05 func3a7c3a3o

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Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
1
PRODUTO CARTESIANO 
 
 Dados dois conjuntos não vazios, A e 
B, chama-se produto cartesiano de A por B, 
e indica-se A x B, ao conjunto cujos elemen-
tos são todos os pares ordenados que têm 
por abscissa um elemento de A e por orde-
nada um elemento de B, ou seja: 
}ByeAx/)y,x{(BA ∈∈=× 
NOTA: 
� Se A ou B for vazio, diremos que o produ-
to cartesiano A x B = ∅. 
� Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A. 
� Podemos representar A x B por 2A . 
� Se A possui m elementos e B possui n 
elementos, então A x B terá nm ⋅ ele-
mentos. 
 
 Veja que é possível fazer a represen-
tação gráfica do produto cartesiano. Como o 
produto cartesiano de A x B é um conjunto 
de pares ordenados chamaremos de gráfico 
de A x B ao conjunto dos pontos do plano 
cartesiano associados a esses pares orde-
nados. 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Seja A = {−1, 0, 2} e B = {2, 3}, calcular: 
a) BA × 
b) AB × 
c) 2A 
d) 2B 
 
Questão 02 
Dados A = {1, 2, 3} e B = {−5, 5}, determine: 
a) A x B 
b) B x A 
 
Questão 03 
Dados A = {−1, 1, 2} e B = { 0, 1}, determine 
A x B. 
 
Questão 04 
Um conjunto A possui 5 elementos e um 
conjunto b tem 6 elementos. Calcule o nú-
mero de elementos de cada um dos seguin-
tes conjuntos: 
a) BA × b) 2A c) 2B 
 
Questão 05 
Para os conjuntos A e B temos que o núme-
ro de elementos de A é 3 e que o número de 
elementos de B é 2. 
Sabendo que A ∩ B = {2}, que (3, 4) ∈ A x B 
e ainda que A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, ache A e B. 
 
Questão 06 
Sabendo que a e B são dois conjuntos tais 
que: 
1. (1, 7) e (5, 3) são elementos de A x B; 
2. A ∩ B = {1, 3} 
 
Podemos afirmar com toda segurança que: 
a) A x B tem 8 elementos 
b) A x B tem mais de 8 elementos 
c) A x B tem pelo menos 8 elementos 
d) A x B não pode ter 9 elementos 
e) Nada se pode afirmar sobre o número de 
elementos de A x B 
 
Questão 07 
Marque a única opção falsa: 
a) se p)A(n = , então 22 p)A(n = 
b) se )AB(n)BA(n ×=× , então 
ABBA ×=× 
c) se A = B, então A x B = B x A 
d) se x)A(n = e y)B(n = , então 
yx)BA(n ⋅=× 
 
Questão 08 
Se A = {1, 2, 6, 9} e B = {1, 6}, quantos ele-
mentos tem o conjunto BC)BA( A×∩ ? 
 
Questão 09 
Se o conjunto A possui 2 elementos e o con-
junto B possui 3 elementos, então o conjunto 
P(A x B) possui: 
a) 64 elementos 
b) 32 elementos 
c) 256 elementos 
d) 16 elementos 
e) 6 elementos 
 
Questão 10 
Sendo [ ]3,1A = e B = {4}, representar no 
plano cartesiano, o gráfico de: 
a) A x B b) B x A 
 
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2
Questão 11 
Dados os conjuntos [ ]2,3A −= e B ={4}, 
represente no plano cartesiano: 
a) A x B 
b) B x A 
c) 2A 
 
Questão 12 
Dados os conjuntos [ ]3,1A −= e [ )5,2B = 
represente no plano cartesiano: 
a) 2A 
b) A x B 
c) B x A 
 
Questão 13 
Dados ] ]8,4A = e ] ]5,3B = , represente 
no plano cartesiano: 
a) A x B 
b) B x A 
c) 2B 
 
Questão 14 
Dados [ [6,3A = e B = {1, 2, 3}, represente 
no plano cartesiano: 
a) A x B 
b) B x A 
 
 
Questão 15 
Represente no plano cartesiano o gráfico de 
IR x {1}. 
 
 
Questão 16 
O gráfico do produto cartesiano R x Z é for-
mado por: 
a) uma faixa 
b) uma reta 
c) infinitas retas paralelas ao eixo x 
d) infinitas retas paralelas ao eixo y 
e) duas retas concorrentes 
 
 
Questão 17 
O gráfico do produto 2IRIRIR =× é: 
a) uma reta 
b) todo o plano cartesiano 
c) três retas 
d) o conjunto formado pelos eixos x e y 
e) duas retas perpendiculares 
 
Questão 18 
Se [ ]1,1A −= e [ ]3,1B = , então o gráfico 
de A x B é: 
a) uma faixa vertical 
b) um conjunto de quatro pontos 
c) uma região quadrada 
d) uma região retangular não quadrada 
e) a reunião de duas retas horizontais 
 
