Atividade Calculo IV

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Calculo Numérico 
Conversão de Números inteiros e fracionados para números binários
 A conversão de números inteiro para binário e através 
O sistema de numeração decimal (base dez) possui dez possíveis valores (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) para cada casa numérica. Por outro lado, o sistema de numeração binária (base dois) possui apenas dois valores, representados por 0 e 1, para cada casa numérica. Já que o sistema binário é a linguagem interna dos computadores eletrônicos, programadores profissionais devem saber como converter de decimal para binário. Siga estes passos simples para dominar esta conversão.
 Exemplo: converta o número decimal 25 para binário
(25)10 = (11001)2
Solução Passo-a-Passo
Passo 1: Divida (25)10 sucessivamente por 2 até que o quociente seja igual a 0:
25/2 = 12, resto = 1
12/2 = 6, resto = 0
6/2 = 3, resto = 0
3/2 = 1, resto = 1
1/2 = 0, resto = 1
Passo 2: Leia de baixo para cima como 11001. Este é o equivalente binário ao número decimal 25 (Resposta).
Conversão de número fracionado para binário e através
O processo é bem simples e trabalharemos com um número pequeno. 8,7. Consiste em converter primeiramente a parte inteira do número para binário.
Pronto! Temos metade do trabalho feito. Agora vamos nos focar apenas na parte fracionária. Para isso, vamos sempre multiplicá-la por 2, extrair a parte inteira (à esquerda) dessa multiplicação e separá-la. A parte separada será exatamente a parte fracionária dos números binários. Confira:
(20)10 = (10100)2
Solução Passo-a-Passo
Passo 1: Divida (20)10 sucessivamente por 2 até que o quociente seja igual a 0:
20/2 = 10, resto = 0
10/2 = 5, resto = 0
5/2 = 2, resto = 1
2/2 = 1, resto = 0
1/2 = 0, resto = 1
Passo 2: Leia de baixo para cima como 10100. Este é o equivalente binário ao número decimal 20 (Resposta).
Erros absolutos e relativo
Como trabalhamos com computadores e portanto temos uma precisão finita para discretizarmos as entidades que manipulamos, fazemos algumas convenções para que os erros envolvidos sejam estimáveis.
Chamaremos de x o valor absoluto de um número, o seu valor no mundo real. Chamamos de x’ (geralmente usamos  mas como não existe esse símbolo no html vou usar x’) uma aproximação para x. Por exemplo, o número irracional π (pi) e uma aproximação π’ = 3,1415.
Erro absoluto:
Diferença entre a valor exato de um número x e o seu valor aproximado x’.
EAx = x – x’
Erro relativo:
Como dependendo das grandezas envolvidas o erro absoluto pode não ser muito significativo, portanto empregamos o erro relativo que é o erro absoluto dividido pelo valor aproximado x’:
Aritmética de ponto flutuante:
A representação em aritmética de ponto flutuante é muito utilizada na computação digital. Um exemplo é a caso das calculadoras científicas. Exemplo: 2,597 –03. Este número representa: 3 2,597 10 − × . A principal vantagem da representação em ponto flutuante é que ela pode representar uma grande faixa de números se comparada a representação de ponto fixo. Seja uma representação com 6 (seis) dígitos: a) utilizando representação de ponto fixo. O maior número representável =9,99999 ≈10 O menor número representável = 5 0,00001 10 − = b) utilizando representação com ponto flutuante, aloca-se dois dos seis dígitos para representar a potência de 10. O maior número representável = 99 9,999×10 . O menor número representável = 99 0,001 10 − × . A representação em ponto flutuante permite representar uma faixa muito maior de números. O preço a ser pago é que esta representação tem quatro dígitos de precisão, em oposição à representação por ponto fixo que possui 6 dígitos de precisão.
Definição: Um sistema de ponto flutuante F ⊂ ℜ é um subconjunto dos números reais cujos elementos tem a forma:
 A aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros
 • base β (binária, decimal, hexadecimal e etc..);
 • precisão t (número de algarismos da mantissa); 
• limites do expoente e ( min max e ≤ e ≤ e );
Portanto a definição de F é dada por F( min max β,t, e , e ). A mantissa é fracionária nesta representação (<1)
A fim de assegurar representação única para cada y ∈ F , faz-se uma normalização no sistema de forma que 0 d1 ≠ para y ≠ 0 .
