Matemática temas e metas-vol-3

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MATEMÁTICA: TEMAS E METAS, VOL 3; SISTEMAS LINEARES E COMBINATÓRIA
CAPÍTULO - 2 TEORIA DAS MATRIZES
1. NOÇÃO DE MATRIZ E REPRESENTAÇÃO
01. Associe cada matriz A, B, C, D e E ao seu tipo m x n (de I a IV):








−
−=
25
31
24
A , 



=
0100
8026
B , 










−
=
75
10
14
23
C , 







=
0
4
1
D e ( )723=E
(I) 1 x 3 (II) 2 x 3 (III) 3 x 1 (IV) 3 x 2 (V) 2 x 4
02. Quantos elementos possui uma matriz 3 x 4? E uma matriz quadrada de ordem 6 ?
03. Quais podem ser os tipos das matrizes que possuem 4 elementos? E das que possuem 12 
elementos ?
04. Na matriz 










=
15141312
111098
7654
3210
A dê o valor de:
a) a22 b) a31 c) a13 d) a42 e) a34 f) a12
g) todos os elementos da diagonal principal
h) todos os elementos da diagonal secundária.
05. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 2i + j - 1
06. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = i ² + j²
07. Forme a matriz A = (aij)2x3 definida por aij = 2ij – 1
08. Forme a matriz A = (aij)3x3 definida por aij = 

≠
=+
jiseij
jiseji
 ,
 ,
09. Forme a matriz A = (aij) 3x3 definida por aij = 

≠
=
jise
jise
 ,0
 ,1
10. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)4x4 onde aij = (- 1) i + (-1 ) j
11. Calcule o produto dos elementos da 2ª linha da matriz A = (aij)4x3 onde aij = 

<
≥
jisej
jisei
 ,
 ,
12. Calcule a soma dos elementos da 3ª coluna da matriz A = (aij) 3x3 onde aij = 2i – 2j.
13. Dada a matriz A = (aij)2x2 em que aij = (i + j) ² - 1 calcule o valor da expressão a11a22 – a12a21.
14. Dada a matriz A = (aij) 3x3 em que aij = 

<
≥+
jise
jiseji
 ,0
 ,
calcule a diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o da diagonal secundária.
2. IGUALDADE
15. Calcule a, b, c e d para que seja válida a igualdade de matrizes




=



−+
+
02
5613
dcdc
ba
16. Calcule x e y para que seja verdadeira a igualdade 







=








+
−
2
3
0
2
2
²
xy
yx
yx
17. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade 



−
=



+ 32
11
22
²²
yx
yx
.
18. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade .
15
010




=






 −+
y
x
xy
yxyx
.
19. Se 



−−
−−−−
=



−+−
+
bba
baa
ybx
yxa
1
2
1
2
, qual é o valor da soma x + y ?
20. Se 







=








+
+++
+++
500
530
531
00
0
fe
feded
cbabaa
, qual o valor da expressão abc + def ?
21. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 2, distintas, em que dois elementos são iguais a 1 
e outros dois iguais a 2.
22. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 3, distintas, onde em cada linha e em cada coluna 
um elemento é igual a 1 e os demais são iguais a zero.
3. MATRIZ TRANSPOSTA
23. Forme a matriz transposta de cada matriz dada.
a) 







=
82
57
43
A b) 







=
654
032
001
B c) 







=
3
2
1
C d) 



−
−
=
61
11
D
24. Obtenha a matriz transposta de
a) ( ) ²²a com ij23 jiaA xij −== b) ( ) 2b com ij23
ji
bB
xij
+
==
25. Se 



−−−
=
222
1063
A , qual é a matriz transposta da matriz transposta de A ?
26. Determine a matriz A sabendo que A t = 



110
101010
.
27. Dada A t = (bij)3x4 com bij = i – j, determine a matriz A.
28. Dadas as matrizes 



