PROBLEMAS VIBRACOES E RUIDO_A

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Departamento de Engenharia Mecânica 
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VIBRAÇÕES E RUIDO 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
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Revisões 
 
 
Problema 0.1 – Realizar as seguintes operações no conjunto dos complexos: 
a) (2 + 3 i) + (3 + i) 
b) (4 + 5 i).(3 – 2 i) 
c) (2 + 2 i)/(3 - 1 i) 
 
Solução: a) (5 + 4 i) ; b) (22 + 7 i) ; c) i
5
4
5
2 + 
 
 
Problema 0.2 – Efectuar as seguintes operações, representando graficamente. 
a) i78854,0e5X =
r
 
b) i5,0i5,0 e4e3X ´=
r
 
c) i9,0i7,0 e2e2X =
r
 
 
Solução: b) i5,0e12X =
r
 ; c) i2,0e2X -=
r
 
 
 
 
Parte I Vibrações 
 
 
 
1. Introdução 
 
 
Problema 1.1 - Um movimento harmónico simples tem a seguinte equação 
( ) [ ]3t30sen10tx p-= [mm] com t em [s] e o ângulo de fase em [rad]. Determine: 
a) A frequência, o período e a frequência angular do movimento. 
b) O deslocamento, velocidade e aceleração máximas. 
c) O deslocamento, velocidade e aceleração para t = 0 [s]. 
d) O deslocamento, velocidade e aceleração para t = 1,2 [s]. 
 
Solução: 
a) f = 4,77 [Hz] ; T = 0,21 [s] ; w = 30 [rad/s] 
b) xmax = 0,01 [m] ; 3,0xmax =& [m/s] ; 9x max =&& [m/s
2] 
c) x = -8,66 [mm] ; 15,0x =& [m/s] ; 794,7x =&& [m/s2] ; 
d) x = -3,85 [mm] ; 277,0x -=& [m/s] ; 466,3x =&& [m/s2] ; 
 
 
Problema 1.2 - Determine a soma de dois movimentos harmónicos simples: 
( ) ( )tcos10tx1 w= ; ( ) ( )2tsen15tx 2 +w= 
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Solução: x(t) = 14,15 cos (w t + 74,6°) 
 
 
Problema 1.3 - Determine a soma de dois sinais harmónicos: 
a) x1 = 4 cos 20 t ; x2 = 7 sen 20 t 
b) x1 = 17 sen 10 t ; x2 = 10 cos 10 t 
c) x1 = 12 sen (20 t +3) ; x2 = 7 cos (20 t – 3) 
d) x1 = 10 sen (20 t +0,7854) ; x2 = 10 sen (20 t + 3,9270) 
 
Solução: a) x = 8,06 sen (20 t + 0,519) ; b) x = 19,72 cos (10 t – 1.039) 
c) x = 12,08 sen (20 t - 2,6939) ; d) x = 0 
 
 
Problema 1.4 - Determine a frequência expressa em Hz e em r.p.m., assim como o 
período T dos seguintes sinais. 
a) w = 314,159 rad/s 
b) w = 104,720 rad/s 
c) f = 230 Hz 
d) T = 10 mseg 
 
Solução: a) f = 50 Hz ; f =3000 r.p.m.; T = 0,02 s 
 b) f = 16,67 Hz ; f =1000 r.p.m.; T = 0,06 s 
c) w = 1445,13rad/s ; f =13800 r.p.m.; T = 0,00435 s 
d) f = 100 Hz ; f =6000 r.p.m.; w = 628,32 rad/s 
 
 
Problema 1.5 – Uma máquina está sujeita ao movimento harmónico 
( ) ( )a+= t50cosAtx . As condições iniciais são ( ) 30x = mm ; ( ) 0,10x =& m/s. 
Determine A e a. 
 
Solução: A=0,02 m ; a=-81,47° 
 
 
Problema 1.6 – Um veiculo motorizado com velocidade de 100 km/h move-se 
sobre uma estrada com lombas, como mostra a figura P1.6. Considerando não haver 
amortecimento , determine o movimento a que o veiculo está sujeito. 
Figura P1.6 
 
Solução: ( ) ( )t1.29cos01,0tx 2 = 
 
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Problema 1.7 – Foi registado um sinal típico de batimento cujo período era de 
Tb = 1 s atingindo uma oscilação máxima de 50 m . A frequência registada no sinal era 
de 23 Hz. Determine as frequências e amplitudes presentes no sinal. 
 
