lista de exercicios bloco P3 (1)

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Co´digo da Turma 2019211 - Segundo semestre 2019
LISTA DE EXERCI´CIOS - BLOCO 3 - FI´SICA 1
Prof. Dr. Julio A. Larrea Jime´nez - Departamento de Fı´sica de Materiais
(Dated: 20.10.2019)
Velocidade Angular e Acelerac¸a˜o Angular
PROBLEMA 1: Uma roda parte do repouso com acelerac¸a˜o
constante de 2.6 rad/s2. Apo´s 6 s:
(a) Qual e´ a velocidade angular da roda? [15.6 rad/s]
(b) De qual aˆngulo a roda tera´ girado? [46.8 rad]
(c) Quantas revoluc¸o˜es sa˜o feitas? [7.45 revoluc¸o˜es]
(d) Qual e´ velocidade e a acelerac¸a˜o de um ponto a 0.3 m
medido a partir do eixo central de rotac¸a˜o? [4.68 m/s e 73
m/s2]
PROBLEMA 2: Um disco com 12 cm de raio, inicial-
mente em repouso, comec¸a a girar em torno do seu eixo com
acelerac¸a˜o angular de 8 rad/s2. Para t = 5 s:
(a) Qual e´ a velocidade angular do disco? [40 rad/s]
(b) Qual e´ a acelerac¸a˜o tangencial at e a acelerac¸a˜o centrı´peta
ac de um ponto no eixo do disco? [0.96 m/s2 e 192 m/s2]
PROBLEMA 3: Uma fita de vı´deo cassete em padra˜o VHS
tem um comprimento L = 246 m; a fita toca por 2 horas
(Figura 1). Quando a fita comec¸a, a bobina cheia tem um raio
externo de cerca de R = 45 mm e um raio interno de r = 12
mm. Em algum ponto durante a execuc¸a˜o da fita as duas bobi-
nas teˆm a mesma velocidade angular. Calcule essa velocidade
angular em radianos por segundo e em revoluc¸o˜es por minuto.
[1.04 rad/s e 9.92 rpm]
Figura 1
Momento de Ine´rcia
PROBLEMA 4: Quatro partı´culas em um canto de um
quadrado com lado L = 2 m esta˜o conectadas por barras de
masa desprezı´vel (Figura 2). As massas das partı´culas sa˜o
m1 = m3 = 3 kg e m2 = m4 = 4 kg. Encontre o momento
de ine´rcia do sistema em torno do eixo z indicado. [56 Kg.m2]
Figura 2
PROBLEMA 5: Use o teorema dos eixos paralelos e os re-
sultados do Problema 4 para encontrar o momento de ine´rcia
do sistema de quatro partı´culas na Figura 2 em torno do eixo
perpendicular ao plano da configurac¸a˜o e que passa atrave´s
do centro de massa do sistema. Verifique seu resultado por
computac¸a˜o direta do momento de inercia. [28 Kg.m2]
PROBLEMA 6: Dois pontos de massa m1 e m2 sa˜o separa-
dos por uma barra sem massa de comprimento L.
(a) Escreva uma expressa˜o para o momento de ine´rcia em
torno de um eixo perpendicular a` barra e que passa por ele
a uma distaˆncia x da massa m1. [m1x2 +m2(L− x)2]
(b) Calcule dI/dx e mostre que I e´ mı´nimo quando o eixo
passa atrave´s do centro de massa do sistema. [I e´ mı´nimo
para x = m2L/(m1 +m2)]
PROBLEMA 7: Uma placa retangular uniforme tem massa
m e lados a y b.
2
(a) Mostre por integrac¸a˜o que o momento de ine´rcia da placa
em torno de um eixo que e´ perpendicular a` placa e passa por
um dos cantos da mesma e´ m(a2 + b2)/3.
(b) Qual e´ o momento de ine´rcia em torno de um eixo per-
pendicular a` placa que passa atrave´s de seu centro de massa?
[ICM = m(a2 + b2)/12]
PROBLEMA 8: Um cilindro oco tem massa m, massa es-
pecı´fica ρ, raio externo R2, sendo o seu raio interno R1.
Mostre que seu momento de ine´rcia em torno do seu eixo de
simetria e´ dado por I = m/2(R22 +R
2
1).