Questão 19 
Sendo [ )∞+= ,2A e [ )∞+= ,3B , então o 
gráfico de A x B é: 
a) uma faixa de pontos paralela ao eixo y 
b) uma região retangular 
c) uma faixa de pontos paralela ao eixo x 
d) uma região angular de abertura 90º 
e) a reunião de três segmentos de retas pa-
ralelas ao eixo y 
 
Questão 20 
Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer não 
vazios de um mesmo conjunto universo (U), 
então das sentenças abaixo, a que nunca é 
correta é: 
a) se A ≠ B, então A x B ≠ B x A 
b) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) 
c) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) 
d) A x (B x C) = (A x B) x C 
e) A x ∅ = ∅ x A = ∅ 
 
Questão 21 
Se }3x1/IRx{A ≤≤∈= e B = {3}, o produto 
cartesiano A x B graficamente será: 
 
 
 
y y 
y y 
x x 
x x 
3 
3 
3 
3 
3 
3 3 
3 
1 1 
1 1 2 2 
0 0 
0 0 
a) b) 
c) d) 
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3
Questão 32 
Sendo [ ]4,1A = e [ ]3,1B = intervalos re-
ais, a melhor representação do produto car-
tesiano A x B é: 
 
 
 
Questão 33 (PAES – UNIMONTES / 2000) 
Dados os conjuntos }4x3/IRx{A ≤≤−∈= 
e }3y2/IRy{B ≤<−∈= , a alternativa que 
representa A x B será: 
 
 
Questão 34 (UFMT) 
O gráfico do produto cartesiano A x B é for-
mado por 15 pontos distintos. Pode-se afir-
mar que: 
a) A não é um conjunto unitário 
b) A possui 3 elementos e B possui 5 
c) A é um conjunto de números inteiros 
d) A ≠ B 
e) A possui 15 elementos 
 
Questão 35 (UFES) 
Se A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4, 5}, então o 
número de elementos distintos do conjunto 
(A x B) ∪ (B x A) é: 
a) 4 
b) 8 
c) 12 
d) 20 
e) 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) y 
c) y 
b) y 
d) y 
0 1 4 0 1 4 
0 1 4 0 1 4 
3 
1 
3 
1 
3 
1 
3 
1 
x x 
x x 
a) b) 
c) d) 
y 
4 
−2 
−3 
3 x 
y 
3 
−2 
4 x −3 
y y 
x 
x 
3 
−3 
−2 −2 −3 
3 
4 
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4
RELAÇÃO 
 
Em linguagem comum, sentenças como: 
� x é irmão de y 
� x é primo de y 
� x é maior que y 
� x é paralelo a y 
são denominadas relações entre x e y 
 
Em linguagem matemática, as sentenças 
dadas são chamadas sentenças abertas de 
duas variáveis, ou seja, são afirmações que 
não sabemos se são verdadeiras ou falsas; 
elas se tornam verdadeiras ou falsas quando 
atribuímos valores a x e a y. 
 
Para conceituarmos, matematicamen-
te, uma relação, consideremos os conjuntos 
A = {2, 3, 5}, B = {1, 4, 6} e R o conjunto ver-
dade da sentença x > y, com x ∈ A e y ∈ B. 
Temos R = {(2, 1); (3, 1); (5, 1); (5, 4)}, que é 
um subconjunto de A x B. 
Observe que o conjunto R pode ser descrito 
como {(x, y) ∈ A x B / x > y}. Dizemos então, 
que R é relação de A em B definida por x > y 
com x em A e y em B. 
 Assim, podemos definir que: Relação 
de um conjunto A num conjunto B é todo 
subconjunto não vazio de A x B. 
 Em linguagem matemática, podemos 
dizer que: R é relação de A em B, se e so-
mente se: R ⊂ (A x B), R ≠ ∅. 
 
 
DOMÍNIO, CONJUNTO IMAGEM 
E 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
Seja R uma relação de A em B: 
� Domínio de R é um conjunto dos primei-
ros elementos dos pares pertencentes a 
R, que podemos representar por D(R). 
� Conjunto imagem de R é o conjunto dos 
segundos elementos dos pares perten-
centes a R, que vamos representar por 
Im(R). 
 
Sendo R um subconjunto de A x B, 
podemos representá-lo graficamente por di-
agrama de flechas e por meio do diagrama 
cartesiano.Questão resolvida 
Considerando os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3} e 
B = {−2, −1, 0, 1, 2}, determine a relação: 
R = {(x, y) ∈ A x B / y = x − 2} 
 
Resolução 
A lei que define a relação R é y = x − 2 
Formando todos os pares ordenados (x, y), 
tal que (x, x − 2), vamos encontrar a relação: 
R = {(0, −2); (1, −1); (2, 0); (3, 1)} 
 
Sua representação gráfica é: 
1. através de diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. através do plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: D (R) A = {0, 1, 2, 3} 
Contra-domínio: CD (R) B = {−2, −1, 0, 1, 2} 
Imagem: Im (R) {−2, −1, 0, 1} 
 
Dessa forma, dizemos que −2 é imagem do 
elemento 0, que −1 é imagem de 1, que 0 é 
imagem de 2, e que 1 é imagem de 3. Como 
o elemento 2 do conjunto B não está rela-
cionado com nenhum elemento de A, dize-
mos que 2 ∉ Im (R). 
 
