Razão e proporção e regra de 3 simples

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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 
| MÓDULO 1| Prof. Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
1 
 
OS: 0050/9/18-Gil 
CONCURSO: BNB – ANALISTA BANCÁRIO 
 
 
ASSUNTO: 
Razão e Proporção 
Regra de Três Simples e Composta 
Sistema Legal de Medidas 
Questões de Concursos 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
“Há somente dois tipos de homens: os justos, que se imaginam pecadores; e os 
pecadores, que se consideram justos.” 
 PASCAL 
 
 
CONCEITO DE RAZÃO 
 
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da divisão 
entre as grandezas. 
Assim, dados dois números reais a e b, com b  0, calcula-se a razão entre a e b através do quociente da 
divisão de a por b. 
Para indicarmos a razão entre a e b usamos: 
 
b
a ou a : b (“a” está para “b”). 
 
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número “b” é chamado de conseqüente. 
 
Razão entre a e b = 
b
a
 
 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa 






a
b
e
b
a
. Note que, o produto de duas razões inversas é sempre igual a 1. 
1
a
b
.
b
a

 
 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
 CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO 
 
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por ele. 
 
Concorrência = 
oferecidasvagasdeºn
inscritos.canddeºn
 
 
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 VELOCIDADE MÉDIA 
 
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. 
 
Velocidade média = 
t
S
V
gasto tempo
apercorriad distância
m



 
 
 
 DENSIDADE DE UM CORPO 
 
É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. 
 
Densidade = 
V
m
d
volume
massa

 
 
 DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO 
 
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
região dessa área
região uma de habitantes de ºn
ademográfic
Densidade

 
 
 ESCALA NUMÉRICA 
 
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real, 
medidos na mesma unidade. 
 
real o compriment
desenho no o compriment
Escala 
 
 
D
d
E 
 
 
 Tamanhos de Escala 
 
 Escala Grande 
 
 É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela destinada a pequenos comprimentos 
reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É usada em cartas ou plantas. 
 
 Escala Pequena 
 
 É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela destinada a grandes comprimentos reais 
(áreas continentais). É pobre em detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. 
 
 
Observação 
 
Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se apresenta sob a forma de um segmento 
de reta graduado. Nele, cada graduação representa 1 cm de comprimento no desenho. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala = ou 1: 20.000.000. 
 
cm000.000.20
cm1
km200
cm1

0km 200km 400km 600km 800km
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens à seguir 
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? 
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da prova? 
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? 
 
Solução: 
 
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo: 
a) 
2
7
10
35

ERRADAS
CERTAS
= 7 : 2 
 
(proporção de 7 certas para cada 2 questões erradas) 
 
b) 
5
1
50
10

TOTAL
ERRADAS
= 1 : 5 
 
(proporção de 1 errada para cada 5 questões da prova) 
 
c) 
7
1
35
5

CERTAS
BRANCO
= 1 : 7 
 
(proporção de 1 em branco para cada 5 questões certas) 
 
 
CONCEITO DE PROPORÇÃO 
 
Proporção é uma igualdade de duas razões 
 
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta ordem, 
uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). 
Representamos isto por: 
 
d
c
b
a

 ou a : b = c : d 
 
 
E lemos: “a está para b assim como c está para d”. 
Na proporção 
d
c
b
a

, destacamos que os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são 
chamados meios. 
 
 
a : b = c : d 
d
c
b
a

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEIOS 
EXTREMOS 
MEIOS 
EXTREMOS 
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 PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO 
 
 Propriedade Fundamental 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
c.bd.a
d
c
b
a

 
 
 
 Soma dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 















d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Diferença dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 














d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Soma dos Antecedentes e Consequentes 
 
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como qualquer 
antecedente está para seu consequente. 
 
db
ca
d
c
b
a



 
 
 QUARTA PROPORCIONAL 
 
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta proporcional desses números dados o 
número x tal que: 
 
x
c
b
a

 
 
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b e c, nessa ordem. 
 