Exemplo de uma aritmética de ponto flutuante com 3 β = 2, t = 3, emin = −1 e emax = 3
Considerando apenas a parte positiva, tem-se os seguintes números: 0; 0,25; 0,3125; 0,4375; 0,5; 0,625; 0,750; 0,875; 1,0; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0, que podem ser representados na reta numerada:
Observe que os números em uma aritmética de ponto flutuante não são igualmente espaçados. Cada número na aritmética representa um intervalo de números reais. O número total de elementos de uma aritmética de ponto flutuante é dado por:
Método da Bissecção:
O método da bisseção ou método da bissecção é um raízes que bissecta repetidamente um intervalo e então seleciona um subintervalo contendo a raiz para processamento adicional. Trata-se de um método simples e robusto, relativamente lento quando comparado a métodos como o método de Newton ou o método das secantes.[1] Por este motivo, ele é usado frequentemente para obter uma primeira aproximação de uma solução, a qual é então utilizada como ponto inicial para métodos que convergem mais rapidamente. O método também é chamado de método da pesquisa binária, ou método da dicotomia.
Este método pode ser usado para encontrar as raízes de uma função contínua{\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }{\textstyle y=f(x)}, tendo e {\textstyle f(b)}sinais opostos, ou seja. Nestas condições, o teorema do valor intermediário garante a existência de uma raiz no intervalo. O método consiste em dividir o intervalo no seu médio, e então verificar em qual dos dois subintervalos garante-se a existência de uma raiz. Para tanto, basta verificar se. Caso afirmativo, existe pelo menos uma raiz no intervalo caso contrário garante-se a existência de uma raiz no intervalo. O procedimento é, então, repetido para o subintervalo correspondente à raiz até que {\textstyle c}aproxime a raiz com a precisão desejada
Exercício 1 – Encontre a raiz da equação f(x)=x3 – 9x +3 utilizando o método da bissecção e as condições: Chute inicial, I=[0,1], e precisão ε =2x10-3.
Método da falsa posição:
Ao sabermos que temos uma raiz em (a,b), o método da bissecção supõe que a raiz estará no ponto médio.
Tome o caso: (a,b) : f(a) = 0.0001 e f(b) = -10. É provável que a raiz esteja mais próxima de a que de b. (pelo menos esse seria o caso se a função fosse linear)
Método interativo linear:
A fim de introduzir o método de iteração linear no cálculo de uma raiz da equação (2.1) f(x) = 0 expressamos, inicialmente, a equação na forma: (2.2) x = Y(x) de forma que qualquer solução de (2.2) seja, também, solução de (2.1). Em geral há muitas maneiras de expressar f(x) na forma (2.2). Basta considerarmos Y(x) = x + A(x) f(x), para qualquer A(x) tal que A( x _ ) ¹ 0 . Nem todas, porém, serão igualmente satisfatórias para as nossas finalidades. Algumas formas possíveis da equação (2.3) f(x) = x2 - x - 2 = 0 por exemplo, são a) x= x 2 - 2 c) x= 1 + 2 x b) x= 2 + x d) x= x - x x m 2 - - 2 , m ¹0 (A(x) = m 1 ). Geometricamente, uma raiz de (2.2) é um número x = x _ , para o qual a reta y = x intercepta a curva y = Y(x). Pode ocorrer, naturalmente, que estas curvas não se interceptem, caso em que não haverá solução real. Admitiremos, contudo, que essas curvas se interceptem no mínimo, uma vez; que estamos interessados em determinar uma dessas raízes, digamos x = x _ , e que y(x) e y’(x) sejam contínuas num intervalo que contenha essa raiz. Seja x = x0 uma aproximação inicial para a raiz x = x _ de (2.2). Obtemos as aproximações sucessivas xi para a solução desejada x = x, usando o processo iterativo definido por: (2.4) xi+1 = y(xi), i = 0, 1, . . . Esse processo é chamado de Método Iterativo Linear. Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproximações sucessivas tais que a sequência xi sejaconvergente. Mas existem casos em que esta é divergente. Em (2.3.a), por exemplo, consideramos x0= 3. Então x1 = y(x0) = x0 2 - 2 = 32 - 2 = 7 47 x2 = y(x1) = x1 2 - 2 = 72 - 2 = 47 x3 = y(x2) = x2 2 - 2 = (47)2 - 2 e é óbvio que se trata e uma sequência divergente. As condições suficientes para assegurar a convergência da iteração linear estão contidas no Teorema 2.3, cujas demonstrações se encontram em livros de Cálculo ou Análise Matemática.