 
 
0 
1 
2 
3 
−2 
−1 
2 
3 
2 
A B 
y 
x 
1 2 3 
1 
2 
−1 
−2 
0 
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5
QUESTÕES 
Questão 01 
Sejam A = {−4, −1, 4, 6}, B = {−3, −2, 0, 2, 3} 
e a relação R = {(a, b) ∈ A x B / a = 2b}. 
a) Determine R, D(R) e Im (R) 
b) Fazer os diagramas de flechas e cartesi-
ano 
 
Questão 02 
Sejam A = {−2, 0, 1, 3}, B = {−4, −1, 2} e a 
relação R = {(x, y) ∈ A x B / x < y}. 
a) Determine R, D(R) e Im (R) 
b) Fazer os diagramas de flechas e cartesi-
ano 
 
Questão 03 
Obter o gráfico cartesiano da relação defini-
da por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo 
que A = {1, 2, 3, 4, 5}. 
 
Questão 04 
Obter o gráfico cartesiano da relação defini-
da por R = {(x, y) ∈ A x A / x = y}, sabendo 
que [ ]5,1A = . 
 
Questão 05 
Obter o gráfico cartesiano da relação defini-
da por R = {(x, y) ∈ IR x IR / x = y}. 
 
Questão 06 
Sejam os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} e 
B = {−1, 0, 2, 5}, determine: 
a) }2xy/BA)y,x{(R +=×∈= 
b) D(R) e Im (R) 
 
Questão 07 
Sendo dados os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1} 
e B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine: 
a) }xy/BA)y,x{(R 21 =×∈= 
b) }5xy/BA)y,x{(R2 −=×∈= 
 
Questão 08 
Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, determine: 
a) }xy/A)y,x{(R 221 =∈= 
b) }xy/A)y,x{(R 22 =∈= 
c) }2xy/A)y,x{(R 23 −=∈= 
 
Questão 09 
Considere os conjuntos A = {x ∈ IN* / x ≤ 2} 
e B = {y ∈ IN / 2 ≤ y ≤ 4}. 
a) Determine }5xy/BA)y,x{(R −=×∈= 
b) Determine o domínio e a imagem de R 
c) Represente R no plano cartesiano e por 
meio de diagrama de flechas 
 
Questão 10 
Considere os conjuntos A = {0, 1, 4, 5, 9, 10} 
e B = { −2, 0, 2, 3, 4, 5, 8}. Se F é uma rela-
ção de A em B, que se define por 2xy += 
então o número de elementos de F é: 
a) 1 b) 4 c) 6 d) 16 e) 42 
 
Questão 11 
Observe o diagrama abaixo, que ilustra uma 
relação S do conjunto A = {1, 2, 3, 4} no con-
junto B = {−1, 2, 0, 7, 9}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marque a única afirmativa CORRETA: 
a) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {−1, 0} 
b) D(S) = {2, 4} e Im(S) = {2, 7, 9} 
c) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {2, 7, 9} 
d) D(S) = {1, 3} e Im(S) = {−1, 0} 
e) D(S) = A e Im(S) = B 
 
Questão 12 
Observe o gráfico de uma relação F de IR 
em IR. O domínio e o conjunto imagem de F 
são, respectivamente, os intervalos: 
 
 
 
 
 
 
 
a) [ ) ( ]1,1e2,1 −− 
b) ] [ [ )2,1e2,0 − 
c) [ ) ] [2,1e0,1 −− 
d) [ ] [ )2,0e1,1− 
e) IReIR 
4 
3 
2 
1 
A 
B 
2 
9 
7 
0 
−1 
y 
x 
2 
−1 
−1 
1 
0 
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6
FUNÇÃO 
 
 Consideremos um conjunto A de cri-
anças, que vamos supor filhos únicos, e B 
de homens, pais dessas crianças. Vamos 
estabelecer uma correspondência entre es-
ses conjuntos associando a cada criança o 
respectivo pai. 
 Como cada criança possui apenas um 
pai e cada homem é pai de apenas uma cri-
ança, essa correspondência pode ser visua-
lizada pelo diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que a todo elemento do con-
junto A está associado um único elemento 
do conjunto B. Correspondências como essa 
se chamam FUNÇÕES ou APLICAÇÕES. 
Assim, para definir uma função, precisamos 
de: 
1. Um conjunto A não vazio, denominado 
domínio da função; 
2. Um conjunto B não vazio, denominado 
contra-domínio da função; 
3. Uma regra (lei) que associa a todo ele-
mento do domínio, um único elemento do 
contra-domínio. 
 