Solução: f1 = 23,5 Hz ; f2 = 22,5 Hz ; x1 = x2 = 25 m 
 
 
 
2. Formulação das equações de movimento para 
um grau de liberdade 
 
 
Problema 2.1 – Um sistema massa e mola tem um período natural igual a 0,21 s. 
Qual será o novo período e frequências se a constante de rigidez da mola “k” 
a) Aumentar 50%; 
b) Diminuir 50% 
 
Solução: a) T=0,171 s , f=5,85 Hz ; b) T=0,297 s , f=3,37 Hz ; 
 
 
Problema 2.2 – Um automóvel com uma massa de 2000 kg, deforma a suspensão 
(constituída por molas) em 0,02m, em condições estáticas. Determine a frequência 
natural do automóvel na direcção vertical, assumindo que o amortecimento é 
desprezável. 
 
Solução: 13,22n =w rad/s 
 
 
Problema 2.3 – Determine a frequência natural do sistema da figura P2.3. Assuma 
que as roldanas têm massa desprezável. 
 
Figura P2.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: ( )21
21
n kkm4
kk
+
=w 
 
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Problema 2.4 – Três molas e uma massa estão ligadas rigidamente a uma barra PQ, 
de peso desprezável, como mostra a figura P2.4 . Determine a frequência natural do 
sistema. 
 
Figura P2.4 
 
Solução: 
( )
( )233222211
2
22
2
113
n LkLkLkm
LkLkk
++
+
=w 
 
 
Problema 2.5 – A cesta de uma viatura de Bombeiros está colocado no fim de um 
sistema hidráulico, como mostra a figura P2.5 . A cesta, juntamente com o bombeiro 
pesam 2000N. Determine a frequência natural do sistema na direcção vertical. 
 
Dados: 
 
E =210 GPa 
 
l1 = l2 = l3 = 3 m 
 
A1 = 20 cm2 
 
A2 = 10 cm2 
 
A3 = 5 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P2.5 
 
Solução: 37,263n =w rad/s 
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Problema 2.6 – A figura P2.6 mostra o esquema de um canhão. Quando a arma 
dispara, gases a alta pressão aceleram o projéctil dentro do canhão a velocidades 
elevadas. As forças de reacção puxam o canhão na direcção oposta ao projéctil. Visto 
que é desejável trazer o canhão para o repouso no menor tempo possível sem 
oscilação, é colocado um sistema de recolha constituído por mola e amortecedor. 
Neste caso particular, o canhão e o sistema de recolha têm uma massa de 500 kg e a 
mola do sistema de recolha tem uma rigidez de 10000 N/m. O canhão recua 0.4m 
após o disparo. Determine: 
a) O coeficiente de amortecimento do sistema de recolha; 
b) A velocidade inicial a que o canhão recua; 
c) O tempo que demora o canhão a voltar para a posição 0,1 m da posição inicial. 
Figura P2.6 
 
Solução: a) c = 4472,1 Ns/m ; b) ( ) 86,40tx ==& m/s ; c) t = 0,82 s 
 
 
Problema 2.7 – A matriz de uma prensa pesa 5000N e está montada numa 
fundação com a constante de rigidez de 5x106 N/m e um coeficiente de 
amortecimento de 104 Ns/m. Durante o processo de prensagem, o punção que pesa 
1000 N, cai de uma altura de 2 m, sob a matriz. A matriz encontrava-se em repouso 
antes do impacto. Assuma que o coeficiente de restituição entre a matriz e o punção 
( r ) é de 0,4. Determine a resposta da matriz depois do impacto. 
Nota ( ) ( )2t1t1a2a vvmvvM -=- ; ÷÷ø
ö
ççè
æ
-
-
=
1t1a
2t2a
vv
vv
r 
 
Figura P2.7 
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Solução: ( ) t5,98sene015.0tx t8,9-= [m] 
 
 
Problema 2.8 – Assumindo que o ângulo de fase é zero, mostre que a resposta de 
um sistema sub-amortecido de 1 grau de liberdade atinge o máximo, quando 
2
a 1tsen x-=w 
 
 
Problema 2.9 – Foi necessário projectar uma suspensão sub-amortecida para uma 
mota cuja massa é de 200 kg. Quando a suspensão é sujeita a uma velocidade inicial 
vertical devidaa irregularidade do solo, obtêm-se uma curva de resposta, como 
mostra a figura P2.9 . Determine a constante de rigidez e o coeficiente de 
amortecimento de suspensão se o período amortecido é de 2s e a amplitude x1 deve 
ser reduzir um quarto em meio ciclo (i.e. 4xx 15.1 = ). Determine também a 
velocidade inicial que conduz ao deslocamento máximo de 250mm. 
 