Método de Newton Rafhson:
 Este método, sob determinadas condições, apresenta vantagens sobre os método anteriores: é de convergência mais rápida e, para encontrar as raízes, não é obrigatória a condição fa fb () () × < 0. Seja a equação f x( ) = 0, da qual se conhece a raiz aproximada x0 e seja δ 0 o erro dessa raiz: f x( ) 0 0 + = δ 0 se fx fx f x R ( ) () () 00 0 00 2 += + δ δ ′ ⋅+ = 0 onde R2 é um infinitésimo de 2ª ordem em δ 0 que pode ser escrito como: R fx 2 0 2 0 2 = ⋅ ′ + δ ! ( ) ... e por conseguinte será pequeno se δ 0 e se f x ′′( ) 0 não for muito elevado. Teoricamente o valor δ n n n f x f x − − − = − ′ 1 1 1 ( ) ( ) tem tendência a ser cada vez mais pequeno, o que justifica o poder ser desprezado. Desprezando R2 temos que: fx f x () () 0 00 + ′ ⋅ = δ 0 ou seja, δ 0 0 0 = − ′ f x f x ( ) ( ) Assim, um novo valor x x f x f x 1 0 0 0 = − ′ ( ) ( ) mais aproximado da raiz da equação pode ser obtido. Prosseguindo a iteração, obtém-se uma sequência de valores sucessivamente mais aproximados da raiz. 
A fórmula de recorrência é dada por: 
 As condições de convergência são agora (por análise intuitiva): 
1. x0 é suficientemente próximo de uma raiz da equação. 
2. f ′′( x ) não toma valores excessivamente grandes 
3. f ′( x) não é muito próxima de z
ero
Forma Lagrange:
Forma de Lagrange para o polinômio interpolador
 Dado um conjunto de k+1 pontos:	
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:
com polinômios da base de Lagrange dados por
Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.
Dados n pontos de abscissas {\displaystyle (x_{j})|_{1}^{n}} , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:
Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.
Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:
Forma de Newton Cotes:
As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrante, em pontos igualmente espaçados, é fornecido. Se for possível trocar os pontos nos quais o integrante é avaliado, então outros métodos, como Quadratura Gaussiana e Quadratura de Clenshaw–Curtis são, provavelmente, mais adequados.
Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos xi entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x0 = a e xn = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:
Onde xi = h i + x0, com h (tamanho do passo) igual a (xn − x0) / n = (b − a) / n. Os wi são chamados de pesos.
Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de xi e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados (x0, ƒ(x0) ), …, (xn, ƒ(xn) ), então:
A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:
Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.
Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios (simples)
Trata-se do caso mais simples de Fórmula de Newton-Cotes fechada. Neste caso, consideramos n=1 e temos dois nós de integração:
x0 = a, x1 = b
e obtemos para os valores dos pesos:
A0 = A1 = ( b - a ) / 2
( isto pode ser obtido, quer através da resolução do sistema do método dos coeficientes indeterminados, quer através dos integrais dos polinómios de Lagrange, l0(x) e l1(x) )
Temos assim a Regra dos Trapézios (simples):
que corresponde exactamente ao valor da área do trapézio definido pela recta interpoladora!
Teorema (do Valor Intermédio para Integrais): 
Sejam f , g funções contínuas em [a,b]. 
Se g não muda de sinal no intervalo [a, b] temos : 
Erro da Regra dos Trapézios (simples)
Pretendemos agora determinar majorações para o valor absoluto do erro
E( f ) = I ( f ) - T ( f )
Sabemos que
E( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f - p1 )
Da fórmula do erro de interpolação temos
f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
e como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] podemos aplicar o Teorema do Valor Intermédio para Integrais e obtemos 
 
e supondo que f é C2[a, b], obtemos a fórmula do erro:
Regra dos Trapézios (Composta)
Como é claro, se usassemos a regra dos trapézios simples para calcular o integral num intervalo [a, b], iamos obter uma aproximação grosseira do valor do integral, por isso, interessa-nos decompor esse intervalo em sub-intervalos cada vez mais pequenos, e nesses sub-intervalos aplicamos a regra dos trapézios simples. 
Trata-se, neste caso, de fazer uma aproximação, da função integranda, usando um spline linear.
Para simplificar, consideramos que o tamanho desses sub-intervalos é constante = h. 
Assim, definimos h = ( b - a ) / N, onde N é o número de sub-intervalos ( = número de nós - 1), e temos:
xi = a + i h
portanto, o valor do integral é igual à soma dos integrais nos sub-intervalos. 
logo, aplicando a regra dos trapézios simples a cada um desses sub-intervalos, obtemos 
Reparando que há termos que aparecem repetidos na soma, podemos simplificar a expressão, e obtemos a Regra dos Trapézios Composta: 
Erro da regra dos trapézios composta
Como já obtivemos a fórmula do erro para a regra simples, o erro da regra dos trapézios composta será a soma dos erros cometido em cada sub-intervalo, ou seja : 
como N h = b - a , e como podemos aplicar o teorema clássico do valor intermédio à média das 2as derivadas, obtemos a fórmula do erro da regra dos trapézios composta:
Regra de Simpson
Tal como a Regra dos Trapézios, trata-se de outro exemplo de Fórmula de Newton-Cotes fechada, mas, ao invés de considerarmos a aproximação em cada sub-intervalo através de um polinómio interpolador do 1º grau (recta), podemos pensar numa aproximação um pouco melhor, considerando um polinómio interpolador do 2º grau (parábola). Para isso, ao considerarmos a regra de integração simples, precisamos de um ponto adicional, que será o ponto médio.
