soluções também podem ser consideradas equivalentes... 
 
Nu
2
Re
C
*y
*T
Re
2
*y
*u
Re
2
C Lf
0*yL0*yL
f =⇒∂
∂
=
∂
∂
=
==
 
 
Como St
2
C
PrRe
Nu
St f =⇒= ⇐ Analogia de Reynolds 
 
Analogias modificadas de Reynolds (Chilton-Colburn): 
 
H
3/2f jPrSt
2
C
== ( )60Pr6,0 << 
 
 Fator j de Colburn para transf. Calor 
 
 
 16 
Escoamento laminar: válido para 0
*dx
*dP
= 
 
Escoamento turbulento: menor sensibilidade ao gradiente de pressão 
 
 
Problema: 
 
 
Ar atmosférico escoa em corrente paralela (u∞ = 15 m/s, T∞ = 15 
o
C) sobre um aquecedor de placa que 
deve ser mantido a uma temperatura de 140 
o
C. A área da superfície do aquecedor é de 0,25 m
2
 e o 
escoamento de ar induz uma força de arraste de 0,25 N sobre o aquecedor. Qual é a potência elétrica 
necessária para manter a temperatura da superfície prescrita?