Planejamento de experimentos

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2019
Planejamento de 
exPerimentos
Profª. Gabriela de Paula Alves
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Profª. Gabriela de Paula Alves
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
AL474
 Alves, Gabriela de Paula
 Planejamento de experimentos. / Gabriela de Paula Alves. 
 – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 212 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0279-2
 1. Física - Experiências - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo 
 Da Vinci.
CDD 530
III
aPresentação
O planejamento de experimentos é uma área da ciência cujo objetivo 
é possibilitar aos profissionais a obtenção do melhor sistema de trabalho com 
menor uso de recursos. Mantendo como alicerce a estatística, este ramo do 
conhecimento nos auxilia com ferramentas e modelos para otimização de 
processos.
Este trabalho tem como objetivo o estudo das bases da estatística para 
posterior aplicação de ferramentas visando empregá-las no planejamento 
e análise de experimentos, bem como controle de qualidade adequado ao 
tema. Para tanto, o conteúdo foi dividido em três unidades, sendo que cada 
unidade possui tópicos com temas separados visando à maior clareza e 
facilidade de compreensão dos assuntos trabalhados.
Um exemplo prático da importância da temática que será estudado 
pode ser a aplicação de tal metodologia em uma pesquisa laboratorial em 
que se deseje avaliar duas variáveis, por exemplo, o tempo de uma reação e o 
reagente usado no processo. Uma análise separada dos fatores pode ser feita, 
porém, demandará um grande número de observações e, ainda assim, não 
haverá uma análise da interação entre os dois parâmetros, ou seja, como um 
fator pode influenciar o outro. 
Diversas ferramentas aplicadas no ramo do planejamento experimental 
abordam formas de relacionar condições de trabalho distintas com respostas 
independentes ou dependentes mutualmente. O uso de um planejamento 
experimental é capaz de investigar suas relações e prever os melhores 
resultados para um sistema com uso de poucas observações, ou ensaios.
Na Unidade 1, com o objetivo de prepará-lo para o estudo mais 
aprofundado da área de planejamento de experimentos, serão inicialmente 
abordados conhecimentos de estatística básica e formas de representação 
comumente usadas para mensurar grandezas e unidades de medidas. Além 
disso, importa examinar diferentes tipos de representações gráficas e suas 
distintas aplicações. As representações visuais são amplamente praticadas 
em meios de comunicação ou trabalhos científicos para que as informações 
sejam traduzidas de modo mais didático e de fácil entendimento.
A Unidade 2 será composta pela abordagem de diferentes formas de 
realização de um planejamento experimental. Serão mostradas estratégias, 
conceitos e tratamentos de técnicas necessárias para estruturar um 
experimento, bem como a análise dos dados a ser realizada. Vale apontar 
que o número de parâmetros a ser explorado é fator primordial para escolha 
da forma que um teste será realizado.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto 
para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
Na Unidade 3, o gerenciamento de riscos e falhas em experimentos 
será tema de trabalho. Além disso, as aplicações e comparativos do método 
de planejamento de experimentos com relação a outros utilizados, como 
exemplo, o método científico, serão abordados e analisados.
Desse modo, as bases de conhecimento necessárias para realizar o 
planejamento, análise e controle de experimentos serão trabalhadas no 
decorrer deste livro.
Profª. Gabriela de Paula Alves
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ............................................................................. 1
TÓPICO 1 – GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS............................................ 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS ................................................................................... 3
3 ANÁLISE DIMENSIONAL ................................................................................................................ 6
4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS .................................................................................................. 9
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 11
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 12
TÓPICO 2 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA ..................................... 13
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 13
2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ............................................................................................................. 13
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ......................................................................................... 16
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO ............................................................................................................... 19
5 MEDIDAS DE POSIÇÃO.................................................................................................................... 20
6 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS .............................................................................................. 21
7 ANÁLISE DE FREQUÊNCIAS ABSOLUTA, RELATIVA E ACUMULADA ............................ 21
8 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ............................................................................................................... 23
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 26
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 27
TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20 ......................................... 29
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................29
2 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS ...................................................................................................... 29
3 GRÁFICO DE LINHAS ....................................................................................................................... 30
4 GRÁFICO DE SETORES ..................................................................................................................... 32
5 GRÁFICO DE BARRAS E COLUNAS ............................................................................................. 33
6 HISTOGRAMA ..................................................................................................................................... 35
7 POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS E OGIVA.................................................................................... 36
8 DIAGRAMA DE DISPERSÃO .......................................................................................................... 37
9 PICTOGRAMAS ................................................................................................................................... 38
10 PRINCÍPIO DE PARETO .................................................................................................................. 41
11 APLICAÇÃO DO MÉTODO ............................................................................................................ 41
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 46
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 50
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 51
TÓPICO 4 – PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA INFERENCIAL ................................... 53
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 53
2 POPULAÇÃO VERSUS AMOSTRA ................................................................................................. 53
3 COLETA DE DADOS ........................................................................................................................... 54
4 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ...................................................................................................... 55
5 ESTIMAÇÃO ......................................................................................................................................... 56
sumário
VIII
6 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ..................................................................................................56
7 TAMANHO DA AMOSTRA ............................................................................................................57
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................59
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................60
UNIDADE 2 – METODOLOGIAS PARA PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL E 
 SUAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS .............................................................................63
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL ...................................65
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................65
2 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ...........................................................................................................66
3 INTERVALO DE CONFIANÇA ......................................................................................................67
4 TESTE DE HIPÓTESES .....................................................................................................................71
5 PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL .............................................................................................72
6 TIPOS DE AMOSTRAS.....................................................................................................................74
7 TIPOS DE EXPERIMENTOS ............................................................................................................75
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................81
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................82
TÓPICO 2 – PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR ................83
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................83
2 ANÁLISE DE VARIÂNCIA ENVOLVENDO UM ÚNICO FATOR..........................................83
3 ANÁLISE DE VARIÂNCIA PARA MODELO COM EFEITOS FIXOS ....................................85
4 ANÁLISE DE VARIÂNCIA PARA MODELO COM EFEITOS ALEATÓRIOS .....................94
5 ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM BLOCOS COMPLETOS ALEATORIZADOS .................98
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................108
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................112
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................113
TÓPICO 3 – PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS COM VÁRIOS FATORES ..................115
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................115
2 ANÁLISE FATORIAL.........................................................................................................................115
3 ANÁLISE FATORIAL COM MODELO DE EFEITOS FIXOS COM DOIS FATORES .........116
4 ANÁLISE FATORIAL COM MODELO DE EFEITOS FIXOS COM MAIS DE 
 DOIS FATORES ..................................................................................................................................124
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................128
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................134
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................135
UNIDADE 3 – ANÁLISE DE EXPERIMENTOS E APLICAÇÕES ...............................................137
TÓPICO 1 – MÉTODO CIENTÍFICO VERSUS DOE ....................................................................139
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................139
2 MÉTODO CIENTÍFICO ....................................................................................................................139
3 DOE .......................................................................................................................................................141
4 COMPARATIVO .................................................................................................................................143
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................144
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................145
IX
TÓPICO 2 – CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO ..........................................................147
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................147
2 CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO ...............................................................................147
3 GRÁFICOS DE CONTROLE ............................................................................................................148
4 CAPACIDADE DE PROCESSO .......................................................................................................165
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................169
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................170
TÓPICO 3 – ANÁLISE DE FALHAS E GERENCIAMENTO DE RISCOS.................................173
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................173
2 GERENCIAMENTO DE RISCOS ....................................................................................................173
3 METODOLOGIA DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA ...................................................................176
4 OPERAÇÃO EVOLUTIVA ................................................................................................................178
5 ANÁLISE DE FALHAS ......................................................................................................................179
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................183
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................184
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DA METODOLOGIA DE PLANEJAMENTO 
 DE EXPERIMENTOS .....................................................................................................185
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................185
2 PLANEJAMENTO, MELHORIA DE PROCESSOS E APLICAÇÕES ......................................185
3 SEIS SIGMA ........................................................................................................................................197
4 METODOLOGIA ................................................................................................................................198
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................200
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................204
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................205
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................207
X
1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• identificar as grandezas físicas e suas formas de mensuração;
• demonstrar a uniformização das unidades padrão de medidas e a 
conversão de unidades;
• introduzir conceitos básicos estatísticos;
• conhecer os principais tipos de representações gráficas;
• compreender o Princípio de Pareto e sua aplicabilidade ao analisar a 
causa de um problema.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS
TÓPICO 2 – PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
TÓPICO 4 – PRINCÍPIOS DE ESTATÍSTICA INFERENCIAL
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS
1 INTRODUÇÃO
Medir é um ato tão costumeiro em nosso cotidiano que se tornou 
despercebido. Diversas são as atividades em que as medições estão presentes. 