De modo geral, as funções são designadas 
por f e para indicar uma função como a do 
exemplo dado, escreve-se: 
f: A → B, definida pela regra: filho → pai 
 
Portanto, podemos dizer que uma função f é 
a relação que associa a cada elemento de 
um conjunto A um único elemento do con-
junto B. 
Note que 



B em valores com
 Aem definida
 está função a 
e escrevemos f: A → B 
 
 
Onde: 
1. O conjunto de todos os elementos de B, 
associados aos elementos de A, pela 
função f, é chamado imagem de f. 
2. Se x é um elemento do domínio, a ima-
gem de x, pela função f, ou o valor de f 
no elemento x é indicado por f(x). 
3. Quando a imagem Im(f) é constituída 
somente de números, a função é chama-
da numérica. 
4. Convencionamos chamar o elemento ge-
nérico do domínio de x e sua imagem de 
y. Assim, podemos escrever: 4x3y −= 
ou 4x3)x(f −= 
 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Considerando os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} 
e B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10}, quais dos conjuntos 
a seguir são funções de A em B? 
a) F = {(−1, −3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)} 
b) E = {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)} 
c) H = {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)} 
d) K = {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)} 
e) N = {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)} 
 
 
Questão 02 
Considere A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. 
Assinale a única alternativa que define uma 
função de A em B. 
a) {(a, 1); (b, 3); (c, 2)} 
b) {(a, 3); (b, 1); (c, 5); (a, 1)} 
c) {(a, 1); (b, 1); (c, 1); (d, 1)} 
d) {(1, a); (2, b); (3, c); (4, d); (5, a)} 
 
 
Questão 03 
Verificar se a adição é uma função no con-
junto dos números naturais. 
 
 
Questão 04 
A subtração é função em IN? 
Em qual parte do conjunto IN ela é operação 
fechada? 
 
 
A 
(crianças) 
B 
(homens) 
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7
Questão 05 
Quais dos gráficos abaixo, constituem fun-
ção no intervalo [ ]5,1 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 
Através de um estudo sobre o consumo de 
energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à 
equação t400C ⋅= , em que C é o consumo 
em kwh e t é o tempo em dias. 
a) Qual o consumo de energia elétrica des-
sa fábrica em 8 dias? 
b) Quantos dias são necessários para que o 
consumo atinja 4.800 kwh? 
 
Questão 07 
Um fazendeiro estabelece o preço da saca 
de café em função da quantidade de sacas 
adquiridas pelo comprador através da equa-
ção 
x
20050p += , em que p é o preço em 
dólares e x é o número de sacas vendidas. 
a) Quanto deve pagar, por saca, um com-
prador que adquirir cem sacas? 
b) Quanto deve pagar, por saca, um com-
prador que adquirir duzentas sacas? 
c) Sabendo que um comprador pagou 50 
dólares por saca, quantos sacas ele 
comprou? 
 
Questão 08 
Considere os conjuntos A = {0, −1, 1, −3, 3} 
e B = {0, 3, 27, −3, −9, 1}. Quais das rela-
ções seguintes são funções de A em B? 
a) }x3y/BA)y,x({F 2=×∈= 
b) }xy/BA)y,x({G =×∈= 
c) }3yx/BA)y,x({H+>×∈= 
d) }3y/BA)y,x({R =×∈= 
 
Questão 09 
Considere os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} 
e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine o domínio, 
o contradomínio e o conjunto imagem da 
função }xy/BA)y,x({f 2=×∈= . 
 
Questão 10 
Uma pessoa quer desenhar um retângulo 
com uma área de 50 cm2. Indica por x e y as 
medidas dos lados do retângulo, em cm. Pa-
ra x, a pessoa pode escolher qualquer valor 
positivo. Escolhido o valor de x, calcula-se o 
valor de y para que a área seja de 50 cm2. 
Então a variável y depende de x. Escreva a 
lei de associação dessa função. 
 
 
y 
1 5 x 
a) 
y 
1 5 x 
b) 
x 5 
y 
1 
c) 
y 
1 5 x 
d) 
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8
CÁLCULO DE IMAGEM 
 
 Uma forma muito cômoda de definir 
uma função, dado o domínio A e o contra-
domínio B, é dar a lei de associação através 
de uma equação com duas variáveis (nor-
malmente x e y) em que a primeira variável 
(x), percorre o domínio e a segunda (y) per-
corre o contradomínio. 
 A variável x, que percorre o domínio 
chama-se variável independente, e a variá-
vel y que percorre o contradomínio, chama-
se variável dependente. Nessas condições, 
a imagem de um dado número x pela função 
f, constitui o valor da variável y para o dado 
valor da variável x. Podemos, portanto, cal-
cular a imagem a partir de uma equação da-
da. 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Se 3x5x3)x(f 2 +−= , calcule: 
a) f(2) 
b) f(−1) 
c) f(0) 
 
Questão 02 
Considere as funções f e g, definidas por 
5x3)x(f 2 −= e 1x4)x(g += , determine o 
valor de f(2) − g(−1). 
 