Figura P2.9 
 
Solução: k=2353 N/m; c=552,9Ns/m; 43,1x inicial =& m/s 
 
 
Problema 2.10 – Considere que a vibração forçada da massa m, ligada a uma mola 
de rigidez 2000N/mé provocada por uma força harmónica de 20 N, cuja frequência é 
de 10 Hz. A máxima amplitude de vibração medida é de 0,1m e assumindo que 
estamos em regime estacionário, calcule a massa do sistema. 
 
Solução: m=0,45 kg 
 
 
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Problema 2.11 – A figura P2.11 mostra o modelo de um veiculo motorizado que 
vibra na direcção vertical quando anda sobre uma estrada com lombas. A massa do 
veiculo é de 1200kg. A suspensão é constituída por uma mola de rigidez 400kN/m, e 
um factor de amortecimento x=0,5. Se a velocidade do veiculo é de 100 km/h, 
Determine a amplitude de deslocamento do veiculo. Superfície da estrada varia 
sinusoidalmante com uma amplitude Y=0,05m e um comprimento de onda de 6 m. 
 
 
Figura P2.11 
 
Solução: X=0,043m 
 
 
Problema 2.12 – Uma máquina pesada, cujo peso é de 3000 N, é suportada por 
uma fundação elástica. A deformação estática da fundação, devida ao peso da 
máquina é de 7,5 cm. Verifica-se que a máquina vibra com uma amplitude de 1 cm 
quando a base da fundação é sujeita a uma oscilação harmónica à frequência natural 
do sistema, com amplitude de 0,25 cm. Determine: 
a) A constante de amortecimento da fundação. 
b) A amplitude de deslocamento da máquina relativamente à base. 
 
Solução: a) c = 902 Ns/m ; Xn = 9,69 mm 
 
 
Problema 2.13 – Uma base flexível com K = 87600 N/m suporta um pequeno 
motor que trabalha a 1800 r.p.m. e tem uma massa desequilibrada de 28,5 g a uma 
distância de 0,15 m. Com o motor parado, a base foi retirada da sua posição de 
equilíbrio e libertada. Foi medido uma frequência de oscilação de 15 Hz. A razão de 
amplitudes entre a primeira e a vigésima primeira oscilação é de 1,1. Que amplitude 
de vibração terá o sistema com o motor a trabalhar. 
 
Solução: X =5,77x10-4m 
 
 
Problema 2.14 – A hélice da cauda de um helicóptero pode ser modelada como um 
problema de massas desequilibradas, com uma rigidez de 105 n/m, e uma massa 
equivalente de 80 kg, sendo 20kg de hélice. Suponha que a uma massa de 500g está 
agarrada a uma das pás, a uma distância de 15 cm do eixo de rotação. Calcule a 
magnitude da flexão da secção da cauda do helicóptero se as hélices da cauda rodarem 
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a 1500 r.p.m.. Assuma um factor de amortecimento x = 0,01. A que velocidade das 
hélices da cauda a flexão é máxima e qual o seu valor. 
 
Figura P2.14 
 
Solução: X = 0,99 mm; wn = 338 r.p.m. ; Xmax = 46,9 mm 
 
 
Problema 2.15 – A figura mostra as respostas em vibração livre de um motor 
eléctrico que pesa 500 N montado em duas fundações diferentes. Identifique : 
a) A natureza do amortecimento de cada fundação; 
b) A coeficiente de rigidez e de amortecimento de cada fundação; 
c) A frequência amortecida e a frequência natural do motor eléctrico. 
Figura P2.15 
 