Imagine, por exemplo, um dia típico de trabalho: ao acordar o despertador 
tocou no horário programado diariamente, para preparar o café da manhã, você 
utilizou o micro-ondas com a potência e tempo necessários para o aquecimento 
do leite. Depois, ao ir trabalhar, dirigiu a velocidade média permitida no trecho 
entre sua casa e seu local de trabalho. Ao almoçar, pesou o prato de comida em 
uma balança e pagou o valor compatível ao que foi consumido. 
Apenas nesta descrição de um dia comum é possível enumerar uma 
série de medidas recorrentes ao nosso cotidiano, como a mensuração do tempo, 
velocidade, pesos, entre outras várias formas que poderiam ser elencadas. Para que 
estas medições sejam possíveis, utilizamos diversas grandezas físicas na realização 
destes procedimentos e podemos usar diferentes sistemas de mensuração.
2 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS
As unidades de medidas são grandezas que compõem um sistema de 
medidas. Como forma de conceituação, pode-se definir uma grandeza como:
Propriedade dum fenômeno dum corpo ou duma substância, que 
pode ser expressa quantitativamente sob a forma dum número e 
duma referência. A referência pode ser uma unidade de medida, 
um procedimento de medição, um material de referência ou uma 
combinação destes (VIM, 2012, p. 2).
Consoante ao que foi expresso no Vocabulário Internacional de Metrologia 
(VIM), uma grandeza é algo que pode ser medido. Para a mensuração das 
grandezas físicas de modo mais efetivo, foi necessária a criação de um padrão 
de unidades de medidas. Na antiguidade eram usadas unidades baseadas 
no corpo humano, como pé, polegadas, palmo, entre outras. Porém, devido a 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
4
variações biológicas naturais, este tipo de medição gerava alto índice de erros, o 
que acarretou a indispensabilidade de uso de um sistema único, correspondente 
entre diversas cidades e nações. Em 1790 iniciou-se na França o processo de 
criação deste sistema único, concluído em 1799 com o projeto do Sistema métrico 
decimal. O Brasil só adotou o novo sistema em maio de 1875 (INMETRO, 2012a).
Graças a inovações tecnológicas, novas unidades de medidas foram 
adotadas e, em 1960, criou-se o Sistema Internacional de Unidades, SI (INMETRO).
O Vocabulário Internacional de Metrologia foi criado como uma medida para 
unificar as definições e terminologias utilizadas na metrologia. No Brasil, o Inmetro (Instituto 
Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia) é o órgão governamental responsável 
pela publicação e revisões do VIM, sendo o documento disponibilizado gratuitamente na 
página virtual do instituto (VIM, 2012).
NOTA
As grandezas adotadas no Sistema Internacional de Unidades, SI, são 
divididas em grandezas de base e grandezas derivadas. As primeiras são o 
fundamento das unidades, sendo, portanto, independentes. As grandezas 
derivadas são formadas por relações algébricas envolvendo as grandezas de base 
(INMETRO, 2012). 
As grandezas de base adotadas no SI foram organizadas no quadro 
a seguir, assim como a simbologia empregada para cada unidade e o conceito 
específico de cada uma delas.
QUADRO 1 – GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO SI
Grandeza de 
base
Nome da unidade 
de base singular 
(plural)
Símbolo da 
unidade de 
base
Observações
Comprimento Metro (metros) m
O metro é o comprimento do trajeto 
percorrido pela luz no vácuo durante um 
intervalo de tempo de 1/299 792 458 de 
segundo.
Massa
quilograma
ou quilogramas)
kg
O quilograma é a unidade de massa; ele é 
igual à massa do protótipo internacional 
do ou quilograma.
Tempo
segundo
(segundos)s
O segundo é a duração de 9 192 631 770 
períodos da radiação correspondente à 
transição entre os dois níveis hiperfinos do 
estado fundamental do átomo de césio 133.
TÓPICO 1 | GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS
5
Corrente 
elétrica
ampere
(amperes)
A
O ampere é a intensidade de uma corrente 
elétrica constante que, se mantida em 
dois condutores paralelos, retilíneos, de 
comprimento infinito, de seção circular 
desprezível, e situados à distância de 1 
metro entre si, no vácuo, produz entre 
estes condutores uma força igual a 2 x 10-7 
newton por metro de comprimento.
Temperatura 
termodinâmica
kelvin
(kelvins)
K
O kelvin, unidade de temperatura 
termodinâmica, é a fração 1/273,16 da 
temperatura termodinâmica do ponto 
triplo da água.
Quantidade de 
substância
mol
(mols)
mol
O mol é a quantidade de substância de 
um sistema que contém tantas entidades 
elementares quantos átomos existem em 
0,012 quilograma de carbono 12.
Intensidade 
luminosa
candela
(candelas)
cd
A candela é a intensidade luminosa, numa 
dada direção, de uma fonte que emite uma 
radiação monocromática de frequência 
540 x 1012 hertz e que tem uma intensidade 
radiante nessa direção de 1/683 watt por 
esferorradiano.
FONTE: Adaptado de Inmetro (2013)
Por meio do Quadro 1, percebemos que muitas unidades conhecidas 
do nosso cotidiano não são consideradas grandezas de base. Como exemplo, a 
velocidade de um automóvel que é expressa através de uma grandeza derivada, 
proveniente de relações entre grandezas de base, de um comprimento por tempo 
(metros por segundo, quilômetros por hora...).
Veja todas as unidades de medidas padrão em uso no Brasil no Quadro geral 
de Unidades de Medida disponibilizado no sítio <www.inmetro.gov.br>.
No documento são abordados, além das unidades base do SI, os prefixos do SI, regras de 
grafia e tabelas gerais de unidades não pertencentes ao SI.
DICAS
Desse modo é possível exprimir o valor da massa de um produto em 
qualquer país do mundo utilizando o SI, o que propiciou a uniformização das 
unidades em todas as regiões, independentemente da nação na qual um produto 
foi produzido. Vale ressaltar que o comércio foi um dos maiores impulsionadores 
desta padronização, visando evitar prejuízos e/ou confusões com relação a 
conversões de unidades.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
6
3 ANÁLISE DIMENSIONAL
Inicialmente, um tópico de grande importância ao estudar grandezas é o 
aprendizado da análise dimensional. Serway e Jewett (2010, p. 7) conceituam a 
análise dimensional como o procedimento específico para “tratar as dimensões 
como quantidades algébricas”. Isto pode ser entendido como a necessidade de 
manter um padrão de unidades ao expressar relações.
 
Como exemplo, uma pessoa ao realizar uma trilha ecológica decide 
marcar a distância que será percorrida em todo trajeto. Ao finalizar a trilha, a 
anotação consiste em: 
• 500 metros de subida.
• 3,5 km de plano.
• 500 metros de descida.
Para saber a distância total percorrida, não é correto apenas realizar 
o somatório das medidas listadas em unidades de medidas diferentes. Um 
dimensionamento correto só é realizado quando as grandezas possuem unidades 
iguais ao serem somadas ou subtraídas e, ao serem multiplicadas ou divididas 
apresentem as mesmas dimensões nos dois lados da expressão (SERWAY; 
JEWETT, 2010).
No exemplo citado acima, deveríamos realizar a conversão das unidades 
para que todas possuíssem a mesma dimensão e, com isso, fosse possível realizar 
a operação. A conversão é utilizada para trocar unidades de um sistema de 
medidas para outro ou até mesmo dentro de um mesmo sistema (SERWAY; 
JEWETT, 2010).
No exemplo citado, devem-se padronizar as grandezas para permitir a 
operação matemática.
500 m + 500 m + 3 5
1000
1
, km x m
 km
�
�
�
�
�
� = 500 m + 500 m + 3500 m = 4500 m
A lição acima demonstra um tipo de conversão de unidades. Vamos agora 
nos aprofundar e aprender um pouco mais sobre este assunto!
Inicialmente, a conversão de unidades para realização de operações de 
soma e subtração são realizadas por meio da igualdade das dimensões. Para tanto, 
devemos conhecer os múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais. 
No quadro a seguir, você pode notar quais são os múltiplos e submúltiplos 
das unidades. Desse modo, basta acrescentar a grandeza para realizar a conversão, 
como foi feito no exemplo anterior.
TÓPICO 1 | GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS
7
QUADRO 2 – PREFIXOS DOS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DAS UNIDADES
Prefixo Símbolo Potência
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
deca da 10+1
hecto h 10+2
kilo k 10+3
mega M 10+6
giga G 10+9
FONTE: SI (2012)
Para utilizar esta conversão, a dimensão estudada deve ser a mesma. 
