Capitulo 3 - Estrutura cristalina 2

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ESTRUTURA CRISTALINAESTRUTURA CRISTALINA
Direções e Planos Direções e Planos 
nos cristaisnos cristais
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE MATERIAIS
DISCIPLINA DE CIÊNCIA DOS MATERIAIS
nos cristaisnos cristais
PROFA. DRA. LISETE CRISTINE SCIENZA
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CAPÍTULO 3: ESTRUTURA CRISTALINA
33--1 1 INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
33--2 2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOSORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS
33--3 3 CÉLULAS UNITÁRIASCÉLULAS UNITÁRIAS
33--4 4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALDIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
2
33--4 4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALDIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
33--5 5 METAISMETAIS
33--6 6 CRISTAIS CRISTAIS IÔNICOS E CRISTAIS COVALENTESIÔNICOS E CRISTAIS COVALENTES
33--7 CERÂMICAS E POLÍMEROS7 CERÂMICAS E POLÍMEROS
33--8 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO8 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO
33--9 9 DIFUSÃODIFUSÃO
33--10 DIFRAÇÃO DE RAIOS X10 DIFRAÇÃO DE RAIOS X
�As propriedades de muitos materiais são 
direcionais, por exemplo o módulo de elasticidade 
do Fe CCC é maior na diagonal do cubo que na 
direção da aresta.
�Algumas direções da célula unitária são de 
particular importância, por exemplo os metais se 
deformam ao longo da direção de maior 
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deformam ao longo da direção de maior 
empacotamento.
�Algumas propriedades dos materiais dependem 
da direção do cristal em que se encontram e são 
medidas.
As diferentes distâncias
interatômicas das diferentes
direções resultam em diferentes
respostas do material ao estímulo
externo.
Certas propriedades dependem das
4
Certas propriedades dependem das
direções cristalinas em que são
medidas, como o índice de refração
e o módulo de elasticidade.
A dependência que as propriedades
exibem com a direção cristalina em
que são medidas dá-se o nome de
anisotropia.
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
CoordenadasCoordenadas dosdos pontospontos
⇒⇒ Pode-se localizar os pontos das 
posições atômicas da célula unitária 
cristalina construindo-se um sistema 
de eixos coordenados.
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Direções Cristalinas
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� a, b e c definem os eixos de um sistema de coordenadas em 
3D. Qualquer direção do sistema de coordenadas pode ser 
especificada através de dois pontos: 
� um deles sempre é tomado como sendo a origem do sistema 
de coordenadas, (0,0,0) por convenção; 
� o outro, é o primeiro ponto do cristal, (u,v,w), que você 
alcançaria caso estivesse andando na direção especificada 
a partir de (0,0,0). 
Origem do sistema de coordenadas 
A escolha de uma origem é arbitrária, uma vez que cada ponto do 
reticulado cristalino é idêntico. 
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reticulado cristalino é idêntico. 
A designação de pontos, direções e planos específicos fixados no 
espaço absoluto serão alterados caso a origem seja mudada, MAS ...
Todas as designações serão auto consistentes se partirem da origem 
como uma referência absoluta. 
Exemplo: Dada uma origem qualquer, haverá sempre uma direção 
[110] definida univocamente, e [110] sempre fará exatamente o 
mesmo ângulo com a direção [100].
Escolha dos eixos coordenados 
Sempre que possível, escolhe-se como sistema de referência o 
cartesiano (i.e., o sistema convencional de coordenadas x,y,z). 
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cartesiano (i.e., o sistema convencional de coordenadas x,y,z). 
Porém, quando estamos lidando com cristais e suas 
propriedades, é melhor deixar o próprio reticulado espacial 
definir o sistema de coordenadas mais apropriado para ele, em 
função dos eixos cristalinos. 
Os eixos podem não ser perpendiculares entre si, bem como 
as unidades para cada eixo, que podem ser diferentes (se 
os parâmetros de rede forem diferentes).
⇒⇒ Algumas direções da célula unitária são de particular 
importância, por exemplo os metais se deformam ao longo 
da direção de maior empacotamento atômico.
⇒⇒ Algumas propriedades dos materiais dependem da 
Índices de Miller 
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direção do cristal em que se encontram e são medidas.