Solução: a) (a) sub-amortecido; (b) sub-amortecido; 
b) (a) c = 357,8 Ns/m ; k = 50914,7 N/m ; (b) c = 208,6 Ns/m ; k = 50496,5 N/m ; 
c) (a) wn = 31,59 rad/s ; wa = 31.4 rad/s ; (b) wn = 31,46 rad/s ; wa = 31.4 rad/s ; 
 
 
Problema 2.16 (Problema 1 (8 val.) exame Época especial de 29/07/97) Dados: 
m= 2 kg ; M= 10kg ; f= 3.2Hz ; F= 50 N 
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k
k
k
k
m
Considere o sistema da figura. Quando se colocou a massa m 
na caixa de massa M, o sistema deslocou-se da sua posição 
de equilíbrio para uma outra 2 mm mais abaixo. 
Posteriormente aplicou-se ao sistema a força f(t) do tipo 
sinusoidal de amplitude F. Verificou-se que o sistema 
possuía os deslocamentos máximos, em regime estacionário, 
quando a frequência da força era de f= 3.2 Hz. Determine: 
a) O valor da rigidez k de cada mola; 
b) O coeficiente de amortecimento c do amortecedor ; 
(se não fez a alínea a) considere k= 10 kN/m) 
c) A força transmitida ao suporte quando a frequência da força for igual a 6.5 Hz ; 
(se não fez a alínea b) considere c= 350 kNs/m) 
d) Diga para o caso da força referida na alínea b) como poderia diminuir a força 
transmitida ao suporte, tendo a possibilidade de escolher uma grande variedade de 
molas e amortecedores. Justifique. 
 
Solução: a) k cada mola = 4900N/m; b) c = 340,6Ns/m; c) Ft r = 64,2N . 
 
 
Problema 2.17 (Problema 1 (8 val.) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 19/02/98) 
A figura representa uma estrutura de apoio para um motor eléctrico de accionamento 
de um elevador de um prédio. A estrutura tem uma 
massa m=50kg e encontra-se apoiada em quatro 
molas iguais de rigidez k. O motor possui uma 
velocidade de rotação de 375rpm e tem um peso de 
1470N. Ao ser colocado sobre a estrutura esta 
deslocou-se 3mm da sua posição de equilíbrio. 
Calcule: 
a) A rigidez k de cada mola de apoio; 
b) A frequência natural ww n do conjunto motor/estrutura/molas; 
c) Pretende-se diminuir os esforços dinâmicos transmitidos ao prédio por 
vibrações. Considerando que o sistema (motor/estrutura/molas) encontra-se já 
montado e que a solução mais simples é a colocação de quatro amortecedores, 
calcule o coeficiente de amortecimento c de cada amortecedor que recomendaria 
instalar; 
d) Sendo possível escolher outro conjunto de molas, calcule a rigidez k de cada 
mola de modo apenas seja transmitido ao prédio 50% das forças aplicadas pelo 
motor. 
 
Solução: a) k = 122,5 KN/m; b) wn = 49,5 rad/s; c) c = 4949Ns/m; d) k = 25,7 KN/m. 
 
 
Problema 2.18 (Problema 1 (8 val.) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 27/02/98) A 
figura representa um sistema de um grau de liberdade que possui uma massa rotativa 
desequilibrada m=500g a uma distância r=50mm do centro de rotação. Através de 
ensaios de vibração livre determinaram-se os valores do decremento logarítmico 
 
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dd =1.622 e do período amortecido Ta= 26 mseg. Sabendo que a massa M= 40 kg 
determine 
k k
M
c
w m
r
 
a) a frequência natural ww n do sistema; 
b) o coeficiente de rigidez k de cada mola; 
c) o coeficiente de amortecimento c do amortecedor 
d) as maiores amplitudes de vibração do sistema e a 
velocidade de rotação a que ocorrem 
e) o valor da amplitude da força transmitida à base 
de apoio do sistema quando a massa rotativa 
desequilibrada possuir uma frequência de rotação 
f=90Hz. 
 