Nos exemplos a seguir, veremos que qualquer unidade pode ser transformada 
utilizando os seus múltiplos e submúltiplos.
O passo a passo é simples! Você deseja saber quantos centímetros equivalem 
a 10 metros. Conforme Serway e Jewett (2010), para realizar a conversão deve-se:
Escrever o valor que deseja transformar e a unidade que será convertida.
10 m → cm
O próximo passo consiste em, com base no quadro de múltiplos e 
submúltiplos, identificar qual o valor multiplicativo converte a dimensão inicial 
na dimensão final. Além disso, lembre-se de que, ao multiplicar os valores, as 
grandezas também são multiplicadas e devem ser reduzidas a fim de obter a 
dimensão desejada.
10 m → cm → 10
1
10
2
m cm
m
. − 1000 cm
Um novo modo de realizar conversões de unidades, quando temos 
sistemas de medidas diferentes, é com uso de fatores de conversão padronizados 
já universalmente conhecidos.
No quadro a seguir existem vários fatores de conversão amplamente 
utilizados.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
8
QUADRO 3 – FATORES DE CONVERSÃO
1 Polegada 2,54 centímetros
1 milha 1,609 quilômetros
1 hectare 10000 m2
1 metro 3,281 pé
1 litro 1dm3
1 minuto 60 segundos
1 hora 60 minutos
1 tonelada 1000 quilogramas
1 joule 6,242 x 1018 eV
1 caloria 4,186 joules
1 atmosfera 1,013 x 105 Pascal
FONTE: Adaptado de Serway e Jewett (2010)
Com o conhecimento dos fatores de conversão de unidades, é possível 
transformar medidas de acordo com a unidade apropriada para cada situação. 
A metodologia usada para transformação é a mesma da utilizada anteriormente, 
com cancelamento mútuo das unidades na análise dimensional.
Veja agora alguns exemplos de conversão de unidades úteis para nosso 
dia a dia. 
Você em uma viagem ao exterior vê uma placa de trânsito que indica a 
velocidade máxima do automóvel igual a 75 milhas/hora. Qual é a velocidade 
correspondente em quilômetros/hora?
Conforme Serway e Jewett (2010), para realizar a conversão deve-se:
1- Escrever o valor que deseja transformar e a unidade que será convertida.
75 mi/h → km/h
2- O próximo passo consiste em, com base no quadro de conversões, identificar 
qual é o fator de conversão ideal a ser utilizado. 
Além disso, lembre-se de que ao multiplicar, as grandezas também são 
multiplicadas e devem ser reduzidas a fim de obter a dimensão desejada.
75 mi/h → km/h → 75
1 609
1
mi
h
km
mi
.
,
120,7 km/h
As conversões de unidades são imprescindíveis quando se trabalha com 
números. Sempre que forem realizadas operações matemáticas, é fundamental 
incluir as unidades de medidas para evitar erros nos resultados.
TÓPICO 1 | GRANDEZAS FÍSICAS E UNIDADES DE MEDIDAS
9
4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Suponha que você realize uma série de medidas do comprimento de 
um salão de festas que deseja utilizar no final de semana. Dificilmente todas 
as medidas obtidas serão exatamente iguais, por mais que o objeto de medição 
seja omesmo. Alguma incerteza sempre está inserida em uma mensuração. Para 
compreendermos o modo como esta incerteza está introduzida nas medidas, é 
importante conceituarmos os chamados algarismos significativos.
Consoante a Serway e Jewett (2010), os valores das medidas são conhecidos 
dentro dos limites da incerteza experimental, ou seja, depende de fatores como a 
qualidade dos equipamentos utilizados para realizar uma medição, a habilidade 
do operador, o número de medições realizadas assim como o ambiente externo. 
Os algarismos significativos incluem o primeiro dígito estimado da medida e 
estão relacionados ao número de dígitos utilizados para retratar a medida.
Isto quer dizer que quando realizamos operações com vários resultados 
medidos, temos que fornecer de forma correta o número exato de algarismos 
significativos. A regra básica para algarismos significativos em operações 
matemáticas é dada por: 
Ao multiplicar várias quantidades, o número de algarismos 
significativos na resposta final é o mesmo que o número de algarismos 
significativos na quantidade que tem o número menor de algarismos 
significativos. A mesma regra se aplica à divisão. [...]
Quando dois valores são adicionados e subtraídos, o número de 
casas decimais no resultado deve ser igual ao menor número de 
casas decimais de qualquer termo na soma ou diferença” (SERWAY; 
JEWETT, 2010, p. 11).
Assim, o número de casas decimais variará de acordo com o número 
de algarismos significativos de cada fator. Usando as regras para este tipo de 
operação matemática, deve-se igualar o número de casas decimais ao menor 
número de qualquer um dos termos na soma ou diferença, conforme Serway 
e Jewett (2010) descreveram. Porém, há regras específicas para demonstrar o 
resultado de forma correta, utilizando arredondamento dos números. Quando 
reduzir o número de casas decimais, deve-se analisar o último algarismo. Se o 
último dígito for maior que 5, deve-se acrescentar um incremento unitário no 
último algarismo reduzido, como exemplo 94,768 torna-se 94,8. Se o último dígito 
for menor que 5, mantém-se o número sem alteração, como exemplo 94,74 torna-
se 94,7. Se o último algarismo for igual a 5, o dígito final deve ser mantido em 
caso de ser par ou deve ser arredondado para o número par maior, como exemplo 
55,65 torna-se 55,6 e 15,75 torna-se 15,8 (SERWAY; JEWETT, 2010).
Assim, utilizando as regras para algarismos significativos e para 
arredondamento, temos como resultados as equações a seguir:
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
10
9,5 + 85,24 = 94,7
9,5 + 85,268 = 94,8
85,24 - 9,5 = 75,7
85,268 - 9,5 = 75,8
Vale ressaltar, conforme visto nos exemplos, que o arredondamento não 
é sucessivo, ou seja, a regra só é aplicada para o último algarismo significativo.
Aplicando a regra referente às operações de multiplicação e divisão, ou 
seja, o número de algarismos significativos na resposta final é o mesmo que o 
número que houver menor quantidade de algarismos significativos. Neste ponto 
é necessário atentar para o conceito de algarismos significativos. 
O número de algarismos significativos de uma medida é exposto de acordo 
com o número de dígitos expressos. Desse modo, o número 2,30 possui 3 algarismos 
significativos e o número 0,03 possui um algarismo significativo, visto que ele pode 
ser expresso como 3x10-2. Já o número 0,0075 possui 2 significativos pelo mesmo 
motivo. Entretanto, se expressarmos o número como 7,50x10-2 haverá 3 algarismos 
significativos. De acordo com os exemplos citados, verifica-se que o número de 
algarismos expressos pode ser diferente do número de algarismos significativos na 
medida. Para evitar tal dificuldade, usa-se comumente notação científica.
Análogo às operações de soma e subtração, usaremos as regras básicas 
para demonstrar exemplos de multiplicação e divisão e as regras para algarismos 
significativos e arredondamento.
1,25 x 5,8 = 7,2
1,25 x 5,647 = 7,06
5,647 : 0,857 = 6,59
5,8 : 1,1218 = 5,2
Nos exemplos acima, as soluções foram corrigidas para manter o menor 
número de algarismos significativos envolvidos na operação. 
11
Neste tópico, você aprendeu que:
• Tudo aquilo que pode ser medido é denominado grandeza. Para a mensuração 
das grandezas físicas foi criado um padrão de unidades de medidas.
• O Sistema Internacional de Unidades, SI, é um sistema único de padronização 
de medidas adotado para ser possível a intercambialidade de dimensões 
internacionais.
• A análise dimensional é um equacionamento para que as grandezas ao serem 
matematicamente operadas possuam unidades iguais.
• Em toda medida há algarismos certos e duvidosos, sendo que o estudo dos 
algarismos significativos nos dá a metodologia de padronização de tais medidas.
RESUMO DO TÓPICO 1
12
1 Determine o valor da medida após conversão conforme se pede.
2 Determine o valor da medida com o número de algarismos significativos e 
arredondamento corretos conforme se pede.
AUTOATIVIDADE
1 45 μm → dam → dam
2 1000 µg → mg → mg
3 15 m → km → km
4 27 mm → dam → dam
5 1,5 m → mm → mm
6 100 km → mi → mi
7 35 MPa → atm → atm
8 8 hectares → m2 → m2
1 4,452 + 13,8 =
2 111 - 3,765 =
3 21,79 x 4,1 =
4 500 : 10,25 =
13
TÓPICO 2
PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A estatística está presente em nosso cotidiano de forma mais intensa do 
que imaginamos. Pesquisas de mercado, taxas de crescimento de doenças, taxas 
de natalidade, percentual de aumento de preços de produtos, estimativas gerais, 
entre outras várias aplicações possíveis de serem exemplificadas. 