Questão 03 
Se 
1x
1x2)x(f
+
−
= , então f(1): 
a) não existe 
b) é 2 
c) é 
2
1
 
d) vale zero 
 
Questão 04 
Seja a função f dada por 1x2)x(f 3 −= . Nes-
sas condições f(0) +f(−1) + f(1) é igual a: 
a) −3 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
 
 
Questão 05 
Se 3x2x)x(f 2 −+−= , calcule: 
a) f( −2) 
b) f(x − 2) 
c) f(2x + 1) 
 
Questão 06 
Se 2x3)x(f += e ax2)x(g += , calcule “a” 
de modo que )2x3(g)4x2(f +=− . 
 
Questão 07 
Dadas ax3)x(f += e 2bx)x(g += , calcule a 
e b de modo que f(2) = 10 e g(−3) = 8. 
 
Questão 08 
Sendo as funções x2)x(f = e mx3)x(g += , 
determine m tal que 4)3(g)4(f =−+ . 
 
Questão 09 
Dada a função 12x4x)x(f 2 −−= , determine 
os valores reais de x para que se tenha: 
a) f(x) = −15 
b) f(x) = 0 
 
Questão 10 
Se bx3ax)x(f 2 +−= , calcule a e b sabendo 
que f(3) = 32 e f(−2) = 22. 
 
Questão 11 
Se 1nxmx)x(f 2 −+= , calcule m e n saben-
do que f(1) = 0 e f(2) = 7. 
 
Questão 12 
Se 1x5x3)x(f 2 +−= e 16x3x2)x(g 2 +−= , 
calcule x tal que f(x) = g(x). 
 
Questão 13 
Se 7x3)4x(f +=+ , calcule f(x). 
 
Questão 14 
Determine f(2), sendo 1x)3x(f −=− . 
 
Questão 15 
Dada a função 11x2)3x(f −=− , calcule f(3). 
 
Questão 16 
Se 20x18x4)3x2(f 2 +−=− , calcule f(x). 
 
 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
9
Questão 17 
Se 1
1
xx
xx)x(f
−
−
−
+
= , calcule )2(f 5,0 
 
 
Questão 18 
Se 2
2
xx
xx)x(f
−
−
+
−
= , calcule )2(f 4 
 
 
Questão 20 
Dados [ ]8,10A −= e [ ]100,0B = e a fun-
ção }40x3)x(f/BA))x(f,x({f +=×∈= , cal-
cule: 
a) )10(f − 
b) )2(f 
c) )0(f 
d) 





3
1f 
 
 
FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES 
 
 Uma função f pode ser definida por 
uma lei formada por mais de uma sentença. 
Num subconjunto D1 do domínio ela é dada 
por uma certa lei, em outro subconjunto D2 
ela é dada por outra lei, e assim por diante. 
 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Seja a função 





>
≤<−+
−≤−
=
2xse,4
2x2se,5x2
2xse,x3x
)x(f
2
, 
calcule f(1) − f(5) + f(−3). 
 
 
Questão 02 
Seja a função 





≥−−
<≤−+
−<+−
=
1xse,3x2x
1x3se,1x
3xse,1x3
)x(f
3
2
, 
calcule f(2) + f(−4) − f(−3) + f(−1). 
 
 
 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 
 Nem sempre uma dada equação, de-
fine uma função. Há que se examinar sem-
pre o domínio e o contradomínio. Numa fun-
ção real f, o domínio D é o maior subconjun-
to de IR, tal que a fórmula f(x) defina uma 
função. 
 
Questão 
Determinar o domínio de cada função: 
a) x)x(f = 
b) 6x3)x(f −= 
c) 
4x
2x3)x(f 2
−
−
= 
d) 8x2)x(f += 
e) 
6x3
1x2)x(f
−
+
= 
f) 
x2
6x3)x(f −= 
 
 
 
TIPOS DE FUNÇÃO 
 
1. Função injetora ou injetiva: uma função 
é injetora ou injetiva se, e somente se, 
elementos diferentes do domínio têm 
imagens diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que cada elemento do domí-
nio tem imagem única, exclusiva. Note que 
“a” é imagem única do elemento “1” e de 
mais nenhum outro, assim também, o ele-
mento “c” é imagem única de “2” e de mais 
ninguém e o elemento “d” é imagem única 
do elemento “3”. 
 
 
 
 
A B 
1 
2 
3 
a 
b 
c 
d 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
10
2. Função sobrejetora ou sobrejetiva: 
uma função é sobrejetora ou sobrejetiva 
se, e somente se, todo elemento do con-
tradomínio é imagem de algum elemento 
do domínio. 
Observe que 
nesse caso, todo 
elemento do con-
tradomínio é i-
magem de algum 
elemento do do-
mínio, ou seja, 
não está sobran-
do nenhum ele-
mento no contradomínio. 
 