 
Solução: a) wn = 249,6rad/s; b) k = 1261KN/m ;c) c = 5054Ns/m; d) .X = 1,29mm ; 
 v = 2550r.p.m. ; e) Ft r =2831,7 N 
 
 
Problema 2.19 (Problema 1 ( 9 val. ) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 01/07/97) 
Considere o sistema da figura 1. A massa encontra-se montada sobre uma mola de 
rigidez k e um amortecedor de coeficiente de amortecimento c. A força ( )f t que está 
aplicada sobre a massa é do tipo sinusoidal, possui uma frequência f e uma amplitude 
F. Ensaiou-seo sistema em vibração livre e obteve-se o gráfico do deslocamento x da 
massa m em função do tempo. Considerando que a base de suporte se encontra 
rigidamente ligada ao solo determine: 
 
Dados: m = 20kg; f = 0,5 Hz; F = 70N 
 
 
Figura 1 
a) A frequência natural do sistema; 
b) A constante de rigidez k da mola e o coeficiente de amortecimento c do 
amortecedor; 
c) A força transmitida ao suporte devido à acção da força ( )f t ; 
d) Se pretender diminuir a força transmitida ao suporte e se apenas for possível alterar 
o valor do coeficiente de amortecimento, diga justificando se aumentava ou 
diminuía o seu valor. 
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Nota : Se não efectuou a alínea b) considere K = 70 N/m e c = 400 Ns/m 
 
Solução: a) wn = 2,09 rad/s ;b) k = 87,4N/m , c = 11,36Ns/m; c) Ft r = 57,2N; 
d) Diminuir o coeficiente de amortecimento. 
 
 
Problema 2.20 (Problema 1 ( 9,5 val. ) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 08/07/97) 
O trem de aterragem de um avião pode ser idealizado, como mostra a figura 1, como 
um sistema massa mola amortecedor . Vamos supor que o sistema apenas vibra na 
direcção vertical quando se desloca sobre uma pista de aterragem de perfil irregular. 
A massa do veiculo é de 1200kg. A suspensão é constituída por duas molas idênticas 
de rigidez 130kN/m e um amortecedor com coeficiente de amortecimento igual a 
20kNs/m e o avião desloca-se a 90km/h. Determine: 
 
Figura 1 
 
a) A frequência natural do sistema; 
b) O período de oscilação em regime estacionário; 
c) A amplitude do deslocamento do avião a esta velocidade, em regime estacionário; 
d) A amplitude de deslocamento se o amortecedor ficar inoperativo. Justifique; 
e) A velocidade aproximada do avião que produz maiores amplitudes de 
deslocamentos. 
 
Solução: a)wn = 14,72rad/s ;b) T = 0,278s ;c) X 0 0,037m;d) X = 0,03m; 
e) v = 59Km/h. 
 
 
Problema 2.21 (Problema 1 ( 9,5 val. ) exame 2ªÉpoca 12/09/97) Um fundação 
elástica suporta um pequeno motor de 100kg que trabalha a 400 r.p.m. e tem uma 
massa desequilibrada de 1kg a uma distância de 0,2m. A deformação estática de 
fundação devido ao peso do motor é de 25mm, e tem um factor de amortecimento de 
x = 0 3, . Determine: 
a) A frequência natural do sistema; 
b) O período de oscilação em regime estacionário; 
c) A amplitude do deslocamento do motor quando este trabalhar em regime 
estacionário; 
d) A máxima amplitude de deslocamento e a velocidade do motor que a produz; 
e) As amplitudes de deslocamento do motor se o factor de amortecimento for 
x = 0 05, para os “b ” das alíneas c) e d). Compare os resultados com os obtidos 
nas alíneas c) e d), e justifique. 
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Solução: a) wn = 19,8rad/s ; b) w = 41,9rad/s ; c) X = 2,4mm ;d) X = 3,3mm e 
v = 189,1 r.p.m.; e) X(b=2,1) = 2,58mm e X(b=1) = 20mm 
 
 
3. Caracterizações de sinais 
 
 
Problema 3.1 – Analise uma onda quadrada periódica pela serie de Fourier. 
 
Figura P3.1 
 
Solução: tnsen
n
4
.....t3sen
3
4
tsen
4
)t(f w
p
++w
p
+w
p
= com n impar 
 
 
Problema 3.2 – Determine a serie de Fourier que descreve o movimento de uma 
válvula num sistema de cames e alavancas. 
 