De acordo com Larson e Farber (2015, p. 3), a “estatística é a ciência que 
trata da coleta, organização, análise e interpretação dos dados para a tomada 
de decisões”, sendo que os “dados consistem em informações provenientes de 
observações, contagens, medições ou respostas”. 
Para descrever as observações ou conjunto de dados de determinada 
população são utilizadas ferramentas de representação dos elementos, seja por 
meio de gráficos, empregados como um excelente recurso visual, ou cálculos que 
fornecem descrição numérica sumarizada dos dados.
2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística é um ramo da ciência no qual há coleta, organização, análise e 
interpretação de informações provenientes de contagens, medições ou respostas 
para tomada de decisão. A estatística possui dois ramos de estudo principais, 
a estatística inferencial, que utiliza uma parte do conjunto de informações para 
obter conclusões de toda a representação e a estatística descritiva, que envolve a 
organização e reprodução dos dados por meios numéricos ou gráficos (LARSON; 
FARBER, 2015).
A estatística descritiva é objeto de estudo deste tópico do trabalho.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
14
O filme “Moneyball: o homem que mudou o jogo” mostra uma aplicação prática 
e cotidiana da estatística, contando a história de um gerente de um time de baseball que utiliza 
técnicas estatísticas para escolher os jogadores de seu time e obter resultados. É importante 
apontar que o filme recebeu seis indicações para o Oscar em 2012. Vale a pena assistir a ele.
DICAS
Toda análise estatística parte de um objeto de estudo, um tema específico 
delimitado, ou seja, a variável de interesse. É importante salientar que se pode 
obter como resposta dados qualitativos ou quantitativos. O conjunto de dados 
qualitativos não possuem entradas numéricas, ou seja, apresentam atributos 
(qualidades) como objeto de pesquisa, como exemplo, diagnosticar grau de 
instrução, sexo, esporte favorito de uma população. Os dados qualitativos 
podem ser classificados em ordinais, quando háuma ordem entre as respostas, 
exemplo grau de instrução que pode ser separado e elencado em níveis, ou 
nominais, quando não há nenhuma ordenação. Entretanto, o conjunto de dados 
quantitativos possui grandezas numéricas ou contagens, como exemplo idade, 
peso, salário, altura de sua população. Do mesmo modo, os dados quantitativos 
podem ser classificados em discretos, quando usam-se apenas números inteiros 
para especificação, ou contínuos, quando tratam-se de números reais, podendo 
desta forma ter valores decimais (DANTE, 2016; LARSON; FARBER, 2015).
Resumidamente, pode-se visualizar a classificação dos dados através da 
figura a seguir.
FIGURA 1 – CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
FONTE: A autora (2018)
Variáveis
(dados)
Qualitativas
(atributos)
Quantitativas
(numéricas)
Contínuas
(núm. reais)
Discretas
(núm. inteiros)
Ordinais
(níveis)
Nominais
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
15
Além da classificação das variáveis, na Figura 1, há outro método de 
categorizar as variáveis, através dos níveis de mensuração nominal, ordinal, 
intervalar e de razão (LARSON; FARBER, 2015).
Dados no nível nominal de mensuração são apenas qualitativos. 
Dados nesse nível são categorizados usando-se nomes, rótulos ou 
qualidades. Não é possível realizar cálculos matemáticos nesse nível.
Dados no nível ordinal de mensuração são qualitativos ou 
quantitativos. Dados nesse nível podem ser postos em ordem ou 
classificados, mas as diferenças entre as entradas de dados não têm 
sentido matemático.
Dados no nível de mensuração intervalar podem ser ordenados e é 
possível calcular diferenças que tenham sentido matemático entre as 
entradas de dados. No nível intervalar, um registro zero simplesmente 
representa uma posição em uma escala; a entrada não é um zero natural.
Dados no nível de mensuração de razão são similares aos dados no 
nível intervalar, com a propriedade adicional de que, nesse nível, um 
registro zero é um zero natural. Uma razão de dois valores pode ser 
formada de modo que um dado possa ser expresso significativamente 
como um múltiplo de outro (LARSON; FARBER, 2015 p. 10-11).
Consoante às definições apresentadas acima e sabendo que os níveis de 
mensuração descritos são importantes para determinar as melhores operações 
estatísticas a serem realizadas, analogamente aos tipos de dados, o nível de 
mensuração nominal são qualitativos, já os ordinais podem ser quantitativos ou 
qualitativos, sendo possível ordená-los. Pode-se concluir também que o nível de 
mensuração intervalar e de razão são similares, porém diferenciam-se pelo fator 
zero natural, que tem o sentido de “nenhum”. Imagine que o zero natural possui 
sentido numérico, como exemplo zero reais em uma conta bancária, velocidade 
igual a zero, de outro modo o zero é apenas uma posição dentro de um intervalo, 
como exemplo a temperatura. Como forma resumida dos níveis de mensuração há 
as informações resumidas sobre eles na figura a seguir (LARSON; FARBER, 2015).
FIGURA 2 – OPERAÇÕES APROPRIADAS DE ACORDO COM O NÍVEL DE 
MENSURAÇÃO DOS DADOS
Nível de 
mensuração
Categorizar os 
dados 
Ordenados os 
dados
Subtrair os dados
Determinar 
se um dado é 
múltiplo do 
outro
Nominal Sim Não Não Não
Ordinal Sim Sim Não Não
Intervalar Sim Sim Sim Não
Razão Sim Sim Sim Sim
FONTE: Larson e Farber (2015)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
16
Desse modo é possível em um único quadro associar as principais 
características de cada nível de mensuração de variáveis, como visto no quadro acima.
Quando há o uso de todas as observações obtidas de um grupo inteiro num 
conjunto de dados, tem-se a definição de população. Ao realizar a análise, se apenas 
uma parte da população for examinada para alcance dos resultados há então uma 
pesquisa por amostragem e o conjunto é uma amostra. Esta definição é importante para 
entendimento que, na maioria das vezes, as conclusões são tomadas a partir de uma 
amostra representativa de uma população. Outro conceito de grande importância de ser 
determinado são os termos parâmetros e estatística amostral. Um parâmetro é a descrição 
numérica de uma característica de uma população e uma estatística amostral a descrição 
numérica de uma característica de uma amostra (MOORE, 2011; LARSON; FARBER, 2015).
ATENCAO
No Tópico 4 da presente unidade estes itens serão trabalhados com maior 
profundidade.
ESTUDOS FU
TUROS
Para análise dos dados obtidos de determinada variável, é comum o uso 
de medidas de tendência central, medidas de variação e medidas de posição. 
Estas são formas de obter informações de valores comparativos e variabilidade 
em um conjunto de dados.
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Inicialmente estudaremos as medidas de tendência central que 
representam observações típicas e centrais sobre os dados, como exemplos as 
medidas de média, mediana e moda (DANTE, 2016; LARSON; FARBER, 2015).
A média possui diferentes formas de ser mensurada, sendo a mais 
conhecida a média aritmética. Por definição, a média aritmética é igual à soma 
dos valores dos dados dividida pelo número de observações, podendo ser 
uma média populacional ou amostral, diferenciando-se apenas se o número de 
observações é relativo a uma população ou a uma amostra. Matematicamente, a 
média aritmética pode ser descrita como a relação entre o somatório dos números 
dividido pelo número total de itens (DANTE, 2016; LARSON; FARBER, 2015).
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
17
Exemplificando, pode-se pensar que uma universidade buscando 
conhecer o perfil dos alunos de uma sala de pós-graduação resolveu aplicar um 
questionário aos acadêmicos. Uma das variáveis de estudo é a idade dos alunos, 
obtendo-se os dados a seguir:
28 35 25 48 30 31 52 30 29 38
A média aritmética simples das medidas é dada pelo somatório de todas 
as medidas dividido pelo número de dados. Desse modo, tem-se:
MA � � � � � � � � � � �28 35 25 48 30 31 52 30 29 38
10
34 6,
A média aritmética simples é calculada conforme exemplo acima e, neste 
caso, tem como resultado o valor de 34,6 anos.
Outra forma de cálculo de uma medida de tendência central é a média 
aritmética ponderada, que pode ser definida como uma média aritmética simples 
com o uso de pesos nas medidas. A média ponderada é calculada por meio da 
relação entre a soma de cada dado do conjunto multiplicado pelo seu respectivo 
peso e este resultado é dividido pelo somatório dos pesos (DANTE, 2016).