 
3. Função bijetora ou bijetiva: uma função 
é bijetora ou bijetiva se, e somente se, é 
injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 Dessa vez, 
podemos perce-
ber que a função 
é injetora, pois 
todo elemento do 
contradomínio é 
imagem de algum 
elemento do do-
mínio e a função 
também é sobrejetora, pois não sobram e-
lementos no conjunto contradomínio. Logo, 
essa função será chamada de bijetora. 
 
 
4. Função qualquer: quando não for nem 
injetora, nem sobrejetora. 
 
 
Repare que 
nesse caso, a 
função não é in-
jetora, pois o e-
lemento “b” é 
imagem de “2” 
e também do 
“3”. Também não é sobrejetora, pois está 
sobrando o elemento “d” no conjunto contra-
domínio. 
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
 Sejam as funções f e g, de IR em IR, 
definidas por 1x)x(f += e 2x)x(g = , vamos 
calcular f(2) e g[f(2)]. 
 
f(2) = 3 e g[f(2)] = g[3] = 9 
 
Podemos observar que 3 é imagem de 2 pe-
la função f e 9 é imagem de 3 pela função g. 
 
 Assim, vamos considerar as funções 
f: A → B e g: B → C, temos que a função 
composta de g em f é a função gof: A → C, 
sendo gof(x) = g[f(x)] 
 
 
 
QUESTÕES 
 
 
Questão 01 
Dadas as funções 2x3)x(f −= , 1x)x(g 2 += 
e 3x2)x(h += , calcule: 
a) )x(fog 
b) )x(fohog 
c) )1(fohog − 
d) )2(hogof 
e) )1(gohof 
 
 
Questão 02 
Se 9x6)x(fog += e 5x2)x(f −= , calcule 
)x(g . 
 
 
Questão 03 
Se 1x12)x(fog += e 1x4)x(g += , calcule 
f(x). 
 
 
Questão 04 
Em relação à funções reais 
2x
1x)x(f
−
+
= com 
x ≠ 0 e 3x2)x(g += , obtenha o domínio da 
função gof(x). 
 
 
 
 
A B 
1 
2 
3 
a 
b 
c 4 
A B 
1 
2 
3 
a 
b 
c 
A B 
1 
2 
3 
a 
b 
c 
4 d 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
11
PRODUÇÃO DA FUNÇÃO IDENTIDADE 
ATRAVÉS DA OPERAÇÃO COMPOSIÇÃO 
 
Função inversa: seja f: A → B uma função. 
Se existir a função g: B → A, de forma que 
gof = idA e fog = idB, dizemos que g: B → A é 
a função inversa f: A → B. 
Obs.: Dadas duas funções bijetoras f e g, 
temos 111 ofg)fog( −−− = . 
 
Regraprática para obtenção da função 
inversa: Dada a função bijetora f definida 
por y = f(x), para obtermos a função inversa 
1f − , fazemos o seguinte: 
1. trocamos x por y e y por x; 
2. isolamos y 
 
QUESTÕES 
 
Questão 01 
Calcule as funções inversas de: 
a) 3x5)x(f −= 
b) x42y −= 
c) 2x3y += 
d) 3 1x2y += 
e) 1x)x(f 3 += 
f) 
5x
2x3)x(f
+
−
= 
g) 
1x3
2x4)x(f
+
−
= 
h) 
1x3
x2y
−
= 
 
Questão 02 
Determinar a inversa de 2x4x)x(f 2 +−= , 
sabendo que [ ) [ )∞+−→∞+ ,2,2:f . 
 
 
PARIDADE DE FUNÇÃO 
 
Função par: uma função f(x) é par se, e 
somente se, f(−x) = f(x). 
 
Função ímpar: uma função f(x) é ímpar se, 
e somente se, f(−x) = −f(x). 
 
 
 
 
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
Função crescente: dizemos que uma fun-
ção y = f(x) , de A em B, é crescente em um 
intervalo [ ] Ab,a ⊂ se, e somente se, para 
qualquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [ ]b,a , temos )x(f)x(fxx 2121 >⇒> . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que de x1 para x2, houve um cres-
cimento e também houve um crescimento de 
f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cres-
ce de um lado, a imagem também cresce do 
outro e se a função decresce, a imagem 
também decresce. 
 