PROBLEMA 9: Use a integrac¸a˜o para determinar o mo-
mento de ine´rcia de um cone so´lido circular reto e homogeˆneo
de altura H , raio da base R e massa especı´fica ρ em torno de
seu eixo de simetria. [I = (3/10)MR2]
Torque, Segunda Lei de Newton para a
Rotac¸a˜o, e Energı´a Cine´tica Rotacional
PROBLEMA 10: Um cilindro de 2.5 Kg e raio de 11 cm,
inicialmente em repouso, e´ livre para girar em torno do seu
eixo. Uma corda de massa desprezı´vel e´ enrolada em torno do
cilindro e puxada com uma forc¸a de 17 N. Encontre
(a) O torque exercido pela corda. [1.87 N.m]
(b) A acelerac¸a˜o angular do cilindro. [124 rad/s2]
(c) A velocidade angular do cilindro para t = 5 s. [620 rad/s]
PROBLEMA 11: Um peˆndulo consistindo em uma corda de
comprimento L ligada a uma massa m, balanc¸a em um plano
vertical. Quando a corda esta´ em um aˆngulo θ com a vertical:
(a) Qual e´ a componente tangencial da acelerac¸a˜o do peˆndulo?
[gsenθ]
(b) Qual e´ o torque exercido sobre o ponto de fixac¸a˜o do
peˆndulo? [mgLsenθ]
(c) Mostre que τ = Iα com at = Lα resulta na mesma
acelerac¸a˜o tangencial que aquela encontrada na parte (a).
[gsenθ]
PROBLEMA 12: Um bloco de 4 Kg em repouso sobre uma
base horizontal sem atrito esta´ ligado por uma corda que passa
por uma roldana a um bloco de 2 Kg (Figura 3). A roldona e´
um disco uniforme de raio 8 cm e massa 0.6 Kg.
(a) Encontre a velocidade do bloco de 2 Kg apo´s ele cair, a
partir do repouso, uma distaˆncia de 2.5 m. [3.95 m/s]
(b) Qual e´ a velocidade angular da roldana nesse momento?
[49.3 rad/s]
PROBLEMA 13: Resolva o Problema 12 para o caso em que
o coeficiente de atrito entre a base e o bloco de 4 Kg e´ de 0.25.
[2.79 m/s e 34.9 rad/s]
PROBLEMA 14: O sistema da Figura 4 e´ abandonado do re-
pouso. O bloco de 30 Kg esta´ a 2 m acima da base. A roldana
e´ um disco uniforme com raio de 10 cm e massa de 5 Kg. En-
Figura 3
contre
(a) A velocidade do bloco de 30 Kg no instante em que ele
bate na base. [2.73 m/s]
(b) A velocidade angular da roldana nesse instante. [27.3
rad/s]
(c) A trac¸a˜o na corda. [Temos duas: 234 N e 238 N]
(d) O tempo que leva para o bloco de 30 Kg alcanc¸ar a base.
Considere que a corda na˜o desliza na roldana. [1.47 s]
Figura 4
PROBLEMA 15: Uma esfera uniforme de massa M e raio
R e´ livre para girar em torno do eixo que passa pelo seu
centro. Uma corda e´ enrolada em torno da esfera e presa a
um objeto de massa m, como mostrado na Figura 5. En-
contre a acelerac¸a˜o do objeto e a trac¸a˜o na corda. [a =
g/(1 + (2M/5m)) e a trac¸a˜o e´ 2mMg/(5m+ 2M)]
PROBLEMA 16: Uma ma´quina de Atwood tem dois corpos
3
Figura 5
de massas m1 = 500 g e m2 = 510 g, ligadas por uma corda
de massa desprezı´vel que passa por uma roldana (Figura 6)
sem atrito com seu eixo. A roldana e´ um disco uniforme
com massa de 50 g e raio de 4 cm. A corda na˜o escorrega
na roldana.
(a) Encontre a acelerac¸a˜o dos corpos. [0.0948 m/s2]
(b) Qual e´ a trac¸a˜o na corda que sustenta m1? e na corda que
sustenta m2? Qual e´ a sua diferenc¸a? [4.9524 N, 4.9548 N, e
0.0024 N]
(c) Quais teriam sido suas respostas se a massa da roldana
tivesse sido desprezada? [0.0971 m/s2, 4.9536N, 4.9536N, e
0]
Figura 6
PROBLEMA 17: Um cilindro uniforme de massa m1 e raio
R e´ pivotado em um eixo sem atrito. Uma corda de massa
desprezı´vel, enrolada em torno do cilindro, esta´ conectada a
um bloco de massa m2 que esta´ sobre um plano inclinado de
um aˆngulo θ isento de atrito, como mostrado na Figura 7. O
sistema e´ abandonado do repouso com m2 posicionado a uma
altura h acima da base do plano inclinado.