Exemplificando, pode-se citar que um dos acadêmicos da turma da pós-
graduação analisou seu boletim na disciplina Matemática Básica e calculou sua 
nota final para compará-la ao resultado apresentado no boletim. Para tanto, as 
notas e respectivos pesos encontram-se elencados a seguir.
Atividade Peso Nota do aluno
Prova 1 2 6,5
Prova 2 2 7,0
Prova 3 2 5,0
Atividades 1,5 8,0
Seminário 2,5 WW7,0
Realizando o cálculo conforme foi enunciado acima, temos que a média 
ponderada é igual a:
MP � � � �
� � � �
�
2 6 5 2 5 1 5 8 2 5 7
2 2 2 1 5 2 5
6 65
. , . , . , .
, ,
,
Desse modo, o aluno conferiu sua nota final, igual a 6,65 pontos. Para isso, 
realizou o somatório das notas multiplicadas pelos respectivos pesos e dividiu o 
resultado pelo somatório dos pesos das medidas.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
18
Entretanto, nem sempre apenas a média é capaz de fornecer as 
características básicas de um conjunto de dados. Quando há medidas com 
dispersão muito elevada, a média pode induzir a um valor muito maior ou menor 
que a maioria dos valores do conjunto. Como exemplo, no caso de haver um 
conjunto igual a {102; 120; 105; 111; 1}, a média é 87,8 _ valor bem abaixo da 
maioria do universo de medidas.
As outras medidas de tendência central auxiliam nestes casos específicos. 
A mediana é definida como umvalor que está no meio dos dados quando o 
conjunto está ordenado, indicando o centro de um conjunto de dados ordenados 
divididos em duas partes. Em caso do número de observações pares, usa-se a 
média entre os dois elementos centrais (DANTE, 2016; LARSON; FARBER, 2015).
Utilizando o mesmo conjunto de dados das idades dos acadêmicos da 
pós-graduação de uma universidade e podemos obter a mediana. A variável 
idade foi questionada e teve como respostas os valores citados a seguir.
28 35 25 48 30 31 52 30 29 38
Para obtenção da mediana, primeiramente deve-se ordenar os valores dos 
dados.
25 28 29 30 30 31 35 38 48 52
Por se tratar de um número de observações par, deve-se calcular a média 
entre os dois valores centrais, neste caso, os números 30 e 31, com mediana igual 
a 30,5. Suponha que haja um aluno a mais na turma e, com isso, tenhamos o 
conjunto de dados com total ímpar descritos a seguir.
25 28 29 30 30 31 33 35 38 48 52
Desse modo, a mediana será igual a 31, valor central após ordenação dos 
dados.
A última medida de tendência central estudada é a moda que representa o 
valor que ocorre com maior frequência dentro de um conjunto de dados, podendo 
haver duas modas no grupo quando a frequência de repetição é a mesma (DANTE, 
2016; LARSON; FARBER, 2015).
Exemplificando, suponha o conjunto de dados das idades dos alunos da 
pós-graduação para obtenção da moda.
28 35 25 48 30 31 52 30 29 38
Neste caso, a moda será 30, visto que é a única idade que tem maior 
frequência em relação às outras.
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
19
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO
Estudaremos agora as medidas de dispersão ou variação, que têm como 
um dos objetivos comparar a variação em diferentes conjuntos de dados. Dentro 
deste conjunto de medidas, a primeira a ser analisada é a amplitude, medindo a 
diferença entre os valores máximo e mínimo para dados quantitativos. Uma das 
desvantagens desta medição reside no fato de utilizar apenas dois valores em um 
conjunto de dados. Desse modo, tem-se (LARSON; FARBER, 2015):
Amplitude = Valor máximo – Valor mínimo
Para sanar o ponto desfavorável da amplitude, outras medidas de 
dispersão a serem estudadas são a variância e o desvio padrão, medidas que 
utilizam todas as observações do conjunto de dados. Inicialmente, conceituar o 
termo desvio é importante para entendimento da variância e desvio padrão. O 
desvio em termos estatísticos significa a diferença do valor medido em relação 
à média do conjunto de dados. Vale ressaltar que uma propriedade da média 
aritmética, medida de tendência central, reside em que o somatório dos desvios 
de um conjunto de dados é sempre igual a zero. Pode-se concluir que haverá 
grande variabilidade dos dados para altos desvios e baixa variabilidade dos 
dados para pequenos desvios. A variância amostral ou variância populacional 
é definida como uma medida da média dos quadrados dos desvios. A variância 
é expressa como V, σ2, s2, sendo que a variância populacional considera todo o 
universo da pesquisa e a variância amostral apenas uma parte da população, a 
amostra (DANTE, 2016; LARSON; FARBER, 2015; FERREIRA, 2015).
Variância
x MA
n
i
n
ipopulacional = 2� �
�� ��� 1 2
Sendo n o número de medidas, MA a média aritmética e x o valor da 
observação.
Uma desvantagem do uso desta medida consiste no fato de obter como 
resultado uma unidade de medida diferente da unidade das observações, 
compreendendo sempre o quadrado da unidade inicial, em termos da análise 
dimensional. Para eliminar este problema, foi adotado o desvio padrão amostral 
ou populacional, que consiste na raiz quadrada da variância. Dessa maneira, 
o desvio padrão é apresentado na mesma unidade de medida da variável em 
questão. Em síntese, o valor do desvio só será igual a zero se todos os valores 
do conjunto forem iguais e, quanto mais próximo de zero o desvio se encontrar, 
menor será a dispersão dos valores do conjunto (DANTE, 2016; LARSON; 
FARBER, 2015; FERREIRA, 2015).
Desvio padrão populacional = � �
�� ��� in ix MA
n
1
2
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
20
O desvio padrão é utilizado também como base para determinação 
estatística de um importante modelo para gestão da qualidade, o método seis 
sigma, técnica que utiliza ferramentas estatísticas para controle de qualidade. Os 
princípios e procedimentos de aplicação serão abordados ainda neste curso. Para 
conhecer mais sobre o assunto, fique ligado na dica a seguir!
A metodologia de aplicação do seis sigma e seus conceitos podem 
ser entendidos de modo mais aprofundado no artigo Seis sigma como diferencial de 
lucratividade: uma abordagem conceitual, escrito por Rafael Scalabrin, Marcos Eduardo 
Servat, Leandro Dorneles, Claudir Padia, Edio Polacinski.
Para tanto, o texto está disponível em: <http://www.fahor.com.br/publicacoes/sief/2013/
seis_sigma_como_um.pdf>.
Aproveite a leitura!
DICAS
Ademais, outra forma de calcular a variabilidade dos dados é por meio 
do coeficiente de variação, constantemente expresso em porcentagem, o qual 
é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados, 
mensurando assim o grau de variação dos dados em relação à média aritmética, 
sendo um fator adimensional (LARSON; FARBER, 2015; FERREIRA, 2015).
Coeficiente Desvio
média
 de variação = padrão .100
Os principais modos de obter medidas de dispersão de um conjunto de 
dados foram abordados neste item. 
5 MEDIDAS DE POSIÇÃO
As últimas medidas a serem estudadas são as medidas de posição ou 
separatrizes, que compreendem os quartis, decis, percentis e escore padrão. Os 
quartis dividem a distribuição dos dados ordenados em quatro partes, ou seja, o 
primeiro quartil representa 25% das medidas, depois o segundo quartil representa 
50% das medidas, o terceiro quartil 75% das medidas e o quarto quartil 100% das 
medidas. Vale apontar que o segundo quartil corresponde à mediana do conjunto 
de dados. Já para o cálculo de decis e percentis utiliza-se como base a divisão do 
conjunto de dados em dez partes iguais ou cem partes iguais, respectivamente. 
Vale apontar que os resultados são sempre arredondados para o número inteiro 
mais próximo ao representar as medidas, em caso da existência de números 
decimais (LARSON; FARBER, 2015; FERREIRA, 2015).
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
21
Finalmente, a medida escore padrão ou escore-z é definida como o valor 
representado pelo número de desvios padrão em que um valor x se encontra 
a partir da média aritmética do conjunto de dados. Vale ressaltar que o escore 
padrão pode ser positivo, quando o valor analisado for maior que a média, 
negativo, quando o valor for menor que a média ou igual a zero, quando o valor 
analisado for igual a média (LARSON; FARBER, 2015). Desse modo, a medida 
escore padrão é dada por:
z Valor
desvio
=
 X - média aritmética
padrão
O valor escore-z é utilizado como base da distribuição de probabilidade 
normal, amplamente utilizada na estatística e será estudada no item seguinte.