Função decrescente: dizemos que uma 
função y = f(x) , de A em B, é crescente em 
um intervalo [ ] Ab,a ⊂ se, e somente se, 
para qualquer x1 e x2 pertencentes ao in-
tervalo [ ]b,a , temos 
)x(f)x(fxx 2121 >⇒> . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que de x1 para x2, houve um cres-
cimento e também houve um crescimento de 
f(x1) para f(x2). Logo, quando a função cres-
ce de um lado, a imagem também cresce do 
outro e se a função decresce, a imagem 
também decresce. 
y 
f(x1) 
f(x2) 
x1 x2 x 
y 
f(x2) 
f(x1) 
x1 x2 x 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
12
TESTES – FUNÇÃO 
 
 
Questão 01 
Considere os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e 
B = {−3, 0, 3, 6, 9, 10} e as relações: 
1. {(−1, 3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)} 
2. {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)} 
3. {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)} 
4. {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)} 
5. {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)} 
 
São funções: 
a) apenas 1 e 2 
b) apenas 2 e 3 
c) apenas 3 e 4 
d) apenas 2 e 5 
 
 
Questão 02 
Qual das relações abaixo, com S ⊂ A x B, 
lhe sugere uma função de A em B, sendo 
que A = {1, 2, 3, −3} e B = {0, 5, 6, 3, 8, −3}? 
a) S1 = {(1, 1); (2, 0); (3, 3); (−3, −3); (1, 0)} 
b) S2 = {(1, 0); (2, 0); (3, 0); (−3, 0)} 
c) S3 = {(1, 3); (2, 8); (3, 6); (1, 5)} 
d) S4 = {(1, 0); (2, 5); (−3, 3)} 
 
 
Questão 03 
Seja a relação P = {(x, y) ∈ IN x IN / y = x − 
5} O domínio desta relação é igual a: 
a) IN 
b) IN* 
c) IR 
d) {x ∈ IN / x ≥ 6} 
e) {x ∈ IN / x ≥ 5} 
 
 
Questão 04 
Seja 






−
=∈= 2x4
2y/IRxIR)y,x(f uma 
relação. O domínio desta relação é igual a: 
a) IR+ 
b) IR* 
c) IR 
d) {x ∈ IR / x ≠ 2} 
e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2} 
 
 
 
Questão 05 
Se 
1x
1x2)x(f
+
−
= , então f(1) é igual a: 
a) 2 
b) 
2
1
 
c) 0 
d) −1 
e) 
2
1
− 
 
Questão 06 
Seja a função dada por 1x2)x(f 3 −= . Então 
f(0) + f(−1) + 





2
1f é igual a: 
a) 
4
3
− 
b) 
4
15
− 
c) 
4
19
− 
d) 
4
17
− 
 
Questão 07 
Se x23)x(f += , então [ ]2)2(f)2(f −+ 
será igual a: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
Questão 08 
Sendo 
x
11
x
11
)x(f
−
+
= , o valor de f(2) + 1 vale: 
a) 
3
2
 
b) 
2
3
 
c) 2 
d) 4 
 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
13
Questão 09 
Considere a função 2x)x(f = . Nestas condi-
ções, o valor de )nm(f)nm(f −−+ é igual a: 
a) 22 n2m2 + 
b) 2n2 
c) mn4 
d) 2m2 
e) 0 
 
 
Questão 10 
Se 
7x2
1x2)3x2(f
+
−
=− , então f(0) vale: 
a) 
7
1
− 
b) 0 
c) 
7
1
 
d) 
5
1
 
e) 
5
1
− 
 
 
Questão 11 
Sendo 1x6x4)3x2(f 2 ++=+ , ∀ x ∈ IR, en-
tão )x1(f − vale: 
a) 2x2 − 
b) 2x2 + 
c) 1xx2 −+ 
d) 4x2x3 2 +− 
 
 
Questão 12 
Seja a função 





≥
<<−+
−≤−
=
3xse,5
3x2se,1x2
2xse,3x
)x(f 2 . 
Pode-se afirmar que )2(f)5(f2)(f −++pi é 
igual a: 
a) 10 
b) 13 
c) 22 
d) 25 
 
 
 
 
 
Questão 13 
Seja f uma função real de variável real tal 
que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quais-
quer x e y reais. Então o valor de f(2) é igual 
a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
e) 8 
 
Questão 14 
Seja f: IN → Z uma função que verifica as 
seguintes condições: 
f(0) = 2, f(1) = 3 e )1n(f)n(f2)1n(f −−=+ . 
Então, pode-se afirmar que f(3) é igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
Questão 15 
Numa seqüência tem-se 1)n(f2)1n(f −=+ e 
f(1) = 4. O valor de f(3) é igual a: 
a) 13 
b) 10 
c) 8 
d) 7 
 
Questão 16 
A função f: IR → IR é tal que ∀ x ∈ IR, temos 
)x(f3)x3(f = . Se f(9) = 45, então f(1) vale: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 9 
 
Questão 17 
O domínio real da função 2x3)x(f += é: 
a) IR 
b) IR+ 
c) 






−>∈
3
2
x/IRx 
d) 






−≥∈
3
2
x/IRx 
e) 






−<∈
3
2
x/IRx 
 
 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
14
Questão 18 
Se 
1x
xy 2
−
−
= , então o conjunto de todos os 
números reais x para os quais y é real é: 
a) { }1xe0x/IRx −≠≤∈ 
b) { }1xe1x/IRx −≠≠∈ 
c) { }1xe0x/IRx −≠<∈ 
d) { }1x1/IRx <<−∈ 
 