+
+
=
dc
ba
A
22
1
 e 


 −
=
42
13
B , calcule a, b,c e d para que se tenha A = Bt
29. Se 



=
dc
ba
A , qual é a condição que a,b,c e d devem satisfazer para que se tenha At = A.
4. ADIÇÃO DE MATRIZES
30. Dadas as matrizes 



−
=
41
23
A , 



−
=
22
31
B , 



=
85
20
C e 


 −
=
130
211
D , calcule, se existir:
a) A + B b) B + C c) C – A d) A + D e) B – C f) D – C
31. Dadas as matrizes 







−=
52
13
21
A , 






 −
=
11
04
13
B e 







=
00
42
56
C , calcule:
a) A + B + C b) A + B – C c) A – B – C d) A – B + C
32. Dadas as matrizes 








=
120
431
021
A e 








−
−−
=
224
310
211
B , calcule:
a) B – A b) At + B c) A + Bt d) At - Bt
33. Dadas as matrizes 



=
432
111
A e 








=
33
12
21
B , calcule se existir:
a) A + B b) At + B c) A + Bt d) At + Bt
34. Dadas as matrizes 



−
=
112
321
A e 


 −
=
025
224
B ,
a) calcule A + B, (A + B)t e At + Bt e verifique que (A + B)t = At + Bt;
b) calcule A - B, (A - B)t e At - Bt e verifique que (A - B)t = At - Bt.
35. Dadas as matrizes 



−
=
1215
310
A e 



−
−−
=
31
25
B , determine a matriz X em cada equação.
a) X – At = 0 c) X + A = B
b) X + At = 0 d) X – B = A t
36. Dadas as matrizes 



=
242
313
A e 



−
−
=
134
021
B , determine a matriz X nos casos:
a) X + A = 0 c) X + At = Bt
b) X + B = A d) X + A + B = 0
 37. Se 








−=
21
2
2
1
73
A , determine X nos casos:
a) X + At = 0 b) Xt – A = 0
38. Dadas as matrizes 



=
72
13
A e 








−
=
2
2
1
2
1
1
B , determine as matrizes X e Y em cada caso.
a) 

=−
=−
t
t
BAY
BAX
 b) 

=++
−=
0BAY
BAX
t
t
39. Se 







−
−
−−
=
024
103
211
A , determine X nos casos:
a) X + At = A b) X – A = A
40. Resolva a equação A – X = B sendo dadas A = (aij)2x2 com aij = i² + 2i – j e B =(bij)2x2 com bij = 
aji.
5. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO POR MATRIZ
41. Dada a matriz 



−
−
=
103012
8012
A , determine as matrizes:
a) 2A b) -3A c) A
2
1
 d) A
10
1
− e) 3At f) -2At
42. Dada a matriz 








−
=
2
1
0
41
62
A calcule as matrizes 10A, (10A)t e 10.At e verifique que (10A)t = 10.At.
43. Dadas as matrizes 


 −
=
42
13
A e 



=
40
22
B calcule as matrizes:
a) 2A + 3B b) At – 2B c) AB
2
1
4
1
− d) tBA
2
1
3 −
44. Se 








=
2
0
3
A , 







−
=1
2
1
B e 








−=
2
2
5
C calcule as matrizes:
a) A + 2B + 3C b) 3A – 2B – C c) CBA +−
2
1
2 d) ( )CBA ++
3
1
45. Se A = ( 1 -1), B = (3 0) e C = (-2 4), calcule as matrizes:
a) 3(A - B) + 2C b) 5(2A - 3B + C) – 3(B - A) 
46. Dada 







−−
−=
411
131
112
A , calcule a 5(2A)t – 3(-A).
47. Resolva a equação 2X + A = 3B, sendo dadas as matrizes 






−
=
2
0
1
A e 







=
4
1
1
B .
48. Resolva a equação 2A – 5X = Bt sendo dadas as matrizes 



=
91
11
A e .
02
21




−
=B
49. Calcule os números a, b, c e y que tornam verdadeira a igualdade .
21
10
1
1
0
1