6 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Ao coletar dados para um determinado estudo, é comum a análise da 
distribuição das variáveis de acordo com o número de vezes que são obtidas ou 
o modo que podem ser representadas. “Distribuição de frequência é uma tabela 
em que se resumem grandes quantidades de dados, determinando o número 
de vezes, que cada dado ocorre (frequência) e a porcentagem com que aparece” 
(FERREIRA, 2015, p. 25).
Vale apontar que há diversos modos de organizar e interpretar os 
elementos, sendo necessário primeiramente descrever os principais tipos de 
variáveis que são alcançados em um experimento. As variáveis aleatórias podem 
ser classificadas em discretas ou contínuas. As primeiras são unitárias, ou seja, 
os resultados podem ser enumerados em um conjunto de valores possíveis,já as contínuas possuem número incontável de resultados possíveis, sendo 
representado por uma reta numérica (LARSON; FARBER, 2015).
7 ANÁLISE DE FREQUÊNCIAS ABSOLUTA, RELATIVA E 
ACUMULADA
As frequências, ou seja, número de vezes que dado elemento aparece em 
um conjunto, podem ser classificadas em: frequência absoluta, frequência relativa 
e frequência acumulada (FERREIRA, 2015).
A frequência absoluta corresponde ao número de vezes que um dado 
aparece no conjunto. A frequência relativa corresponde a uma relação da 
frequência absoluta pelo número total de dados de determinado conjunto. A 
frequência acumulada corresponde à soma de cada frequência relativa com 
todas aquelas que lhe são anteriores na distribuição (FERREIRA, 2015).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
22
Um exemplo de aplicação pode ser visto por meio do caso, adaptado, que 
foi apresentado por Ferreira (2015, p. 26).
Um questionário foi aplicado a dez candidatos a uma vaga em uma loja de 
departamentos e os resultados foram organizados na tabela a seguir.
TABELA 1 – CONJUNTO DE DADOS RELATIVOS À QUALIFICAÇÃO E IDADE DOS CANDIDATOS
Candidato da Vaga Grau de escolaridade Idade Tempo de experiência 
na área
1 Ensino Médio 30 7
2 Ensino Superior 35 12
3 Ensino Superior 26 4
4 Ensino Médio 22 1
5 Ensino Médio 28 8
6 Pós-graduação 30 10
7 Ensino Médio 26 3
8 Ensino Superior 33 8
9 Pós-graduação 35 6
10 Ensino Médio 23 2
FONTE: Ferreira (2015, p. 27)
As variáveis de interesse neste exemplo são: Grau d e escolaridade, 
idade e tempo de experiência. Para a demonstração do resultado do cálculo da 
distribuição de frequências das variáveis foi organizada a tabela a seguir.
TABELA 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PARA AS VARIÁVEIS GRAU DE ESCOLARIDADE E 
Variável Classificação
Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa (%)
Frequência 
Acumulada (%)
Grau de 
escolaridade
Ensino Médio 5 50 50
Ensino 
Superior
3 30 80
Pós-graduação 2 20 100
Idade
22 1 10 10
23 1 10 20
26 2 20 40
28 1 10 50
30 2 20 70
33 1 10 80
35 2 20 100
FONTE: Ferreira (2015, p. 28)
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
23
Em suma, a frequência absoluta é igual ao número de vezes que o dado 
aparece no conjunto. A frequência relativa, que pode ser percentual ou numérica, 
é dada pela frequência absoluta dividida pelo número total de observações, neste 
caso igual a 10, e em seguida multiplicada por 100 para obtenção da porcentagem. 
A frequência acumulada, neste caso, apresentada em valores percentuais, é o 
somatório de todas as observações da frequência relativa anteriores àquele dado. 
Posteriormente, as distribuições de frequências estudadas serão aplicadas 
nas representações gráficas apresentadas no Tópico 3 desta unidade.
ESTUDOS FU
TUROS
8 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Ao explorar os dados de determinado experimento, pode-se observar um 
padrão geral regular para descrevê-los. 
A chamada curva de densidade geralmente é uma descrição adequada 
do padrão geral de uma distribuição e tem como características principais estar 
sempre sobre o eixo horizontal ou acima dele, ter área exatamente igual a 1 abaixo 
dela, ter área proporcional a todas as observações dentro do intervalo de análise 
e poder apresentar diversas formas (MOORE, 2011).
Trata-se de uma representação precisa suficiente para ser usada na prática, 
não uma descrição exata do conjunto de dados. Numa curva de densidade, com 
auxílio de ferramentas matemáticas, estabelece-se algumas medidas como a 
mediana, que é dada pelo ponto em que é possível dividir a curva em duas áreas 
iguais e a média é dada pelo ponto de equilíbrio da curva. Vale apontar que numa 
distribuição simétrica a média e a mediana são iguais e correspondem ao ponto 
central da curva. Em geral, a média é representada pela letra μ e o desvio padrão 
por σ (MOORE, 2011).
A distribuição mais comum de probabilidade utilizada na estatística e 
no planejamento experimental é a distribuição normal, em que se têm variáveis 
aleatórias contínuas aplicadas no modelamento de conjuntos de medidas. Na 
distribuição normal há uma curva de densidade em forma de sino, sempre 
simétrica com um único pico. A média corresponde ao ponto central da curva e o 
desvio padrão demonstra a dispersão dos dados no conjunto, Figura 3. Os pontos 
nos quais há mudança na curvatura ocorre a distâncias iguais nos dois lados da 
média, sendo estes pontos de inflexão o desvio padrão (MOORE, 2011; LARSON; 
FARBER, 2015).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
24
FIGURA 3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE
μ+3σμ+2σμ+σµμ-σμ-2σμ-3σ
x
Área total = 1
Pontos de inflexão
FONTE: Larson e Farber (2015)
Visando à padronização de valores em uma curva da distribuição normal, 
utiliza-se o escore z, relação entre a diferença de um determinado valor x com a 
média das observações dividido pelo desvio padrão do conjunto. O escore z nos 
indica quantos desvios padrões a observação original está distante da média e em 
qual direção, ou seja, positivas se posicionadas à direita da média e negativas se 
posicionadas à esquerda da média. Desse modo, a distribuição normal padrão é 
uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão igual a 1 (MOORE, 2011; 
LARSON; FARBER, 2015).
Conforme foi exposto, a área sob uma curva normal representa a proporção 
de observações da distribuição normal naquele determinado intervalo. Para obter 
de modo mais simples tal proporção acumulada, é ideal que se utilize a curva de 
distribuição normal padrão, com o uso do valor do escore z calculado. Para tanto, 
deve-se enunciar o problema em termos da variável x, em seguida padronizar 
x em termos de uma variável normal padrão z e, posteriormente, utilizar uma 
tabela padrão que representa as áreas sob a curva normal padronizada, como 
exemplificada parcialmente pela tabela a seguir.
TÓPICO 2 | PRINCÍPIOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
25
TABELA 3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
FONTE: Larson e Farber (2015)
Desse modo, qualquer variável aleatória normal pode ser calculada e 
sua probabilidade de ocorrência obtida se for transformada para uma variável 
aleatória normal padrão.
26
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A estatística possui dois ramos de estudo principais, a estatística inferencial, 
que utiliza uma parte do conjunto de informações para obter conclusões de 
toda a representação e a estatística descritiva, que envolve a organização e 
reprodução dos dados por meios numéricos ou gráficos.
• As medidas de tendência central representam observações típicas e centrais sobre 
um conjunto de dados, como exemplos as medidas da média, mediana e moda.
• As medidas de dispersão ou variação têm como objetivo principal comparar 
a variação em diferentes conjuntos de dados, como exemplos a amplitude, o 
desvio padrão, a variância e o coeficiente de variação.
• As medidas de posição ou separatrizes compreendem os quartis, decis, percentis 
e escore padrão e representam modos de dividir o conjunto de observações.
• A distribuição de frequências exprime o número de vezes que dado elemento 
aparece em um conjunto, podendo ser classificadas em: frequência absoluta, 
frequência relativa e frequência acumulada. 
• Ademais, a distribuição de probabilidade mais comum aplicada a estatística é 
a distribuição normal, em que se têm variáveis aleatórias contínuas aplicadas 
no modelamento de conjuntos de medidas. Na distribuição normal há uma 
curva de densidade em forma de sino, sempre simétrica com um único pico. A 
média corresponde ao ponto central da curva e o desvio padrão demonstra a 
dispersão dos dados no conjunto.