⇒⇒ Os índices de Miller das direções são usados para 
descrever estas direções.
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Direções cristalina
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ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES:
1. Definir dois pontos por onde passa a direção
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre colchetes, e se houver um valor negativo o 
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sinal será colocado sobre o número.
[h k l][h k l]
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária -- ExemploExemplo
Determine Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura abaixo.os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura abaixo.
Direção A:
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 0, 0
3. sem frações
4. [1 0 0] Direção B:1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 1, 1
3. sem frações
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3. sem frações
4. [1 1 1]
Direção C:
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0
2. alvo - origem = -1/2, -1, 1
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2
4. [1 2 2]
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
⇒⇒ Algumas observações:
- direção e suas múltiplas são idênticas [111] ≡ [222];
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem 
mesma simetria.
Exemplo para 
simetria cúbica:
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Para o sistema cúbico:
A simetria da estrutura permite que as direções 
equivalentes sejam agrupadas: 
Família de direções:
<100> para as faces
<110> para as diagonais das faces
<111> para a diagonal do cubo
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CCC
Família de direções <111> 
empacotamento 
atômico fechado
CFC
Família de direções <110> 
empacotamento 
atômico fechado
DENSIDADEDENSIDADE LINEARLINEAR
⇒⇒ Outra maneira de caracterizar as direções é através da 
distância de repetição, fator de empacotamento e densidade 
linear.
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento. átomos/Å
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ρρLL = número de átomos= número de átomos
unidade de comprimentounidade de comprimento
Exemplo: Exemplo: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o 
potássio.potássio.
Dados: K - CCC
r - 0,2312 nm
ρL = n° átomos
unid comprimento
ρL = 1/2 + 1/2
ao
ao= 4r/31/2
ρL = 0,187 átomos/A
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DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: 
FATOR DE EMPACOTAMENTO 
LINEAR: É o quanto da direção está 
definitivamente coberta por átomos.
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: 
De quanto em quanto se 
repete o centro de um átomo. 
É o inverso da densidade 
linear.
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Exemplo: Exemplo: Calcule a distância de repetição, densidade Calcule a distância de repetição, densidade 
linear e o fator de empacotamento para a direção linear e o fator de empacotamento para a direção [1 [1 1 1] 1 1] 
do Cu CFC. (ado Cu CFC. (aoo=3,6151 =3,6151 ÅÅ))
Distância de repetição 
o centro do átomo se repete o centro do átomo se repete 
a cada diagonal do cubo
Dr = a0 31/2
Dr = 3,6151.10-8 *31/2
Dr = 6,262.10-8 cm
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Densidade linear rL
rL = 1/ Dr = 1/ 6,262 10-8
rL = 1,597 107 
átomos/cm
Fator de 
empacotamento FE
FE = 2r/ Dcubo = 0,408
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A clivagem de certos minerais ocorre em 
determinados planos atômicos. 
A supercondutividade elétrica de certas 
fases cristalina existe em certos planos 
cristalinos. 
São os planos cristalinos que emitem os 
PLANOS CRISTALINOS
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São os planos cristalinos que emitem os 
sinais na técnica de difração de Raios X, 
largamente empregada na investigação de 
materiais. 
A plasticidade dos metais está relacionada 
ao movimento de defeitos cristalinos, as 
discordâncias, em planos cristalinos 
preferenciais. 
Isto justifica o estudo dos planos cristalinos. 
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS
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ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS
�Os planos cristalográficossão 
representados por três 
índices de Miller (hkl) 
(exceção hexagonal)
� Representação vetorial 
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� Representação vetorial 
simbólica da orientação de 
planos atômicos no retículo 
cristalino
� São o inverso dos interceptos 
fracionais que o plano faz com 
os eixos cristalográficos
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z.
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos.
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre parênteses, e se houver número 4. Escrever entre parênteses, e se houver número 
negativo o sinal é colocado sobre este número.
OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a.
(h k l)(h k l)
x y z 
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Exemplo: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C 
da figura abaixo.