−
=



−
−
+



x
y
b
y
x
a
50. Dadas as matrizes 



=
11
01
A e 


−
=
22
21
B , calcule as matrizes X e Y em cada sistema:
a) 

=−
=+
BYX
AYX
 b) 

+=−
−=+
BAYX
BAYX
42
272
6. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
51. Calcule os seguintes produtos:
a) ( ) 



5
2
103 c) ( )








−−−
1
1
4
522
b) ( )








−
3
0
2
148 d) ( ) 


−
5
6
65
52. Copie e complete o quadro colocando o tipo mxn da cada matriz(se 
existir)
Matri
z A
Matri
z B
Matriz 
AB
2x3 3x4
5x2 2x2
3x3 3x1
2x4 3x4
5x3 3x5
3x5 5x3
1x3 1x4
2x5 3x5
53. Calcule o produto indicado em cada caso.
a) ( ) 



31
52
83 c) ( ) 



−
−
220
131
24
b) ( )








−
−
23
20
15
121 d) ( )








−
987
654
321
256 
54. Calcule o produto indicado em cada caso.
a) 







2
5
22
54
 b) 















− 3
2
7
011
522
413
55. Calcule AB e BA sendo dadas 



=
501
243
A e 







=
65
34
12
B
56. Calcule AB e BA sendo 


 −
=
42
11
A e 



=
210
73
B .
57. Dadas as matrizes 



−−
=
12
21
A , 



−
−
=
240
213
B , 







−=
30
01
25
C e 







=
222
221
211
D , calcule:
a) AB d) BA g) CA j) DA
b) AC e) BC h) CB l) DB
c) AD f) BD i) CD m) DC
58. Dadas as matrizes ( )312 −=A , 








−=
02
11
11
B e 



=
51
23
A , calcule se existir:
a) AB d) CB c) BtC j) BB
b) AC e) CBt h) BtAt l) BBt
c) BC f) CtBt i) CC m) AAt
59. Dadas as matrizes 



=
21
45
A , 



=
21
11
B e 



=
11
10
C , calcule se existir
a) AB c) AC e) BC g) AtC
b) BA d) CA f) CB h) CCt
60. Dadas as matrizes 



−
=
31
52
A , 



=
11
04
B , 



−
−−
=
21
12
C e 



−
−
=
53
35
D , calcule:
a) AB + CD b) BC – AD c) AC + CA d) BD – DB
61. Sendo 







=
321
021
001
A , determine
a) A.A b) At.At c) A.At d) At.A
Propriedades
I. Propriedade comutativa
62.Verifique se 
3 1
2 2
A
 
=    e 
5 1
1 6
B
− 
=  
−  são matrizes comutáveis.
63. Verifique se são matrizes comutáveis:
a) 
2 5
5 8
A
 
=    , 
0 1
1 4
B
 
=    b) 
1 2
1 2
B
 
=    e 
2 1
2 1
N
 
=   
c) 
1 2 3 0 1 0
2 1 3 e 1 0 0
4 4 5 0 0 1
P B
      
= =         
 d) 
1 1 0 0 1 1
0 1 0 e 1 0 1
0 1 1 1 1 0
A B
      
= =         
64. Para quais valores de x e y as matrizes 
1 1 1 2
 e 
0 3
A B
x y
−   
= =       são comutáveis?
65. Dada 
2 3
A
a b
 
=    , calcule a e b para se tenha A.A
t = At.A.
66. Verifique que as matrizes 
2 1 1
 e 
2 2 0
x
A B
x
   
= =       não são comutáveis, x R∀ ∈ .
67. Verifique que as matrizes 
1 0 0
 e 
0 2 0
a
A B
b
   
= =       são comutáveis, , ab R∀ ∈
68. Prove que as matrizes 
1 0 1 0
0 1 0 e 0 2 0
1 0 1 0
a b
A B
c d
      