(a) Qual e´ a acelerac¸a˜o do bloco? [a = gsenθ/(1 +
m1/(2m2))]
(b) Qual e´ a trac¸a˜o na corda? [(1/2)m1gsenθ/(1 +
m1/(2m2))]
(c) Qual e´ a energia total do sistema cilindro-bloco-Terra
quando o bloco esta´ na altura h? [E = m2gh]
(d) Qual e´ a energia total do sistema quando o bloco esta´ na
base do plano inclinado e tem velocidade v? [Ebase = m2gh]
(e) Qual e´ o valor da velocidade v? [v =√
2gh/(1 +m1/(2m2))]
(f) Encontre as mesmas respostas para os casos extremos de
θ = 0◦, θ = 90◦ e m1 = 0. [Para θ = 0◦, a = T = 0.
Para θ = 90◦, a = g/(1 + m1/(2m2)), T = (1/2)m1a,
v =
√
2gh/(1 +m1/(2m2)). Para m1 = 0, a = gsenθ,
T = 0, e v =
√
2gh.]
Figura 7
Quantidade de Movimento Angular
PROBLEMA 18: Uma partı´cula movendo-se com veloci-
dade constante tem uma quantidade de movimento angular
nula em relac¸a˜o a um determinado ponto. Mostre que essa
partı´cula so´ pode estar se movendo em direc¸a˜o ao ponto ou
afastando-se do ponto atrave´s do ponto.
PROBLEMA 19: Uma partı´cula de 1.8 Kg se move se-
gundo uma trajeto´ria circular com 3.4 m de raio. O mo´dulo
de sua quantidade de movimento angular em relac¸a˜o ao cen-
tro do cı´rculo depende do tempo e pode ser expressa por
L = (4N.m)t.(a) Determine o mo´dulo do torque atuante sobre a partı´cula.[4
N.m]
(b) Determine a velocidade angular da partı´cula em func¸a˜o do
tempo. [0.192t rad/s2]
PROBLEMA 20: Um proje´til de massa M e´ lanc¸ado a
um aˆngulo θ com uma velocidade inicial v. Considerando
o torque e quantidade de movimento angular em relac¸a˜o ao
4
ponto de lanc¸amento, mostre explicitamente que dL/dt = τ .
Ignore os efeitos da resisteˆncia do ar (use as equac¸o˜es para o
movimento parabo´lico de proje´teis).
PROBLEMA 21: Dois discos de massas ideˆnticas, pore´m
de raios distintos (r e 2r), esta˜o girando sobre mancais sem
atrito com a mesma velocidade angular ω0, pore´m em senti-
dos opostos (Figura 8). Os dois discos sa˜o aproximados lenta-
mente. A forc¸a de atrito resultante entre as superfı´cies faz
com que eles passem a girar com a mesma velocidade angu-
lar. Qual e´ o mo´dulo dessa velocidade angular final em func¸a˜o
de ω0? [(3/5)ω0]
Figura 8
REFERENCIAS
1) Libro ”Fı´sica”, Volume 1, Sexta Edic¸a˜o, autores P. A. Tipler
e G. Mosca, Editora LTC, 2009.
2) Libro ”Fı´sica I”, 12th Edic¸a˜o, autores Sears & Zemansky,
Pearson Education, 2008.
INFORMAC¸O˜ES RELEVANTES
1) Os problemas foram cuidadosamente selecionados com o
fim de mostrar a utilidade da disciplina em outras a´reas.
2) As grandezas fı´sicas com negrito representam quantidades
vetoriais.
3) Embora na˜o se solicite a entrega da resoluc¸a˜o dos prob-
lemas, se recomenda fortemente que o aluno resolva todos
eles para compreender o curso e, estar preparado para as
avaliac¸o˜es.
4) Se recomenda assistir a` MONITORIA e contatar ao MONI-
TOR para tirar du´vidas em relac¸a˜o a` resoluc¸a˜o dos problemas.