Plano A:
1. 1 1 1
2. 1/1 1/1 1/1
3. Não tem frações
4. (1 1 1)
Plano B:
1. 1 2 ∞
2. 1/1 1/2 1/∞
3. 2 1 0
4. (2 1 0)
Plano C: passa pela 
origem, então:
* (x’, y’, z’)
1. ∞ -1 ∞
2. 1/ ∞ 1/-1 1/∞
3. 0 -1 0
4. (0 1 0)
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EXERCÍCIO
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DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento.
ρρPP = número de átomos no plano= número de átomos no plano
área do planoárea do plano
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está 
efetivamente coberta por átomos.
FEFEPP = área dos átomos= área dos átomos
área do planoárea do plano
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DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com 
mesmos índices de Miller.
D D (h, k, l)(h, k, l) = = aa00
(h(h22 + k+ k22 + l+ l22))1/21/2
Para o 
sistema 
cúbico
d (110) = a
(12 + 12 + 02)1/2(12 + 12 + 02)1/2
d (110) = a
21/2
Ou, geometricamente:
d = dface = a 2
1/2
2 2
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Exemplo: Calcule a densidade planar e o fator de
empacotamento planar para os planos (0 1 0) e (0 2 0), para o
sistema cúbico simples do polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
ρplanar = n° átomos
área(010)
(020)
ρplanar (0 2 0) = zero
FEplanar (0 2 0) = zero
ρplanar (0 1 0) = 1 átomo = 8,96 1014 átomos/cm2
ao2
FEplanar = área de átomos por face
área da face
FEplanar (0 1 0) = 1 átomo (pir2)= 0,79
ao2 31
Exemplo: Calcule a distância interplanar entre dois planos 
adjacentes (1 1 1) no ouro, que tem a0 = 4,0786 Å.
d (h, k, l) = a0
(h2 + k2 + l2)1/2
d (h, k, l) = 4,0786 Å = 2,355 Å
(12 + 12 + 12)1/2
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Família de planos: Família de planos: em cada célula unitária os planos 
formam um grupo equivalente que tem índices particulares 
devido a orientação de suas coordenadas. 
Exemplo: Exemplo: planos da família {1 1 0}
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
33
34
FAMÍLIA DE PLANOS {110} É PARALELO A UM EIXO
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FAMÍLIA DE PLANOS {111} =� intercepta os 3 eixos
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⇒⇒ A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos 
tenham o mesmo arranjo e densidade atômica.
⇒⇒ Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos
Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e 
direções de maior densidade atômica
CCC
Família de planos {110}:
maior densidade atômica
CFC
Família de planos {111}:
maior densidade atômica
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ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
⇒⇒ Chamados índices de Miller Bravais, devido à modificação em relação ao 
sistema cristalino
⇒⇒ Estabelece-se 4 eixos, 3 coplanares
⇒⇒ Tem-se 4 interseções e 4 índices de Miller
Índices de Miller Bravais: h k i lh k i l
onde: h + k = h + k = --ii
⇒⇒ Similar aos índices de Miller para plano da estrutura cristalina cúbica, 
determina-se os Índices de Miller Bravais.
Para direções: [[u’vu’v’w’’w’]=[]=[u v t wu v t w]] onde onde uu= = nn (2(2u’u’--v’v’)/3 )/3 vv= = n n (2(2v’v’--u’u’)/3 )/3 
tt= = --((uu + + vv) ) ww= = nwnw’’
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ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
⇒⇒ Direções na célula unitária 
hexagonal
[h k i l][h k i l]
⇒⇒ Eixos: a1 a2 a3 c
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ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
Exemplo: Determine os índices de Miller para os planos A e B 
e para as direções C e D
Plano A:
1. ∞ ∞ ∞ 1
2. 1/ ∞ 1/ ∞ 1/ ∞ 1/1
3. 0 0 0 1
4. (0 0 0 1) ou (0 0 1)
Plano B:Plano B:
1. 1 1 -1/2 1
2. 1/1 1/1 -2/1 1/1
3. 1 1 -2 1
4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1)
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33..44..44 ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
Direção C:
1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 0
2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1
3. sem frações
4. [1 0 01]
Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e DExemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e D
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Direção D:
1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 0
2. alvo - origem = -1, 1, 0, 0
3. sem frações
4. [1 1 0 0]
PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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PLANOS CRISTALINOS INTERATIVAMENTE 
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Algumas generalizações
- Iguais Índices de Miller para direção 
e plano, significa que estes 
apresentam perpendicularidade.