 
 
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 TERCEIRA PROPORCIONAL 
 
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional desses números o número 
x tal que: 
 
x
b
b
a

 
 
 
 SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS 
 
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. Também, pode ser chamada de 
proporção múltipla. Em símbolos, temos: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1 
 
 
A principal propriedade a ser utilizada é: 
 
 
k
b...bbb
a...aaa
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n321
n321
n
n
3
3
2
2
1
1 



 
 
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numéricaA = (a1, a2, a3, ..., an) são ditos diretamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ..., bn), quando as razões de cada termo de A pelo seu 
correspondente em B forem iguais , isto é: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1

 
 
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
.4
3
12
4
4
16
;4
5
20
 e
 
 
Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4. 
 
 
02. Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente proporcionais aos números 
da sucessão (4, 2, 1). 
 
 
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Solução: 
 
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 






5
10
12
5
124
20
y
xyxyx
 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ... bn), quando os produtos de cada termo da sucessão A pelo seu 
correspondente em B forem iguais, isto é: 
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k 
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. 
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente 
proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B. 
 
k
b
1
a
...
b
1
a
b
1
a
b
1
a
n
n
3
3
2
2
1
1  
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente proporcionais aos números da 
sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. 
Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 72. 
 
02. Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente 
proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
 
Solução: 
 
Pela definição, temos: 








.1z3636.z
.12y36y.3
.4x369.x 
 
03. Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 
Solução: 
 
Sejam x e y as partes procuradas: 















8y
10x
2
9
18
4
y
5
x
45
yx
4
y
5
x
18yx 
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04. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do TRF de 
uma certa circunscrição judiciária. 
 
 
 
 
 
 
 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre 
si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 
laudas, determine o total de laudas do processo. 
 
Solução: 
 
Sejam 
 – Laudas de João: x 
 – Laudas de Maria: y 
Então: 
 
8
36
x
 = 
12
30
y
= 
12
30
8
36

 yx
 
 
Como x = 27, temos: 
 
8
36
27
 = 
12
30
8
36

 yx
 
Ou seja: 
 
36
8
.27
 = 
2
5
2
9

 yx
 
 6 = 
7
yx 
 
Então: 
 x + y = 42 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
 
"Agir com sabedoria assegura o sucesso”. 
 
 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas (A e B) são diretamente proporcionais quando, aumentando-se o valor de uma delas um 
certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes. Em 
símbolos, temos: 
 
A  B 

BkA 
, onde 
alidadeproporcion
de ecoeficient
k 
 
 
 
 IDADE TEMPO DE SERVIÇO 
JOÃO 36 ANOS 8 ANOS 
MARIA 30 ANOS 12 ANOS 
 
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Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma das grandezas é 
igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza. 
 





22
11
B.kA
B.kA 
2
1
2
1
B
B
A
A

 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas (A e B) são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas um certo 
número de vezes, o valor correspondente na outra diminui o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos: 
B
1
kA
B
1
~A 
, onde 
alidadeproporcion
de ecoeficient
k 
 
 
Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então a razão entre os dois valores de uma das 
grandezas é igual ao inverso da razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza. 
 









2
2
1
1
B
1
kA
B
1
kA

2
1
2
1
B
1
B
1
A
A
 
 
1
2
2
1
B
B
A
A

 
 
Observação 
 
Se 
B~A
 e 
C~A
, então 
CB~A 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois 
valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e 
deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três. 
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter: 
 
 REGRA DE TRÊS DIRETA 
 
A e B são grandezas diretamente proporcionais. 
 
2
1
2
1
B
B
A
A

 
 
 REGRA DE TRÊS INVERSA 
 
A e B são grandezas inversamente proporcionais. 
 
1
2
2
1
B
B
A
A

 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Se uma dúzia de ovos custa R$ 1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos? 
 
 
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Solução: 
 
Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se estas grandezas 
são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 Quantidade de ovos Preço (R$) 
 12 1,40 
 30 x 
 
As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais 
ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. 
 
Logo: 
50,3x
12
40,1.30
x
x
40,1
30
12

 
 
Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50. 
 
REGRA DE TRÊSCOMPOSTA 
 
É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporcionais. A 
regra de três composta é realizada da seguinte maneira. 
 
 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 
 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. 
 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas, isoladamente, 
identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas 
invertidas). 
 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, 
colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há proporcionalidade 
inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e 
escrever a razão inversa no produto. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. 
Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? 
 
