Lista1_GEX252

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Professora: Andreza C. Beezão Moreira.
Disciplina: GEX 252 – Matemática Discreta.
Turmas: 10A e 14A.
Sugestão de exercícios – Noções de lógica
1. Qual é a negação de cada uma das proposições abaixo?
(a) André tem um smartphone.
(b) Não há poluição em Nova Jersey.
(c) 2 + 1 = 3.
(d) O verão em Lavras é quente e ensolarado.
2. Considere as proposições p, q e r apresentadas abaixo:
p: Você está gripado.
q: Você faltou no exame final.
r: Você foi aprovado em Matemática Discreta.
Expresse, em português, as proposições mostradas abaixo:
(a) p→ q.
(b) ¬q ↔ r.
(c) q → ¬r.
(d) p ∨ q ∨ r.
(e) (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ r).
3. Determine se cada uma das condicionais abaixo é V ou F.
(a) Se 1 + 1 = 3, então unicórnios existem.
(b) Se 1 + 1 = 3, então cachorros podem voar.
(c) Se 1 + 1 = 2, então gatos podem voar.
(d) Se 2 + 2 = 4, então 1 + 2 = 3.
4. Escreva as proposições abaixo no formato “p se e somente se q”, em português.
(a) Se está quente lá fora, você compra um sorvete, e se você compra um sorvete, está
quente lá fora.
(b) Para que você vença o concurso, é necessário e suficiente que você tenha o único
bilhete premiado.
(c) Trens chegam tarde exatamente naqueles dias que eu os pego.
5. Construa a tabela verdade das seguintes proposições:
(a) p↔ ¬p.
(b) p⊕ (p ∨ q).
(c) (p ∧ q)→ (p ∨ q).
(d) (q → ¬p)↔ (p↔ q).
6. Considere as seguintes definições, a respeito de p→ q:
oposta: q → p;
inversa: ¬p→ ¬q;
contra-positiva: ¬q → ¬p.
Nas sentenças abaixo, determine quais serão as proposições p e q e escreva (em português)
suas respectivas proposições compostas na forma oposta, inversa e contra-positiva. (Obs.:
considere os valores de x e n como reais).
(a) Se chove, então eu irei ao trabalho de carro.
(b) Se n é maior que 3, então n2 é maior que 9.
7. Através de tabela verdade, mostre que:
(a) (p→ r) ∧ (q → r)⇔ (p ∨ q)→ r.
(b) p↔ q ⇔ (p→ q) ∧ (q → p).
8. Apresente uma justificativa do porquê (p → r) ∧ (q → r) e (p ∨ q) → r são logicamente
equivalentes.
9. Seja P (x) a seguinte proposição: “x possui mais que 4 horas-aula por dia.”, em que
x pertence ao domínio dos estudantes da UFLA. Expresse as quantificações abaixo em
português.
(a) ∃xP (x).
(b) ∀xP (x).
(c) ∃x¬P (x).
(d) ∀x¬P (x).
10. Expresse o valor verdade para cada uma das quantificações abaixo, levando em conta o
domínio em R.
(a) ∃x(x3 = −1).
(b) ∃x(x4 < x2).
(c) ∀x((−x)2 = x2).
(d) ∀x(2x > x).
11. Expresse as asserções “Algum estudante desta sala fará estágio no Google” e “Todo estu-
dante desta sala fará estágio no Google ou na IBM” em termos de lógica de predicados.
[Domínio: estudantes desta sala.]
12. Considere as proposições P (x): “x fala russo” e Q(x): “x sabe C++”. Expresse as
proposições compostas abaixo em termos de P (x), Q(x), quantificadores e conectivos
lógicos. [Domínio: estudantes de sua escola.]
(a) Há um estudante em sua escola que fala russo e sabe C++.
(b) Há um estudante em sua escola que fala russo, mas não sabe C++.
(c) Todo estudante em sua escola ou fala russo ou sabe C++.
(d) Nenhum estudante em sua escola fala russo ou sabe C++.
13. Utilize quantificadores e predicados para expressar as frases abaixo. Tome o domínio dos
estudantes em geral.
(a) Há um estudante desta sala que fala inglês.
(b) Alguns estudantes cursaram todas as disciplinas do terceiro período.
(c) Todos os estudantes aprenderam pelo menos uma linguagem de programação.
(d) Todo estudante desta sala cursou Cálculo 1 no quarto período com pelo menos um
outro estudante.
14. Exercícios sobre técnicas de demonstração: primeiramente, façam os exercícios
deixados no material usado em aula. Após isso, resolvam exercícios da Seção 1.6 da bi-
bliografia abaixo.
Gabaritos – Noções de lógica
1. (a) André não tem um smartphone.
(b) Há poluição em Nova Jersey.
(c) 2 + 1 6= 3
(d) O verão em Lavras não é quente ou não é ensolarado.
2. (a) Se você estiver gripado, então você faltará ao exame.
(b) Você não faltará no exame final se, e somente se, você for aprovado em Matemática
Discreta.
(c) Se você faltou no exame final, então você não foi aprovado em Matemática Discreta.
(d) Você está gripado ou você faltou no exame final ou você foi aprovado em Matemática
Discreta.
(e) Você está gripado e faltou no exame final, ou você não faltou no exame final e foi
aprovado em Matemática Discreta.
3. (a) V (b) V (c) F (d) V
4. (a) Você compra um sorvete se, e somente se, está quente lá fora.
(b) Você vence o concurso se, e somente se, você tem o único bilhete premiado.
(c) Trens chegam tarde se, e somente se, eu os pego em tais dias.
5. Conferir com a professora.
6. (a) p: “Chove.” e q: “Eu irei ao trabalho de carro.”
Oposta: “Se eu for ao trabalho de carro, então chove.”
Inversa: “Se não chove, então não irei ao trabalho de carro.”
Contrapositiva: “Se eu não for ao trabalho de carro, então não chove.”
7. Compare colunas na tabela verdade.
8. Veja questão anterior.
9. (a) “Existe um estudante da UFLA que possui mais que 4 horas-aula por dia.”
(b) “Todo estudante da UFLA possui mais que 4 horas-aula por dia.”
(c) “Existe um estudante da UFLA que não possui mais que 4 horas-aula por dia.”
(d) “Todo estudante da UFLA possui no máximo 4 horas-aula por dia.”
10. (a) V (b) V (c) V (d) F
11. Definindo p(x): “x fará estágio no Google” e q(x): “x fará estágio na IBM”, temos:
“Algum estudante desta sala fará estágio no Google” equivalente à ∃xp(x) e “Todo estu-
dante desta sala fará estágio no Google ou na IBM” equivalente à ∀x(p(x) ∨ q(x)).
12. (a) ∃x(P (x) ∧Q(x))
(b) ∃x(P (x) ∧ ¬Q(x))
(c) ∀x(P (x)⊕Q(x))
(d) ∀x(¬P (x) ∧ ¬Q(x))
13. Tente e, depois, confira com a professora.
Referências
Rosen, K. H. (2009). Matemática discreta e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hil,
6ed.