27
1 (UNCISAL/2015) Em cada bimestre, uma faculdade exige a realização de 
quatro tipos de avaliação, calculando a nota bimestral pela média ponderada 
dessas avaliações. Se a tabela apresentaas notas obtidas por uma aluna nos 
quatro tipos de avaliações realizadas e os pesos dessas avaliações, sua nota 
bimestral foi aproximadamente igual a:
A frequência relativa de funcionários que ganham mensalmente menos de R$ 
2000,00 é de:
a) 0,07.
b) 0,13.
c) 0,35.
d) 0,65.
e) 0,70. 
a) 8,6.
b) 8,0.
c) 7,5.
d) 7,2.
e) 6,8.
2 Quais valores são, respectivamente, a moda, média e mediana dos números 
da lista a seguir?
133, 425, 244, 385, 236, 236, 328, 1000, 299, 325
a) 236; 361,1 e 312.
b) 244; 361 e 312.
c) 236; 360 e 312.
d) 236; 361,1 e 310.
e) 236; 361,1 e 299.
3 (CESGRANRIO/2014) A tabela a seguir apresenta a frequência absoluta das 
faixas salariais mensais dos 20 funcionários de uma pequena empresa.
AUTOATIVIDADE
Avaliação Nota Peso
Prova escrita 6,00 4
Avaliação continuada 7,00 4
Seminário 8,00 2
Trabalho em grupo 9,00 2
Faixa salarial (R$) Frequência absoluta
Menor que 1000,00 6
Maior ou igual a 1000,00 e menor que 2000,00 7
Maior ou igual a 2000,00 e menor que 3000,00 5
Maior ou igual a 3000,00 2
Total 20
28
29
TÓPICO 3
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Há diversas maneiras de se apresentar dados de um experimento ou 
processo. As representações visuais com o uso de gráficos são excelentes para 
facilitar o entendimento do conteúdo das observações. Contudo, há várias formas de 
organizar os dados e plotar os gráficos, o que torna imprescindível a compreensão 
dos fundamentos de cada modelo para melhor escolha ao utilizá-los.
Um modelo gráfico específico extensamente aplicado a administração 
de produção é o Diagrama de Pareto, que apresenta num diagrama de barras 
as principais informações de um sistema de interesse de modo que permita 
evidenciar quais fatores são mais importantes em uma priorização de temas para 
um projeto ou experimento. 
Dessa forma, as principais formas de representar graficamente um 
conjunto de dados serão abordadas neste tópico do trabalho, visando fundamentar 
as principais características específicas de cada um e dar base para uma escolha 
acertada de um modelo adequado a um certo grupo de observações.
2 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
A representação gráfica de um conjunto de dados é exibida com objetivo 
de facilitar a visualização das observações, favorecendo o rápido entendimento 
ao estudar os elementos. Porém, o conhecimento dos principais tipos de gráficos 
é imprescindível para que não existam conclusões equivocadas acerca dos temas.
30
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
De acordo com Dante (2016, p. 40), “a representação gráfica fornece uma 
visão de conjunto mais rápida que a observação direta dos dados numéricos. Por 
isso, os meios de comunicação com frequência oferecem a informação estatística 
por meio de gráficos”. Esta citação enfatiza o motivo pelo qual é tão difundido o 
uso de gráficos, bem mais frequente que tabelas, em artigos de jornais e revistas.
Ademais, Morettin e Bussab (2013) citam que os gráficos são usados 
visando buscar padrões e relações, correlacionando variáveis e estudando se há 
inter-relacionamento entre dados. Além disso, facilita o descobrimento de novos 
fenômenos e a ágil apresentação de resultados. 
Neste tópico, estudaremos os principais tipos de gráficos, iniciando com o 
gráfico de segmentos ou também chamado gráfico de linhas. 
3 GRÁFICO DE LINHAS
O gráfico de linhas é amplamente aplicado para representar a evolução 
das frequências dos valores de uma variável durante um período, exprimindo 
possíveis tendências no conjunto de dados (FERREIRA, 2015; DANTE, 2016).
Relembrando que a frequência absoluta ou apenas frequência representa o 
número de vezes que um valor de uma variável é citado. Já a frequência relativa indica 
a frequência absoluta em que um dado aparece em relação ao total de citações, sendo 
exposta em forma de fração ou porcentagem. Desse modo, a frequência relativa é o 
quociente da frequência absoluta pelo número total de dados. Já a frequência acumulada 
é dada pela soma de cada frequência em conjunto às demais em uma distribuição 
(FERREIRA, 2015; DANTE, 2016).
NOTA
O gráfico de linhas é comumente apresentado em reportagens com 
intuito de demonstrar visualmente dados obtidos em pesquisas e, com uso deste 
tipo de representação, facilitar o rápido entendimento dos leitores, conforme 
exemplos a seguir. 
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
31
FIGURA 4 – GRÁFICO DE LINHAS SOBRE A EVOLUÇÃO DA DÍVIDA PÚBLICA EM 2018
3700
3800
3750
3650
3550
3500
3600
JunhoMaioAbrilMarço
Va
lo
r
Fevereiro
Evolução da dívida pública em 2018
Em bilhões de R$
Janeiro
Dívida pública
FONTE: <https://g1.globo.com/economia/noticia/2018/07/25/divida-publica-federal-sobe-1-em-
junho-e-atinge-r-375-trilhoes.ghtml>. Acesso em: 25 jul. 2018.
Na Figura 4 acima o gráfico de linhas exibe a evolução da dívida pública 
brasileira no ano de 2018. Com base na representação, é possível verificar a 
tendência de aumento da dívida com o passar dos meses do ano corrente. 
A Figura 5, mostrada a seguir, demonstra que a média dos salários dos 
homens tende a ser sempre maior que os das mulheres no estado do Paraná/Brasil.
FIGURA 5 – GRÁFICO DE LINHAS SOBRE A MÉDIA SALARIAL ENTRE HOMENS E 
MULHERES NO PARANÁ
201520132011200920072006200320011999
Homens
Mulheres
R$ 0,00
R$ 250,00
R$ 500,00
R$ 750,00
R$ 1.000,00
R$ 1.250,00
R$ 1.500,00
R$ 1.750,00
R$ 2.200,00
R$ 2.250,00
R$ 2.500,00
R$ 2.750,00
R$ 3.000,00
FONTE: <https://www.bemparana.com.br/noticia/homens-sempre-terao-salarios-melhores-diz-
estudo-estatistico-paranaense>. Acesso em: 25 jul. 2018.
32
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Tomando como base a Figura 5, percebe-se que não há uma tendência 
de redução ou aumento da diferença entre a média dos homens e das mulheres, 
porém mantendo sempre acima o salário dos homens em relação ao das mulheres.
4 GRÁFICO DE SETORES
Já o gráfico de setores ou também denominado gráfico de pizza determina 
a proporção de cada item de análise, somando como frequência acumulada 100%, 
sendo amplamente utilizado para variáveis qualitativas. Desse modo, o gráfico 
exprime de modo bastante visual a proporção que cada setor representa para o 
total, simbolicamente como se cada “pedaço” de pizza expressasse uma categoria 
(MORETTIN; BUSSAB, 2013; DANTE, 2016).
Por se tratar de uma representação utilizada para variáveis qualitativas e 
quantitativas o gráfico de setores é largamente usado em veículos de comunicação.
Nas Figuras 6 e 7 vemos exemplos de aplicações dos gráficos de setores, 
sendo que eles demonstram claramente o percentual correspondente a cada 
categoria dentro do conjunto de dados analisados.
Na Figura 6, o gráfico de setores expõe as emissões globais dos gases do 
efeito estufa por setor econômico, sendo possível com isso concluir qual segmento 
é o maior responsável por tais emissões.
FIGURA 6 – GRÁFICO DE PIZZA – EMISSÕES GLOBAIS DOS GASES DO EFEITO 
ESTUFA POR SETOR ECONÔMICO
Agricultura, 
silvicultura e 
outros usos da terra
Eletricidade e 
aquecimento
Indústria
Transporte
Energia Construções
6%10%
14%
21%
24%
25%
FONTE: <https://noticias.uol.com.br/meio-ambiente/ultimas-noticias/redacao/2015/12/07/eletricidade-
e-o-setor-campeao-na-emissao-dos-gases-do-efeito-estufa.htm>. Acesso em: 25 jul. 2018.
Desse modo, de acordo com a Figura 6, podemos concluir que os setores 
de agricultura e eletricidade são os maiores responsáveis pelas emissões gasosas. 
Outro exemplo de aplicação do gráfico de setores é exposto na Figura 7, que 
demonstra os materiais mais usados em embalagens nos processos de fabricação.