Solução 1: 
 
Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos: 
 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
 
 
Logo: 
 













7
9
.
18
12
x
12
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
 
Resposta: São necessários 14 dias. 
 
 
 
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Solução 2: 
 
Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos: 
 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
 
Logo: 
 













12
x
.
7
9
12
18
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
 
Resposta: São necessários 14 dias. 
 
 
REGRA DE SOCIEDADE 
 
É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, 
proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição 
dessa sociedade. 
 
 
cte
TempoCapital
Lucro
Tempo~Lucro
Capital~Lucro






 
 
 
É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
01. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao 
fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? 
 
 
Solução: 
 
Utilizando a regra da sociedade, vemos que: 
 
130000
M
120000
J
tempocapital
lucro





 
 
onde J é o lucro que cabe ao João e M é o lucro que cabe à Maria. Simplificando a proporção, temos: 
 









4500M
3000J
1500
5
7500
32
MJ
3
M
2
J
 
 
Resposta: João lucrou R$ 3.000,00 e Maria lucrou R$ 4.500,00. 
 
 
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02. Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após um certo investimento. Para tanto, o primeiro entrou com 
um capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 
9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um? 
 
 
Solução: 
 
Utilizando a regra da sociedade, vemos que: 
 
79000
z
88500
y
127000
x
tempocapital
lucro







 
 
onde x, y e z são as partes de cada um no lucro. 
 
Simplificando a proporção, temos: 
 





 790
z
885
y
1270
x
 


 10
2150
21500
2150
zyx
630
z
680
y
840
x
 
 









6300z
6800y
8400x 
 
Resposta: O primeiro lucrou R$ 8.400,00; o segundo, R$ 6.800,00 e o terceiro, R$ 6.300,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
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12 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
Um órgão de controle, ao aplicar sanções contra empresas petroleiras cujas atividades resultem em 
agressão ao meio ambiente, determina o valor da multa, em reais, de modo proporcional ao volume de 
petróleo derramado, em barris, ao tempo de duração do derramamento, em semanas, e à área da região 
afetada, em quilômetros quadrados. Assim, se determinada empresa petroleira deixar vazar, por três 
semanas, quatro mil barris de petróleo bruto, causando a contaminação de 950 km2 de superfície marítima, 
será, em decorrência disso, multada em R$ 5.000.000,00. Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
 
01. (CESPE) Considere que, após o acidente com um navio petroleiro, que resultou no derramamento de 
dezenove mil barris de petróleo, afetando uma área de 120 km2, os técnicos da empresa à qual esse navio 
pertence tenham levado uma semana para contar o derramamento. Nessa situação, a multa a ser aplicada a 
ser aplicada pelo órgão de controle será superior a R$ 900.000,00. 
 
 
 
 
02. (CESPE) Caso, depois de estancado um vazamento, o petróleo derramado avance por uma área 
correspondente a 10% da área inicialmente afetada, o valor da multa recebida pela empresa aumentará 10% 
em relação ao valor que seria estabelecido no momento do estanque. 
 
 
 
 
 
 
Em uma repartição, 4.000 processos permaneceram sem andamento devido a problema técnico na rede de 
computadores. Para resolver esse problema, o chefe da repartição direcionou 1/4 dos servidores para 
fazer uma triagem nos processos, classificando-os em média ou baixa complexidade e em alta 
complexidade. O chefe, então, disponibilizou 2/5 dos servidores para a análise dos processos de média ou 
baixa complexidade e 70 servidores para a análise dos processos de alta complexidade, de forma que 
todos os servidores ficaram ocupados com essas atividades. Após seis semanas de trabalho, havia ainda 
3.520 processos aguardando triagem e análise. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens de 03 a 07. 
 
03. (CESPE) Caso, após a conclusão da triagem dos 4.000 processos, os servidores responsáveis por essa 
atividade sejam direcionados à análise dos processos de alta complexidade, o número de servidores 
realizando tal análise será menor que o dobro daqueles que analisam processos de média ou baixa 
complexidade. 
 
 
 
 
04. (CESPE) Mais servidores de repartição foram direcionados para a triagem dos processos do que para a 
análise de processos de média ou baixa complexidade. 
 