FiguraP3.2 
 
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Solução: ( ) úû
ù
êë
é -w-w-w-p
p
= Kt3sen
3
1
t2sen
2
1
tsen
2
Y
l
l
tx
1
2 
 
 
Problema 3.3( Problema 2 (5 val.) exame Época especial 29/07/97) 
Um cilindro pneumático aplica uma força a um sistema massa/mola/amortecedor de 
acordo com o gráfico indicado na figura da página seguinte. Sabendo que a equação 
do movimento do sistema é mx’’ + cx’ + kx = f(t) em que f(t) representa a força 
perturbadora do cilindro responda às seguintes questões: 
 
 
a) Como efectuaria a análise à força perturbadora do sistema de modo a 
poder efectuar o estudo do mesmo ; 
b) Escreva a expressão que permite calcular os coeficientes de fourier da força 
perturbadora 
 
Solução: f(t) = 10t para 0[ t/n áT/2 e f(t) = 10 para T/2[ t/n áT 
 
 
Problema 3.4 (Problema 2 ( 2 val. ) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 08/07/97) 
Determine a série de Fourier da função periódica da figura 2.A. Desenhe o espectro de 
frequência correspondente. Se a função fosse a representada na figura 2.B, diga sem 
efectuar cálculos, como seria o seu espectro de frequência. 
Figura 2A 
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Figura 2B 
Solução: f(t) = 2 KN 
 
 
Problema 3.5 (Problema 2 (2,5 val. ) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 08/07/97) A 
força perturbadora de um sistema encontra-se representada graficamente na figura 2 ( 
pagina seguinte ). De modo a possibilitar o estudo da resposta do sistema é necessário 
efectuar uma análise de Fourier à função força. Determine : 
a) A frequência fundamental de força; 
b) A expressão que permite calcular os coeficientes de Fourier para o caso em estudo. 
 
 
Figura 2 
Solução: a) w = prad/s ; b) f(t) = -20t para 0[ t/n áT/4 ; 
f(t) = 20t - 20 para T/4[ t/n á3T/4 ; f(t) = 40 – 20t para 3T/4[ t/n áT 
 
 
Problema 3.6 (Problema 2 ( 2,5 val. ) exame 2ªÉpoca 12/09/97) A força 
perturbadora de um sistema encontra-se representada graficamente na figura 2. De 
modo a possibilitar o estudo da resposta do sistema é necessário efectuar uma análise 
de Fourier à função força. Determine : 
a) A frequência fundamental de força; 
b) A expressão que permite calcular os coeficientes de Fourier para o caso em estudo. 
 
Figura 2 
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Solução: a) w = p/2 rad/s ; b) f(t) = 10t para 0[ t/n áT/2 ; f(t) = 20 para T/2[ t/n áT 
 
 
4. Aplicação das vibrações no diagnóstico de 
avarias em equipamentos 
 
 
Problema 4.1 (Problema 3 (3 val.) exame Época especial 29/07/97) 
Foi medido o deslocamento pico a pico num ponto de um equipamento rotativo. O va-
lor registado foi de 0.2mm quando a velocidade de rotação era de 1500 rpm e de 
0.07mm quando a velocidade passou para 3000 rpm. Considerando que as vibrações 
ocorrem à velocidade de rotação do equipamento determine: 
a) as acelerações expressas em m/s2 [RMS] para as duas velocidades de funciona-
mento do equipamento; 
b) verifique qual das acelerações calculadas em a) é maior. Justifique o resultado en-
contrado, referindo se era de esperar a grandeza relativa das acelerações. 
 
Solução: a) a1 = 1,74 m/s2 [RMS] ; a2 = 2,44 m/s2 [RMS] 
 
 
Problema 4.2 (Problema 2 (4 val.) (exame 1ªÉpoca/1ªChamada 19/02/98) 
Foram efectuadas três medições de vibrações em intervalos de um mês a um 
ventilador por três entidades diferentes que apresentaram espectros em grandezas 
diferentes conforme se representa abaixo. A primeira entidade apresentou os valores 
em deslocamento m (pico-pico) (1m = 10-6m), enquanto a segunda apresentou os 
valores em velocidade mm/s (pico) e a última entidade apresentou unidades de 
aceleração m/s2 (rms). 
a) Diga o que entende por uma grandeza expressa na forma rms (root mean square) 
ou valor eficaz. Qual o motivo de apresentar valores medidos nesta forma. 
b) Face à evoluçãodas componentes dos espectros apresentados e sabendo que o 
ventilador possui uma velocidade de rotação de 3000 rpm e tem 6 pás determine se 
será possível diagnosticar alguma anomalia típica das que estudou na disciplina 
(sugestão: converta para as mesmas unidades os três espectros apresentados) 
 
