CALCULO-IV-atividade estruturada

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ATIVIDADE ESTRUTURADA:
APLICAÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
CEL0500 - Cálculo IV
Junho 2020
SUMÁRIO
I- OBJETIVO...............................................................................................................3
II- INTRODUÇÃO.......................................................................................................3
III- DESENVOLVIMENTO..........................................................................................3
IV- CONCLUSÃO.......................................................................................................6
V- REFERÊNCIAS......................................................................................................6
1. Objetivo
Esta atividade estruturada tem como objetivo aplicar a noção de integral dupla em
diversas áreas do conhecimento, dando foco na aplicação de Momento de
Inércia.
2. Introdução
Com o advento do descobrimento da integral dupla, muitos problemas que, até
então não tinham solução, puderam ser resolvidos. A integral dupla é de grande
importância e pode ser usada em variados problemas de diversas áreas do
conhecimento. Com o uso desta importante ferramenta podemos calcular
volumes, áreas, massa, carga elétrica, centro de massa, momento de inércia,
tanto na matemática, com na física, engenharia e etc.
Neste relatório o foco será dado na aplicação de integral dupla na área da Física,
especificamente no cálculo de Momento de Inércia. Para uma melhor ilustração
da utilização será utilizado um exemplo de exercício de demonstração.
3. Desenvolvimento
O momento de inércia é uma grandeza física associado à inércia de rotação.
Sendo assim, um corpo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado
inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser nula,
no caso em que o somatório das forças atuantes é zero, também existe uma
resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em
sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo
corpo.
O momento de inércia de uma região (D) pode ser definido como (em relação ao
eixo x e ao eixo y respectivamente):
Em relação à origem, temos que o momento de inércia de uma região (D) é
definido como sendo a integral dupla da soma dos momentos de inércia em
relação ao eixo x e y. 
Ou seja, temos o seguinte exemplo:
Sendo assim, podemos definir o momento de inércia através de integrais
duplas. Para que possamos exemplificar para então entendermos
completamente a aplicação da integral dupla em momento de inércia, faremos
a demostração de exemplo abaixo:
Exemplo – 
Determinar os momentos de inércia I x; I y e I 0 da região limitada pelas curvas
y2=4x; x=4 e y =0 no 1º Quadrante.
Primeiramente, para melhor visualização do que estamos calculando,
desenharemos no plano cartesiano as curvas pedidas pelo exercício.
Considerando que o enunciado só leva em consideração o 1 º quadrante,
desconsideraremos os outros. O esboço da figura formada pelas curvas
pode ser visto abaixo:
Observando a figura, já podemos tirar os limites de integração nos eixos
x e y, onde no eixo x terá a variação de 0 a 4 e no eixo y e terá variação
de 0 à função y=2√𝑥. 
Logo:
R={ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 0 ≤ 𝑦 ≤ 2√𝑥
Vamos começar então pelo cálculo de Ix através da integral dupla apresentada 
antes com os limites de integração mostrados acima:
Agora, faremos o cálculo de Iy, através da integral dupla apresentada antes e 
com os mesmos limites de integração mostrados acima:
Por último, calcularemos I0, que é simplesmente a soma de Ix e Iy, logo:
4. Conclusão
Através desta atividade, mesmo com um único exemplo e aplicação, pudemos
perceber e ter a noção da vastidão de aplicações que utilizam de integral dupla para
resolução de problemas, como mncionado na introdução. Também pudemos
entender mais a fundo através do exemplo no desenvolvimento como uma destas
aplicações funciona e, na prática e desmitificar e quebrar qualquer paradigma no
uso destas integrais.
5. Referências Bibliográficas
http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
http://www.respondeai.com.br/conteudo/calculo/integrais-duplas/momento-de-
inercia-e-raio-de-rotacao-de-regioes-planas/514
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAe4wwAA/integrais-triplas-duplas- aplicacoes
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