 
 
 
05. (CESPE) A repartição possui um total de 200 servidores. 
 
 
 
 
06. (CESPE) Após seis semanas de trabalho, mais de 90% dos processos ainda aguardavam triagem e análise. 
 
 
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07. (CESPE) Caso o ritmo permaneça igual ao das seis primeiras semanas, os funcionários da repartição levarão 
mais de um ano, contado do início dos trabalhos, para completara triagem e a análise dos 4.000 processos. 
 
 
 
 
08. (CESPE) Às 6 horas de certo dia, Alcebíades, Berenice, Carlota e Dagoberto substituíram os quatro 
funcionários que prestavam atendimento ao público na recepção de um aeroporto. Suponha que, nesse 
instante, as 135 pessoas que aguardavam atendimento foram divididas em grupos, de acordo com o seguinte 
critério: 
 
3
1
 do total de pessoas foram encaminhadas a Alcebíades e Berenice que as dividiram entre si, na 
razão direta de suas respectivas idades: 36 e 24 anos: 
 Carlota e Dagoberto dividiram entre si o número de pessoas restantes, na razão inversa de suas 
respectivas idades: 28 e 35 anos. 
 
Considerando que eles atenderam apenas a essas 135 pessoas, então, é correto afirmar que Berenice foi quem 
atendeu o menor número de pessoas. 
 
 
 
 
 
 
Segundo um novo levantamento da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), o mercado doméstico de 
aviação no Brasil é controlado por 5 companhias principais. A partir das informações apresentadas, julgue 
os itens a seguir. 
 
09. (CESPE) Se um avião a uma velocidade média de 800 km por hora gasta 2 h 30 min entre os aeroportos A e 
B, então, para efetuar o mesmo percurso em exatamente 2 h, a velocidade média desse avião deverá ter um 
aumento de 20%. 
 
 
 
 
10. (CESPE) Considerando que, no hangar de uma companhia de aviação, 20 empregados, trabalhando 9 horas 
por dia, façam a manutenção dos aviões em 6 dias, então, nessas mesmas condições, 12 empregados, 
trabalhando com a mesma eficiência 5 horas por dia, farão a manutenção do mesmo número de aviões em 
menos de 2 semanas. 
 
 
 
11. (CESPE) Se a maquete de um helicóptero, construída na escala de 1:24, tiver o comprimento igual a 20 cm, 
então o comprimento real dessa aeronave será inferior a 5 m. 
 
 
 
 
12. (CESPE) A entrada em um parque de diversões custa R$ 1,50 para uma criança e R$ 4,00 para um adulto. 
Se, em um dia, entraram 1.700 pessoas no parque e foram arrecadados R$ 3.800,00 com as entradas, então 
o número de crianças que entraram no parque nesse dia foi superior a 1.100. 
 
 
 
 
13. (CESPE) Para constituírem uma sociedade, José, Maria e Pedro investiram R$ 60.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 
100.000,00 respectivamente. O lucro obtido pela sociedade ao ser encerrada foi de R$ 74.000,00. Se a 
divisão desse lucro entre os três sócios foi diretamente proporcional à quantia que cada um investiu, então é 
correto afirmar que a soma das quantias recebidas por Maria e Pedro foi inferior ao dobro da quantia recebida 
por José. 
 
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Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão distribuídos para trabalharem em y 
cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70 
candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada 
cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso. 
 
14. (CESPE) O número y de cidades e o número x de candidatos, são respectivamente 110 e 290. 
 
 
 
15. (CESPE) Em determinado município, constatou-se que existiam 2.000 crianças em idade escolar, mas 
apenas 1.850 delas encontravam-se matriculadas na rede de ensino. Sabe-se, ainda, que 85% das crianças 
desse município em idade escolar estão inscritas no programa bolsa-família do governo federal, das quais 
1.600 estão matriculadas em alguma escola da referida rede de ensino. 
 
 
 
 
Com relação a essa situação hipotética, é correto afirmar que o número de crianças do referido município 
em idade escolar que não estão matriculadas na rede de ensino desse município e não estão inscritas no 
programa bolsa-família do governo federal é igual a 55. 
 