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
33
FIGURA 7 – GRÁFICO DE PIZZA – MATERIAIS UTILIZADOS NO SETORDE EMBALAGENS
PLÁSTICO LIDERA VALOR DE PRODUÇÃO
Nota: valores em milhares de reais
Fonte: IBGE-PIA - Produto (UL)-2010
Elaboração: FGV - Posição 2012
Valor da produção: R$ 46.985.014
Material plástico
17.423.492
37,08%
Papelão 
ondulado
8.807.395
18,75%
Metálicas
7.889.494
16,79%
Cartolina e 
Papel-cartão
4.463.409
9,50%
Papel
2.921.233
6,22%
Vidro
2.185.384
4,65%
Têxteis
2.033.335
4,33%
Madeira
1.261.282
2,68%
FONTE: <https://www.plastico.com.br/wp-content/uploads/2013/07/noticias_grafico_
pizza_001-300x233.jpg>. Acesso em: 25 jul. 2018. 
Analisando a Figura 7, percebe-se que os materiais plásticos já representam 
o maior segmento de matéria-prima para o setor de embalagens.
5 GRÁFICO DE BARRAS E COLUNAS
Outra forma de representação gráfica amplamente utilizada é o gráfico de 
barras, também conhecido como gráfico de colunas, que relaciona desempenho 
de alguma variável com sua respectiva frequência absoluta ou relativa. Algumas 
vezes, visando dar ênfase no valor real podem ser utilizados neste tipo de 
representação a relação entre a variável em análise e seu respectivo valor real 
numérico. As barras podem ser exibidas na posição horizontal ou vertical, sendo 
aplicado a variáveis qualitativas ou quantitativas. Alguns autores consideram 
os gráficos de barras aqueles em que as barras são representadas na direção 
horizontal e gráfico de colunas aqueles em que as barras são representadas na 
direção vertical (MORETTIN, 2010; DANTE, 2016).
Nas Figuras 9 e 10, são exibidos exemplos de gráficos de barras ou colunas. 
Na Figura 9, é apresentada a estimativa das frequências relativas percentuais da 
população com mais de 65 anos no Brasil para as próximas décadas. 
34
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
FIGURA 8 – GRÁFICO DE COLUNAS – PERCENTUAL DA POPULAÇÃO ACIMA 
DE 65 ANOS NO BRASIL
População com mais de 65 anos
201
0 
201
8
202
0
203
0
30
25
20
em % do total
15
10
5
0
25,5
21,920,5
17,4
13,5
9,89,2
7,3
204
0
204
7
205
0
206
0
FONTE: <https://g1.globo.com/economia/noticia/2018/07/25/1-em-cada-4-brasileiros-tera-
mais-de-65-anos-em-2060-aponta-ibge.ghtml>. Acesso em: 25 jul. 2018.
De acordo com a Figura 8, percebe-se aumento progressivo do percentual 
da população acima de 65 anos, sendo que em 2060 haverá cerca de ¼ da população 
brasileira nesta faixa etária.
Já na Figura 9 é mostrada a origem das pessoas solicitando refúgio na 
União Europeia no ano de 2014. Neste caso, são usadas barras horizontais na 
representação e o valor numérico real do número de pessoas que solicitam refúgio.
FIGURA 9 – GRÁFICO DE BARRAS – ORIGEM DAS PESSOAS SOLICITANDO REFÚGIO
 NA UNIÃO EUROPEIA
Origem das pessoas solicitando refúgio na UE
Rússia
Nigéria
Irã
Iraque
Paquistão
Sérvia
Eritrea
Kosovo
Afeganistão
Síria
2014
Total: 840.876
150.000120.00090.00060.00030.0000
FONTE: <https://goo.gl/1JxbNo>. Acesso em: 25 jul. 2018.
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
35
Na Figura 9, o valor numérico real pode ser usado para enfatizar o total de 
pessoas refugiadas, sendo, mesmo assim, um gráfico de barras.
6 HISTOGRAMA
O histograma figura como um dos mais importantes gráficos aplicados 
a estatística. Ele é usado quando há intervalos, ou seja, classes de valores das 
variáveis com relação às frequências absoluta ou relativa, sendo aplicado a 
variáveis quantitativas (MORETTIN; BUSSAB, 2013; DANTE, 2016).
Histograma é um gráfico de barras no qual o eixo horizontal, 
subdividido em vários pequenos intervalos, apresenta os valores 
assumidos por uma variável de interesse. Para cada um destes 
intervalos é construída uma barra vertical, cuja área deve ser 
proporcional ao número de observações na amostra cujos valores 
pertencem ao intervalo correspondente (WERKEMA, 1995, p. 119).
Dessa forma, o histograma é análogo ao gráfico de barras, porém com 
uso de intervalo de classes, geralmente com barras consecutivas encostadas umas 
nas outras. Ademais, o eixo horizontal de um histograma possui as unidades de 
medida para a variável (LARSON; FARBER, 2015).
Outro ponto a ser abordado é que, por meio do histograma, as informações 
da forma de distribuição de um conjunto de dados e a dispersão destes dados em 
torno do valor central pode ser observado facilmente (WERKEMA, 1995). 
A figura a seguir apresenta um histograma da frequência dos equipamentos 
GPS em relação ao intervalo de preços praticados no mercado norte-americano. 
FIGURA 10 – HISTOGRAMA – EQUIPAMENTO DE NAVEGADORES GPS EM RELAÇÃO À 
FAIXA DE PREÇO DE MERCADO
Preço (em dólares)
Fr
eq
uê
nc
ia
 (n
úm
er
o 
de
 
na
ve
ga
do
re
s 
G
PS
)
64,
5
344
,5
304
,5
264
,5
224
,5
184
,5
144
,5
104
,5
8
10
1
2
2 2
4
4
9
6
6
6
FONTE: Larson e Farber (2015)
36
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Pela Figura 11 é possível atentar para o fato de que as faixas de preços 
são mostradas no eixo horizontal e a frequência no vertical. Além disso, percebe-
se que não há uma ordenação decrescente dos grupos de maior frequência. A 
simetria da distribuição é fator de análise para a correta interpretação dos dados 
apresentados nos histogramas.
Para obtenção do número de classes que deve ser apresentado no gráfico, 
comumente utiliza-se a chamada regra da raiz, na qual há o cálculo da raiz 
quadrada do número de observações. O resultado é aproximado para o valor 
inteiro mais próximo e tem-se o número de classes que deve ser separado 
(FERREIRA, 2015).
7 POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS E OGIVA
Quando há o uso de um gráfico de segmentos ligando à sequência dos 
pontos médios superiores de cada intervalo de classes, tem-se um polígono do 
histograma ou polígono de frequências. Geralmente é denominado polígono 
do histograma quando representado em conjunto com um gráfico do tipo 
do histograma e possui como nomenclatura geral polígono de frequências 
(MORETTIN, 2010; DANTE, 2016).
Trata-se de uma representação próxima a de um histograma em termos de 
haverem divisões de classes das observações, porém, há posteriormente a ligação, 
como em um gráfico de linhas, dos valores representativos para cada classe.
Na figura a seguir é apresentado um polígono de frequências mostrando 
a relação do preço dos equipamentos de GPS versus a frequência de cada valor 
médio praticado no mercado norte-americano. 
FIGURA 11 – POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS – FREQUÊNCIA DE PREÇOS DO EQUIPAMENTO 
GPS NO MERCADO NORTE-AMERICANO
FONTE: Larson e Farber (2015)
44,5 84,5 124,5 164,5 204,5 244,5 284,5 324,5 364,5
Preço (em dólares)
8
10
2
4
6
Fr
eq
uê
nc
ia
 (n
úm
er
o 
de
 
na
ve
ga
do
re
s 
G
PS
)
TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS E O PRINCÍPIO 80/20
37
É interessante atentar na Figura 12 que a escala na horizontal não se inicia 
no zero, havendo uma marcação no eixo demonstrando tal alteração.
Outro gráfico a ser estudado é uma ogiva, gráfico de frequência acumulada, 
que é representada por um diagrama de linhas que acumula a frequência de cada 
intervalo de classes (LARSON; FARBER, 2015).
Este tipo de representação é amplamente empregado na área de 
administração de produção.
Na figura a seguir há a representação do preço dos navegadores GPS 
praticados no mercado norte americano em relação a frequência acumulada de 
tais preços.
FIGURA 12 – OGIVA – FREQUÊNCIA ACUMULADA DOS PREÇOS DE EQUIPAMENTOS 
GPS NO MERCADO NORTE-AMERICANO
FONTE: Larson e Farber (2015)
Por meio das Figuras 10, 11 e 12 foi possível confrontar a forma de 
apresentação de um conjunto de dados por meio de alguns tipos de gráficos, visto 
que foram retratadas as mesmas informações, isto é, com o uso do mesmo conjunto