Solução: b) Sim. Desequilibro. 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 100 200 300 400 500
Frequência Hz
D
es
lo
ca
m
en
to
 
 (
p-
p)
0
2
4
6
8
10
0 100 200 300 400 500
Frequência Hz
V
el
o
ci
d
ad
e 
m
m
/s
 (
p
k)
0
2
4
6
8
10
0 100 200 300 400 500
Frequência Hz
A
ce
le
ra
çã
o 
m
/s
2
 (r
m
s)
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Problema 4.3 (Problema 3 (4 val.) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 19/02/98) Um 
ventilador possui uma velocidade de rotação de 600 rpm e apresenta um nível elevado 
de vibrações. Após uma análise espectral verificou-se estar em presença de uma 
situação de desequilíbrio. Foi tomada a decisão de se proceder à equilibragem do 
mesmo. 
a) Explique sucintamente o procedimento de equilibragem referindo-se à cadeia de 
medição e aos valores que necessita de registar. 
b) Após a montagem do sistema de equilibragem foram registados os seguintes 
valores: 
Valor de referência (ref) – 12.0 mm/s fase 135º 
Massa de teste (trial weight)- 20 g âng. 90º 
Valor de teste (trial)- 20.8 mm/s fase 225º 
Determine o valor e ângulo da massa de equilíbrio a colocar 
 
Solução: b) 10g a 150° 
 
 
Problema 4.4 (Problema 3 (4 val.) exame Época Especial 02/11/98) Um 
ventilador possui uma velocidade de rotação de 600 rpm e apresenta um nível elevado 
de vibrações. Após uma análise espectral verificou-se estar em presença de uma 
situação de desequilíbrio. Foi tomada a decisão de se proceder à equilibragem do 
mesmo. 
a) Explique sucintamente o procedimento de equilibragem referindo-se à cadeia de 
medição e aos valores que necessita de registar. 
b) Após a montagem do sistema de equilibragem foram registados os seguintes 
valores: 
Valor de referência (ref) – 10.0 mm/s fase 135º 
Massa de teste (trial weight)- 20 g âng. 90º 
Valor de teste (trial)- 20.8 mm/s fase 225º 
Determine o valor e ângulo da massa de equilíbrio a colocar 
 
Solução: b) 10,4g a 154,3° 
 
 
Problema 4.5 (Problema 3 ( 5 val. ) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 01/07/97 ) Duas 
avarias típicas de equipamentos com componentes rotativos é o desequilíbrio e o 
desalinhamento. Descreva-as, dizendo qual a sua origem, como as reconhece e as 
diferencia num espectro de frequência e finalmente que parâmetros acha que têm 
importância na sua medição. 
 
 
Problema 4.6 (Problema 3 ( 4 val. ) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 08/07/97) 
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 Os gráficos da figura 3 foram recolhidos 
de um equipamento rotativo ( ventilador ) cuja 
velocidade é de 875 r.p.m. em três instantes : 10, 
500 e 1000 horas. Com base na evolução dos 
espectros indique o estado de funcionamento da 
ventilador, referindo eventuais anomalias. 
Apresente os cálculos efectuados e justifique. 
 
 
 
 
Figura 3 
 
Solução: Desequilíbrio 
 
 
 
Parte II Acústica 
 
 
5. Conceitos de Acústica 
 
 
Problema 5.1 – O valor eficaz (R.M.S.) da pressão sonora é de 200 N/m2. Qual o 
nível de pressão sonora? 
 
Solução: Lp = 140 dB 
 
 
Problema 5.2 – Qual o aumento verificado no nível de intensidade sonora se a 
intensidade de um som for duplicado ? 
 
Solução: DLI = 3 dB 
 
 
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Problema 5.3 – Qual o aumento verificado no nível de pressão sonora se a pressão 
de um som for duplicada ? 
 
Solução: DLp = 6 dB 
 
 
Problema 5.4 – A potência de saída de um altifalante é aumentada de 5 para 50 
Watt. Qual é o aumento em termos de nível de potência sonora ? 
 