16. (CESPE) Em determinada região produtora de tomates, observou-se que 10% da produção é perdida no 
momento da colheita, que 20% do restante dessa produção não é vendido por se estragar durante o 
transporte ou comercialização e que o restante é vendido. Sabe-se, ainda, que os consumidores desperdiçam 
6
1
 do que compram. Nessa situação, a porcentagem da produção de tomates, nessa região, que não é de 
fato consumida é superior a 39% e inferior a 42%. 
 
 
 
 
 
 
17. (CESPE) Em determinada cidade, 1.260 funcionários com capacidade de trabalho idêntica iniciam 
diariamente o serviço de limpeza urbana às 22 h e o concluem às 7 h e 20 min do dia seguinte. Durante o 
período do horário de verão, deseja-se que o tempo necessário para a realização desse trabalho seja 
reduzido em 1 hora e 20 minutos e, para isso, a prefeitura da cidade pretende contratar novos funcionários 
com a mesma capacidade de trabalho dos funcionários que já realizam a atividade. Na situação descrita, a 
quantidade de novos funcionários que a prefeitura deverá contratar será igual a 180. 
 
 
 
 
18. (CESPE) Considerando que os 20 empregados da central de atendimento telefônico de uma grande empresa 
atendam diariamente, em média, a 2.400 telefonemas no período de trabalho de 8 horas, e que essa 
empresa deseje aumentar o número de empregados da central de atendimento telefônico em 50% e reduzir 
em 25% o período de trabalho diário desses empregados, então o número médio diário de atendimentos 
telefônicos da central aumentará em 12,5%. 
 
 
 
 
19. (CESPE) Os indivíduos X, Y e Z investiram conjuntamente suas economias em determinada aplicação 
financeira da seguinte forma: X investiu R$ 8.000 durante 5 meses, Y investiu R$ 6.000 durante 7 meses e Z 
investiu R$ 6.000 durante 8 meses. Se essa aplicação produziu um lucro de R$ 19.500, que deverá ser 
dividido entre os três investidores, proporcionalmente às quantidades investidas e aos tempos de 
investimento, então X, Y e Z deverão receber, respectivamente, R$ 6.000, R$ 6.300 e R$ 7.200. 
 
 
 
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20. (CESPE) Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a 
terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, o tanque 
ficará cheio em aproximadamente 13 horas e 33 minutos. 
 
 
 
21. (CESPE) Dois viajantes partem de duas cidades opostas, A e B, e vão ao encontro um do outro na mesma 
estrada. O que saiu de A anda 6 km por hora; o que saiu de B caminha à razão de 5,25 km/h e iniciou a 
viajem 
7
3
3
 horas antes do primeiro. Sabe-se que o encontro se deu na metade da estrada que liga as duas 
cidades. A distância, em quilômetros, entre as cidades A e B é igual a 290. 
 
 
 
 
 
Para fazer a reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas equipes de trabalhadores, 
propondo pagá-las proporcionalmente ao número de dias — homens que cada equipe empregaria na 
reforma. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6 
dias; a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da reforma, a empresa pagou R$ 
60.000,00 às duas equipes. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
 
22. (CESPE) A primeira equipe recebeu mais de R$ 40.000,00. 
 
 
 
 
23. (CESPE) Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a segunda equipe realizou menos 
de 20% do trabalho. 
 
 
 
 
24. (CESPE) Se a segunda equipe tivesse um homem a menos mas trabalhasse os mesmos 4 dias e se a 
quantiapaga a cada equipe fosse dividida igualmente entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da 
segunda equipe teria recebido R$ 2.500,00. 
 
 
 
25. (CESPE) Três torneiras X, Y e Z, abertas simultaneamente, enchem um tanque em três horas. Cada uma das 
torneiras tem vazão constante e, sozinhas, encheriam o tanque em x horas, 8 horas e 6 horas, 
respectivamente. Nessas condições, o valor de x será 24. 
 
 
 
 
26. (CESPE) Uma expedição científica, acampada em um lugar isolado e composta por um determinado número 
de pessoas, tinha mantimentos para 70 dias que era o tempo de duração da expedição. Após 38 dias, a 
expedição encontrou 20 homens que se encontravam perdidos e, por conseguinte, em virtude dos 
mantimentos, a expedição retornou com 8 dias de antecedência. Admitindo-se que a quantidade de 
mantimentos consumidos pelos novos componentes é proporcional à dos que já se encontravam acampados, 
o número de pessoas que compunham a expedição inicialmente é superior a 62. 
 