= =         
são comutáveis se, e somente se, a = d e b = 
c
II. Propriedade associativa
III. Propriedade distributiva
IV. Anulamento do produto. Lei do Cancelamento.
69. Dadas as matrizes 
3 2 1 1 4 2
, e 
1 6 3 8 1 9
A B C
− −     
= = =          
a) verifique que (AB)C = A(BC)
b) verifique que A(B + C) = AB + AC
70. Dadas as matrizes 
1 2 3 1 1 3 1 2 1 3
, , e 
4 0 2 2 1 3 4 5 3 9
A B C D
− − −       
= = = =       
−        , calcule se existir:
a) C(A + B) c)(A + B)D
b) (C + D)(B – A) d)(A + B)tD
71. Dadas 
2 0 4 1 6 2
, e 
0 3 2 3 2 1
A B C
−     
= = =     
−      calcule
a) A.B.C c) (A + B).(A + C)
b)C.B.A d)A.(B + C).(B – C)
72. Se e 
a b x y
A B
c d z t
   
= =       , prove que vale a igualdade (A.B)
t = Bt.At
73. Calcule x e y para que se verifique a igualdade:
1 1 0 0
.
3 3 4 5 0 0
x y−     
=     
−     
74. Se 
1 0 4 5
, e 
2 0 2 3 6 7
a b
A B C
     
= = =           , calcule a e b de modo que se tenha AB = AC.
75. Se 
1 1 1 2 0 1
, e 
3 3 3 6 1
A B C
x y
     
= = =     
+      , calcule x e y para que se verifique a igualdade AC – AC = 0
76. Calcule x e y de modo que as matrizes 
0 1 1 0
 e 
0 0
A B
x y
   
= =       sejam comutativas em relação à 
multiplicação.
77. Calcule x, y, e z de modo que se verifique a igualdade
1 0 1 1
2 1 0 10
0 1 1 5
x
y
z
        
=            
78. Calcule a, b, c e d de modo que se verifique a igualdade
2 1 1 6
.
3 1 4 1
a b
c d
    
=    
− −    
79. Dadas 
1 0 7 6
 e 
3 2 12 4
A B
   
= =   
−    , determine a matriz X que satisfaz à equação A.X = B.
80. Se 
1 1 1 13
2 1 1 e 14
3 2 1 15
A B
      
= =         
, determine a matriz X na equação A.X = B
7. MATRIZES QUADRADAS
Matriz diagonal, matriz simétrica e matriz anti-simétrica
81. Dentre as matrizes dadas abaixo,diga
a) quais são matrizes diagonais;
b) quais são matrizes simétricas;
c) quais são matrizes anti-simétricas.
1 2 3 1 10 0 0 2 0 3
, e , , 
3 1 1 2 0 10 2 0 3 0
1 0 0 0 4 2 0 1 1 0 0 0
0 3 0 , G 4 0 1 , 1 0 1 e 0 0 0
0 0 3 2 1 0 1 1 0 0 0 0
A B C D E
F H I
−         
= = = = =         
−         
− −              
= = = − =              
−       
.
82. Calcule x, y e z de modo que a matriz 
1 1 2
3 4 1
5 6 7
x
A y
z
+  
= −   
seja uma matriz simétrica.
83. Sabe-se que a matriz 
1
1 2
0 2 3
x b c
M y a
z
+  
= − −   
 é uma matriz anti-simétrica. Calcule o valor da 
expressão (x + y + z).(a + b + c ).
84. Quantas são as matrizes diagonais de ordem 3 onde os elementos da diagonal principal são 
números inteiros positivos cujo produto é igual a 8?
85. Dadas as matrizes 
0 1 1 0 0 2
1 2 2 e 0 1 3
1 2 1 2 4
A P
x
      
= − = −      
− −   
, calcule x de modo que PtAP seja uma matriz 
diagonal onde a soma de todos os elementos é igual a -28.
Matriz inversível e matriz inversa 
86.