 
Questão 19 
Uma função que verifica a propriedade: 
“qualquer que seja x, f(−x) = −f(x) é: 
a) f(x) = 2 
b) f(x) = 2x 
c) 2x)x(f = 
d) x2)x(f = 
 
 
Questão 20 
Qual das funções a seguir é par? 
a) 2x
1)x(f = 
b) x)x(f = 
c) 
x
1)x(f = 
d) 5x)x(f = 
 
 
Questão 21 
A função que é ímpar é: 
a) 6x3)x(f = 
b) 3xx)x(f 24 −+= 
c) 8x5)x(f −= 
d) x2x)x(f 3 −= 
 
 
Questão 22 
Dadas as funções f: IR → IR e g: IR → IR 
definidas por 5x)x(f 2 += e x4)x(g −= , veri-
fique qual é a afirmação correta: 
a) f e g são funções pares 
b) f e g são funções ímpares 
c) f é função par e g é função ímpar 
d) f é função ímpar e g é função par 
e) f e g não são funções nem pares nem 
ímpares 
 
Questão 23 
Sendo 2x3)x(f −= , 3x2)x(g += e b = f(a), 
então g(b) vale: 
a) 1a6 − 
b) 1a5 + 
c) 2a3 − 
d) 6a6 − 
e) 2a5 − 
 
Questão 24 
Se 1x3)x(f += e 2x)x(g = , então fog(x) é 
igual a: 
a) x6x9 2 + 
b) xx3 2 + 
c) 2x 
d) 1x3 2 + 
e) 2x3 
 
Questão 25 
Se 3)x(f = e 2x)x(g = , então fog(x) é igual 
a: 
a) 9 
b) 3 
c) 2x 
d) 2x3 
 
Questão 26 
Se 
2x
1x2)x(f
−
+
= , então fof(x) é igual a: 
a) 1 
b) x 
c) 
1x2
2x
+
−
 
d) 
2
2x
1x2






−
+
 
e) 
2x
1x2
−
+
 
 
 
Questão 27 
Se 1x)x(f 3 += e 2x)x(g −= , então gof(0) é 
igual a: 
a) −1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
 
Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 
15
Questão 28 
As funções f e g são dadas por 3x2)x(f −= 
e 1x)x(g 2 += . O valor de g[f(5)] é: 
a) 49 
b) 50 
c) 15 
d) 9 
e) 5 
 
Questão 29 
Dada a função f definida por 1x2)x(f += , se 
g é função de IR em IR e 1x3)x(fog −= , en-
tão g é definida por: 
a) 2x6)x(g += 
b) 1x
2
3)x(g −= 
c) 
3
2
x
3
2)x(g += 
d) 1xx6)x(g 2 −+= 
 
Questão 30 
A função inversa da função 
2x
1x3)x(f−
−
= é: 
a) 
3x
3x)x(f 1
−
+
=
−
 
b) 
x2
1x3)x(f 1
−
+
=
−
 
c) 
3x
1x3)x(f 1
−
−
=
−
 
d) 
3x
1x2)x(f 1
−
−
=
−
 
e) 
1x2
3x)x(f 1
−
+
=
−
 
 
Questão 31 
A lei que define a inversa de 1x
3
2)x(f −= é: 
a) 
2
3
x
2
3)x(f 1 +=− 
b) 1x
2
3)x(f 1 +=− 
c) 1x
2
3)x(f 1 −=− 
d) 
2
3
x
2
3)x(f 1 −=− 
 
 
 
Questão 32 
A função inversa de 
1x
1)x(f
+
= é: 
a) x + 1 
b) x − 1 
c) 
1x
1x
−
+
 
d) 
x
x1−
 
 
Questão 33 
O gráfico representa a quantidade de soro 
que uma pessoa deve tomar em função de 
seu peso, caso seja mordida por um animal 
raivoso. 
 
 
a) Quanto deve tomar de soro uma pessoa 
que pesa 50 kgf? 
b) Se uma pessoa tomou 50 ml de soro, 
qual é o seu peso? 
c) Sabe-se que a quantidade de soro a ser 
tomada deve ser distribuída em 14 inje-
ções. Quantos ml de soro deve tomar em 
cada injeção uma pessoa de 100 kgf de 
peso? 
 
 
GABARITO: 
A →→→→ 1, 15, 16, 18, 20, 23, 27, 31 
B →→→→ 2, 5, 19, 25, 26, 28, 29 
C →→→→ 6, 9, 11, 12, 14, 22 
D →→→→ 7, 8, 10, 13, 17, 21, 24, 30, 32 
E →→→→ 3, 4 
 
Questão 33 
a) 25 ml 
b) 100 kgf 
c) Aproximadamente 3, 57 ml 
 
Soro em ml 
Peso em Kgf 
50 
25 
10 
20 50 100