 
 
 
27. (CESPE) Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um paciente se submeteu, tenha sido 
igual a 125 mg/dL. Nessa situação, se o resultado do LDL fosse fornecido em g/L, o novo valor seria igual a 
1,25. 
 
 
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Uma extensa região de cerrado é monitorada por 20 fiscais do IBAMA para evitar a ação de carvoeiros 
ilegais. Dessa região, a vegetação de 87 km2 foi completamente arrancada e transformada ilegalmente em 
carvão vegetal. Os 20 fiscais, trabalhando 8 horas por dia, conseguem monitorar toda a região em 7 dias. 
 
A partir dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes, considerando que os 20 fiscais são 
igualmente eficientes. 
 
28. (CESPE) Se o IBAMA ceder mais 45 fiscais igualmente eficientes aos outros 20, toda a região poderá ser 
monitorada em dois dias, mantendo-se a jornada de oito horas de trabalho. 
 
 
 
 
29. (CESPE) Para monitorar toda a região com 16 fiscais em 5 dias, a jornada de trabalho de cada fiscal deverá 
ser de, no mínimo, 14 horas. 
 
 
 
 
30. (CESPE) Se a parte devastada por carvoeiros ilegais corresponder a 15% da área da referida região, então a 
região tem mais de 575 km2 de área. 
 
 
 
 
 
Suponha que determinado servidor público esteja revisando um texto de 10 páginas e que cada página 
contenha 36 linhas completamente digitadas. Considere ainda que, ao revisar o texto, o servidor encontre 
em média um erro tipográfico a cada 4 linhas revisadas. Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
 
31. (CESPE) Se, ao revisar determinada página, o servidor encontrar um erro tipográfico em cada uma das 6 
primeiras linhas revisadas, é correto afirmar que apenas 10% das linhas restantes conterá erros tipográficos. 
 
 
 
 
32. (CESPE) Se cada página desse texto fosse reduzida a 30 linhas, ele passaria a ter 12 páginas no total. 
 
 
 
 
 
Considere que a função de determinado servidor público seja receber e distribuir as correspondências que 
chegam ao órgão em que ele trabalha entre as 20 seções ali existentes. Considere, ainda, que, 
diariamente, cheguem ao órgão no mínimo 80 e no máximo 135 correspondências, recebidas pelo servidor 
apenas em dias úteis. Em relação a essa situação hipotética, julgue os próximos itens. 
 
33. (CESPE) Considere que o total de correspondências recebidas pelo órgão, em determinado dia, tenha sido 
igual a 125 unidades e que 40% desse total tenham sido destinados às seções A, B e C. Considere ainda que 
a quantidade de correspondências destinadas à seção A tenha sido duas unidades menor do que o total 
recebido conjuntamente pelas seções B e C e que a quantidade destinada a B tenha sido igual à destinada a 
C. Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade de unidades destinada à seção A foi inferior a 25. 
 
 
 
 
34. (CESPE) Se todas as 20 seções receberem, mensalmente, a mesma quantidade de correspondências, é 
correto afirmar que, em um mês com 22 dias úteis, cada seção receberá uma quantidade superior a 85 e 
inferior a 150 correspondências. 
 
 
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Na central de telefonia (call center) de determinada empresa, 8 telefonistas, com jornada de trabalho de 6 
horas, atendem a 400 ligações de clientes. Sabendo que os telefonistas dessa central são igualmente 
eficientes, julgue os itens seguintes. 
 
35. (CESPE) Se, após treinamento, os 8 telefonistas passarem a atender os 400 clientes em 5 horas, então o 
tempo de atendimento de cada cliente diminuirá em mais de 15%. 
 
 
 
36. (CESPE) Se, em determinado dia, apenas 7 telefonistas comparecerem à central, então, nas 3 primeiras 
horas de trabalho, serão atendidos menos de 150 clientes. 
 