Neste caso,
a fórmula de integração será do tipo
e podemos obter os pesos A0, A1, A2, resolvendo o sistema linear
ou através dos polinómios de Lagrange: 
Obtemos, assim, a Regra de Simpson (simples):
Erro da Regra de Simpson (simples)
Neste caso, usamos um polinómio interpolador do 2º grau, e sabemos da fórmula do erro de interpolação que:
f (x) - p2 (x) = f [ a, b, c, x ] (x - a) (x - b) (x - c)
portanto
	ES(f ) = I(f ) - S(f ) = I(f) - I(p2) = 
	 

	b
a
	f[a, b, c, x] (x-a) (x-b) (x-c) dx
No entanto, aqui não podemos aplicar directamente o teorema do valor intermédio para integrais, porque (x-a)(x-b)(x-c) muda de sinal no intervalo [a, b].
 Introduzindo um ponto auxiliar d pertencente ao intervalo [a, b], podemos usar a definição de f [ a, b, c, d, x ] para obter 
  
  
f [ a, b, c, x ] =f [ a, b, c, d ] + f [ a, b, c, d, x ] ( x - d )
Substituimos esta expressão no integral, e como
	 

	b
a
	(x-a) (x-b) (x-c) dx = 0
obtemos, fazendo d tender para c, e aplicando o teorema do valor intermédio para integrais, porque (x-a)(x-b)(x-c)2 já não muda de sinal no intervalo [a, b]:
admitindo que a função f está, pelo menos, em C4[ a, b ]. 
(Observamos que a repetição dos nós nas diferenças divididas leva a expressões mal definidas, que são indeterminações, pelo que esta notação só faz sentido como um limite, sabendo que a função f é diferenciável. 
Por exemplo:
	f [a, b, c, c, x] = 
	  lim 
c'c
	f [a, b, c, c', x]
e recursivamente, através da definição de diferenças divididas, podemos obter uma expressão em função de f [ c, c ] = f ' (c) ).
Portanto, se f pertence a C4[ a, b ], o Erro da Regra de Simpson (simples) fica: 
 
Observação: 
Por construção, sabiamos que a Regra de Simpson era exacta para polinómios do 2º grau, mas esta fórmula do erro revela-nos que ela é exacta mesmo para polinómios do 3º grau! Portanto, enquanto que a Regra dos Trapézios tem apenas grau 1, a Regra de Simpson tem grau 3.
Regra de Simpson (composta)
Convém referir que, enquanto a Regra dos Trapézios composta corresponde a fazer a aproximação da função integranda através de um spline linear, no caso da Regra de Simpson composta, a aproximação feita não corresponde a um spline de grau 2, pois não exigimos regularidade da derivada nos nós. Essa regularidade não é necessária quando integramos. Aliás, geometricamente depreende-se que, exigir a regularidade da função aproximadora, nos nós, não traz aparentes vantagens para a aproximação da área delimitada pelo gráfico da função...
Para aplicar a regra de Simpson usando sub-intervalos, devemos considerar um número impar de nós N+1, de forma que ao dividirmos o intervalo [ a, b ] em N/2 sub-intervalos, obtemos os nós
xi = a + i h
para i = 0, ..., N, com h = (b - a)/N.
Assim, podemos considerar três nós em cada sub-intervalo [ x2k-2, x2k ] :
x2k-2, x2k-1, x2k
para k = 0, ..., N/2, e aplicamos a regra de Simpson simples a cada um destes sub-intervalos.
Como 
obtemos
e simplificando os termos repetidos, temos a Regra de Simpson Composta: 
Erro da Regra de Simpson Composta
Tal como no caso da Regra dos Trapézios composta, o erro da Regra de Simpson composta, resulta da soma dos erros em cada sub-intervalo, ou seja: 
.a partir desta expressão, e de forma análoga, obtemos, a Fórmula do Erro para Regra de Simpson Composta: 
 {\displaystyle l_{j}(x):=\prod _{i=0,j\neq i}^{k}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{j}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{j-1}}{x_{j}-x_{j-1}}}{\frac {x-x_{j+1}}{x_{j}-x_{j+1}}}\cdots {\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}}