Solução: DLW = 10 dB 
 
 
Problema 5.5 – Calcular a intensidade e o nível de intensidade sonora de um som, 
à distância de 10 m de uma fonte que radia uniformemente a potência de 1 W. 
 
Solução: I = 7,95x10-4 W/m2 ; LI = 89 dB 
 
 
Problema 5.6 – Se se adicionarem 3 sons idênticos, qual será o aumento no nível 
de intensidade sonora? 
 
Solução: DLI =4,8 dB 
 
 
 
6. Medição de ruído 
 
 
Problema 6.1 – Admita-se uma determinada área numa fabrica, em que existe um 
equipamento a funcionar. A medição do nível de pressão revelou um valor Lp1 = 90 
dB(A), num dado local, alguns metros afastado desse equipamento. Suponha-se que 
se coloca junto àquele equipamento uma outra máquina, que sozinha produz uma 
potência sonora tal que o nível de pressão sonora medida no mesmo local é de Lp2 
=88 dB. Qual será o nível de pressão sonora total medida nesse local, quando ambos 
equipamentos se encontram em funcionamento? 
 
Solução: Lp total = 92,12 dB 
 
 
Problema 6.2 – Num certo local de uma fabrica, em que várias se encontram em 
funcionamento, o nível da pressão sonora é de 101 dB. Sabe-se que uma das máquinas 
provoca nesse local um nível pressão de 99 dB. Qual será o nível de pressão sonora se 
todas as máquinas menos a referida se encontrarem em funcionamento? 
 
Solução: Lp total = 96,7 dB 
 
 
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Problema 6.3 (Problema 4 (4 val.) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 19/02/98) Numa 
instalação fabril o nível de pressão sonora produzido por duas máquinas iguais e pelo 
ruído de fundo é de 85 dB(A). Após a paragem das máquinas mediu-se o nível de 
pressão sonora do ruído de fundo tendo-se registado 77 dB(A). 
a) Caso pretenda adquirir uma terceira máquina para operar junto às outras duas 
calcule o nível de pressão sonora que espera encontrar. 
b) Diga o que entende por curvas ponderadora tipo A, B, C e D. Qual o motivo 
porque se utilizam. 
 
Solução: a) Lp total = 86,5 dB(A) 
 
 
Problema 6.4 (Problema 4 (4 val. ) exame 1ªÉpoca/1ªChamada 01/07/97) Numa 
instalação fabril existe uma máquina que produz um nível de pressão sonora 
equivalente a 77dB. Foi decidido adquirir mais uma máquina idêntica para operar na 
mesma zona. O ruído de fundo existente é de 65dB. 
a) Determine o nível de pressão sonora esperado quando se instalar a segunda 
máquina; 
b) Diga em que consiste um programa de controlo de ruído, citado alguns exemplos. 
 
Solução: a) Lp total = 80,15 dB(A) 
 
 
Problema 6.5 (Problema 4 (4 val. ) exame 1ªÉpoca/2ªChamada 08/07/97) Foi 
medido um nível de pressão sonora de 89dB junto a dois equipamentos iguais, 
colocados próximos um do outro, onde também existia ruído de fundo. Mandou-se 
parar os dois equipamentos e verificou-se que o nível de pressão sonora do ruído de 
fundo era de 68dB. 
a) Determine o nível de pressão sonora que cada equipamento produz.; 
b) Que instrumento de medida foi usado. Diga quais as suas características e qual o 
objectivo de se usar janelas (filtros) ponderadoras do tipo A (ou B, C, D) na 
medição do ruído. 
 
Solução: : a) Lp total = 85,95 dB(A) 
 
 
Problema 6.6 (Problema 4 ( 4 val. ) exame 2ªÉpoca 12/09/97) Numa instalação 
fabril existe uma máquina que produz um nível de pressão sonora equivalente a 82dB. 
Foi decidido adquirir mais duas máquinas idênticas para operarem na mesma zona. 
a)Determine o nível de pressão sonora se se colocar as três máquinas a funcionar em 
conjunto 
b) As três máquinas vão ter apenas um operador que vai ter que usar um dosímetro de 
ruído. Diga o que entende por dose de ruído Explique em que consiste um 
dosímetro. Quais são as consequências, para o operador, se a dose de ruído 
ultrapassar os 100% . 
 
Solução: : a) Lp total = 86,77 dB(A)