 
 
 
37. (CESPE) Caso a empresa, desejando atender o triplo de clientes, duplique a quantidade de telefonistas, 
todos com a mesma eficiência dos 8 iniciais, e aumente a quantidade de horas trabalhadas diariamente, a 
jornada de trabalho será aumentada em 50%. 
 
 
 
 
38. (CESPE) Se a empresa diminuir a jornada de trabalho de cada telefonista para 4 horas, então, para manter o 
mesmo nível de atendimento, serão necessários mais 4 telefonistas com a mesma eficiência das demais. 
 
 
 
 
 
39. (CESPE) Seis mulheres e quatro homens aguardam em uma sala de espera de um ambulatório para serem 
atendidos. A probabilidade de o primeiro paciente atendido ser mulher e de, após a saída desta, o segundo 
paciente atendido também ser mulher é igual a 
3
1
 
 
 
 
 
 
Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de 
extensão em 30 dias, julgue os próximos itens. 
 
40. (CESPE) Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 
operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias 
no prazo de conclusão da obra. 
 
 
 
41. (CESPE) Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda 
equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então 
a estrada será concluída em menos de 
5
1
 do tempo inicialmente previsto. 
 
 
 
42. (CESPE) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 
8
5
 
foram entregues pela manhã, 
5
1
 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a 
quantidade de correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a 65. 
 
 
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A PMDF está disponibilizando à Diretoria de Assistência, Urgências e Emergências da Secretaria de Saúde 
do DF uma equipe de médicos e de técnicos para a prevenção da pandemia de gripe H1N1. A equipe, 
formada por 20 profissionais da saúde, trabalha desde o dia 24 de agosto, de segunda a sexta-feira, das 14 
h às 19 h. 
Internet: <www.pmdf.df.gov.br> (com adaptações). 
 
Com base nas informações apresentadas no texto acima e considerando que cada profissional da equipe 
trabalhe com a mesma eficiência e que a equipe atendaa 300 pacientes por dia, julgue os itens a seguir. 
 
43. (CESPE) Para atender semanalmente a 1.800 pacientes, o regime de trabalho da equipe deverá ser superior 
a 8 h por dia. 
 
 
 
 
44. (CESPE) Caso se torne necessário fazer 1.200 atendimentos diários, com uma jornada de trabalho de 8 h, a 
equipe terá de contar com mais de 60 profissionais. 
 
 
 
 
45. (CESPE) Se 5 profissionais deixassem a equipe, então o número de atendimentos diários seria reduzido em 
25%. 
 
 
 
 
 
João e Manoel compraram, em sociedade, R$ 10.500,00 em ações, sendo que João investiu R$ 6.000,00 e 
Manoel, o restante. Após 6 meses, eles venderam as ações adquiridas por R$ 16.100,00, dividindo a 
quantia obtida proporcionalmente, de acordo com a participação de cada um na compra das ações. Com 
base nesses dados, julgue os itens subsequentes. 
 
46. (CESPE) Com a venda das ações, Manoel recebeu o valor bruto de R$ 8.050,00. 
 
 
 
 
47. (CESPE) O lucro de João foi superior a 50% do valor investido por ele. 
 
 
 
 
48. (CESPE) Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos, enquanto seu auxiliar realiza o 
mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando juntos, regularão 3 automóveis do mesmo modelo X em 30 min. 
 
 
 
49. (CESPE) Uma torneira enche um tanque em 6 horas, uma segunda torneira enche em 3 horas e uma válvula 
de escape seca o tanque em 12 horas. Se as duas torneiras e a válvula forem abertas no mesmo instante, 
em 2 horas e 24 minutos o tanque ficará cheio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um 
evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe é capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. Com base 
nessas informações e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente 
e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 
 
50. (CESPE) Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do lixo. 
 
 
 
 
51. (CESPE) Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos, serão necessários 10 garis dessa equipe. 
 
 
 
 
52. (CESPE) Uma empresa foi contratada para reformar as arquibancadas de um estádio de futebol em um prazo 
de 100 dias. Para cumprir o contrato, seriam necessários 20 homens trabalhando 8 horas por dia. Contudo, 
10 dias após o início da empreitada, os trabalhos foram interrompidos durante 30 dias em razão de fortes 
chuvas. Nas condições descritas na situação hipotética acima, o número de homens necessários para 
concluir a obra no prazo estipulado pelo contrato, trabalhando 10 horas por dia, com a mesma eficiência dos 
que trabalharam no início da empreitada, é igual a 24. 
 