Exemplo: (1 0 0) ⊥ [1 0 0]
- Índices de Miller simétricos são o - Índices de Miller simétricos são o 
mesmo plano, depende apenas do 
referencial (planos e seus negativos 
são idênticos). 
Exemplo: (0 2 0) ≡ (0 2 0)
- Planos e seus múltiplos não são 
idênticos (densidade planar 
diferente).
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Porque os planos atômicos são importantes?
• para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo
deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os
outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer
preferencialmente ao longo de planos e direções específicos
do cristal.
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Porque os planos atômicos são importantes? 
• para as propriedades de transporte 
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados 
planos causa o transporte de elétrons e/ou acelera a 
condução nestes planos, e reduz a velocidade em planos 
distantes destes. 
Exemplo 1: Grafite 
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos 
covalentemente sp2 do que nas direções perpendiculares a covalentemente sp2 do que nas direções perpendiculares a 
esses planos. 
Exemplo 2: Supercondutores a base de YBa2Cu3O7
Alguns planos contêm somente Cu e O. Estes planos 
conduzem pares de elétrons (chamados pares de cobre) que 
são os responsáveis pela supercondutividade. Estes 
supercondutores são eletricamente isolantes em direções 
perpendiculares as dos planos Cu-O. 59
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MONOCRISTAIS
Quando o arranjo periódico e repedido da amostra é perfeito 
ou se estende ao longo da totalidade da amostra, sem 
interrupção.
Os monocristais existem na natureza ou podem ser 
produzidos artificialmente.
A forma é um indicativo da estrutura cristalina (faces planas).
61
61
MATERIAIS MONOCRISTALINOS
62
63
64
POLICRISTAIS
A maioria dos sólidos cristalinos é composta por uma coleção 
de muitos cristais pequenos ou grãos.
Os monocristais ou grãos possuem orientação aleatória e 
crescem mediante adição sucessiva de átomos.
Há contorno de grão (região onde 2 grãos se encontram), com 
má combinaçãoatômica.
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A formação de um sólido cristalino através do resfriamento de um
líquido ocorre com a formação de núcleos de cristais e seu posterior
crescimento independentemente uns dos outros. À medida que os
cristais crescem, o volume do líquido diminui e os diferentes cristais
se aproximam.
Cada cristal que cresce tem uma orientação diferente de sua
estrutura cristalina. Depois de completamente solidificado, o sólido é
formado pelos cristais crescidos com diferentes orientações que se
encaixam em um arranjo tridimensional, ocupando totalmente o
66
encaixam em um arranjo tridimensional, ocupando totalmente o
espaço. Cada um destes cristais é chamado de grão e o material é
dito ser policristalino.
ANISOTROPIA
As propriedades físicas dos monocristais de algumas
substâncias dependem da direção cristalográfica na qual as 
medições são tomadas. Por exemplo, o módulo de 
elasticidade, a condutividade elétrica e o índice de refração
podem ter valores diferentes nas direções [100] e [111]. 
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podem ter valores diferentes nas direções [100] e [111]. 
Esta direcionalidade das propriedades é conhecida como
ANISOTROPIA.
As substâncias nas quais as propriedades medidas são
independentes da direção são conhecidas como
ISOTRÓPICAS.
REFERÊNCIAS
CALLISTER, W. D. Ciência e Engenharia de 
Materiais (Cap. 3 – A estrutura de sólidos 
cristalinos)
ASKELAND, D. R.; PHULÉ, P. P. Ciência e 
Engenharia dos Materiais (Cap.3 – Arranjos 
68
Engenharia dos Materiais (Cap.3 – Arranjos 
atômicos e iônicos)
SHACKELFORD, J. F. Ciência dos Materiais (Cap. 
3 – Estrutura cristalina – perfeição)
ASKELAND, D. R.; WRIGHT, W. J. Ciência e 
Engenharia dos Materiais (Cap.3 – Arranjos 
atômicos e iônicos)