 
 
 
 
 
Considere que, para a reforma das salas de aula de uma escola, sejam necessários 18 operários 
trabalhando 8 horas por dia durante 20 dias úteis. Com base nessa situação hipotética e considerando as 
possíveis reduções no prazo dessa reforma, julgue os itens a seguir. 
 
53. (CESPE) Para a conclusão das obras em 15 dias úteis, mantendo-se o regime de trabalho de 8 horas diárias, 
a quantidade adicional de operários que deve ser contratada é inferior a 7. 
 
 
 
54. (CESPE) Considerando que não haja possibilidade de novas contratações e que a reforma deva ser 
concluída em 16 dias úteis, então, nesse caso, cada operário deverá trabalhar 1 hora extra por dia. 
 
 
 
55. (CESPE) Antônio demora 1 hora e 30 min para pintar 10m2 de parede, enquanto seu auxiliar Baltazar demora 
3 horas para executar o mesmo serviço. 2 horas é o tempo necessário gasto para que os dois juntos pintem 
20m2 de parede. 
 
 
 
56. (CESPE) O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel aplicou na 
empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. A quantia que, 
respectivamente, coube a cada um deles foi igual a R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00. 
 
 
 
57. (CESPE) Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários igualmente eficientes 
atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, com a mesma eficiência dos 
primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 pessoas serão atendidas em 27 minutos. 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 
| MÓDULO 1| Prof. Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
20 
 
OS: 0050/9/18-Gil 
Em uma agência bancária, os clientes são atendidos da seguinte maneira: todos os clientes a serem 
atendidos em determinado dia comparecem à agência no período compreendido entre 10 horas da manhã 
e meio-dia; ao chegar à agência, o cliente recebe uma senha para o posterior atendimento, que 
corresponde à sua ordem de chegada, ou seja, o primeiro cliente a chegar à agência recebe a senha 1, o 
segundo recebe a senha 2, e assim por diante; ao meio-dia, quando é encerrada a distribuição de senhas, 
os clientes que as receberam começam a ser atendidos, na ordem estabelecida por elas, ou seja, na ordem 
de chegada do cliente à agência, no horário entre 10 horas e meio-dia. Depois que o atendimento 
efetivamente começa, o tempo que um cliente espera para ser atendido é diretamente proporcional ao 
número de clientes que chegaram antes dele e inversamente proporcional ao número de atendentes. 
 
Durante o mês de janeiro de 2014, essa agência trabalhou diariamente com um quadro de 10 atendentes, 
que levaram exatos 15 minutos para atender 25 clientes. No dia 30/1/2014, 200 clientes foram atendidos 
nessa agência, ao passo que, no dia 31/1/2014, esse número subiu para 800 clientes. Preocupado com 
essa situação e prevendo que a quantidade de clientes que procurariam a agência no dia 3/2/2014 seria 
ainda maior, o gerente decidiu que, durante o mês de fevereiro, o número de atendentes cresceria em 20% 
em relação ao número de atendentes de janeiro, assegurando que o nível de eficiência dos novos 
atendentes fosse idêntico ao nível dos que já estavam atuando. Sua decisão foi implementada já em 
3/2/2014. 
 
Com base nas informações do texto acima, julgue os itens seguintes. 
 
58. (CESPE) O tempo de espera de 26o cliente que compareceu à agência no dia 31/1/2014 aumentou em 
relação ao tempo de espera do 26o cliente que compareceu à agência no dia 30/1/2014. 
 
 
 
59. (CESPE) O tempo de espera do 60o cliente que compareceu à agência no dia 3/2/2014 diminuiu em relação 
ao tempo de espera do 60o cliente que compareceu à agência no dia 30/1/2014. 
 
 
 
 
60. (CESPE) No dia 30/1/2014, o 61o cliente que compareceu à agência foi atendido depois das 12 h 35 min. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
C C C E C E E C E E 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C C E C E C E C C E 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
E C E C C E C E C C 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C C C C C E C C C E 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
E E E E C E C E C C 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
C C C E C E C E C C